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  • 环路计算器工具可以计算 PLL 环路滤波器设计的组件值。该工具根据用户提供的系统性能规格来计算组件值。
  • 小数分频频率合成器在测试时必须外接一个环路滤波器电路与压控振荡器才能构成一个完整的锁相环电路。其外围电路中环路滤波器的设计好坏将直接影响到芯片的性能测试。以ADF4153小数分频频率合成器为例,研究了其外围...
  • 这是一个简单的程序,所以方程看起来像经典的矩阵方程,它解决了标准电流驱动环路滤波器的电压。 这旨在用于一些未来的 PLL 分析程序,但它概述了设置方程和求解它们的方法。 还有其他的。 更全面的 SPICE 类程序...
  • 二阶锁相环环路滤波器的matla设计代码,自定义阻尼系数(默认为0.707)和噪声带宽,给出滤波器参数值。
  • 环路滤波器是通信信号调制解调中最重要的一个部分,环路滤波器设计的好坏将直接影响到接收机的性能指标,二阶锁频辅助三阶锁相环路滤波器可以稳定跟踪具有加加速度的信号源,是现代通信中非常实用的技术,本文中详细...
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  • 关于滤波器的设计讲的很详细.对于理解滤波器帮助很大
  • 锁相环环路滤波器设计

    千次阅读 2020-12-24 23:58:29
    环路滤波器包括有源环路滤波器和无源环路滤波器,可根据所选用的锁相环芯片和压控振荡器来确定环路滤波器的形式。 环路滤波器的主要指标包含:环路带宽、锁定时间、直流增益、高频增益和阻尼系数等。其各项参数是...

    随着通信技术在各个领域的高速发展,频率合成器作为通信设备的重要组成部分,对其也提出了越来越高的设计要求,不但要能满足宽的频率范围、高的频率稳定度和准确度,而且要求其具有良好的杂散和相位噪声、快速的频率切换。

    频率合成技术是利用参考频率源来产生具有一系列离散的、高准确度、高稳定度频率信号的一项技术。锁相式频率合成器是利用锁相环(PLL)将压控振荡器(VCO)的频率锁定在某一个频率点上,由压控振荡器产生并输出所需的频率,这种方法输出频率稳定,杂散抑制好,输出频率范围宽。随着锁相环电路集成化、数字化和小型化的不断发展,已经出现了具有快锁功能的锁相环芯片,当前,锁相式频率合成技术得到了最为广泛的应用。环路滤波器是锁相环频率合成器的关键部分,是频率合成器设计中的一个最重要的环节,其参数的合理设计直接关系到频率合成器输出频率信号的杂散、相位噪声、稳定度及频率转换时间等多项指标,间接的影响通信系统的载波质量、接收性能、发射和接收信噪比、接收灵敏度及通信距离等。

    1 环路滤波器参数分析

    PLL频率合成器的基本框图如图1所示。

    环路滤波器是由电阻、电容或者还有放大器组成的线性电路,是一种低通滤波器。它的作用是滤除掉来自PLL电路中鉴相器输出电压Vd(t)中的高频成分和噪声分量,得到一个干净的控制电压Vc(t)去控制压控振荡器的频率输出。环路滤波器包括有源环路滤波器和无源环路滤波器,可根据所选用的锁相环芯片和压控振荡器来确定环路滤波器的形式。

    环路滤波器的主要指标包含:环路带宽、锁定时间、直流增益、高频增益和阻尼系数等。其各项参数是根据环路中的VCO增益、电荷泵增益以及鉴相器的分频比而设计的。

    环路参数设计中最为重要的参数是环路带宽,环路带宽与参考频率、PFD和环路LP相位噪声成正比关系,它与VCO的相位噪声、锁定时间和分辨率成反比关系。设计中进行环路带宽参数的合理选择有利于VCO的相位噪声、锁定时间、系统分辨率等多项指标的兼顾。

    环路滤波器设计中需满足的参数指标高、受到的因素多,设计过程中计算公式复杂,难度较大。ADIsim PLL 3.1仿真软件具有强大的模拟仿真功能,可利用其进行模拟仿真设计,快捷方便、准确合理的设计出稳定的环路滤波器,降低设计过程中的计算量,大大提高设计效率因而在锁相环频率合成技术中得到了广泛的应用。

    2 ADIsimPLL 3.1功能介绍

    ADIsimPLL 3.1是一款全面的PLL频率合成器设计和仿真工具,此软件具有性能优良的模拟设计能力,其设计环境是基于ADI系列锁相环芯片而设计的,因此,对ADI的锁相环芯片而言,可以充分利用ADIsim PLL 3.1的强大功能,将环路滤波器设计得尽可能完美,而对具有相似功能的频率合成器PLL芯片而言,可以对模拟仿真结果做一些必要的参数调整和修正,对环路滤波器的设计和性能提高也是很有帮助的。总之,ADIsimPLL 3.1设计仿真软件的应用领域是十分广泛的。

    ADIsimPLL 3.1设计仿真软件的主要特点有:适用频率范围可达6 GHz;具有整数分频和小数分频两种分频模式可供选择;具有多种的环路滤波器电路形式可供选择;参考频率源可根据需求选择应用;包含丰富的可供选择的PLL芯片;可仿真频率合成器输出的相位噪声及杂散指标结果;对频率转换时间可进行模拟输出;按照仿真结果模拟分析出所需电路的相关元器件参数。

    3 环路滤波器的设计应用

    实际工作中拟设计一款频率合成器,其相关技术指标要求包括:频率范围满足600~658 MHz;频率间隔为25 kHz;相位噪声满足-90dBc /Hz@10 kHz和-135 dBc/Hz@1 MHz;频率切换时间不大于2 ms。根据设计要求,参考频率源定为10 MHz温补振荡器,其频率稳定度可达6× 10-7,可满足系统所要求的频率稳定度,锁相环芯片选择ADI公司的ADF4156,该芯片具有高达6 GHz的RF输入频率,可满足输出频率范围要求,另外此芯片具有小数分频功能,可实现25 kHz的频率间隔,由于ADF4156芯片的Vp最大值为5.5 V,压控振荡器的压控灵敏度为15MHz/ V,尽可能低的压控灵敏度有利于输出相位噪声指标的提高。

    对锁相环电路及压控振荡器选定后,下面进入工作重点,即环路滤波器的设计,设计中根据选择的锁相环ADF4156,环路滤波器选三阶的无源滤波器,电路形式如图2所示。

    图2中电容器C1将来自电荷泵(ADF4156的CP脚)的脉冲转化为直流电压,但是根据对开环传递函数分析,它会引起环路的不稳定性,引入了电阻器R1和电容器C2是为了稳定环路,但同时又带来的相应的纹波干扰,电阻器R2和电容器C3能够滤除纹波干扰,同时可以滤除由鉴相频率带来的杂散分量。

    设计中环路带宽的参数确定是非常重要的,从环路噪声带宽来看,BL应该选择最小值,从环路稳定性来看,ξ(阻尼系数)越大环路越稳定。由于设计要求中对频率切换时间的要求为不小于2 ms,在环路带宽的选择上可以进行折衷,从而兼顾噪声抑制、频率切换时间和环路的稳定性。

    根据设计要求在ADIsimPLL 3.1的设计界面中需要进行各项参数的设置,首先选择PLL芯片ADF4156,进行一系列的参数配置:工作频率范围fmin=600 MHz,fmax=658 MHz;鉴相频率选择fPFD=1 MHz;设置MOD值为8,即可实现的频率间隔;设置VP=5.2 V,最高可设置5.5 V;环路滤波器电路格式选择CPP_3C;压控灵敏度KV=15 MHz/V;参考频率的输入为10 MHz(温补晶体振荡器输入);环路带宽BL设置为5 kHz。

