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  • 可用于库存控制排队系统、通信网络、制造应用中的维护密集型系统的建模仿真。
  • d Density的缩写,表示密度函数。举个例子,标准正态分布x=0对应的值可以用dnorm(0)计算 p Probability的缩写,表示概率函数。举个例子,标准正态分布从无负穷大到0的概率,可以用pnorm(0)计算 q Quantile的缩写,...
    1. R语言中的概率密度以及分布函数

    在R中,概率函数形如:

    其第一个字母表示其所指分布的某一方面:

    d Density的缩写,表示密度函数。举个例子,标准正态分布x=0对应的值可以用dnorm(0)计算

    p Probability的缩写,表示概率函数。举个例子,标准正态分布从无负穷大到0的概率,可以用pnorm(0)计算

    q Quantile的缩写,表示分位函数。举个例子,如果知道标准正态分布从负无穷大到x的概率是0.9678,想要知道这个x的值,可以用qnorm(0.9678)计算

    例如,70%的人的年龄是多少?

    r Random的缩写,表示随机函数,用于随机生成符合正态分布的数值。举个例子,如果想随机生成10个符合标准正态分布的函数,可以用rnorm(10)来获得

    1. 概率质量(/密度)函数probability mass function

    针对离散型变量

    f(x)=P,计算变量x=某个值的概率

    p: x≤某个值的概率

    d: x=某个值的概率

    注:针对连续型变量,某一个X的变量对应的概率固定为0

    1. 累计分布函数(Cumulative Distribution Function)

    对于离散型密度函数为: = 在这里插入图片描述

    f为随机变量X的概率质量函数

    例如:掷硬币,定义X=a1时为head表示为1,X=a2时为tail表示为0

    概率质量函数为:

    f(a1)=1/2

    f(a2)-1/2

    基于概率密度函数计数:当X<=1时的概率为多少(表示要么时head,要么时tail的概率)

    F(X<=1)=1/2+1/2=1

    1. 离散变量(伯努利随机变量)分布:0-1分布

    0-1分布就是随机试验次数n=1情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验,该事件发生的概率为p,不发生的概率为q=1-p。这是一个最简单的分布,任何一个只有两种结果的随机现象。

    类似掷硬币时,求当掷一次硬币X=1(人头朝上),或者0(人头朝下)的概率。

    f(X)=p或者1-p(X=1,或者0)

    E(X) = p

    Var(X) = (1-p)p

    1. 离散变量(n次伯努利随机变量)分布:二项分布

    二项分布即重复n次独立的伯努利试验

    在每次试验中只有两种可能的结果(因变量Y=0或者1),而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其他各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验。

    当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。其概率记为p

    例如:抛了100次硬币,n=100,其中20次为正面。表示:Y=1, X=20, n=100

    可以求出(X=20,Y=1)的概率

    注:括号内是一个整体,不是求Y=1的概率,而是P(Y=1|X=20),X是n次试验之中,Y=1的次数

    不是求正面的概率,而是100次试验中20次正面的概率

    概率质量函数:在这里插入图片描述

    其中,q=1-p, 在这里插入图片描述, p=单次试验,Y=1的概率

    E(X)=np

    Var(X)=np(1-p)

    1. 二项分布(The Binomial Distribution)的R语言实现

    样本:最近120日(次),创业板股票上涨(记为Y=1)天数为40天,下跌(记为Y=0)80天。根据古典概率和0-1分布,p=40/120=0.33,即单日(1次试验)上涨的概率为33%。求未来100天(n=100),有20(X=20)日上涨(Y=1)的概率。
    在这里插入图片描述

    dbinom(20,100,0.33)

    [1] 0.001532549

    计算:X=1,2,3…100的概率(100日中有1日,2日,3日…100日上涨的各自的概率)

    dbinom(1:100,100,0.33)

    [1] 1.994892e-16 4.863666e-15 7.825421e-14
    9.346706e-13 8.838915e-12 6.893034e-11 4.559103e-10 2.610427e-09 1.314304e-08

