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  • 线性矩阵不等式

    2018-03-26 15:08:25
    在给定系统矩阵的情况下,根据李雅普诺夫稳定性理论推导出闭环系统渐近稳定的LMI充分条件,定义LMI的未知变量,并给出控制器增益的求解过程。
  • 近年来,线性矩阵不等式广泛应用于解决系统与控制中的一系列问题。随着解决线LMI内点法的提出以及Matlab 中LMI 控制工具箱的推广,LMI 这一工具已经受到人重视。LMI 控制工具箱已经成为了从控制工程到系统识别 设计...
  • 线性矩阵不等式(LMI)工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包,其提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具。
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  • 鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法 俞立 文字版比网上流传的图片扫面版更加清晰可读。控制理论研究人员必备资料。
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  • 线性矩阵不等式影印版,包含了书本内的matlab例程附录
  • 《鲁棒控制:线性矩阵不等式处理方法》——俞立;鲁棒控制;线性矩阵不等式;LMI;图书;H∞鲁棒控制教材;
  • 应用线性矩阵不等式处理鲁棒控制的问题,将两者进行结合,不仅有理论,还有代码
  • 求解LMI的Matlab工具箱
  • 当时做LMI时参考的讲义,其中附录里的LMI工具箱介绍跟Matlab里help lmi区别不大,有兴趣的同学可以看下。
  • 时变线性矩阵不等式求解的三步DTZNN算法
  • 主要针对于线性矩阵不等式的求解,有很详细的说明,每个参数如何使用以及具体用法
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  • 这是一本控制理论相关专业的指导书,是超级清晰版!里面以LMI为工具,研究了各种鲁棒控制问题,对处理LMI提供了方法,是学习LMI的入门指导书。
  • LMI相关学习资料-Matlab中LMI工具箱使用教程.pdf 虽然只用了一小部分,但是把相关学习资料给大家共享了
  • 第二章 :非零向量,或者的最大特征值小于0. 是凸集。(设V是数域P上的线性...复线性矩阵不等式的处理 映射,建立了复数空间C和实矩阵空间之间的一个同构关系,因此,复数矩阵M=A+jB可以用实矩阵来表示。M=A+jB与...

    第二章   线性矩阵不等式

    F(x)<0 :\forall非零向量v\in R^nv^{T}F(x)v<0 或者F(x)的最大特征值小于0.

    \Phi =\left \{ x:F(x)<0 \right \}是凸集。(设V是数域P上的线性空间,W是V的一个非空子集,如果对W中任意两个向量a,b以及任意0<=c<=1,都有ca+(1-c)b \in W,则W是凸集)。

    F_{1}\left ( x \right )<0,\cdots ,F_{k}\left ( x \right )<0\Leftrightarrow F(x)<0,F(x)=diag\left \{ F_{1}\left ( x \right ),\cdots ,F_{k}\left ( x \right ) \right \}

    schur补性质:

    S\in R^{n\times n}, S=\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}\\ S_{21} &S_{22} \end{bmatrix},其中S_{11}是r*r维的非奇异矩阵,则S_{22}-S_{21}S_{11}^{-1}S_{12}称为S_{11}S中的Schur补。

    对给定的对称矩阵S=\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}\\ S_{21} &S_{22} \end{bmatrix},\left ( S_{21}=S_{12}^{T} \right ),其中S_{11}是r*r维的非奇异矩阵,则有:

    S<0\Leftrightarrow S_{11}<0,S_{22}-S_{12}^{T}S_{11}^{-1}S_{12}<0\Leftrightarrow S_{22}<0,S_{11}-S_{12}S_{22}^{-1}S_{12}^{T}<0

    复线性矩阵不等式的处理

    映射a+jb\rightarrow \begin{bmatrix} a &-b \\ -b&a \end{bmatrix},建立了复数空间C和实矩阵空间R^{2\times 2}之间的一个同构关系,因此,复数矩阵M=A+jB可以用实矩阵\begin{bmatrix} A &-B \\ -B&A \end{bmatrix}来表示。M=A+jB与N=C+jD的乘积P=X+jY可以表示为\begin{bmatrix} X &-Y \\ -Y&X \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A &-B \\ -B&A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C &-D \\ -D&C \end{bmatrix}

    埃尔米特矩阵P=X+jY正定,当且仅当\begin{bmatrix} X &-Y \\ -Y&X \end{bmatrix}>0

    一些标准线性矩阵不等式问题

    F、G、H是对称矩阵值仿射函数,c是给定的常数向量,标准LMI问题如下:

    1. 可行性问题(LMIP):对于F(x)<0,检验是否存在x,使F(x)<0,存在则可行,否则不可行。

    2. 特征值问题(EVP):在一个LMI约束下,求矩阵G(x)的最大特征值的最小化问题,或确定问题的约束是不可行的。一般形式如下:

    min \lambda

    \begin{aligned} s.t. \ G(x)&<\lambda I\\ H(x)&<0 \end{aligned}

    可转换为min\ c^{T}x\quad s.t.\ F(x)<0

    F(x)<0的LMIP可写成一个EVP:min\ \lambda \quad s.t.\ F(x)-\lambda I<0,若最小值\lambda ^{*}\leq 0,则F(x)<0是可行的。