    各项参数设置完成后选择“完成”,进行模拟仿真计算,环路滤波器的仿真结果可以清楚地显示出相位噪声曲线、频率切换时间、杂散分布以及环路增益等多项仿真结果,并生成环路滤波器各电阻器和电容器的参数值。最后,可根据工程设计的要求,对相应器件的参数值进行调整,以满足实际应用中工程设计的要求,参数调整过程中,所有仿真结果是可以实时更新的,这样有利于调整过程中对仿真结果的掌握。

    基于以上仿真参数的设置,模拟仿真出的电路原理图如图3所示。

    频率切换时间的仿真结果如图4所示。

    仿真结果显示,频率转换过程中达到下一频点稳定状态的切换时间为1.26 ms,可满足设计要求中频率切换时间不大于2 ms的要求。

    相位噪声的仿真结果如图5所示。

    模拟输出的PLL相位噪声为输出频率在628 MHz(中间频率)频率点上的相位噪声曲线,从图中可看到相位噪声分布:-105 dBc/Hz@10 kHz;1 MHz处可优于-160 dBc/Hz,能满足设计要求。

    根据仿真结果对PCB(印制电路板)中的环路滤波器进行参数配置,经过装配调试,并与控制电路进行联试及指标测试,电路正常工作,达到了设计预期目标,测试结果与仿真结果基本达到一致,满足频率输出范围600~658 MHz,最大频率切换时间可达到1.45 ms(使用仪器为安捷伦公司的信号综合测试仪E5052B),相位噪声测试结果为-103 dBc/Hz@10 kHz,-155 dBc/Hz@1 MHz(使用仪器为PN9000),杂散指标在全频段范围内可达到-75 dBc,频率稳定度可满足要求(温补晶体振荡器指标保证),频率合成器在要求的温度范围(-40~60℃)各项工作性能稳定。

    4 结语

    通过利用ADIsimPLL 3.1模拟仿真软件,进行基于ADF4156频率合成器芯片的环路滤波器的成功设计,由理论设计指导工程实际,提高了工作效率,减轻了设计过程中繁重的计算量,始终能够将设计目的和设计过程有效地结合在一起,有助于简捷快速的设计出符合要求的频率合成器的环路滤波器。举一反三,在设计过程中可广泛的应用模拟仿真软件,进行前期的理论分析指导,对实际的设计工作将有很大的帮助。

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  • 本版本支持更多主流芯片,专业的环路滤波器的设计功能,使用本程序能够帮助你设计出所需要的电路。能够产品开发周期,减少开发风险。新增加支持以下芯片:HMC440, HMC698, HMC699, HMC4069 PLLs支持HMC439 and...
  • 锁相环环路滤波器分析

    千次阅读 多人点赞 2019-04-06 21:33:25
    锁相环环路滤波器分析 环路滤波器决定锁相环特性 一.RC低通 时域分析: Ri(t)+∫i(t)dt/CR_{i}(t)+\int i(t)dt/CRi​(t)+∫i(t)dt/C ∫i(t)dt/C=uo(t)\int i(t)dt/C=u_{o}(t)∫i(t)dt/C=uo​(t) i(t)=Cduo(t)/dti(t)=...

    写在前面的话:本篇文章参考自杜勇工程师的《锁相环技术原理及其FPGA实现》

    锁相环环路滤波器分析

    环路滤波器决定锁相环特性

    一.RC低通滤波器

    在这里插入图片描述
    时域分析:
    R i ( t ) + ∫ i ( t ) d t / C R_{i}(t)+\int i(t)dt/C Ri(t)+i(t)dt/C
    ∫ i ( t ) d t / C = u o ( t ) \int i(t)dt/C=u_{o}(t) i(t)dt/C=uo(t)
    i ( t ) = C d u o ( t ) / d t i(t)=Cdu_{o}(t)/dt i(t)=Cduo(t)/dt
    由拉氏变换得到其复频域分析:
    R I ( s ) + I ( s ) / s C = U i ( s ) RI(s)+I(s)/sC=U_{i}(s) RI(s)+I(s)/sC=Ui(s)
    I ( s ) / s C = U o ( s ) I(s)/sC=U_{o}(s) I(s)/sC=Uo(s)
    传输函数:
    F ( s ) = U o ( s ) U i ( s ) = 1 1 + s R C F(s)=\frac {U_{o}(s)}{U_{i}(s)}=\frac{1}{1+sRC} F(s)=Ui(s)Uo(s)=1+sRC1
    j w jw jw代替 s s s,得到 R C RC RC低通滤波器的频率传输函数:
    F ( j w ) = 1 1 + j w R C F(jw)=\frac{1}{1+jwRC} F(jw)=1+jwRC1
    τ = R C \tau=RC τ=RC,为滤波器的时间常数,得到传输函数为:
    F ( j w ) = 1 1 + j w τ F(jw)=\frac{1}{1+jw\tau} F(jw)=1+jwτ1
    幅频和相频响应:
    ∣ F ( j w ) ∣ = 1 1 + w 2 τ 2 |F(jw)|=\frac{1}{\sqrt{1+w^2\tau^2}} F(jw)=1+w2τ2 1
    θ ( w ) = − a r c t a n ( w τ ) \theta(w)=-arctan(w\tau) θ(w)=arctan(wτ)
    m a t l a b matlab matlab仿真得到其幅频特性如下所示:

    在这里插入图片描述
     RC滤波器的幅频响应呈现明显的低通特性。当 w = 1 τ = 1 R C w=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{RC} w=τ1=RC1时,振幅为 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 1,此时频率的大小称为半功率带宽或者3 d b db db带宽。有的书将此频率称截止频率,一般来讲,在低通滤波器设计中,将需要几乎完全抑制的高频频率(此时的功率衰减远大于3dB,如30dB或更大)才称为截止频率,
     从相频曲线中可以看出,RC低通滤波器的相位呈现明显的滞后特性,且随着频率的增加滞后越多,在3 dB带宽处相位滞后45°,在频率高端相位滞后无限地接近90°。

    二. 二阶环路的传输函数

     得到RC低通滤波器的传输函数后,将其带入锁相环的传输函数中,得到最简单的二阶锁相环路传输模型。


    在这里插入图片描述
     上述的第三个式子就是一个标准的二阶线性电路传输模型,只有两个极点,分子是一个常数,其线性微分方程也一定是二阶的。利用典型二阶线性电路的理论,即令
    w n = K τ w_{n}=\sqrt{\frac{K}{\tau}} wn=τK
    ζ = 1 2 1 K τ \zeta=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{K\tau}} ζ=21Kτ1
    将其带入到上述第三个式子中,得到


    在这里插入图片描述

    三.回顾二阶线性电路

    最基本的二阶线性电路如下图所示:


    在这里插入图片描述
     与RC低通滤波器相比,仅增加了一个电感元器件。我们知道,电感和电容都是储能元件,因此电路方程中存在微分、积分算子。
     这里我们将所有元器件均用阻抗形式表示,电阻R的阻抗形式就是 R R R;电容的阻抗形式为 1 ( j ω C ) \frac{1}{(jωC)} (jωC)1;电感的阻抗形式为 j ω L jωL jωL。则输出电压 u o ( t ) u_{o}(t) uo(t) u i ( t ) u_{i}(t) ui(t)之间的频率传输关系为

    在这里插入图片描述
    F ( s ) = 1 1 + s R C + s 2 L C F(s)=\frac{1}{1+sRC+s^2LC} F(s)=1+sRC+s2LC1

     虽然二阶线性电路有电阻、电容、电感三个不同的元器件,但由式(6-13)可知, R L C RLC RLC电路的实际参数只有两个: R C RC RC L C LC LC。在二阶线性电路中,最常用的参数不是 R 、 L 、 C R、L、C RLC,而是无阻尼振荡频率(也称为固有振荡频率或固有频率) ω n ω_{n} ωn和阻尼系数 ξ ξ ξ,令
    w n = K τ w_{n}=\sqrt{\frac{K}{\tau}} wn=τK
    ζ = 1 2 1 K τ \zeta=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{K\tau}} ζ=21Kτ1
     将这两个式子带入上面推导得到的式子中,可得到二阶线性电路的传输函数为


