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    2020-06-13 12:23:12
    浮点数的表示

    浮点数的表示

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  • IEEE754 浮点数的表示方法

    万次阅读 多人点赞 2016-01-09 17:08:19
    1.浮点数的存储格式 浮点数在C/C++中对应float和double类型,我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。 IEEE754标准中规定float单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号,用 8 位来表示指数,用...

    1.浮点数的存储格式

    浮点数(Floating-point Number)是对实数的一种近似表示,由一个有效数字(即尾数)加上幂数来表示,通常是乘以某个基数的整数次幂得到。以这种表示法表示的数值,称为浮点数。表示方法类似于基数为10的科学计数法。利用浮点进行运算,称为浮点计算,这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

    计算机对浮点数的表示规范遵循电气和电子工程师协会(IEEE)推出的 IEEE754 标准,浮点数在 C/C++ 中对应 float 和 double 类型,我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。

    IEEE754 标准中规定 float 单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号,用 8 位表示指数,用 23 位表示尾数,即小数部分。对于 double 双精度浮点数,用 1 位表示符号,用 11 位表示指数,52 位表示尾数,其中指数域称为阶码。IEEE754 浮点数的格式如下图所示。
    这里写图片描述
    注意,IEE754 规定浮点数阶码 E 采用"指数e的移码-1"来表示,请记住这一点。为什么指数移码要减去 1,这是 IEEE754 对阶码的特殊要求,以满足特殊情况,比如对正无穷的表示。

    2.移码

    移码(又叫增码)是对真值补码的符号位取反,一般用作浮点数的阶码,引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。

    对于定点整数,计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为 0,反码和补码等同于原码。负整数符号位为1,原码、反码和补码的表示都不相同,由原码变成反码和补码有如下规则:
    (1)原码符号位为1不变,整数的每一位二进制数位求反得反码;
    (2)反码符号位为1不变,反码数值位最低位加1得补码。

    比如,以一个字节 8bits 来表示 -3,那么[−3]原=10000011[-3]_原=10000011[3]=10000011[−3]反=11111100[-3]_反=11111100[3]=11111100[−3]补=11111101[-3]_补=11111101[3]=11111101,那么 -3 的移码就是[−3]移=01111101[-3]_移=01111101[3]=01111101

    如何将移码转换为真值 -3 呢?先将移码转换为补码,再求值。

    3.浮点数的规格化

    若不对浮点数的表示作出明确的规定,同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如(1.75)10(1.75)_{10}(1.75)10可以表示成1.11×201.11\times 2^01.11×200.111×210.111\times2^10.111×210.0111×220.0111\times2^20.0111×22等多种形式。当尾数不为0时,尾数域的最高有效位为1,这称为浮点数的规格化。否则,以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法,使其成为规格化数的形式。

    3.1 单精度浮点数真值

    IEEE754 标准中,一个规格化的 32 位浮点数 x 的真值表示为:
    x=(−1)S×(1.M)×2ex=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(1)S×(1.M)×2e
    e=E−127e=E-127e=E127
    其中尾数域值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1,故这一位不予存储,而认为隐藏在小数点的左边。

    在计算指数 e 时,对阶码E的计算采用原码的计算方式,因此 32 位浮点数的 8bits 的阶码 E 的取值范围是 0 到 255。其中当E为全 0 或者全 1 时,是 IEEE754 规定的特殊情况,下文会另外说明。

    3.2 双精度浮点数真值

    64 位的浮点数中符号为 1 位,阶码域为 11 位,尾数域为 52 位,指数偏移值是 1023。因此规格化的 64 位浮点数 x 的真值是:
    x=(−1)S×(1.M)×2ex=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(1)S×(1.M)×2e
    e=E−1023e=E-1023e=E1023

    4.浮点数的具体表示

    4.1 十进制到机器码

    (1)0.5
    0.5=(0.1)20.5=(0.1)_20.5=(0.1)2,符号位S为0,指数为e=−1e=-1e=1,规格化后尾数为1.0。

    单精度浮点数尾数域共23位,右侧以0补全,尾数域:
    M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2

    阶码E:
    E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2E=[-1]_移-1=[0111\ 1111]_2-1=[0111\ 1110]_2E=[1]1=[0111 1111]21=[0111 1110]2