    3. 广义特征值问题(GEVP):在一个LMI约束下,求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题(对给定的两个同阶对称矩阵G、F,对标量\lambda,如果存在非零向量y,使得Gy=\lambda Fy,则\lambda称为G、F的广义特征值)。矩阵G、F的最大广义特征值可求解:min\ \lambda \quad s.t.\ G-\lambda F<0

    当G、F是x的一个仿射函数时,在一个LMI约束下,求矩阵函数G(x)和F(x)的最大广义特征值的最小化问题的一般形式为:

    min\ \lambda

    \begin{aligned} s.t. \ G(x)&<\lambda F(x) \\F(x)&>0 \\H(x)&<0 \end{aligned}

    (求解LMI问题的算法:椭球法和内点法等。常用S-procedure来将一些不是凸约束的问题转化为线性矩阵不等式约束。)

    第三章   系统性能分析

    系统增益指标

    考虑线性时不变的连续时间系统:

    \begin{aligned} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bw(t)\\ z(t)=Cx(t)+Dw(t) \end{aligned}

    其中:x(t)\in R^{n}是系统的状态,w(t)\in R^{q}是外部扰动输入,z(t)\in R^{r}是系统被调输出。如果对于某一类外部扰动信号w(t)z(t)总能保持是“小”的,我们认为这样的系统具有“好”的性能,反映了系统抑制外部扰动的能力。

    考虑系统增益\Gamma

    \Gamma =\underset{w\neq 0}{sup}\frac{size(z)}{size(w)}    或等价的    \Gamma =\underset{w}{sup}\left \{ size(z):size(w)\leq 1 \right \}

    size(\cdot )表示信号 \cdot 的某种度量,sup表示一个集合的最小上界\Gamma度量了在零初始条件下,对应于最坏扰动输入的系统输出信号z的大小。因此,增益越小,系统性能越好,度量方式不同,增益也不同。

    对平方可积信号f,定义||f||_{2}=\left ( \int_{0}^{\infty } ||f(t)||^{2}dt\right )^{1/2}(也称为信号fL_{2}范数),其中||f(t)||=\sqrt{f^{T}(t)f(t)}是向量的欧式范数。这样定义的||f||_{2}正好是信号f的能量。

    对幅值有界信号f,定义||f||_{\infty }=\underset{t\geq 0}{sup}||f(t)||,当f是一个标量时,||f||_{\infty }等于f的峰值。

    可以定义一些性能指标:

    IE(Impulse-to-Energy)增益:\Gamma _{ie}=\underset{\underset{||w_{0}||\leq 1}{w(t)=w_{0}\delta (t)}}{sup}||z||_{2}

    EP(Energy-to-Peak)增益:   \Gamma _{ep}=\underset{||w||_{2}\leq 1}{sup}||z||_{\infty }

    EE(Energy-to-Energy)增益:\Gamma _{ep}=\underset{||w||_{2}\leq 1}{sup}||z||_{2}

    PP(Peak-to-Peak)增益:      \Gamma _{pp}=\underset{||w||_{\infty}\leq 1}{sup}||z||_{\infty }

    求IE增益定理:如果上述系统是严格真的(D=0)和渐进稳定(A的特征值均有负实部)的,则IE增益有限,且\Gamma _{ie}=||B^{T}YB||^{1/2},其中矩阵的范数取为谱范数,即矩阵的最大奇异值,矩阵Y是以下Lyapunov方程的解:

    YA+A^{T}Y+C^{T}C=0

    IE增益也可以由下式得到:

    \Gamma _{ie}=\underset{P}{inf}\left \{ ||B^{T}PB||^{1/2}:PA+A^{T}P+C^{T}C<0 \right \}(inf表示一个集合的最大下界)

    可以转化为优化问题:

    min\ \gamma

    \begin{aligned} s.t.\ &PA+A^{T}P+C^{T}C<0\\ &B^{T}PB\leq \gamma I\\ &P>0 \end{aligned}

    若该问题有一个最优值\gamma ^{*},则\Gamma _{ie}=\sqrt{\gamma ^{*}}。该问题是一个具有LMI约束和线性目标函数的凸优化问题,可以用求解器mincx来求全局最优解。

    求EP增益定理:如果上述系统是严格真的(D=0)和渐进稳定(A的特征值均有负实部)的,则EP增益有限,且\Gamma _{ep}=||CXC^{T}||^{1/2},矩阵X是以下Lyapunov方程的解:

    AX+XA^{T}+BB^{T}=0

     EP增益也可以由下式确定:

    \Gamma _{ep}=\underset{Q}{inf}\left \{ ||CQC^{T}||^{1/2}:AQ+QA^{T}+BB^{T}<0 \right \}

    可转化为优化问题:

    \begin{aligned} &min\ \gamma\\ s.t.\ &AQ+QA^{T}+BB^{T}<0\\ &CQC^{T}\leq \gamma I\\ &Q>0 \end{aligned}

