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  • 欧拉定理证明

    2019-09-19 20:04:55
    欧拉定理证明: 由欧拉函数的定义,有个不同的数字与n互质,设为 又 若 矛盾 有个不同的与n互质的元素 S也有个不同的与n互质的元素 即与S中的元素一一对应 ...

    欧拉定理: 

    a^{\phi \left ( n \right )}\equiv 1\left ( mod \, n \right )\left ( \left ( a,n \right ) = 1\right ) 

    证明: 

    由欧拉函数的定义,有\phi \left ( n \right ) 个不同的数字与n互质,设为X_{1},X_{2},\cdots ,X_{\phi \left(n \right )}

    Z_{n}=\left \{ X_{1},X_{2},\cdots ,X_{\phi \left ( n \right )} \right \}

    S= \left \{ aX_{1}\, mod \, n,aX_{2}\, mod \, n,\cdots ,aX_{\phi \left ( n \right )}\, mod \, n \right \}

    \\ \forall i=1,2,\cdots ,\phi \left (n \right )\\ \because \left(a,n \right )= 1\\ \left(x_{i},1 \right )= 1\\ \therefore aX_{i}\equiv 1 \left(mod\, n \right ) \\ X_{i}\equiv 1 \left(mod \, n \right )

    \\ \forall i\neq j \left(i,j= 1,2,\cdots ,\phi \left(n \right ) \right )\\ aX_{i}\not\equiv aX_{j}\left(mod \, n \right )

    aX_{i}\equiv aX_{j}\left(mod \, n \right )

    \\ \because \left ( a,n \right )= 1\\ \therefore X_{i}\equiv X_{j} \left(mod \, n \right )\\ X_{i}= X_{j}

    矛盾

    \therefore aX_{j}\left(mod \, n \right )

    \becauseZ_{n}\phi \left ( n \right )个不同的与n互质的元素

    S也有\phi \left ( n \right )个不同的与n互质的元素

    \therefore Z_{n}= S

    Z_{n}与S中的元素一一对应

    \therefore \prod_{i=1}^{\phi \left(n \right )}aX_{i}\equiv \prod_{i=1}^{\phi \left(n \right )}X_{i} \left(mod \, n \right )

    a^{\phi \left(n \right )} \prod_{i=1}^{\phi \left(n \right )}X_{i} \left(\,mod \, n \right )\\ \equiv \prod_{i=1}^{\phi \left(n \right )} \left(aX_{i} \,mod \, n\right )\\ \equiv \prod_{i=1}^{\phi \left(n \right )}X_{i} \left(mod \, n \right )\\ \because \left(\prod_{i=1}^{\phi \left(n \right )}X_{i}\, ,n \right )= 1\\ \therefore a^{\phi \left(n \right )} \equiv 1 \left(mod \, n \right )

     

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  • 费马小定理:若p是素数,则对于任意整数a来说都有(以下这四个都是,可根据等式的性质互相转化) 1. 2. 3. 4. 欧拉定理:若正整数a与p互质,则有...因此我们只需要证明欧拉定理,费马小定理自然就可得证。 ...

    费马小定理:若p是素数,则对于任意整数a来说都有(以下这四个都是,可根据等式的性质互相转化)

    1.a^{p}\equiv a (mod\ p)

    2.a^{p}-a\equiv 0(mod \ p)

    3.a^{p-1}-1\equiv 0(mod \ p)

    4.a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)

    欧拉定理:若正整数a与p互质,则有 x^{\varphi (b)}\equiv 1(mod\ b)

    因为对于素数X来说,\varphi (X)=X-1 所以不难发现,费马小定理是欧拉定理中p为素数的特殊情况。因此我们只需要证明出欧拉定理,费马小定理自然就可得证。

    扩展欧拉定理:若正整数a,n互质,则对于任意正整数b,有a^{b}\equiv a^{b \ mod \ \varphi (n)}

    证明如下:

    设b=q*\varphi (n)+r,r=b mod \varphi (n)

    a^{b}\equiv a^{q*\varphi (n)+r}\equiv (a^{\varphi(n)})^{q}*a^{r}\equiv 1^{q}*a^{r}\equiv a^{r}\equiv a^{b \ mod \ \varphi(n)} (mod \ n)

    证毕

     

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  • 欧拉定理证明:https://www.cnblogs.com/wangxiaodai/p/9758242.html 阶乘的逆元: 记 f[i] = i! mod p,  g[i] = (i!)−1 mod p 容易发现 g[i] = g[i]+1∗(i +1)  i−1 = f[i]−1∗g[i] 只需要算出 f[n]...
    欧拉定理证明:https://www.cnblogs.com/wangxiaodai/p/9758242.html

    阶乘的逆元:

    记    f[i] = i! mod p,

      g[i] = (i!)−1 mod p

    容易发现 g[i] = g[i]+1∗(i +1)

          i−1 = f[i]−1∗g[i]

    只需要算出 f[n],然后求出 f[n] 的逆元 g[n],然后递推即可。 

    转载于:https://www.cnblogs.com/minun/p/11367417.html

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  • 扩展欧拉定理证明

    2017-11-28 21:19:34
     发现这玩意儿没有欧拉定理那么好证啊… 欧拉定理消去律做一下推推即可.  从丁学长那里学会了之后写一下证明. 论有一个善良的学长的重要性!!  终于会用makdown写数学公式了~扩展欧拉定理aq ≡ aq mod φ...