    在这里插入图片描述
     这个式子前面推导得到的锁相环传输函数完全一样!
     因此,对于 R C RC RC低通滤波器为环路滤波器的二阶锁相环来讲,其传输函数与二阶线性电路的传输函数完全相同。既然传输函数完全相同,两者自然具有很多相同的性质,而“电路分析”课程中学过的二阶线性电路的分析结果,对于二阶锁相环就具有很强的参考价值,部分结果甚至可以直接使用。
     需要说明的是,虽然两者的传输函数完全相同,但所讨论的信号形式及物理意义却完全不同。也正是因为线性电路与锁相环的具体应用环境的差异,尤其是锁相环讨论相位变量的特殊性,才导致锁相环的分析更为复杂,当然也更加有趣。接下来我们先讨论一下固有频率 ω n ω_{n} ωn和阻尼系数 ξ ξ ξ这两个参数的物理意义。需要声明的是,虽然这两个参数只在二阶线性电路(如 R L C RLC RLC电路)中有确切的物理意义,在锁相环路中并没有确切的物理意义,但在设计锁相环路参数时, ω n ω_{n} ωn ξ ξ ξ却是广泛使用的参数设计依据,环路的其他相关参数都由 ω n ω_{n} ωn ξ ξ ξ来统一表示。
     接下来讨论 ω n ω_{n} ωn ξ ξ ξ
     设输入信号为单位阶跃信号,即 U i ( t ) = u ( t ) U_{i}(t)=u(t) Ui(t)=u(t),其拉式变换为 U i ( s ) = 1 s U_{i}(s)=\frac{1}{s} Ui(s)=s1,则输出信号的拉式变换为:
    U o = U i ( s ) H ( s ) = w n 2 s 3 + 2 ξ w n s 2 + w n 2 s U_{o}=U_{i}(s)H(s)=\frac{w_{n}^2}{s^3+2ξw_{n}s^2+w_{n}^2s} Uo=Ui(s)H(s)=s3+2ξwns2+wn2swn2
    《锁相技术》一书中已经给出了各种二阶环的响应输出:

    在这里插入图片描述
    w n w_{n} wn ξ = 0 ξ=0 ξ=0时的振荡频率。顾名思义, ξ ξ ξ为阻尼系数,其与电路中的唯一耗能元件——电阻有关。
    接下来将采用仿真的方法对二阶线性电路的信号响应进行研究:
      仿真软件:SystemView
    首先建立二阶线性电路模型,设置 w n = 3.5 k w_{n}=3.5k wn=3.5k,选择电感的标称值 L = 820 μ H L=820\mu H L=820μH,选择电容的标称值 C = 100 μ F C=100\mu F C=100μF,接下来需要确定电阻的值。这里选择 R = 20 Ω R=20\Omega R=20Ω,则对应得到的 ξ = 3.8 ξ=3.8 ξ=3.8
     最终搭建的电路如图所示:

    在这里插入图片描述
    图中,并联了一个大电阻,以使其近似成开路状态,但与理想的开路状态还是有一定的差别。不过,在接下来的仿真中可以看出,这种近似模型用来对电路单位阶跃输入响应进行趋势分析已经足够了。
    设定系统采样频率为 1 M h z 1Mhz 1Mhz运行数据为 1000 1000 1000,分别设置不同的电阻值,运行仿真得到不同的的阻尼系数情况下的单位阶跃响应,运行结果如下所示:


    ξ = 3.8 ξ=3.8 ξ=3.8

    在这里插入图片描述

    ξ = 1.9 ξ=1.9 ξ=1.9

    在这里插入图片描述

    ξ = 0.38 ξ=0.38 ξ=0.38


    在这里插入图片描述

    ξ = 0.19 ξ=0.19 ξ=0.19

     由仿真分析可以知道输出的响应曲线形状与电路的阻尼系数相关。
    (1)当 ξ < 1 ξ<1 ξ1时,响应为衰减振荡,存在过冲现象,系统称为欠阻尼系统。
    (2)当 ξ > 1 ξ>1 ξ1时,响应为单调上升的曲线,是非振荡的,系统称为过阻尼系统。
    (3)当 ξ = 1 ξ=1 ξ=1时,响应是上述两者之间的临界状态,这种系统称为临界阻尼系统,系统的响应没有过冲现象。

    四.RC滤波器二阶环的仿真

    第1步:构建二阶锁相环 S y s t e m V i e w SystemView SystemView系统模型
    具体来说,就是在一阶锁相环的基础上,将单位增益模块更改为RC低通滤波器模块。

    在这里插入图片描述

    R C RC RC二阶环的 S y s t e m V i e w System View SystemView模型


    具体参数如下:

    • 输入信号为400 Hz的正弦信号;初始相差为90°;

    • 鉴相器中的低通滤波器截止频率为600 Hz;

    • 由于信源输入信号幅度与VCO输出的信号幅度均为1,

    • VCO控制灵敏度为100 Hz/V,因此整个二阶环路的增益K=50 Hz/V

      计算元件值:
        根据前面对二阶线性电路的分析,本实例,我们确定阻尼系数ξ=0.707。


    在这里插入图片描述

    在RC电路中, τ = R C τ=RC τ=RC,分别求得电阻和电容的标称值: R = 1 k Ω , C = 10 μ F R=1 kΩ,C=10 μF R=1kΩC=10μF

    接下是锁定状态和阻尼系数的关系。
    分析过程就不写了,直接上结论:

    • 经过环路滤波器处理后的信号,相比鉴相器输出信号而言,纹波幅度明显减小,也就是说滤除了大部分交流分量,使得VCO输出的信号具有更小的寄生频率分量,有效提高了VCO输出的信号质量。

    在这里插入图片描述

    • 与一阶环相比,二阶环的锁定范围变窄了。
    • 阻尼系数越大,环路锁定的越快。
    • 如果在不同的阻尼系数条件下测试环路捕获带宽,也会发现一个明显的趋势:随着阻尼系数ξ的增大,环路捕获带宽越大(最大不超过环路增益)。

    五.反馈环路的稳定性分析

      根据“信号与系统”的基本知识,可以根据系统函数的极点来判断系统的稳定性。即,如果系统函数 H ( s ) H(s) H(s)的极点全部位于左半平面,则系统稳定;否则系统不稳定。
     前面推导得到了RC低通滤波二阶环的系统函数,求函数的极点,先对函数进行变换:

    s 2 + 2 ξ w n + w n 2 = ( s + ξ w n ) 2 + w n 2 ( 1 − ξ 2 ) s^2+2ξw_{n}+w_{n}^2=(s+ξw_{n})^2+w_{n}^2(1-ξ^2) s2+2ξwn+wn2=(s+ξwn)2+wn2(1ξ2)

    显然,由于 ξ ω n > 0 ξωn>0 ξωn0,因此极点一定位于左半平面。也就是说,对于 R C RC RC滤波器二阶环来讲,系统是无条件稳定的。
     既然如此,根据前面的仿真分析,为什么当阻尼系数较小时,锁相环路可能无法锁定,出现振荡呢?所谓系统稳定,是指当输入有界时,输出也有界。再查看一下前面的仿真实例,即使锁相环路不稳定(当初始频差超过捕获带时),但输出的信号波形依然是有界的,因此,锁相环其实仍然是处于稳定的工作状态。只是这种稳定的工作状态,不是我们希望的相位锁定状态而已。
     RC滤波器二阶锁相环路是一个无条件稳定的系统,但要实现相位的稳定跟踪,需要满足更严格的条件,即反馈环路的稳定条件。
     下面讨论频率特性和环路稳定性的关系。
    R C RC RC低通滤波器3 d B dB dB截止频率为 w c ( w c = 1 τ = 4 K ξ 2 ) w_{c}(w_{c}=\frac{1}{\tau}=4Kξ^2) wc(wc=τ1=4Kξ2)时,传输函数的频率响应曲线,使用 m a t l a b matlab matlab w c w_{c} wc的情况进行分析