    若该问题有一个最优值\gamma ^{*},则\Gamma _{ep}=\sqrt{\gamma ^{*}}。该问题是一个具有LMI约束和线性目标函数的凸优化问题,可以用求解器mincx来求全局最优解。

    求EE增益定理:对上述系统,设\gamma >0是一个给定的常数,则以下条件是等价的:

    (1)系统渐进稳定,且\Gamma _{ee}<\gamma

    (2)存在一个对称矩阵P>0,使得

    \begin{bmatrix} A^{T}P+PA &PB &C^{T} \\ B^{T}P & -\gamma I &D^{T} \\ C& D & -\gamma I \end{bmatrix}<0

    矩阵不等式是个线性矩阵不等式,可以用求解器feasp来判断EE增益是否满足给定的约束条件。

    求PP增益定理:对上述系统和给定标量\gamma,如果存在对称矩阵R>0,标量\lambda >0\mu >0,使得

    \begin{bmatrix} A^{T}R+RA+\lambda R & RB \\ B^{T}R &-\mu I \end{bmatrix}<0

    \begin{bmatrix} \lambda R &0 &C^{T} \\ 0 &(\gamma -\mu)I &D^{T} \\ C & D & \gamma I \end{bmatrix}<0

    \Gamma _{pp}<\gamma。上述不等式不是线性矩阵不等式。

    H_{2}性能

    传递函数矩阵T(s)=C(sI-A)^{-1}B+DH_{2}范数定义为:

    ||T(s)||_{2}=Trace(\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty}T(jw)T^{*}(jw)dw)^{1/2}

    T^{*}(jw)是共轭转置,Trace表示矩阵的迹。T(s)的H_{2}范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量,还等于系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差对于单输入单输出系统,||T(s)||_{2}=\Gamma _{ie}=\Gamma _{ep}

    对于原上述系统,定义矩阵X=\int_{0}^{\infty}e^{At}BB^{T}e^{A^{T}t}dt(能控格拉姆矩阵)和Y=\int_{0}^{\infty}e^{A^{T}t}C^{T}Ce^{At}dt(能观格拉姆矩阵),则矩阵X、Y分别满足以下Lyapunova方程:

    AX+XA^{T}+BB^{T}=0; A^{T}Y+YA+C^{T}C=0

    可得||T(s)||_{2}^{2}=Trace(CXC^{T})=Trace(B^{T}YB)

    定理:如果改系统渐进稳定,则有:

    (1)||T(s)||_{2}<\infty,当且仅当D=0;

    (2)如果D=0,则||T(s)||_{2}<\gamma \Leftrightarrow

             存在对称矩阵X>0,使得 AX+XA^{T}+BB^{T}<0,\ Trace(CXC^{T})<\gamma ^{2}\Leftrightarrow

             存在对称矩阵Y>0,使得 A^{T}Y+YA+C^{T}C<0,\ Trace(B^{T}YB)<\gamma ^{2}

    可以用求解器feasp来检验系统是否满足给定的H_{2}范数约束条件。

    H_{\infty}性能

    T(s)的H_{\infty}范数定义为:

    ||T(s)||_{\infty}=\underset{w}{sup}\ \sigma _{max}(T(jw))

    即系统频率响应的最大奇异值的峰值。

    奇异值:设A\in C^{m\times n},如果存在非负实数\large \sigma和非零向量\large u\in C^{n},v\in C^{m}使得

    \large Au=\sigma v,A^{H}v=\sigma u

    则称\large \sigma为A的奇异值,\large u\large v分别为A对应于奇异值\large \sigma的右奇异向量和左奇异向量。

    \large A^{H}Au=\sigma ^{2}u,AA^{H}v=\sigma ^{2}v

    \large \sigma ^{2}\large A^{H}A的特征值,也是\large AA^{H}的特征值,而\large u\large v分别是\large A^{H}A\large AA^{H}对应于特征值\large \sigma ^{2}的特征向量。)

    ||T(s)||_{\infty}=\Gamma _{ee},所以可以通过求解以下优化问题:

    \begin{aligned} &min\ \gamma\\ s.t. &\begin{bmatrix} A^{T}P+PA &PB &C^{T} \\ B^{T}P& -\gamma I &D^{T} \\ C&D &-\gamma I \end{bmatrix}<0\\ &P>0 \end{aligned}

    可以得到系统最优H_{\infty}性能分析问题的解。该问题是一个具有线性矩阵不等式约束和线性目标凸优化问题,可以用求解器mincx求解。

    对离散时间系统:

    \begin{aligned} &x(k+1)=Ax(k)+Bw(k)\\ &z(k)=Cx(k)+Dw(k) \end{aligned}

    求IE增益定理:若系统渐进稳定,则IE增益为\Lambda _{ie}=||B^{T}YB+D^{T}D||^{1/2},其中矩阵Y是以下矩阵方程的解:

    Y=A^{T}YA+C^{T}C

    IE增益也可以由下式得到:

    \Lambda _{ie}=\underset{P}{inf}\left \{ ||B^{T}YB+D^{T}D||^{1/2}:P>A^{T}PA+C^{T}C \right \}