     改成全角就能行首空两格了…
     发现这玩意儿没有欧拉定理那么好证啊… 欧拉定理消去律做一下推推即可.
     从丁学长那里学会了之后写一下证明. 论有一个善良的学长的重要性!!
     终于会用makdown写数学公式了~

    扩展欧拉定理

    aq  aq mod φ(m) + φ(m)(mod )(am)

    证明

    a=p1r1p2r2p3r3...

    api piq  piq mod φ(m)  φ(m)(mod m)

    简单解释一下这是如何转化的.
    piq  piq mod φ(m)  φ(m)(mod m)

    (piq)ri  (piq mod φ(m)  φ(m))ri(mod m)

    (piri)q  (piri)q mod φ(m)  φ(m)(mod m),

    (p1r1p2r2p3r3...)q  (p1r1p2r2p3r3...)q mod φ(m)  φ(m)(mod m)

    aq  aq mod φ(m)  φ(m)(mod m)

    那么现在要证明的东西已经转化, 考虑如何证得.
    papmpm.

    m=prs,pφ(s)1(mod s)(sp)

    φ(m)=φ(pr)φ(s)()φ(s)φ(m)

     pφ(m)1(mod s)

     pqpq mod φ(m)(mod s) qr

    => pq + rpq mod φ(m) + r(mod m)(m=sqr)

    r<=φ(m),pφ(m)  r

    pq  pq mod φ(m)  φ(m)(mod m)

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  • 欧拉定理证明 && 欧拉公式 源地址: http://www.cppblog.com/zoyi-zhang/articles/43456.html欧拉函数 :欧拉函数是数论中很重要的一个函数,欧拉函数是指:对于一个正整数 n ,小于 n 且和 n 互...
  • 欧拉定理 证明及推论

    2019-08-22 15:47:19
    欧拉定理: 若正整数a , n互质,则aφ(n)≡1(mod n)其中φ(n)是欧拉函数(1~n)与n互质的数。 证明如下: 不妨设X1,X2...... Xφn是1~n与n互质的数。  首先我们先来考虑一些数:aX1,aX2...... aXφn  这些...
  • 欧拉定理: 若n,a为正整数,则有: 证明欧拉定理的特殊情况是费马小定理,常用来求逆元(当然得保证p是素数) 以及欧拉函数是积性函数(后面莫比乌斯反演神马的会用到(贼烦人)) 就这样吧,嗯...
  • 费马-欧拉定理证明

    千次阅读 2018-09-23 10:08:25
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  • 需要证明ax≡axmodφ(m)+φ(m)(modm)ax≡axmodφ(m)+φ(m)(modm)a^x \equiv a^{x\bmod \varphi(m) + \varphi(m)} \pmod{m},其中aaa为任意整数,m,xm,xm,x为正整数,且x≥φ(m)x≥φ(m)x\ge \v...
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  • 视频讲解欧拉定理和欧拉函数的证明。详细解释了证明简化剩余系的关系为什么要先证明完全剩余系的关系。以及欧拉函数的计算。
  • 网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊,于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法,供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦,想为后来人节约一点时间罢了。 欧拉函数: 记为ϕ(n)\phi(n)ϕ(n)或φ(n)\varphi...
  • 欧拉降幂公式(扩展欧拉定理)证明

    千次阅读 2019-02-01 16:09:59
    扩展欧拉定理证明
  • 大家都很强, 可与之共勉 。我的知乎专栏–欧拉定理推广的证明
  •  欧拉函数(φ(p)):即指在[1,p-1][1,p−1]中与p互质的数的个数,特别的,φ(1)=1。 单数值求欧拉函数:(时间复杂度O(√n)) 1 int euler(int n){ //返回euler(n) 2 int res=n,a=n; 3 for(int ...
  • 网上找到的某巨佬的博客,感觉很清晰。 顺便附一道例题:luogu P4139 上帝与集合的正确用法 转载于:https://www.cnblogs.com/Gkeng/p/11261781.html
  • 欧拉定理: a^phi(m)=1 (mod m) ( gcd(a,m)=1 ) 设1到m中与m互质的数为 x1, x2, x3, ……x phi(m) 令pi=xi*a 引理一:p之间两两模m不同余,x之间两两模m不同于 x两两模m不同样因为都小于等于m,一眼看出 ...

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