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  • 数据结构课程设计 题目关键路径的设计报告 科系计算机科学与技术 班级 姓名 题目1编写拓扑排序和求关键路径的程序 2单源顶点最短路径问题设计报告 需求分析 在实际工程中拓扑排序和求关键路径是经常使用来安排任务的...
  • 一、关键路径 (一)AOE网 在带权有向图中,以顶点表示事件,以有向边表示活动,以边上的权值表示完成该活动的开销(如完成活动所需的时间),称之为⽤边表示活动的网络,简称AOE网 (Activity On Edge NetWork) 在...

    一、关键路径

    (一)AOE网

    • 在带权有向图中,以顶点表示事件,以有向边表示活动,以边上的权值表示完成该活动的开销(如完成活动所需的时间),称之为⽤边表示活动的网络,简称AOE网 (Activity On Edge NetWork)
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    • AOE⽹具有以下两个性质:
      ① 只有在某顶点所代表的事件发生后,从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始;
      ② 只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时,该顶点所代表的事件才能发⽣。
      另外,有些活动是可以并行进行的

    在这里插入图片描述

    • 在AOE网中仅有⼀个入度为0的顶点,称为开始顶点(源点),它表示整个⼯程的开始;
    • 仅有⼀个出度为0的顶点,称为结束顶点(汇点),它表示整个⼯程的结束。

    (二)关键路径

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    • 从源点到汇点的有向路径可能有多条,所有路径中,具有最⼤路径⻓度的路径称为关键路径,⽽把关键路径上的活动称为关键活动
    • 完成整个⼯程的最短时间就是关键路径的⻓度,若关键活动不能按时完成,则整个⼯程的完成时间就会延⻓
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    • 活动ai的时间余量d(i)=l(i)-e(i),表⽰在不增加完成整个⼯程所需总时间的情况下,活动ai可以拖延的时间
    • 若⼀个活动的时间余量为零,则说明该活动必须要如期完成,d(i)=0即l(i) = e(i)的活动ai是关键活动关键活动组成的路径就是关键路径

    (三)求关键路径的步骤

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    (四)求所有事件的最早发生时间

    1. 求所有事件的最早发生时间ve()

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    (五)求所有事件的最迟发⽣时间

    1. 求所有事件的最迟发⽣时间 vl()

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    (六)求所有活动的最早发生时间

    1. 求所有活动的最早发生时间e()

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    (七)求所有活动的最迟发生时间

    1. 求所有活动的最迟发生时间l()

    在这里插入图片描述

    (八)求所有活动的时间余量

    在这里插入图片描述

    (九)关键活动、关键路径的特性

    在这里插入图片描述
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    • 若关键活动耗时增加,则整个工程的工期将增长
    • 缩短关键活动的时间,可以缩短整个工程的工期
    • 当缩短到一定程度时,关键活动可能会变成非关键活动
      在这里插入图片描述
    • 可能有多条关键路径,只提⾼⼀条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个⼯程的⼯期,只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到缩短⼯期的⽬的。
    展开全文
  • AOE 求关键路径 程序

    2010-12-02 17:49:27
    本程序用c#编写,实现了建图,利用AOE实现求解关键路径问题,并标明那些路径为关键路径
  • AOE网求关键路径(关键活动): AOE网求解关键路径,所需的是有向无环图,注意的是,只有一个源点,有一个汇顶点,然后关键路径不一定只有一条。注意,这里要理解: 顶点:事件 边:活动 还有四个数组下面有介绍: ...