    可以转化为以下优化问题:

    \begin{aligned} &min\ \gamma\\ s.t.\ &A^{T}PA+C^{T}C-P<0\\ &B^{T}PB+D^{T}D\leq \gamma I\\ &P>0 \end{aligned}

    有一个最优值\gamma ^{*},则\Lambda _{ie}=\sqrt{\gamma ^{*}}。这是一个具有LMI约束和线性目标函数的凸优化问题,可以用求解器mincx来求全局最优解。

    求EP增益定理:若系统渐进稳定,则\Lambda _{ep}=||CXC^{T}+DD^{T}||^{1/2},其中矩阵X是以下Lyapunov方程的解:

    X=AXA^{T}+BB^{T}

    Ep增益也可以由下式得到:

    \Lambda _{ep}=\underset{Q}{inf}\left \{ ||CQC^{T}+DD^{T}||^{1/2}:Q>AQA^{T}+BB^{T} \right \}

    可以转化为以下优化问题:

    \begin{aligned} &min\ \gamma\\ s.t.\ &AQA^{T}+BB^{T}-Q<0\\ &CQC^{T}+DD^{T}\leq \gamma I\\ &Q>0 \end{aligned}

    有一个最优值\gamma ^{*},则\Lambda _{ep}=\sqrt{\gamma ^{*}}。这是一个具有LMI约束和线性目标函数的凸优化问题,可以用求解器mincx来求全局最优解。

    求EE增益定理:对给定的常数\gamma >0和上述离散时间系统,以下条件是等价的:

    (1)系统渐进稳定,且EE增益\Lambda _{ee}<\gamma

    (2)存在一个对称矩阵P,使得:

    \begin{bmatrix} P &0 \\ 0&\gamma ^{2}I \end{bmatrix}> \begin{bmatrix} A &B \\ C&D \end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} P &0 \\ 0&I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A &B \\ C&D \end{bmatrix}

     与连续时间系统一样,EE增益也等于系统的{\color{Red} H_{\infty}}范数。对给定的标量\gamma >0,如果||G(z)||_{\infty}<\gamma,则称系统具有H_{\infty}性能\gamma

    根据Schur补性质,上述(2)中矩阵不等式等价于

    \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} -P & 0\\ 0&-\gamma ^{2}I \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} A &C \\ B&D \end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} P &0 \\ 0&I \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} P &0 \\ 0& I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A &C \\ B&D \end{bmatrix}& \begin{bmatrix} -P &0 \\ 0&-I \end{bmatrix} \end{bmatrix}<0

    这是一个线性矩阵不等式,可以用求解器feasp来判断该线性矩阵不等式的可行性,进而可得系统是否具有H_{\infty}性能\gamma的结论。通过在此线性矩阵不等式约束下对\gamma最小值的搜索,可以得到一个具有线性矩阵不等式约束和线性目标函数得到凸优化问题,因此,可以用求解器mincx来求得该问题的最小值\gamma ^{*},这样一个值称为系统的最优H_{\infty}性能指标,正好是系统的EE增益。

    第四章   控制系统综合

     

     如上图所示的广义系统,其中P(s)是一个线性时不变系统,其状态空间描述为:

    \begin{aligned} &\dot{x}=Ax+B_{1}w+B_{2}u\\ &z=C_{1}x+D_{11}w+D_{12}u\\ &y=C_{2}x+D_{21}w+D_{22}u \end{aligned}

    x、u、y、z分别是状态向量、控制输入、测量输出、被调输出,w是外部扰动(考虑是不确定但具有有限能量的扰动),K(s)是一个控制器的传递函数。

    目的:设计一个控制器u(s)=K(s)y(s),使得闭环系统满足:

    (1)闭环系统内部稳定,即闭环系统状态矩阵的所有特征值均在左半开复平面

    (2)从扰动输入w到被调输出z的闭环传递函数T_{wz}(s)H_{\infty}范数小于1,即||T_{wz}(s)||_{\infty}<1

    将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数,可以使闭环系统具有给定的H_{\infty}性能\gamma。具有给定H_{\infty}性能\gammaH_{\infty}控制器称为系统的\gamma-次优控制器。通过对\gamma的搜索,可以求取使闭环系统的扰动抑制度\gamma最小化的最优H_{\infty}控制器(最优H_{\infty}控制问题)。

    状态反馈H_{\infty}控制

    状态反馈H_{\infty}控制律:假定系统状态可以直接测量得到,静态状态反馈控制器u=Kx,使相应的闭环系统  \begin{aligned} &\dot{x}=(A+B_{2}K)x+B_{1}w\\ &z=(C_{1}+D_{12}K)x+D_{11}w \end{aligned}  是渐进稳定的,且闭环传递函数满足||T_{wz}(s)||_{\infty}<1

    求状态反馈H_{\infty}控制器的定理:对上述系统,存在一个状态反馈H_{\infty}控制器,当且仅当存在一个对称正定矩阵X和矩阵W,使得以下矩阵不等式成立:

    \begin{bmatrix} AX+B_{2}W+(AX+B_{2}W)^{T} &B_{1} &(C_{1}X+D_{12}W)^{T} \\ B_{1}^{T}&-I & D_{11}^{T}\\ C_{1}X+D_{12}W&D_{11} &-I \end{bmatrix}<0