    对照单精度浮点数的存储格式,将符号位S,阶码E和尾数域M存放到指定位置,得0.5的机器码:
    0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]20.5=[0011\ 1111\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_20.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]2

    十六进制表示为0.5=0x3f000000。

    (2)1.5
    1.5=[1.1]21.5=[1.1]_21.5=[1.1]2,符号位为0,指数e=0e=0e=0,规格化后尾数为1.1。

    尾数域M右侧以0补全,得尾数域:
    M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2M=[100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]2

    阶码E:
    E=[0]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2E=[0]_移-1=[1000 0000]_2-1=[0111 1111]_2E=[]1=[10000000]21=[01111111]2

    得1.5的机器码:
    1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]21.5=[0011\ 1111\ 1100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_21.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]2

    十六进制表示为1.5=0x3fc00000。

    (3)-12.5
    −12.5=[−1100.1]2-12.5=[-1100.1]_212.5=[1100.1]2,符号位S为1,指数e为3,规格化后尾数为1.1001,

    尾数域M右侧以0补全,得尾数域:
    M=[100 1000 0000 0000 0000 0000]2M=[100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[100 1000 0000 0000 0000 0000]2

    阶码E:
    E=[3]移−1=[1000 0011]2−1=[1000 0010]2E=[3]_移-1=[1000\ 0011]_2-1=[1000\ 0010]_2E=[3]1=[1000 0011]21=[1000 0010]2

    即-12.5的机器码:
    −12.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]2-12.5=[1100\ 0001\ 0100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_212.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]2

    十六进制表示为-12.5=0xc1480000。

    用如下程序验证上面的推算,代码编译运行平台Win32+VC++ 2012:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	float a=0.5;
    	float b=1.5;
    	float c=-12.5;
    
    	unsigned int* pa=NULL;
    	pa=(unsigned int*)&a;
    	unsigned int* pb=NULL;
    	pb=(unsigned int*)&b;
    	unsigned int* pc=NULL;
    	pc=(unsigned int*)&c;
    	
    	cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl;
    	cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl;
    	cout<<hex<<"c=0x"<<*pc<<endl;
    	
    	return 0;
    }
    

    输出结果:

    a=0x3f000000
    b=0x3fc00000
    c=0xc1480000
    

    验证正确。

    4.2 机器码到十进制

    (1)若浮点数 x 的 IEEE754 标准存储格式为 0x41360000,那么其浮点数的十进制数值的推演过程如下:

    0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]0x41360000=[0\ 10000010\ 011\ 0110\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]

    根据该浮点数的机器码得到符号位 S=0,指数 e=阶码-127=1000 0010-127=130-127=3

    注意,根据阶码求指数时,可以像上面直接通过 "阶码-127"求得指数e,也可以将阶码+1=移码阶码+1=移码+1=,再通过移码求其真值便是指数 e。比如上面阶码 10000010+1=10000011[移码]=>00000011[补]=3(指数e)10000010+1=10000011_{[移码]}=>00000011_{[补]}=3(指数e)10000010+1=10000011[]=>00000011[]=3(e)

    包括尾数域最左边的隐藏位1,那么尾数 1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011。

    于是有:
    x=(−1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10x=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.011011)\times2^3=+1011.011=(11.375)_{10}x=(1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10

    通过代码同样可以验证上面的推算:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	unsigned int hex=0x41360000;
    	float* fp=(float*)&hex;
    	cout<<"x="<<*fp<<endl;
    	return 0;
    }
    

    输出结果:

    x=11.375
    

    验证正确。

    5.浮点数的几种特殊情况

    (1)0 的表示
    对于阶码为 0 或 255 的情况,IEEE754 标准有特别的规定:
    如果 阶码 E=0 并且尾数 M 是 0,则这个数的真值为 ±0(正负号和数符位有关)。

    因此 +0 的机器码为:0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。
    -0 的机器码为:1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    需要注意一点,浮点数不能精确表示 0,而是以很小的数来近似表示 0,因为浮点数的真值等于(以32bits单精度浮点数为例):
    x=(−1)S×(1.M)×2ex=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(1)S×(1.M)×2e
    e=E−127e=E-127e=E127
    那么 +0 的机器码对应的真值为1.0×2−1271.0\times2^{-127}1.0×2127。同理,-0 机器码真值为−1.0×2−127-1.0\times2^{-127}1.0×2127