    AOE网求关键路径(关键活动):

    AOE网求解关键路径,所需的是有向无环图(利用拓扑排序,如果序列长度为顶点数,则是无环,小于顶点数则是有环图,有环图是不满足求AOE网的),注意的是,只有一个源点,有一个汇顶点,然后关键路径不一定只有一条。注意,这里要理解:

    顶点:事件
    边:活动

    还有四个数组下面有介绍:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里我们用到的图:

    关键活动已经用红色标记出来
    在这里插入图片描述

    代码如下:

    #include <stdio.h>
    #include <malloc.h>
    #define inf 330 
    #define max 50
    typedef struct node{
    	int adjvex;
    	int weight; //权值 
    	struct node *nextarc;
    }arcnode;//定义结点的结构体类型 
    
    typedef struct {
    	arcnode *firstarc;
    	int count; 
    }vnnode; //定义头结点的结构体 
    
    typedef struct {
    	vnnode  adjlist[max];
    	int n;
    	int e; 
    }adjgraph; //定义图表的结构体类型 
    
    typedef struct{
    	int sno;
    	int lno;
    }keynode; //关键活动 
    
    
    //创建邻接图 
    void createadj(adjgraph *&g, int a[max][max], int n, int e)
    {
    	arcnode *p;
    	
    	//分配一段空间,并做相应的赋值操作。 
    	g = (adjgraph *)malloc(sizeof(adjgraph));
    	g->n = n;
    	g->e = e;
    	
    	//对头结点初始化为NULL 
    	for(int i = 0 ;i <n; i++)
    	{
    		g->adjlist[i].firstarc = NULL;
    		g->adjlist[i].count = 0;
    	}
    	
    	 //循环找结点 
    	for(int i =0; i<n; i++)
    	 for(int j = n-1; j>=0; j--)
    	 	 if(a[i][j]!=0 && a[i][j]!=inf)//如果有边 
    		 {
    		 	p = (arcnode *)malloc(sizeof(arcnode));
    		 	p->adjvex =j;
    		 	p->weight = a[i][j];
    		 	g->adjlist[j].count++;
    		     
    		    //这里采用头插发 
    		 	p->nextarc = g->adjlist[i].firstarc;
    			g->adjlist[i].firstarc = p;  
    		  } 
     } 
     
    
    //输入图的邻接表 
     void showadj(adjgraph *g)
     {
     	arcnode *p;
     	for(int i =0; i< g->n; i++)
     	{
     		//首先指向头结点。 
     		p = g->adjlist[i].firstarc;
     		printf("%d 入度:(%d): ",i,g->adjlist[i].count);
     		
     		//这里是循环输出每个头结点的链表 
     		while(p!=NULL)
     		{
     			printf("%d -->",p->adjvex);
     			p = p->nextarc;
    		 }
    		 printf("/\\");
    		 printf("\n"); 
    	 }
     }
     
    
    //拓扑排序输出 
    /*算法的主要思想,一个是找入度为0的顶点进栈,二个每次出栈一个顶点,
    就要遍历其他相关有边的顶点,修改顶点入度,并判断是否入栈,不满足就寻找下一个相关有边的顶点。 
    */ 
    int  tp(adjgraph *g,int toplist[]) //参数数组toplist是用来保存拓扑序列的,用来判断是否成环 
    {
    	arcnode *p;
    	
    	//定义一个数组栈以及数组下标 
    	int st[max]; 
    	int top = -1; 
    	int d=0;
    	
    	int j,k;//定义两个变量,下面需要用到 
    	
    	//这个循环用来遍历所有点,找到入度为0的点将其进栈。 
    	for(int i=0; i<g->n; i++)
    	  if(g->adjlist[i].count ==0)
    	  {
    	  	 top++;
    	  	 st[top] = i;
    	   } 
    	   
    	 //在栈不空的情况下,出栈一个顶点,然后将这个顶点的所有有边的另外一端的顶点循环判断,如果入度为0,则进栈。遍历完之后接着出栈一个顶点,在遍历....循环同样的操作 
    	 while(top>-1)
    	 {
    	 	//出栈一个顶点 
    	   k = st[top--];
    	   toplist[d++]=k;
    	   printf("%d ",k);
    	   