     如果上述矩阵不等式存在一个可行解X^{*},\ W^{*},则\large u=W^{*}(X^{*})^{-1}x是系统的一个状态反馈H_{\infty}控制器。(这是矩阵变量X、W的一个线性矩阵不等式,可以用求解器feasp来求解。此定理给出的是系统所有状态反馈H_{\infty}控制律的一个凸约束刻画。)

     对给定的标量\large \gamma >0,求系统的状态反馈\large \gamma-次优\large H_{\infty}控制器:考虑到

    \large ||T_{wz}(s)||_{\infty}<\gamma \Leftrightarrow ||\gamma ^{-1}T_{wz}(s)||_{\infty}<1

     即可将其转化为标准问题,进一步可转化为以下的求解优化问题:

    \begin{aligned} &min\ \rho \\ s.t.\ &\begin{bmatrix} AX+B_{2}W+(AX+B_{2}W)^{T}&B_{1} &(C_{1}X+D_{12}W)^{T} \\ B_{1}^{T}&-I &D_{11}^{T} \\ C_{1}X+D_{12}W& D_{11} &-\rho I \end{bmatrix}<0\\ &X>0 \end{aligned}

     若该优化问题有解,则该系统的最优\large H_{\infty}控制器为\large u=W^{*}(X^{*})^{-1}x,相应的最小扰动抑制度为\large \sqrt{\rho}。(可用求解器mincx来求解该优化问题。)

     输出反馈\large H_{\infty}控制

    假定:(1)(A,B_{2},C_{2})是能稳能检测的(对上述线性时不变系统的输出反馈镇定是充分必要的);             (2)D_{22}=0(不失一般性,一般系统的H_{\infty}控制问题都可以转化为这一特殊情况)。

    目的:设计一个具有以下状态空间实现的输出反馈H_{\infty}控制器u=K(s)y

    \begin{aligned} \dot{\hat{x}}=A_{k}\hat{x}+B_{k}y\\ u=C_{k}\hat{x}+D_{k}y \end{aligned}

    其中,\large \hat{x}\in R^{n_{K}}是控制器的状态,\large A_{K},B_{K},C_{K},D_{K}是待确定的控制器参数矩阵。

    原系统应用该控制器后得到的闭环系统为:

    \begin{aligned} \dot{\xi}=A_{c1}\xi+B_{c1}w\\ z=C_{c1}\xi+D_{c1}w \end{aligned}

    其中:

    \xi=\begin{bmatrix} x\\ \hat{x} \end{bmatrix} , A_{c1}=\begin{bmatrix} A+B_{2}D_{K}C_{2} &B_{2}C_{K} \\ B_{K}C_{2}&A_{K} \end{bmatrix}, B_{c1}=\begin{bmatrix} B_{1}+B_{2}D_{K}D_{21}\\ B_{K}D_{21} \end{bmatrix}

    C_{c1}=\begin{bmatrix} C_{1}+D_{12}D_{K}C_{2} &D_{12}C_{K} \end{bmatrix}, D_{c1}=D_{11}+D_{12}D_{K}D_{21}

    根据第三章中连续系统的求EE增益定理可知,该控制器是此系统的一个H_{\infty}控制器的充要条件为:存在一个对称正定矩阵X_{c1},使得

    \begin{bmatrix} A_{c1}^{T}X_{c1}+X_{c1}A_{c1} &X_{c1}B_{c1} &C_{c1}^{T} \\ B_{c1}^{T}X_{c1}&-I &D_{c1}^{T} \\ C_{c1}&D_{c1} &-I \end{bmatrix}<0

    此矩阵不等式中,矩阵变量X_{c1}与控制器参数矩阵A_{K},B_{K},C_{K},D_{K}以非线性的方式出现,难以直接处理求解,采用下面两种基于线性矩阵不等式处理的输出反馈H_{\infty}控制器设计方法——消元法和变量替代法。

    消元法:(此处省略推导过程,直接给出结论定理)。

    定理:原线性定常系统存在一个输出反馈H_{\infty}控制器,当且仅当存在对称正定矩阵X和Y,使得

    (a).\quad \begin{bmatrix} N_{o} &0 \\ 0&I \end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} A^{T}X+XA&XB_{1} &C_{1}^{T} \\ B_{1}^{T}X&-I &D_{11}^{T} \\ C_{1}&D_{11} &-I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_{o} &0 \\ 0&I \end{bmatrix} <0

    (b).\quad \begin{bmatrix} N_{c} &0 \\ 0&I \end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} AY+YA^{T}&YC_{1}^{T} &B_{1} \\ C_{1}Y&-I &D_{11} \\ B_{1}^{T}&D_{11}^{T} &-I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_{c} &0 \\ 0&I \end{bmatrix} <0

    (c).\quad \begin{bmatrix} X &I \\ I&Y \end{bmatrix}\geq 0

    其中N_{o}N_{c}分别是以子空间ker([C_{2}\ \ D_{21}])ker([B_{2}^{T}\ \ D_{12}^{T}])中的任意一组基向量作为列向量所构成的矩阵。可以用求解器feasp来求解。若核空间中有等于零空间,则相应的N_{o}N_{c}取为I