    [10] 5.890830e-08 2.373916e-07 8.671881e-07
    2.891291e-06 8.849569e-06 2.499013e-05 6.538928e-05 1.591388e-04 3.614272e-04

    [19] 7.682811e-04 1.532549e-03 2.875571e-03
    5.085899e-03 8.495200e-03 1.342432e-02 2.010041e-02 2.855828e-02 3.855131e-02

    [28] 4.950432e-02 6.053642e-02 7.056558e-02
    7.848170e-02 8.335020e-02 8.459424e-02 8.210617e-02 7.625895e-02 6.781735e-02

    [37] 5.777743e-02 4.717960e-02 3.694201e-02
    2.774786e-02 2.000028e-02 1.383815e-02 9.193409e-03 5.865943e-03 3.595444e-03

    [46] 2.117369e-03 1.198206e-03 6.516364e-04
    3.406056e-04 1.711162e-04 8.262853e-05 3.834969e-05 1.710671e-05 7.333472e-06

    [55] 3.020953e-06 1.195660e-06 4.545948e-07
    1.659985e-07 5.820235e-08 1.958900e-08 6.326762e-09 1.960169e-09 5.823389e-10

    [64] 1.658199e-10 4.523399e-11 1.181485e-11
    2.953054e-12 7.058552e-13 1.612336e-13 3.516887e-14 7.319147e-15 1.451995e-15

    [73] 2.743086e-16 4.929588e-17 8.417087e-18
    1.363727e-18 2.093568e-19 3.040601e-20 4.170558e-21 5.392157e-22 6.557626e-23

    [82] 7.483858e-24 7.993907e-25 7.968340e-26
    7.387680e-27 6.346584e-28 5.030231e-29 3.660056e-30 2.430626e-31 1.463213e-32

    [91] 7.919635e-34 3.815918e-35 1.616759e-36
    5.929998e-38 1.844681e-39 4.732158e-41 9.611399e-43 1.449175e-44 1.441965e-46

    [100]
    7.102218e-49

    plot(dbinom(1:100,100,0.33))

    在这里插入图片描述

    1. 二项分布累计分布结果

    例如求:未来100日内,(X<=30)创业板指数上涨的概率

    用相加的方法(P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=30))J计算二项分布累计分布函数的结果

    sum(dbinom(1:30,100,0.33))

    [1]
    0.300622


    或者直接用概率函数计算:

    pbinom(30,100,0.33)

    [1]
    0.300622 约等于30%

    应用:P(X>30)≈70%,即预测上涨天数>30天的概率有70%,如果发现前70天上涨天数较少,那么后30天上涨的概率就会很大。

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  • 如何简单理解概率分布函数和概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数 2.1概率函数和...

    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。

    目录

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    2.1.1 概率分布

    2.2 分布函数

    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    4 参考文献


     

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量,在贾俊平老师的《统计学》教材中,给出了这样的区分:

    如果随机变量的值都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

    进一步解释,离散型随机变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量。例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得。反之,在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值。例如,生产零件的规格尺寸,人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其数值只能用测量或计量的方法取得。

    形象点来解释::

    画一幅画,左边是梯子,右边是斜坡。
    像梯子一样能说出有多少层的,可描述的,是离散型随机变量;
    像斜坡一样不能说出有多少层阶梯,不可描述的,是连续性随机变量。
    需要注意的是,实际操作中梯子的阶高可能很小,看起来很像斜坡,需要放大看。

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    在理解概率分布函数和概率密度函数之前,我们先来看看概率函数和概率分布是咋回事。

    为什么我们花这么大的力气去研究这个概念。因为它实在太重要了,为什么呢?在这里,直接引用陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说的:

    研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何!

    这句是本文的核心内容,本文的所有概念,包括概率密度,概率分布,概率函数,都是在描述概率!