    	   //在遍历该出栈顶点的其他有边的顶点 
    	   p = g->adjlist[k].firstarc;
    	   while(p!=NULL)
    	   {
    	   	 //度数-1 
    	   	   j = p->adjvex;
    		   g->adjlist[j].count--;
    		   
    		   //在判断是否可以入栈 
    			if(g->adjlist[j].count == 0 )
    			{
    				top++;
    				st[top] =j;
    			} 
    			
    		//遍历下一个顶点。 
    		 p =p ->nextarc;
    	   }
    	 }
        return d; //返回拓扑数组的长度 ,注意下标 
     } 
     
     
     //aoe求关键活动 
     /*算法的主要思想是求出事件的最早开始时间,(ve[max])
     事件的最迟开始时间,(vl[max])
     活动的最早开始时间,(ea[max])
     活动的最迟开始时间。(el(max))
      然后用一个结构体数组保存关键活动以及两端的顶点。 
     */ 
     bool aoesearch(adjgraph *g, keynode ky[max], int &d)///结构体数组,以及下标d 
     {
     	arcnode *p;
    
        int toplist[max]; //这里用来保存调用拓扑排序函数是保存拓扑序列 
        
     	int w;
     	
     	int ve[max]; //用来保存事件(顶点)最早开始时间 
     	int vl[max];//用来保存事件(顶点)最迟开始时间 
     	
     	int length = tp(g,toplist);//拓扑排序 
     	
        if(length  < g->n) //拓扑排序长度若小于顶点数,则说明有回路 
        return false;
        
        int inode = toplist[0]; //找打源点 
        int lnode = toplist[g->n-1];//找到汇点 
       
       
    	//初始化,每个事件的最早开始时间为0 
    	for(int i=0;i< g->n; i++)
    	{
        	ve[i] = 0;	
    	}
    	//找每个事件的最早开始事件。(找最大) 
    	for(int i =0; i<g->n; i++)
    	{
    		p = g->adjlist[i].firstarc;
    		while(p!=NULL)
    		{
    		    w = p->adjvex;
    			if(ve[i]+ p->weight> ve[w])
    			  ve[w] = ve[i]+ p->weight;
    			p = p->nextarc;
    		}
    	}
    	
    	//初始化,每个事件的最晚开始事件为汇点的最早开始时间 
    	for(int i =0; i<g->n; i++)
    	   vl[i] = ve[lnode];
    	   
    	//逆序找每个事件的最晚开始事件(找最小) 
    	for(int i= g->n-2; i>=0; i--)//
    	{
    		p = g->adjlist[i].firstarc;
    		while(p!=NULL)
    		{
    			w = p->adjvex;
    			if( vl[w] - p->weight <vl[i])
    				vl[i] = vl[w] - p->weight;
    			p = p->nextarc;
    		}
    	}
    
        //找关键活动((存储到结构体数组中)
        for(int i =0; i<g->n; i++)
    	{	
    		p = g->adjlist[i].firstarc;
    		
    		while(p!= NULL)
    		{
    			w = p->adjvex;
    			//注意,由于没定义活动(边)的最早开始时间ae[i]和最迟开始时间al[j],这里ae[i] = i,al[i] = vl[w] - p->weight,这里的ae和al表示活动的最早开始时间和最迟开始时间。 
    			if(ve[i] == (vl[w] - p->weight)) 
    			{
    				d++;
    				ky[d].sno = i;
    				ky[d].lno = w;
    			}
    		 p = p->nextarc; 
    		}
    	}   	  
    	return true;  
    }
    void showpath(adjgraph *g, keynode ky[],int d)
    {
       
    	arcnode *p;
    	int w;
    	int length =d;
        
    	for(int i =0; i<g->n; i++)
    	{
    		p = g->adjlist[i].firstarc;
    		
    		     while(p!=NULL)
    	     	{
    	     		
    		    	w = p->adjvex;
    		    	for(int j =0; j<=length; j++)  //这里之所以等于0,是因为d是从-1开始,第一个值的下标就是0,而不是从0开始,第一个值下标是1; 
    			    if(i == ky[j].sno && w == ky[j].lno)
    			    {
    			    	printf("(%d,%d):%d  \n",i,w,p->weight);
    				}
    				p = p->nextarc;
    		    }
    			