     设计步骤:

    1. 求解满足上述定理条件的矩阵X和Y。

    2. 求满足\large X-Y^{-1}=X_{2}X_{2}^{T}的矩阵\large X_{2}\in R^{n\times n_{k}},其中的\large n_{k}可以选成是矩阵\large X-Y^{-1}的秩。可以采用奇异值分解的方法得到这样的矩阵\large X_{2}。用矩阵\large X\large X_{2}构造\large X_{c1}=\begin{bmatrix} X &X_{2}^{T} \\ X_{2}&I \end{bmatrix}

     3. 将得到的矩阵\large X_{c1}代入到矩阵不等式\large H_{X_{c1}}+P_{X_{c1}}^{T}KQ+Q^{T}K^{T}P_{X_{c1}}<0中,得到只包含矩阵\large K的线性矩阵不等式,从而求出\large H_{\infty}控制器的参数矩阵\large K

    注:3中矩阵不等式满足:

    H_{X_{c1}}= \begin{bmatrix} A_{0}^{T}X_{c1}+X_{c1}A_{0} &X_{c1}B_{0} &C_{0}^{T} \\ B_{0}^{T}X_{c1}&-I &D_{11}^{T} \\ C_{0}&D_{11} &-I \end{bmatrix}\\ P_{X_{c1}}=\begin{bmatrix} \bar{B}^{T}X_{c1} &0 &\bar{D}_{12}^{T} \end{bmatrix},\quad\quad Q=\begin{bmatrix} \bar{C} &\bar{D}_{21} &0 \end{bmatrix}

    A_{0}=\begin{bmatrix} A&0 \\ 0&0 \end{bmatrix},\ B_{0}=\begin{bmatrix} B_{1} \\ 0 \end{bmatrix},\ C_{0}=\begin{bmatrix} C_{1}&0 \end{bmatrix}\\ \bar{B}=\begin{bmatrix} 0&B_{2} \\ I&0 \end{bmatrix},\ \bar{C}=\begin{bmatrix} 0&I \\ C_{2}&0 \end{bmatrix},\ \bar{D}_{12}=\begin{bmatrix} 0 &D_{12} \end{bmatrix},\ \bar{D}_{21}=\begin{bmatrix} 0 \\ D_{21} \end{bmatrix}

    输出反馈\gamma -次优H_{\infty}控制器:将上述定理中不等式(a)和(b)左边中间矩阵里的-I项改为-\gamma I再求解。

    进一步得输出反馈最优H_{\infty}控制器可以通过求解以下优化问题得到:

    \begin{aligned} &min\ \rho\\ s.t.\ &\begin{bmatrix} N_{o} &0 \\ 0&I \end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} A^{T}X+XA&XB_{1} &C_{1}^{T} \\ B_{1}^{T}X&-\rho I &D_{11}^{T} \\ C_{1}&D_{11} &-\rho I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_{o} &0 \\ 0&I \end{bmatrix} <0\\ &\begin{bmatrix} N_{c} &0 \\ 0&I \end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} AY+YA^{T}&YC_{1}^{T} &B_{1} \\ C_{1}Y&-\rho I &D_{11} \\ B_{1}^{T}&D_{11}^{T} &-\rho I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_{c} &0 \\ 0&I \end{bmatrix} <0\\ &\begin{bmatrix} X &I \\ I&Y \end{bmatrix}\geq 0 \end{aligned}

    可通过求解器mincx进行求解。

    连续时间系统H_{\infty}控制器综合问题求解器hinflmi()(离散系统是dhinflmi()):

    先用ltisys函数建立系统,G=ltisys(A,B,C,D) ,再使用hinflmi()函数即可得到最优H_{\infty}控制器。hinflmi函数的基本用法是 [gopt,K]=hinflmi(system,[p m],n),其中p是系统测量输出的个数,m是系统控制输入的个数,n表示性能指标范围即\gamma <n,这个函数通过mincx来优化系统的H_{\infty}性能指标,gopt是性能指标,K是最优H_{\infty}控制器的系统矩阵,可通过ltiss()函数得到其状态空间实现,即[Ak,Bk,Ck,Dk]=ltiss(K),还可以通过[g,K,x1,x2,y1,y2]=hinflmi(G,[p,m],n)得到解矩阵X=x1和Y=y1。
    clsys=slft(G,K)得到闭环系统,spol(clsys)根据闭环极点检验闭环系统稳定性,norminf(clsys)得到外部扰动w到被调输出z的闭环系统增益。

    \large H_{2}控制

    考虑状态空间模型:\begin{aligned} \dot{x}& =Ax+B_{1}w+B_{2}u\\ z&=Cx+Du \end{aligned},给定标量\gamma >0,设计一个状态反馈控制律u=Kx,使得闭环系统\begin{aligned} \dot{x}& =(A+B_{2}K)x+B_{1}w\\ z&=(C+DK)x \end{aligned}是渐进稳定的,并且闭环传递函数T_{wz}(s)H_{2}范数满足||T_{wz}(s)||_{2}<\gamma,此控制律称为系统的一个状态反馈控制律。 