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    概率函数,就是用函数的形式来表达概率。

    pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)

    在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量(pi)是取值的概率。它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

    2.1.1 概率分布

    接下来讲概率分布,顾名思义就是概率的分布,这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时,关键不在于“概率”两个字,而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词,我们来看一张图。

                                                                     离散型随机变量的值和概率的分布列表

    在很多教材中,这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说,它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”,这个名字虽然比“概率分布”长了点,但是肯定好理解了很多。因为这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了!

    举个例子吧,一颗6面的骰子,有1,2,3,4,5,6这6个取值,每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“?

    长得挺像的,上面是取值,下面是概率,这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧!大错特错!少了一个最重要的条件!对于一颗骰子的取值来说,它列出的不是全部的取值,把6漏掉了!

    2.2 分布函数

    说完概率分布,就该说说分布函数了。这个分布函数是个简化版的东西!全名应该叫概率分布函数

    看看下图中的分布律,这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”,完全就是一个东西。但是我知道很多教材就是叫分布律的。

                                                                    概率分布函数就是把概率函数累加

    我们来看看图上的公式,其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了小于等于号的公式。你再往右看看,这是一个一个的概率函数的累加!

    发现概率分布函数的秘密了吗?它其实根本不是个新事物,它就是概率函数取值的累加结果!所以它又叫累积概率函数!

    概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,它们都只是描述概率的不同手段!


    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    连续型随机变量的“概率函数”换了一个名字,叫做“概率密度函数”。

    为啥要这么叫呢?我们还是借用大师的话来告诉你,在陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》这本书中,

    如果这么解析你还是不太懂的话,看看下面的这个公式:

    概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,定积分在数学中是用来求面积的,而在这里,你就把概率表示为面积即可!

    左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数

    两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!所以,我们在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示,是非常好的!

    但是,可能读者会有这样的问题:

    Q:概率密度函数在某一点的值有什么意义?

    A:比较容易理解的意义,某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.

    比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.

    • 某一点的速度, 不能以为是某一点的距离
    • 没意义,因为距离是从XX到XX的概念
    • 所以, 概率也需要有个区间.
    • 这个区间可以是x的邻域(可以无限趋近于0)。对x邻域内的f(x)进行积分,可以求得这个邻域的面积,就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

    4 参考文献

    【1】https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

    【2】https://www.zhihu.com/question/23237834

     


     

     

     

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  • 均匀分布概率密度函数和分布函数学习笔记1

    万次阅读 多人点赞 2017-08-25 17:18:06
     概率密度函数:用于直观地描述连续性随机变量(离散型的随机变量下该函数称为分布律), 表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率,因此是幅值的函数。连续样本空间情形下的概率称为 概率密度,当试验次数无限增加,...

    1. 两者的定义

      概率密度函数:用于直观地描述连续性随机变量(离散型的随机变量下该函数称为分布律),

    表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率,因此是幅值的函数。连续样本空间情形下的概率称为

    概率密度,当试验次数无限增加,直方图趋近于光滑曲线,曲线下包围的面积表示概率,该曲线即这次试验样本的概率密度函数。

      分布函数:用于描述随机变量落在任一区间上的概率。如果将x看成数轴上的随机点的坐标

    那么,分布函数F(x)在x处的函数值就表示x落在区间(-∞,+∞)上的概率。分布函数也称为概率累计函数。

      两者的区别:分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分;在坐标轴上,概率密度函数的

    函数值y表示落在x点上的概率为y;分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞,+∞)上的概率。

     

    2.均匀分布的概率密度函数

    假设x服从[a,b]上的均匀分布,则x的概率密度函数如下

    概率密度图像如上图所示

     

    3.均匀分布的分布函数

    分布函数图像如上图所示

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  • 概率密度和分布函数 联合概率密度 边际概率密度 条件概率密度 复合函数概率密度

    概率密度和分布函数

    在这里插入图片描述

    联合概率密度

    在这里插入图片描述

    边际概率密度

    在这里插入图片描述

    条件概率密度

    在这里插入图片描述

    复合函数概率密度

    在这里插入图片描述

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    千次阅读 2019-08-27 09:59:05
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概率密度和分布函数