    		
    	}
    }
    
    int main() 
    {
    	adjgraph *b;
    	int d=-1; //用于结构体数组的下标 
    	
    	keynode ky[max];
    	int toplist[max];
    	
    	int a[max][max] = {{0,6,4,5,inf,inf,inf,inf,inf},
    	                   {inf,0,inf,inf,1,inf,inf,inf,inf},
    					   {inf,inf,0,inf,1,inf,inf,inf,inf},
    					   {inf,inf,inf,0,inf,inf,inf,2,inf},
    					   {inf,inf,inf,inf,0,9,7,inf,inf},
    					   {inf,inf,inf,inf,inf,0,inf,inf,2},
    					   {inf,inf,inf,inf,inf,inf,0,inf,4},
    					   {inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,0,4},
    					   {inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,0}};
    	int n= 9;
    	int e= 11;
    	createadj(b,a,n,e);
    	showadj(b);
    	printf("\n拓扑排序输出序列为: "); 
    	aoesearch(b,ky,d);
    	printf("\n ");
    	printf("\n关键活动如下:\n");
    	showpath(b,ky,d);
    	return 0;
    }
    
    

    程序运行如下:
    在这里插入图片描述

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  • 程序+报告+说明 功能: 0 (创建一个工程) 1 (从文本导入一个工程) 2 (用邻接表输出工程及输出工程的关键路径)
  • 图:求关键路径

    千次阅读 多人点赞 2017-07-19 16:34:56
    一:概念:在学习关键路径前,先了解一个AOV网和AOE网的概念:如下图所示 假如汽车生产工厂要制造一辆汽车,制造过程的大概事件和活动时间如上图AOE网: 那么,显然对上图AOE网而言,所谓关键路径:开始–>发动机...

    一:概念:

    在学习关键路径前,先了解一个AOV网和AOE网的概念:如下图所示
    这里写图片描述
    假如汽车生产工厂要制造一辆汽车,制造过程的大概事件和活动时间如上图AOE网:
    那么,显然对上图AOE网而言,所谓关键路径:

    开始–>发动机完成–>部件集中到位–>组装完成。路径长度为5.5。如果我们试图缩短整个工期,去改进轮子的生产效率,哪怕改动0.1也是无益的。只有缩短关键路径上的关键活动时间才可以减少整个工期的长度。

    例如如果制造发动机缩短为2.5天,整车组装缩短为1.5天,那么关键路径为4.5。工期也就整整缩短了一天时间。

    好吧! 那么研究这个关键路径意义何在?
    假定上图AOE网中弧的权值单位为小时,而且我们已经知道黑深色的那一条为关键路径。假定现在上午一点,对于外壳完成事件而言,为了不影响工期:外壳完成活动最早也就是一点开始动工,最晚在两点必须要开始动工。最大权值3表示所有活动必须在三小时之后完成,而外壳完成只需要2个小时。所以,这个中间的空闲时间有一个小时,为了不影响整个工期,它必须最迟两点动工。

    那么才可以保证3点时与发动机完成活动同时竣工,为后续的活动做好准备。

    二:相关术语:

    1. AOV网络(Activity On Vertex Network):有向图,用顶点表示活动,用弧表示活动的先后顺序
    2. AOE网络(Activity On Edge):有向图,用顶点表示事件,用弧表示活动,用权值表示活动消耗时间(带权的有向无环图)
    3. 活动:业务逻辑中的行为,用边表示
    4. 事件:活动的结果或者触发条件
    5. 关键路径:具有最大路径长度(权重)的路径,可能不止一条
    6. 活动的两个属性:e(i)最早开始时间,l(i)最晚开始时间
    7. 事件的两个属性:ve(j)最早开始时间,vl(j)最晚开始时间