    在这里插入图片描述
    K = 50 H z K=50Hz K=50Hz)
     从图可以看出,当 w c w_{c} wc较小时( ξ ξ ξ较小),系统幅频响应的增益开始出现峰值,且 w c w_{c} wc越小( ξ ξ ξ越小),增益的峰值越大。系统幅频响应的增益出现的峰值越大,表示环路的稳定性越差。
     对于 R C RC RC滤波器来讲,为了提高环路的稳定性,就必须提高 w c w_{c} wc的频率,即增加锁相环中的环路滤波器通带带宽,降低对 V C O VCO VCO输入信号中的纹波成分滤除能力,由于 V C O VCO VCO输出信号的寄生频率成分增加,不能得到高纯正度的输出信号。

    ξ ξ ξ越大( w c w_{c} wc越大) V C O VCO VCO输入信号的纹波越大。
     在提高环路稳定性,与提高 V C O VCO VCO输出信号的纯正度之间难以兼顾,是RC低通滤波器作为环路滤波器的二阶锁相环路在实际工程中应用较少的原因之一。
     根据前面的分析,由于系统幅频响应的增益出现峰值,导致环路稳定性降低。为什么会出现增益峰值呢?,这是由于RC低通滤波器是一种相位滞后的滤波器,不利于提高反馈环路的稳定性。相位滞后的滤波器为什么不利于反馈环路的稳定?这是我们接下来要讨论的内容:根据系统函数的幅频响应和相频响应特性,判断反馈环路是否稳定的分析方法——伯德图分析方法

     伯德图是一对表示开环传递函数 H o ( j ω ) H_{o}(jω) Ho(jω)的极坐标元素与角频率ω之间关系的曲线。习惯上,表示频率的水平轴用对数比例尺,表示幅度 | H o ( j ω ) | |H_{o}(jω)| Ho(jω)的纵坐标以dB为单位,角度 a r g [ H o ( j ω ) ] arg[H_{o}(jω)] arg[Ho(jω)]用线性坐标上的度表示(即为RC滤波器二阶环路闭环传递函数的伯德图)。
    a.伯德准则
    伯德准则是利用开环频率响应的伯德图来判断闭环的稳定性。一个反馈环路(包括锁相环路),如果增益在穿越0 d B dB dB ( 此 时 的 ω = Ω T ) (此时的ω=Ω_{T}) ω=ΩT,其相位滞后小于 180 180 180°,那么这个反馈环路就是稳定的(锁相环路能够实现稳定跟踪)。这个判据在满足下列条件时成立。
    (1)开环传递函数的幅度曲线仅在一个频率上穿越0 d B dB dB
    (2)开环传递函数是稳定的(所有极点均位于左半平面)。
    由于绝大多数锁相环路都满足这些条件,所以这些限制条件对于伯德图的使用几乎没有任何限制。
    b.相位裕度与增益裕度
     以弧度为单位的相位裕度定义为 γ = a r g [ H o ( j Ω T ) ] + π γ=arg[H_{o}(jΩ_{T})]+π γ=arg[Ho(jΩT)]+π,其物理含义表示开环相移还可以增加 γ γ γ度,系统才为临界稳定状态。一个锁相环路,如果它的相位裕度是正的,则是稳定的;如果相位裕度是负的,则是不稳定的。
     增益裕度被定义为 K g = − 20 l o g | H o ( j Ω k ) | d B K_{g}=-20log|H_{o}(jΩ_{k})|dB Kg=20logHo(jΩk)dB其中相位穿越频率 Ω k Ω_{k} Ωk被定义为 a r g [ H o ( j Ω k ) ] = − π arg[H_{o}(jΩ_{k})]=-π arg[Ho(jΩk)]=π。需要说明的是,这个增益裕度的定义仅适用于绝对稳定的反馈回路(所谓绝对稳定,是指一个环路对所有 K > 0 时 K>0时 K0,环路都是稳定的),并不适用于条件稳定的环路。因此,对于大多数锁相环路来讲,相位裕度成为了一个比增益裕度更有用的工具。
     在环路的实际应用中,不但要求稳定,而且还要求有一定的稳定余量。相位余量和增益余量反映了系统的稳定程度,其值越大,稳定性越好。工程上为确保环路稳定,通常要求增益裕度Kg≥6 dB,相位裕度γ=30°~60°。稳定系统及不稳定系统的开环伯德图如下所示。


    在这里插入图片描述

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     下面使用伯德图来分析 R C RC RC二阶环路的稳定性:
      根据前面的介绍,伯德图分析的是锁相环路的开环传递函数,对于RC滤波器二阶环来讲,需要根据前面推导出来的公式进行分析,使用的matlab代码如下:
       

    %PLL_RC.m
    clc;
    K=50;  %环路总增益
    
    fc=100;
    g=tf([K*fc],[1 fc 0]);%g=tf([K*fc],[1 fc K*fc]);
    bode(g);
    hold on;
    
    fc=10;
    g=tf([K*fc],[1 fc 0]);%g=tf([K*fc],[1 fc K*fc]);
    bode(g);
    hold on;
    
    fc=1;
    g=tf([K*fc],[1 fc 0]);%g=tf([K*fc],[1 fc K*fc]);
    bode(g);
    hold on;
    
    fc=0.1;
    g=tf([K*fc],[1 fc 0]);%g=tf([K*fc],[1 fc K*fc]);
    bode(g);
    hold on;
    %grid on;
    

      截止频率 f c f_{c} fc(相当于不同 ξ ξ ξ)情况下的伯德图如下图所示。由图可知当 f c f_{c} fc=100( ξ ξ ξ=0.707)时相位裕度 γ = 68 ° γ=68° γ=68°;当 f c = 10 f_{c}=10 fc=10 ξ = 0.2236 ξ=0.2236 ξ=0.2236)时相位裕度 γ = 27 ° γ=27° γ=27°;当 f c = 1 ( ξ = 0.0707 ) f_{c}=1(ξ=0.0707) fc=1ξ=0.0707时相位裕度 γ = 8 ° γ=8° γ=8°;当 f c f_{c} fc=0.1 ( ξ = 0.0224 ) (ξ=0.0224) ξ=0.0224时相位裕度γ=3°。也就是说,阻尼系数越小,环路的相位裕度越小,环路的稳定性越差。


    在这里插入图片描述

     从上图可以看出, R C RC RC滤波器二阶环路的相位滞后永远不会超过 180 ° 180° 180°,也就是说,从理论上讲,这个环路也是可以无条件实现相位跟踪的。
    但是,前面说过,工程上为确保环路稳定,通常需要其相位裕度大于 30 ° 30° 30°
      为什么一定要求有相位裕量?当相位裕量较小时,什么原因能够导致环路失锁呢?下图列出了一些常见的噪声。