    (2)+∞+\infty+−∞-\infty 的表示
    如果阶码 E=255 并且尾数 M 全是0,则这个数的真值为 ±∞(同样和符号位有关)。因此+∞+\infty+的机器码为:0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。−∞-\infty的机器吗为:1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    (3)NaN(Not a Number)
    如果 E = 255 并且 M 不是0,则这不是一个数(NaN)。

    6.浮点数的精度和数值范围

    6.1 浮点数的数值范围

    根据上面的探讨,浮点数可以表示-∞到+∞,这只是一种特殊情况,显然不是我们想要的数值范围。

    以 32 位单精度浮点数为例,阶码 E 由 8 位表示,取值范围为 0-255,去除 0 和 255 这两种特殊情况,那么指数 e 的取值范围就是 1-127=-126 到 254-127=127。

    (1)最大正数
    因此单精度浮点数最大正数值的符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

    那么最大正数值:
    PosMax=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127≈3.402823e+38PosMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}\approx3.402823e+38PosMax=(1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×21273.402823e+38
    这是一个很大的数。

    (2)最小正数
    最小正数符号位S=0,阶码E=1,指数e=1-127=-126,尾数M=0,其机器码为0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    那么最小正数为:
    PosMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.0)×2−126≈1.175494e−38PosMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.0)\times2^{-126} \approx1.175494e-38PosMin=(1)S×1.M×2e=+(1.0)×21261.175494e38

    这是一个相当小的数。几乎可以近似等于0。当阶码E=0,指数为-127时,IEEE754就是这么规定1.0×2−1271.0\times2^{-127}1.0×2127近似为0的,事实上,它并不等于0。

    (3)最大负数
    最大负数符号位S=1,阶码E=1,指数e=1-127==-126,尾数M=0,机器码与最小正数的符号位相反,其他均相同,为:1 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    最大负数等于:
    NegMax=(−1)S×1.M×2e=−(1.0)×2−126≈−1.175494e−38NegMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=-(1.0)\times2^{-126} \approx-1.175494e-38NegMax=(1)S×1.M×2e=(1.0)×21261.175494e38

    (4)最小负数
    符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:1 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

    计算得:
    NegMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=−3.402823e+38NegMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}=-3.402823e+38NegMin=(1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=3.402823e+38

    6.2 浮点数的精度

    说到浮点数的精度,先给精度下一个定义。浮点数的精度是指浮点数的小数位所能表达的位数。

    阶码的二进制位数决定浮点数的表示范围,尾数的二进制位数表示浮点数的精度。以 32 位浮点数为例,尾数域有 23 位。那么浮点数以二进制表示的话精度是 23 位,23 位所能表示的最大数是223−1=83886072^{23}-1=83886072231=8388607,所以十进制的尾数部分最大数值是 8388607,也就是说尾数数值超过这个值,float 将无法精确表示,所以 float 最多能表示小数点后 7 位,但绝对能保证的为 6 位,即 float 的十进制的精度为 6~7 位。

    64 位双精度浮点数的尾数域 52 位,因252−1=4,503,599,627,370,4952^{52}-1=4,503,599,627,370,4952521=4,503,599,627,370,495,所以双精度浮点数的十进制的精度最高为 16 位,绝对保证的为 15 位,所以 double 的十进制的精度为 15~16 位。

    7.小结

    本文操之过急,难免出现编辑错误和不当说法,请网友批评指正。不明之处,欢迎留言交流。对浮点数的加减乘除运算还未涉及,后续可能会去学习并记录学习所得,与大家分享。


    参考文献

    [1] 百度百科.移码
    [2] 百度知道.关于IEEE754标准浮点数阶码的移码
    [3] 白中英.计算机组成原理第四版[M].科学出版社:P16-30
    [4] 维基百科.浮点数

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  • 浮点数的表示方法

    万次阅读 多人点赞 2019-02-13 23:44:28
    把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存储...其中M称为浮点数的尾数,是一个纯小数。e是比例因子的指数,称为浮点数的指数,是一个整数。比例因子的基数2对二进记数制的机器是一个常数。 在机器中表示一个...