    这里写图片描述

    三:计算关键路径的过程:

    步骤:

    1. 先求出每个顶点的ve(最早开始时间)和vl(最晚开始时间)的值
    2. 通过这两个值就可以求出每条边的e(最早开始时间)和 l(最晚开始时间)值。
    3. 取e(i)=l(i)的边就是关键路径上的边,相连,就能得到关键路径(键路径可能不止一条)

    ①:求ve(j)的值(事件最早开始时间)

    1. 从前向后,直接前驱节点的ve值+当前节点的边的权值(有可能多条,取最大值)
    2. 第一个顶点的ve等于0
    顶点V1V2V3V4V5V6V7
    ve(j)03267510

    ②:求vl(j)的值(事件最迟开始时间)

    1. 从后向前(V9开始),直接后继节点的vl值-当前节点的边的权值(有可能多条,取最小值)
    2. 终结点的vl等于它的ve
    顶点V1V2V3V4V5V6V7
    vl(j)03367610

    ③:求e(i)的值(活动最早开始时间)

    1. e ( i ):活动ai是由弧< vk,vj >表示,则活动的最早开始时间应该和事件vk的最早发生时间相等,因此,就有e(i)=ve(k)。
      即:边(活动)的最早开始时间等于它发出的顶点(事件)的的最早发生时间
    a1(3)a2(6)a3(2)a4(4)a5(2)a6(1)a7(3)a8(1)a9(3)a10(4)
    e(i)0003322675

    ④:求l(i)的值(活动最晚开始时间)

    1. l ( i ):活动ai是由弧< vk,vj >表示,则ai的最晚发生时间要保证vj的最迟发生时间不拖后(vj最迟发生时间为9的话,ai的最迟时间就必须是 9-活动耗时 )。因此,l(i)=vl(i)-len< vk,vj >
      即:活动到达顶点的最晚发生时间减去边的权重
    a1(3)a2(6)a3(2)a4(4)a5(2)a6(1)a7(3)a8(1)a9(3)a10(4)
    l(i)0013453676

    ⑤:求出关键边和关键路径:

    1. 当e(i)==l(i),即:活动最早开始时间 = 活动最晚开始时间时,可以得到关键边为:
      a1 a2 a4 a8 a9

    2. 然后根据关键边组合成关键路径:
      a1->a4->a9 和 a2->a8->a9

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  • 数据结构 课程设计说明书 基于 AOE网络的关键路径问题 学院部 计算机科学与工程学院 专业班级 学 号 学生姓名 指导教师 年 月 日 安徽理工大学课程设计论文任务书 计算机科学与工程 学院 学 号 学生姓名 专业班级 ...
  • 由于AOE网中的某些活动能够同时进行,故完成整个工程所必须花费的时间应该为始点到终点的最大路径长度。关键路径长度是整个工程所需的最短工期。
  • 求关键路径

    千次阅读 2015-03-30 10:37:52
    求关键路径 1、重要概念  (1)AOE (Activity On Edges)网络 如果在无有向环的带权有向图中用有向边表示一个工程中的各项活动(Activity),用边上的权值表示活动的持续时间(Duration),用顶点表示事件...