    在这里插入图片描述

      噪声与干扰作用于环路,会增加捕获的困难,降低跟踪性能,使输出的相位做随机的抖动。较强的干扰与噪声,将使环路发生跳周,失锁的可能性增大。这也是工程设计时,通常会要求环路有一定的相位余量的原因。我们知道,实际电子系统中,噪声是无法避免的。从一定程度上讲,电子系统设计的主要出发点,一方面是完成系统的功能,另一方面是如何对抗系统中的噪声及干扰。有关锁相环在噪声条件下的跟踪捕获性能将在后面详细讨论。 下面来研究一下二阶环路的相位滞后是如何产生的
     锁相环的核心部件是鉴相器、环路滤波器和压控振荡器。根据前面的分析,对于正弦鉴相特性的鉴相器而言,环路在锁定状态附近时,环路可以很好地近似为线性鉴相特性,因此鉴相器可以简单地近似为一个增益常数。显然,鉴相器对于任何频率的信号,其响应都是乘以一个常数。当增益常数 K d K_{d} Kd大于零时,对任何频率信号的相位响应都为零,也就是没有任何相移。当 K d < 0 K_{d}<0 Kd0时,对任何频率信号的相位响应,应该是 π 或 − π π或-π ππ。这似乎呈现出一点问题:根据伯德准则,当开环增益下降到 0 d B 0 dB 0dB时,相移滞后超过 π π π,就会导致环路不稳定。当 K d < 0 K_{d}<0 Kd0时该如何处理呢?
      这里再回顾一下已形成的结论:可以理解为这个负号被环路中某处的另一个负号所抵消,并由此实现总环路的负反馈,这对于反馈环路的稳定工作是必需的。也就是说,对于设计者来讲,根本不需要考虑增益的正负问题,无论增益的正负,鉴相器的相位响应都是零。
      鉴相器不会产生任何相位滞后。压控振荡器是一个固有积分环节,其传递函数为 N ( s ) = K 0 / s N(s)=K_{0}/s N(s)=K0/s,其频率响应函数为:

    N ( j w ) = K o j w = K o w e − j 2 π N(jw)=\frac{K_{o}}{jw}=\frac{K_{o}}{w}e^{-j 2 \pi} N(jw)=jwKo=wKoej2π

     考察一下 V C O VCO VCO的频率响应,对于幅频响应而言,增益随着频率的增加而线性降低。由于频率响应没有实部,且虚部为负值,大家想象一下复数在复平面上的坐标位置,对于任何频率来讲,相位都是 − π 2 -\frac{\pi}{2} 2π,也就是说, V C O VCO VCO对于任何频率信号来讲,都会产生 90 ° 90° 90°的相位滞后。举例来讲,如果输入信号为sin(ωt+θ),则经过 V C O VCO VCO后,变为 A w s i n ( w t + θ − π 2 ) \frac{A}{w}sin(wt+\theta-\frac{\pi}{2}) wAsin(wt+θ2π)。由于只有积分器才具有类似的传递函数形式,因此相移为固定的90°滞后,这是积分器才具有的特性。
      由于VCO是锁相环中的必备环节,且产生固定的90°相移。因此,锁相环路的稳定性其实决定于环路滤波器的特性。
       R C RC RC滤波器频率响应曲线(见图6-2),RC滤波器相频曲线中,随着频率的增加,相位滞后逐渐趋近于90°。因此,整个RC滤波器二阶环路的开环响应,随着频率的增加,逐渐趋近于180°。
      在讨论性能更优良的环路滤波器之前,我们利用伯德准则,分析一下鉴相滤波器的截止频率。前面分析锁相环路的频率响应时,将鉴相器近似为常系数增益系统,因此鉴相器被看成相移响应为零的系统。根据第3章的分析,鉴相器为了滤除高频分量,必须设计一个低通滤波器,且低通滤波器的截止频率与环路的稳定性和捕获带有关
      既然鉴相器中存在低通滤波器,因此,为精确分析锁相环路频率响应,理应根据伯德准则考虑这个低通滤波器的特性与环路稳定性关系。
      对于鉴相器来讲,低通滤波器的功能仅需要完成高频分量的滤波即可,因此工程师理论上可以选择各种合适的滤波器结构。前面的所有实例中,在 S y s t e m V i e w SystemView SystemView模型中,均选择的是模拟 C h e b y s h e v Chebyshev Chebyshev型低通滤波器。 S y s t e m V i e w SystemView SystemView软件中提供了查看设计滤波器的伯德图功能,使用起来十分方便。

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    鉴 相 滤 波 器 伯 德 图 ( 600 H z ) 鉴相滤波器伯德图(600 Hz) 600Hz

    在这里插入图片描述
    鉴 相 滤 波 器 伯 德 图 ( 200 H z ) 鉴相滤波器伯德图(200 Hz) 200Hz

      由鉴相低通滤波器的伯德图可知,滤波器的相位滞后特性与RC低通滤波器类似,随着频率的增加,相位滞后越多,但相位滞后最大可达360°。对比上面两个图可知,滤波器的截止频率越低,则相位快速滞后的频率也越低。由于二阶锁相环路也是一个低通滤波器,根据前面对环路伯德图的分析,鉴相滤波器的频率响应也考虑进去,显然滤波器的带宽越大越好。这样,在环路增益穿越0 dB时,鉴相滤波器引起的相位滞后较小,不影响整个环路的分析。
      例如,RC滤波器二阶环路中,设计 ξ = 0.2236 ξ=0.2236 ξ=0.2236,根据上面的图片可知,当环路增益穿越 0 d B 0 dB 0dB时,频率为 12.315 H z 12.315 Hz 12.315Hz,再根据上面的图,读出此频率时的滤波器增益为 0 d B 0 dB 0dB,相位接近于 − 3 ° -3° 3°,几乎可以忽略鉴相滤波器对环路稳定性的影响。如果将鉴相滤波器截止频率设计为 200 H z 200 Hz 200Hz,则根据图6-27,读出此频率时的滤波器增益为 0 d B 0 dB 0dB,相位接近于 − 10 ° -10° 10°,也就是说会使整个锁相环路的相位裕量减小 10 ° 10° 10°
      锁相环路中,由于环路滤波器的带宽通常远低于鉴相滤波器带宽,因此鉴相滤波器的相位滞后特性对整个环路的影响可以忽略不计。
      

    六. 无源比例积分滤波器

    频率特性
      前面讲到,由于 R C RC RC滤波器是具有相位滞后的滤波器,不利于提高环路的相位裕度,也就不利于提高环路的稳定性。接下来介绍一种对 R C RC RC滤波器稍做改进的滤波器——无源比例积分滤波器。
     与 R C RC RC低通滤波器相比,无源比例积分滤波器仅增加了一个电阻元器件。采用前面的分析方法,很容易得出输出电压 u o ( t ) u_{o(t)} uo(t)与输入电压 u i ( t ) u_{i(t)} ui(t)之间的频率传输关系为:


    在这里插入图片描述

     式中, τ 1 = ( R 1 + R 2 ) C τ_{1}=(R_{1}+R_{2})C τ1=(R1+R2)C τ 2 = R 2 C τ_{2}=R_{2}C τ2=R2C。当频率 ω → ∞ ω→∞ ω时,上式变为

    F ( j w ) ∣ w → ∞ = R 2 R 1 + R 2 F(jw)|_{w→∞}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} F(jw)w=R1+R2R2


    在这里插入图片描述

     也就是说上图所示的电路中,当频率很高时,近似为电阻的分压比,这就是滤波器的比例作用。根据频率传输关系与拉氏变换的关系,可得电路的传输关系为:


    在这里插入图片描述

     虽然无源比例积分滤波器电路中有 2 2 2个电阻和 1 1 1个电容,但由上式可知,电路的实际参数只有两个: τ 1 τ_{1} τ1 τ 2 τ_{2} τ2
     对比一下 R C RC RC滤波器与无源比例积分滤波器的频率传递函数,可以看出:无源比例积分滤波器增加了一个乘法因子 1 + j ω τ 2 1+jωτ_{2} 1+jωτ2。对这个乘法因子进行简单变换得到:
    1 + j w τ 2 = 1 + w 2 τ 2 a r c t a n ( w τ 2 ) 1+jw\tau_{2}=\sqrt{1+w^2\tau^2}arctan(w\tau_{2}) 1+jwτ2=1+w2τ2 arctan(wτ2)。由于 ω τ 2 > 0 ωτ_{2}>0 ωτ20,因此这个因子的相位一定是大于零的,这个因子是一个相位超前因子。也就是说,相对于RC低通滤波器来讲,无源比例积分滤波器的相位滞后特性有所改善。使用 m a t l a b matlab matlab绘制无源比例积分滤波器的幅频响应和相频响应曲线,如下图所示:


    在这里插入图片描述

     从图中可以看出,最大相位滞后小于 90 ° 90° 90°,且在高频段,由于滤波器超前相位因子的作用,相位滞后越来越小,当频率趋于无限大时,相位滞后为零,即不存在相位滞后特性。
    环路的传递函数
     获得了由无源比例积分滤波器的传输函数后,连同 V C O VCO VCO的传输模型一并代入锁相环传输模型中,且令 K = K 0 K d K=K_{0}K_{d} K=K0Kd为环路增益,得到二阶锁相环路传输模型。

    在这里插入图片描述

     由于二阶环路通常采用来表示 ω n , ξ ω_{n},ξ ωnξ我们再将式 ( 6 − 27 ) (6-27) 627变换一下,令 


    在这里插入图片描述

     最终得到的闭环传输函数为: 


    在这里插入图片描述

     观察上式,我们可以知道,相对于 R C RC RC滤波器二阶环路来讲,无源比例积分滤波器传输函数的分母项完全相同,分子项增加了一个零点,正是这个零点改善了环路的稳定性。
    环路稳定性分析及参数设计
     在前面分析过 R C RC RC滤波器二阶环路时讲到,由于在提高环路稳定性与提高 V C O VCO VCO输出信号的纯正度之间难以兼顾,是工程上较少使用 R C RC RC滤波器的原因之一。根据推导的式子,对于环路增益为 K K K二阶环路来讲, ω n ωn ωn ξ ξ ξ的关系也就完全确定了,也就是说无法通过修改滤波器参数来独立对 ω n ωn ωn ξ ξ ξ进行设计,因此难以在工程上兼顾稳定性和输出信号质量。
      对于无源比例积分滤波器来讲,情况有所改善,根据前面的式子,我们可以通过设置不同的 τ 1 τ_{1} τ1 τ 2 τ_{2} τ2值来实现独立设计 ω n ω_{n} ωn ξ ξ ξ的目的,因此可以根据工程需要,使环路具有优良稳定性的同时,保证 V C O VCO VCO输出信号的纯正度。

     设计由无源比例积分滤波器作为环路滤波器的二阶环参数
      锁相环路 V C O VCO VCO输出信号的纯正度由环路滤波器带宽决定,带宽越窄,滤波器对纹波滤除效果越好,输出信号质量越好。根据前面的分析, R C RC RC滤波器二阶环路中,当 f c = 10 H z f_{c}=10 Hz fc=10Hz时, ξ = 0.2236 ξ=0.2236 ξ=0.2236,相位裕度 γ = 27 γ=27 γ=27°,虽然保证了VCO输出信号的质量,但相位裕度仍不够大,环路抗干扰能力很差,捕获带宽为 388 ~ 411 H z 388~411 Hz 388411Hz。现在我们利用无源比例积分滤波器来设计,并且希望环路滤波器带宽仍然保持 f c = 10 H f_{c}=10 H fc=10Hz时,阻尼系数 0.5 < ξ < 0.8 0.5<ξ<0.8 0.5ξ0.8,相位裕度能够有所增加。
     为了满足设计需求,首先我们采用MATLAB绘出不同截止频率情况下,以滤波器时间常数 τ 2 τ_{2} τ2为自变量的阻尼系数变化曲线。
     根据无源比例积分滤波器的传输函数,容易得出滤波器 3 d B 3dB 3dB截止频率与时间常数的关系:

    f c = 1 τ 1 2 − 2 τ 2 2 f_{c}=\sqrt\frac{1}{\tau_{1}^2-2\tau_{2}^2} fc=τ122τ221


    在这里插入图片描述

      由上图可知,随着时间常数的增大,阻尼系数单调增加;对于相同的时间常数,截止频率越大,则阻尼系数越大。当截止频率固定时,我们可以通过调整时间常数的大小,获取不同的环路阻尼系数。根据设计需求,保持 f c f_{c} fc= 10 H z 10 Hz 10Hz时,阻尼系数 0.5 < ξ < 0.8 0.5<ξ<0.8 0.5ξ0.8。从图中可以看出,当 τ 2 = 0.05 τ_{2}=0.05 τ2=0.05 τ 1 = 0.1225 τ_{1}=0.1225 τ1=0.1225时, ξ = 0.707 ξ=0.707 ξ=0.707;当 τ 2 = 0.026 , τ 1 = 0.1065 τ_{2}=0.026,τ_{1}=0.1065 τ2=0.026τ1=0.1065时, ξ = 0.5 ξ=0.5 ξ=0.5
     获取到时间常数及阻尼系数的值后,根据开环传递函数就可以绘制出环路的伯德图,如下图所示:
      

    在这里插入图片描述

      从上图可以读出,当 ξ = 0.5 ξ=0.5 ξ=0.5时,相位裕度 γ = 50 ° γ=50° γ=50°;当 ξ = 0.707 ξ=0.707 ξ=0.707时,相位裕度 γ = 70 ° γ=70° γ=70°,环路可以稳定地工作,具有较强的抗干扰性能。从仿真结果还可以看出, ξ ξ ξ越小,相位裕度越小,这一趋势与 R C RC RC滤波器二阶环相同。

    环路的 S y s t e m V i e w SystemView SystemView仿真
    SystemView仿真无源比例积分滤波器二阶环
     无源比例积分滤波器的 S y s t e m V i e w SystemView SystemView模型仍采用前面所示的模型:
     可以得出下面的结论:
    (1)环路滤波器输出信号与鉴相器输出的信号相比,信号纹波明显减小。
    (2)当输入频差为零时,环路很快锁定,且稳态相差为零。
    (3)当输出频差不为零时,频差越大,锁定时间越长,且环路锁定后稳态相差越大(读者可以修改模型中输入信号频率参数,运行仿真,查看仿真波形)。
    (4)在 f c = 10 H z 、 ξ = 0.707 f_{c}=10 Hz、ξ=0.707 fc=10Hzξ=0.707的情况下,环路捕获范围为 362 ~ 438 H z 362~438 Hz 362438Hz,比 R C RC RC滤波器二阶环路的捕获带明显加大,也就是说在相同环路滤波器截止频率的情况下,无源比例积分滤波器具有更稳定的性能。

    七.有源比例积分滤波器

    频率特性
    \quad 前面讲到无源比例积分滤波器具有比 R C RC RC滤波器更优异的性能,与“无源”对应的当然是“有源”。通过仿真,我们知道, R C RC RC滤波器和无源比例积分滤波器的二阶环路都有一个无法克服的问题:在本地振荡频率与输入信号存在频差的情况下,稳态相差不为零
    \quad 接下来介绍的有源比例积分滤波器不仅具有良好的稳定性,且可以在输入存在频差的情况下实现稳态相差为零。这似乎有点颠覆的意味?根据前面介绍的锁相环工作原理,如果稳态相差为零,则VCO就没有输出电压,就无法有效调整VCO输出信号的频率及相位。解开这些迷团正是我们要讨论和学习的重要内容。
    \quad 有源比例积分滤波器电路如下图所示。我们仍然可以将电阻电容用阻抗及容抗的形式表示,然后计算输入电压与输出电压的比值。


    在这里插入图片描述
    \quad 计算运放电路的基本思路是虚短和虚断的概念。所谓虚短,就是指运放两个输入端的电压可以看作短路状态,两个输入端电压相等,即 u a ( t ) = 0 u_{a}(t)=0 ua(t)=0;所谓虚断,是指输入端输入至运放的电流为零,是断开的。由此,很容易得到滤波器的传输函数:

    在这里插入图片描述
    式中, τ 2 = R 2 C , τ 1 = ( R 1 + A R 1 + R 2 ) C , A τ_{2}=R_{2}C,τ_{1}=(R_{1}+AR_{1}+R_{2})C,A τ2=R2Cτ1=(R1+AR1+R2)CA为运算放大器无反馈时的电压增益。若运算放大器增益 A A A很高,则

    在这里插入图片描述

    \quad 上式中的负号表示滤波器输出和输入电压之间的相位相反。
    \quad 从上式可以得到一个有意思的结果,分子中只有一个积分因子。这个积分因子会造成固定的90°相位滞后。分母是一个相位超前因子,且随着频率的增加,相位超前越多,且不会超过90°。后续我们会看到,正因为分子中的积分因子,使得这种滤波器具有近乎理想的性能。显然,A越大,有源比例积分滤波器就越接近于理想积分滤波器,由这种滤波器构成的锁相环称为理想二阶环。
    \quad 为便于讨论,重新令 τ 1 = R 1 C τ_1=R_1C τ1=R1C,则环路滤波器的传输函数为

    在这里插入图片描述
    \quad 下图为用matlab绘制的的有源比例积分滤波器的伯德图。


    在这里插入图片描述

    \quad 从上图可以看出,有源比例积分滤波器的相位滞后在零频时为90°,随着频率的增加,相位滞后量逐渐减小。

    环路的传输函数
    \quad 获得了有源比例积分滤波器的传输函数后,连同 V C O VCO VCO的传输模型一并代入环路的的传输函数中,且令 K = K 0 K d K=K_0K_d K=K0Kd为环路增益,得到理想二阶锁相环路传输模型。

    在这里插入图片描述
    \quad 由于二阶环路通常采用来表示 ω n ω_n ωn ξ ξ ξ我们再将式变换一下,令

    在这里插入图片描述

    将这个式子带入到传输函数中,可得


    在这里插入图片描述

    \quad 观察这个式子,相对于RC滤波器二阶环路来讲,理想二阶环传输函数的分母项完全相同,分子项增加了一个零点,正是这个零点改善了环路的稳定性能。
    环路稳定性分析及参数设计
    \quad 与前面的分析类似,我们仍然从环路滤波器的 3 d B 3dB 3dB截止带宽出发,通过MATLAB绘图等方式设计有源比例积分滤波器的参数,要求环路滤波器带宽仍然保持 f c f_c fc= 10 H z 10 Hz 10Hz时,阻尼系数 0.5 < ξ < 0.8 0.5<ξ<0.8 0.5ξ0.8,相位裕度能够有所增加。
    \quad 为了满足设计需求,首先我们采用 M A T L A B MATLAB MATLAB绘出不同截止频率情况下,以滤波器时常数 τ 2 τ_2 τ2为自变量的阻尼系数变化曲线。
    \quad 根据有源比例积分滤波器的传输函数,容易得出滤波器 3 d B 3 dB 3dB截止频率与时间常数的关系

    f c = 2 τ 1 2 − 2 τ 2 2 f_c=\sqrt\frac{2}{\tau_1^2-2\tau_2^2} fc=τ122τ222

    \quad 可以得出的结论是,随着时间常数的增大,阻尼系数单调增加;对于相同的时间常数,截止频率越大,则阻尼系数越大。当截止频率固定时,我们可以通过调整时常数的大小,获取不同的环路阻尼系数。根据设计需求,保持 f c = 10 H z f_c=10 Hz fc=10Hz时,阻尼系数 0.5 < ξ < 0.8 0.5<ξ<0.8 0.5ξ0.8。从图中可以看出,当 τ 2 = 0.0865 τ_2=0.0865 τ2=0.0865 τ 1 = 0.1870 时 , ξ = 0.7 τ_1=0.1870时,ξ=0.7 τ1=0.1870ξ=0.7。当 ξ = 0.7 ξ=0.7 ξ=0.7时,相位裕度 γ = 65 ° γ=65° γ=65°,环路可以稳定地工作,具有较强的抗干扰性能。从仿真结果还可以看出, ξ ξ ξ越小,相位裕度越小,这一趋势与 R C RC RC滤波器及无源比例积分滤波器二阶环相同。
    环路的SystemView仿真
    SystemView仿真理想二阶环的工作过程
    \quad 第1步:构建理想二阶锁相环 S y s t e m V i e w SystemView SystemView系统模型,与由无源比例积分滤波器构成的二阶锁相环相比,理想二阶环模型的差异仍然在于环路滤波器模块。下图为理想二阶环的 S y s t e m V i e w SystemView SystemView模型。


    在这里插入图片描述

    仿真图就不贴了,直接分析上结论:

    (1)环路滤波器输出信号与鉴相器输出的信号相比,信号纹波明显减小。
    (2)即使输入信号与VCO存在频差时,锁定后稳态相差仍然为零。
    (3)存在频差输入时,锁定后鉴相器输出均值为零,经过环路滤波器后,均值不为零,且与频差成正比。
    (4)当输出频差不为零时,频差越大,锁定时间越长。
    (5)在 f c = 10 H z f_c=10Hz fc=10Hz ξ = 0.707 ξ=0.707 ξ=0.707的情况下,环路捕获范围已明显超过环路增益值 K = 50 H z K=50 Hz K=50Hz,即超出了一阶环的理论捕获带宽。
    当输入信号存在频差时, R C RC RC滤波器及无源比例积分滤波器二阶环锁定后均存在稳态相差,理想二阶环的稳态相差为零,这也是理想二阶环广泛应用的主要原因。
    为什么稳态相差可以为零
    \quad 对于输入相位阶跃信号而言,因为在暂态过程中误差电压 u d ( t ) u_d(t) ud(t) u c ( t ) u_c(t) uc(t)不等于零,压控振荡器的相位已得到调整,最终不再需要压控振荡器的频率进行调整,可以允许控制电压 u c ( t ) = 0 u_c(t)=0 uc(t)=0(对于相位阶跃信号而言,输入信号与 V C O VCO VCO本振信号频率相同,只是相位不同),因此环路的稳态状态不难理解。
    \quad 在输入频率阶跃的情况下(输入信号与 V C O VCO VCO本振信号频率存在固有频差),在稳态时要使压控振荡器的频率与输入信号频率相同,理论上讲 V C O VCO VCO的控制电压 u c ( t ) u_c(t) uc(t)一定是必不可少的。但由于稳态相差 θ ∞ θ_∞ θ=0,因此鉴相器输出电压信号 u d ( t ) u_d(t) ud(t)=0。关键的问题是,这该如何理解呢?
    \quad 问题的关键就在于环路滤波器具有理想积分环节!在跟踪的暂态过程中,鉴相器输出的误差电压 u c ( t ) u_c(t) uc(t)并不等于零,它将对滤波器充电。但是对于理想积分环节来说,前面充电得到的控制电压 u c ( t ) u_c(t) uc(t)将永远保持下去,不会消失。
    \quad 为什么理想积分器具有这个特性?可以将理想积分器比作一个大电容,不断给这个电容充电,电路中没有电阻等耗能器件,能量就一直保持增加,不再充电后,电容能量保持稳定。或者可以将理想积分器比作一个蓄电池,充电过程中,蓄电池电压逐渐增加,拔掉充电插头后,蓄电池的输出电压就保持不变。