    把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存储单元中分别予以表示。这种把数的范围和精度分别表示的方法,相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动,所以称为浮点表示法

    在计算机中一个任意二进制数N可以写成: N=2^e.M
    其中M称为浮点数的尾数,是一个纯小数。e是比例因子的指数,称为浮点数的指数,是一个整数。比例因子的基数2对二进记数制的机器是一个常数。
    在机器中表示一个浮点数时,一是要给出尾数,用定点小数形式表示。尾数部分给出有效数字的位数,因而决定了浮点数的表示精度。二是要给出指数,用整数形式表示,常称为阶码,阶码指明小数点在数据中的位置,因而决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。

    在这里插入图片描述

    按IEEE754标准,32位浮点数和64位浮点数的标准格式为

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    不论是32位浮点数还是64位浮点数由于基数2是固定常数,对每一个浮点数都一样,所以不必用显示方式来表示它。

    32位的浮点数中,S是浮点数的符号位,占1位,安排在最高位,S=0表示正数,S=1表示负数。M是尾数,放在低位部分,占用23位,小数点位置放在尾数域最左(最高)有效位的右边。E是阶码,占用8位,阶符采用隐含方式,,即采用移码方法来表示正负指数。移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便,因为阶码域值大者其指数值也大。采用这种方式时,将浮点数的指数真值e变成阶码E时,应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111),即E=e+127。

    为了提高数据的表示精度,当尾数的值不为0时,尾数域的最高有效位应为1,这称为浮点数的规格化表示。否则以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法,使其变成规格化数的形式。

    在IEEE754标准中,一个规格化的32位浮点数x的真值表示为
    x = (-1) ^s X(1.M)X 2^(E-127)
    e = E - 127
    其中尾数域所表示的值是1.M。由于规格化的浮点数的尾数域最左位(最高有效位)总是1,故这一位经常不予存储,而认为隐藏在小数点的左边。于是用23位字段可以存储24位有效数。

    64位的浮点数中符号位1位,阶码域11位,尾数域52位,植树偏移值是1023.因此规格化的64位浮点数x的真值为
    x = (-1)s X(1.M)X 2^(E-1023)
    e = E - 1023

    例题
    1. 问题: 若浮点数x的754标准存储格式为(41360000)16,求其浮点数的十进制数值。
    解:将16进制数展开后,可得二进制数格式为
    在这里插入图片描述
    指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=(3)10
    包括隐藏位1的尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011
    于是有
    x=(-1)^S X 1.M X 2^e=+(1.011011) X 2^3 = +1011.011=(11.375)10

    2. 问题: 将数(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。
    解:首先分别将整数和小数部分转换成二进制数:
    20.59375 = 10100.10011
    然后移动小数点,使其在第1、2位之间
    10100.10011 = 1.010010011 X 2^4 e = 4
    于是得到
    S = 0, E = 4 + 127 = 131, M = 010010011
    最后得到32位浮点数的二进制存储格式为
    0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 = (41A4C000)16

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  • 浮点数的表示范围

    2020-04-19 18:22:38
    浮点数的表示范围 来自王辉老师的组成原理,详解

    浮点数的表示范围
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    来自王辉老师的组成原理,详解

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  • 主要介绍了C#浮点数的表示和基本运算,需要的朋友可以参考下
  • 1.浮点数的表示 1.1浮点数的表示 1.2 浮点数尾数的规格化 1.3规格化浮点数的特点
  • 浮点数的表示和运算

    2020-10-19 15:39:22
    浮点数的表示和运算实数表示的发展历程定点数整数比值浮点数浮点数的表示方法规格化数特殊值非规格化数浮点数的运算加减运算乘除运算指数运算 实数表示的发展历程 定点数 整数比值 浮点数 在计算机系统的发展过程中...
  • 12浮点数的表示方法

    2021-01-06 08:11:28
    浮点数的表示 1、 表示格式 2、规格化浮点数 4、IEEE 754标准
  • 浮点数的表示 —— 基本格式、规格化、表示范围

    万次阅读 多人点赞 2019-07-14 22:15:04
    一、浮点数的表示格式 浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中,让小数点的位置根据需要而浮动。这样,在位数有限的情况下,既扩大了数的表示范围,又保持了数的有效精度。 阶码:阶码是整数,阶符...

空空如也

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浮点数的表示