    求关键路径

    1、重要概念

               1AOE (Activity On Edges)网络 如果在无有向环的带权有向图中用有向边表示一个工程中的各项活动(Activity),用边上的权值表示活动的持续时间(Duration),用顶点表示事件(Event)则这样的有向图叫做用边表示活动的网络,简称AOE (Activity On Edges)网络。AOE网是一个带权的有向无环图。

    AOE网络在某些工程估算方面非常有用。例如,可以使人们了解:

        a、完成整个工程至少需要多少时间(假设网络中没有环)?

         b、为缩短完成工程所需的时间应当加快哪些活动

         (2关键路径(Critical Path) AOE网络中有些活动顺序进行,有些活动并行进行。从源点到各个顶点,以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不同。完成不同路径的活动所需的时间虽然不同,但只有各条路径上所有活动都完成了,整个工程才算完成因此,完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度,即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)

          如果一个活动的最早开始时间等于它的最迟开始时间,那么这个活动就被称为是关键活动,关键活动连接在一起就是关键路径。

    如图1就是一个AOE网,该网中有11个活动和9个事件。每个事件表示在它之前的活动已经完成,在它之后的活动可以开始。如事件v5表示a4a5活动已经完成,a7a8活动可以开始。每个弧上的权值表示完成相应活动所需要的时间,如完成活动a1需要6天,a8需要7天。

    14、求关键路径 - 墨涵 - 墨涵天地

    1

           AOE网常用于表示工程的计划或进度。由于实际工程只有一个开始点和一个结束点,因此AOE网存在唯一的入度为0的开始点(又称源点)和唯一的出度为0的结束点(又称汇点),例如图1AOE网从事件v1开始,以事件v9束。同时AOE网应当是无环的。

    3)算法描述中要用到的几个表达

    e(i)表示活动ai的最早开始时间,l(i)表示活动ai的最迟开始时间; l(i)-e(i)表示完成活动的时间余量。事件vi 的最早开始时间表示为ve(i), 事件vi 的最迟允许开始时间vl(i)

    l[k] = e[k]的活动就是关键活动。为求得e[k]l[k],需要先求得从源点v0到各个顶点vi  ve[i]  vl[i]。如果活动a由弧<j,k>表示,其持续时间记为dut(<j,k>),则有如下关系:          
            e(i)=ve(j)
            l[i] = vl[k] – dut(<i, k>)

    ve(j)vl(j)需分两步进行:

    1

    14、求关键路径 - 墨涵 - 墨涵天地

    其中, T是所有以第j个顶点为头的弧的集合。

    2

    14、求关键路径 - 墨涵 - 墨涵天地

    其中, S是所有以第i个顶点为尾的集合。

    这两个递推公式的计算必须分别在拓扑有序及逆拓扑有序的前提下进行。也就是说,ve(j-1)必须在v的所在前驱的最早发生时间求得之后才能确定,而vl(j-1)则必须在v的所有后继的最迟发生时间求得之后才能确定。因此,可以在拓扑排序的基础上计算ve(j-1)vl(j-1)

    2、需要说明的地方

    1)上面的图1中的关键路径就为

    14、求关键路径 - 墨涵 - 墨涵天地

    2)影响关键活动的因素是多方面的,任何一项活动持续时间的改变都会影响关键路径的改变。关键活动的速度提高是有限度的,只有在不改变网的关键路径的情况下,提高关键活动的速度才有效。如果网中有几条关键路径,那么单是提高一条关键路径上的关键活动的速度,还不能导致整个工程缩短工期,而必须同时提高几条关键路径上的活动的速度。


    更通俗地来理解:

     
    在这种AOE网中, 最长的一条路径就是关键路径 ,因为图中每个活动都是必须的,只有最长的工期完成后,项目才真正完成了,图中10+9+20+10 也就是ADFHJ  ,显然是最长的,所以为关键路径

    从左边开始每个活动所需要最长的时间就是 最早开始时间 ,如C,只有A指向它,那么最早开始时间就是5;F, A->C->F
    5+4=9, A->D->F  10+9=19,两者比较,后者大,故19为最早开始时间,依次类推。

    从右边倒推,可以求的 最迟开始时间, 如J为49,以I为例,I->J 倒推 49-4=45 所以I最迟开始时间为45;H为例,H->J 倒推49-10=39,H->I->J 倒推 49-4-1=44,两者取最小的,所以H的最迟开始时间为39。

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