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    H264 环路滤波器

    最近在写h264的解码器,现在写下这篇文章,记录一下,希望能帮助更多人,本文所说的不一定正确,如果发现错误,欢迎更正

    什么是环路滤波器

    我们在看视频的时候出现很多小方块网格,就像铁丝网一样的东西,每个方块边界出现不连续的现象,这个时候被称为方块效应,最重要的原因是我们编码是基于宏块来编码,变换系数量化过程相对粗糙(量化会损失质量的),反量化的时候恢复的变换系数会有误差,这样就造成了在图像块边缘产生不连续的现象。还有一个原因是帧间的运动补偿预测,因为补偿块可能从不是同一帧的不同位置上的样点复制过来,运动补偿匹配的块不可能绝对准确,这样就会在复制块的边缘上产生不连续的现象。如果参考帧的每个块之间就不连续的话,也会被复制到运动补偿的图像块内,h264采用的4*4变换可以降低这种不连续的现象,但是我们还是需要一个去块滤波器来帮我们降低这种不连续现象,实现块与块之间的平滑过渡。(这里说一句,去块滤波器的复杂度非常高,在我写的解码器里,解码每一帧,滤波器所使用的时间达到了将近40% 难顶)

    方块效应

    真假边界

    上面我们说了因为我们编码的时候DCT和量化带来了方块效应,我们要想办法把这个不连续性的边界消除就完美了,但是我们忽略了一个问题!我们看下面这副图像,这个图像上面有密密麻麻的网格,边界非常明显,但是这些网格是这张图片本身自带的,不是由量化造成的,如果我们不判断,认为这个是方块效应,就有可能造成新的误差,这个时候我们就要先区分是图像本身的真实边界还是由方块效应造成的假边界,对真实的边界不滤波,对假边界采用不同强度的滤波

    方块效应

    边界分析

    对宏块内部方块进行编码的时候,宏块边界比内部内部比如4*4块的编码误差大,这个现象我们认为是合理的,对于这个解释为内部点重建是对周围点进行加权平均得到。而边界所用到的加权平均少,所以重建效果差

    区分真假边界基于下面两个假设

    • 真实边界两边像素点的差值通常比虚假边界两边像素值要大
    • 对于两边像素值差别很小的真实边界,即使使用了去块滤波,对它的主观效果不会有太大影响

    所以我们应该遵循以下两个规则

    • 在平坦区域,即使很小的像素不连续也很容易被人察觉,所以要使用比较强的去块滤波,可以改变较多的像素点
    • 对于复杂的区域,为了保持图像细节,要使用较弱的去块滤波,改变较少的像素点

    假设下面这张图为亮度样点值分布图,这两边的边界像素点的差值非常大,按照上面的假设,p0和q0是为图片的真实边界,因此不需要滤波。

    真假边界

    标准文档定义了两个阈值来判断真假边界,α表示块与块之间的边界阈值,β表示块内部边界的阈值。对于边界两边的像素点的差值,如果下面三个条件都满足就会被判定为需要滤波的虚假边界,否则就判定为不需要滤波真实边界。

    ⏐p0 − q0⏐ < α (IndexA)
    ⏐p1 − p0⏐ < β (IndexB)
    ⏐q1 − q0⏐ < β (IndexB)

    α和β值根据边界两边的平均量化参数查表得到

    上面我们说量化是造成方块效应的主要凶手,而indexA和indexB由下面式子得到。(FilterOffsetA和FilterOffsetB是偏移量用来调整滤波强度)所以我们知道α和β取决于QP的大小(详情查看标准文档表8-16) QP越大(Index越大),α与β就越大,QP越大意味着误差大,块效应越明显,所以取较大值增强滤波效果

    IndexA = Clip3( 0, 51, QPaverage + FilterOffsetA )

    IndexB = Clip3( 0, 51, QPaverage + FilterQffsetB )

    自适应滤波强度推导

    对于滤波边界,我们首先需要根据边界所在的位置已以及宏块的信息来粗略地估计边界两边的像素差距,我们称这个像素差距为边界强度(BS,Boundary Strength)

    判断条件强度
    边界两边一个图像块为帧内预测并且边界为宏块边界4
    边界两边一个图像块为帧内预测3
    边界两边一个图像块对残差编码2
    边界两边图像块运动矢量差不小于 1 个亮度图像点距离1
    边界两边图像块运动补偿的参考帧不同1
    其它0

    Bs 值的下降趋势说明最强的方块效应主要来自 于帧内预测模式及对预测残差编码,而在较小程度上与图像的运动补偿有关

    滤波强度小于4推导

    具体过程详见标准文档8.7.2.3

    首先我们要先计算一个阈值变量,以保证这个差值在一定范围内(这个范围主要通过查表得到 表8-17)

    通过下述方式得到滤波后得到的样点 p’0 和q’0。
    ∆ = Clip3(−tC, tC, ( ( ( ( q0 − p0 ) << 2 ) + ( p1 − q1 ) + 4 ) >> 3 ) )

    p’0 = Clip1( p0 + ∆ )

    q’0 = Clip1( q0 − ∆ )

    p1和q1类似差值由下面得到

    Δ = ( p2 + ((p0+q0+1)>>1) − (p1<<1)) >> 1

    滤波强度等于4推导

    在帧内预测,对于简单的场景,比如蓝天这种不复杂的图像采用1616亮度预测,达到快速编码,1616只会在宏块边缘引起轻微的块效应,但是在蓝天这种简单单一的背景下,块效应反而会更明显的呈现出来,给人视觉上更容易发现不连续的现象,所以对这种内容平滑的背景反而要采用更强的滤波,相对在复杂度很高图像上不应该采用强滤波,只有下面跨边界约束条件成立才使用强滤波

    ⏐p0 − q0⏐ < (α>>2)

    滤波过程

    这里不涉及场编码的情况,只讨论帧编码

    滤波过程是在图像重建过程完成之后才对整个图像执行滤波过程,是对整副图像每个宏块进行滤波

    通过disable_deblocking_filter_idc来控制是否滤波以及是否可以穿过不同slice

    我们先对每个宏块进行纵向滤波,从宏块最左侧开始

    transform_size_8x8_flag==1的时候只滤波实线部分,否则实线虚线都要进行滤波

    横向滤波同理先对宏块最上测进行滤波,然后判断transform_size_8x8_flag

    滤波过程

    • 首先获取p3 p2 p1 p0 | q0 q1 q2 q3八个参考样点
    • 然后得到滤波强度(BS)
    • 然后得到每个块边缘的阈值变量alpha和beta
    • 把重新计算得到的样点替换原来的像素点

    代码地址,参考资料

    github地址

    《新一代h264视频编码》

    https://blog.csdn.net/lj501886285/article/details/84702809

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    环路滤波器的事情想必不用多说了。
    其实设计滤波器我感觉我是很熟了,真正上手的时候发现很多东西都不会,也就会一个1/2ΠRC的巴特沃斯型的计算公式。

    这里今天跟我师父还有一位南航的大神交流,学会了一个闭环传函和开环传函的知识。系统中,开环传函是指向前通路的传函乘上反馈通路的传函。而闭环传函就是我们将输出输入除一下得到的函数。闭环传函等于1加开环传函分之正向通路的传函。
    在这里插入图片描述
    这有什么用呢?其实我们所谓的截止频率,就是穿越频率,也就是开环传函的大小等于0db的时候。这时候闭环传函的大小变为0.707,也就是所谓的3db大小,如此可以通过传递函数计算出复杂滤波回路的截止频率。

    我们来具体看,Ⅰ型LF(无源RC):
    在这里插入图片描述
    在实际仿真中,一阶RC滤波的滚降特性是非常差的,这里我先用加法器混合了两个点频,然后用三阶RC回路进行滤波:

    在这里插入图片描述
    可以看到效果还是不错的。

    Ⅲ型(比例积分型LF):
    在这里插入图片描述
    这个总的效果还是不是特别好,因为阶数太低,然后参数设计得不是特别理想:
    在这里插入图片描述
    关于滤波器的东西,我真的不是特别懂,以后怕是还要多学习。

    这里再谢谢我的同学冰淇淋提供的笔记图片。

    谢谢观看!

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