    定理:对给定标量\gamma >0,系统存在状态反馈H_{2}控制律,当且仅当存在对称正定矩阵XZ和矩阵W,使得

     \begin{aligned} AX+B_{2}W+(AX+B_{2}W)^{T}+B_{1}B_{1}^{T}&<0\\ \begin{bmatrix} -Z&CX+DW \\ (CX+DW)^{T}& -X \end{bmatrix}&<0\\ Trace(Z)&<\gamma ^{2} \end{aligned}

    如果上述LMI存在可行解X^{*},W^{*},Z^{*},则u=W^{*}(X^{*})^{-1}x是系统的一个状态反馈H_{2}控制律。可用求解器feasp求解。

    进一步可得求解系统最优状态反馈H_{2}控制律的设计方法为:求解以下带LMI约束的线性目标函数的凸优化问题,可用求解器mincx求解。

     \begin{aligned} &min \rho\\ s.t.\ \ &AX+B_{2}W+(AX+B_{2}W)^{T}+B_{1}B_{1}^{T}<0\\ &\begin{bmatrix} -Z&CX+DW \\ (CX+DW)^{T}& -X \end{bmatrix}<0\\ &Trace(Z)<\rho \end{aligned}

    H_{2}/H_{\infty}控制

    在实际设计问题中,人们通常需要所设计的系统满足多种性能要求。特别地,对于系统:

    \begin{aligned} &\dot{x}=Ax+Bu+B_{1}w_{1}+B_{2}w_{2}\\ &z_{1}=C_{1}x+D_{10}u+D_{11}w_{1}\\ &z_{2}=C_{2}x+D_{20}u+D_{22}w_{2} \end{aligned}

    设计一个控制器,使得闭环系统渐进稳定,且从w_{1}z_{1}的闭环传递函数T_{w_{1}z_{1}}H_{\infty}范数不超过一个给定的上界\gamma _{1},以保证闭环系统对由w_{1}=\Delta z_{1}进入的不确定性具有鲁棒稳定性;同时使得从w_{2}z_{2}的闭环传递函数T_{w_{2}z_{2}}H_{2}范数尽可能小,以保证用H_{2}范数度量的系统性能处于一个好的水平。即使得闭环系统满足

    \sigma (A_{c})\in C^{-},\ ||T_{w_{1}z_{1}}||_{\infty}<\gamma _{1},\ ||T_{w_{2}z_{2}}||_{2}<\gamma _{2}

    的所有控制器中,寻找使得\gamma _{2}最小化的控制器,称为系统的多目标H_{2}/H_{\infty}控制问题,或简称为H_{2}/H_{\infty}控制问题。通过对不同标量\gamma _{1}求解相应的H_{2}/H_{\infty}控制问题,可以分析系统H_{2}性能和H_{\infty}性能之间的关系,如通过牺牲系统的鲁棒性可以在多大程度上改进系统的性能。

     控制律设计:

     在状态反馈u=Kx下,闭环系统为:

    \begin{aligned} &\dot{x}=(A+BK)x+B_{1}w_{1}+B_{2}w_{2}\\ &z_{1}=(C_{1}+D_{10}K)x+D_{11}w_{1}\\ &z_{2}=(C_{2}+D_{20}K)x+D_{22}w_{2} \end{aligned}

     对原系统和一个给定的标量\gamma _{1}>0,若D_{22}=0,且以下优化问题

    \begin{aligned} &min\ \gamma _{2}\\ s.t.\ &\begin{bmatrix} AX+BW+(AX+BW)^{T}& B_{1} &(C_{1}X+D_{10}W)^{T} \\ B_{1}^{T}&-\gamma _{1}I &D_{11}^{T} \\ C_{1}X+D_{10}W & D_{11} & -\gamma _{1}I \end{bmatrix}<0\\ &AX+BW+(AX+BW)^{T}+B_{2}B_{2}^{T}<0\\ &\begin{bmatrix} -Z &C_{2}X+D_{20}W \\ (C_{2}X+D_{20}W)^{T}&-X \end{bmatrix}<0\\ &Trace(Z)<\gamma _{2} \end{aligned}

     有一个最优解X^{*},\ W^{*},则原系统的状态反馈H_{2}/H_{\infty}控制问题是可解的,且u=W^{*}(X^{*})^{-1}x是系统的一个状态反馈H_{2}/H_{\infty}控制律。这是一个具有LMI约束和线性目标函数的凸优化问题,可以用求解器mincx来求解。

    hinfmix函数:

    LMI工具箱提供了求解H_{2}/H_{\infty}控制问题的一个函数hinfmix,该函数求解了由下图所示的多目标输出反馈控制问题。

     T_{\infty}(s)T_{2}(s)作为从wz_{\infty}和从wz_{2}的闭环传递函数,则hinfmix可以计算以下综合问题的解。

    设计一个线性时不变控制器K(s),使闭环系统满足:

    ||T_{\infty}||_{\infty}<\gamma _{0},\quad ||T_{2}||_{2}<\nu _{0},\quad    闭环系统极点位于某个给定的LMI区域D且使得性能指标\alpha ||T_{\infty}||_{\infty}^{2}+\beta ||T_{2}||_{2}^{2}最小化。

    函数hinfmix的一般形式为:[gopt, h2opt, K, R, S]=hinfmix(P, r, obj, region, dkbnd, tol)

    (输入项中,P是控制对象P(s)的系统矩阵表示,r是一个3元向量,依次表示了z_{2}yu的维数。z_{\infty}z_{2}可以是空的。obj是一个4元向量,表示了H_{2}/H_{\infty}约束及性能指标中的H_{\infty}性能和H_{2}性能的权重情况,obj=\begin{bmatrix} \gamma _{0} &\nu _{0} &\alpha &\beta \end{bmatrix}。输入项中的其余部分是可选择的。)

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    《鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法》-俞立老师-目录

    第2章 引言

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  • setlmis([]);epsilon=lmivar(1,[1 1]);P=lmivar(1,[n-m 1]);lmiterm([1 1 1 P],A',1,'s'); % LMI #1: A'*P+P*Almiterm([1 1 1 P],.5*alpha,1,'s'); % LMI #1: alpha*P (NON SYMMETR...

    setlmis([]);

    epsilon=lmivar(1,[1 1]);

    P=lmivar(1,[n-m 1]);

    lmiterm([1 1 1 P],A',1,'s');                    % LMI #1: A'*P+P*A

    lmiterm([1 1 1 P],.5*alpha,1,'s');              % LMI #1: alpha*P (NON SYMMETRIC?)

    lmiterm([1 1 1 epsilon],.5*1,eye(n-m),'s');     % LMI #1: epsilon*eye(n-m) (NON SYMMETRIC?)

    lmiterm([1 2 1 P],1,1);                         % LMI #1: P

    lmiterm([1 2 2 epsilon],.5*1,-eye(n-m),'s');     % LMI #1: -epsilon*eye(n-m) (NON SYMMETRIC?)

    lmiterm([1 3 1 0],zeros(m,n-m));                % LMI #1: zeros(m,n-m)

    lmiterm([1 3 2 0],zeros(m,n-m));                % LMI #1: zeros(m,n-m)

    lmiterm([1 3 3 epsilon],.5*1,-eye(m),'s');      % LMI #1: -epsilon*eye(m) (NON SYMMETRIC?)

    lmiterm([-2 1 1 P],1,1);                        % LMI #2: P

    yingzhu=getlmis;

    [tmin,xfeas]=feasp(yingzhu)

    P=dec2mat(yingzhu,xfeas,P)

    epsilon=dec2mat(yingzhu,xfeas,epsilon)

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  • 线性矩阵不等式(LMI)的-MATLAB求解(中文教程),很好的教程,推荐学习
  • LMI:Linear Matrix Inequality,就是线性矩阵不等式。在Matlab当中,我们可以采用图形界面的lmiedit命令,来调用GUI接口,但是我认为采用程序的方式更方便(也因为我不懂这个lmiedit的GUI)。对于LMI Lab,其中有三种...

    LMI:Linear Matrix Inequality,就是线性矩阵不等式。

    在Matlab当中,我们可以采用图形界面的lmiedit命令,来调用GUI接口,但是我认为采用程序的方式更方便(也因为我不懂这个lmiedit的GUI)。

    对于LMI Lab,其中有三种求解器(solver):feasp,mincx和gevp。

    每个求解器针对不同的问题:

    feasp:解决可行性问题(feasibility problem),例如:A(x)

    mincx:在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题(Minimization of a linear objective under LMI constraints),例如最小化c'x,在限制条件A(x) < B(x)下。

    gevp:解决广义特征值最小化问题。例如:最小化lambda,在

    0

    要解决一个LMI问题,首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。

    对于以下类型的任意的LMI问题

    N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M

    其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。左侧和右侧的外部因子(outer factors)N和M是给定的具有相同维数的矩阵。

    左侧和右侧的内部因子(inner factors)L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。

    解决LMI问题的步骤有两个:

    1、定义维数以及每一个矩阵的结构,也就是定义X1, . . . , XK。

    2、描述每一个LMI的每一项内容(Describe the term content of each LMI)此处介绍两个术语:

    矩阵变量(Matrix Variables):例如你要求解X满足A(x)

    项(Terms):项是常量或者变量(Terms are either constant or variable)。

    常项(Constant Terms)是确定的矩阵。可变项(Variable Terms)是哪些含有矩阵变量的项,例如:X*A, X*C'。如果是X*A + X*C',那么记得要把它当成两项来处理。

    好了废话不说了,让我们来看个例子吧(下面是一线性时滞系统)。

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    针对这个式子,如果存在满足如下LMI的正矩阵(positive-define)的Q,S1,S2和矩阵M,那么我们就称作

    该系统为H-inf渐进稳定的,并且gammar是上限。

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  • setlmis([]);epsilon=lmivar(1,[1 1]);P=lmivar(1,[n-m 1]);lmiterm([1 1 1 P],A',1,'s'); % LMI #1: A'*P+P*Almiterm([1 1 1 P],.5*alpha,1,'s'); % LMI #1: alpha*P (NON SYMMETR...
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