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  • 1. 样本自协方差函数2. 自协方差函数3. 自相关函数4. 偏自相关系数1. 样本自协方差函数对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:2. 自协方差函数自...

    1. 样本自协方差函数

    2. 自协方差函数

    3. 自相关函数

    4. 偏自相关系数

    1. 样本自协方差函数

    对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:

    2b84305fe24d99b08d763da932f205c0.png

    2. 自协方差函数

    自协方差函数是描述随机信号

    在任意两个不同时刻t,t-k,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述
    在两个时刻取值的
    起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

    协方差定义为:

    时间序列的自协方差指:时间序列或者信号,经过时间平移后,与自己的协方差

    f203179d04ca3d35fab90232c219745a.png

    而对于中心化AR模型,均值为0,即

    所以上式表示为

    07599226333c527ed874b945a5146d2d.png

    在平稳AR模型等式两边同乘以

    再取数学期望可得

    95619ae7118abdd6520007cdc28b5c79.png

    得到自协方差函数的递推公式

    59fbc12311760cc30d10ffdfb888e490.png

    Yule-Walker方程
    平稳AR序列的自协方差函数满足

    feb195adf35c1516708ab5f84b54658f.png

    其中

    c031ab7484e77864997bb70681077766.png

    a2500988b9bebccc8db3801c785f5312.png

    此方程的意义在于:
    已知AR模型的具体形式,可计算出自协方差函数;已知自协方差函数,可以估计出模型的未知参数。而在实际应用中,选用样本自协方差函数估计自协方差函数


    3.自相关函数(Autocorrelation function)

    自相关函数是描述随机信号

    在任意两个不同时刻t,t+k的取值之间的
    相关程度
    公式定义

    0aed5b872b1b7760d7035a9dc0db4857.png

    对于零均值的平稳AR序列,自相关函数为

    105509b63bd1077d07d59f5873497ed9.png

    自相关系数的递推公式

    1b060f2c377d42c067d3b655e49072e2.png

    自相关系数按负指数衰减且具有拖尾性

    4 . 偏自相关系数

    自相关系数直接反映了随机变量

    之间的相关关系,不考虑中间k-1个随机变量的影响

    偏自相关系数把中间k-1个随机变量看作已知的条件下来研究
    之间的相关关系

    公式定义

    63dfc3db37eea6687394178cd1538fd7.png

    其中,

    条件期望

    ddd153d555532ce226f67051e4e3618d.png

    考虑中心化平稳AR序列,可用过去的k个序列作k阶回归拟合

    ,即:

    c3e57386da01d75d300852b50a5ddcb9.png

    两边取数学期望得:

    8afae58f503b8c508ae82b5497904262.png

    则有:

    94f288960ea648361d3f2520dc14d6b4.png

    所以, 偏自相关系数恰好就等于k阶自回归拟合中的滞后k阶偏自相关系数

    a12977b070dad9e7acc04ecd4c0b536c.png

    也就是说,计算偏自相关系数可用通过计算k阶自回归拟合得到

    Levinson递推公式

    如果

    正定,对

    36cc3a92bc0c6cb3a3eb5cdbfa26aa8d.png

    偏自相关系数在p之后的值均为0 ,即截尾性

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  • 稳定性 与自协方差函数

    千次阅读 2018-10-03 22:26:19
    二、自协方差函数(时间序列) (1)目标 a,记录各类随机变量,并且找出两个随机变量之间的协方差 b, 明确,时间序列描述为一系列随机过程的实现 c, 定义自协方差函数 (2)什么是协方差 X,Y 是两个随机变量,协方差则是...

    一、稳定性问题
    (1) 弱稳定性的几个特征:
    a, 均值并没有系统性的变化(无趋势)
    b,方差也没有系统性的变化
    c,没有周期性的浮动

    二、自协方差函数(时间序列)
    (1)目标
    a,记录各类随机变量,并且找出两个随机变量之间的协方差
    b, 明确,时间序列描述为一系列随机过程的实现
    c, 定义自协方差函数

    (2)什么是协方差
    X,Y 是两个随机变量,协方差则是测量这X Y 线性相关程度的

    Cov(X,Y)=E[(Xμx)(Yμy)]=Cov(Y,X)Cov(X,Y) = E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]=Cov(Y,X)

    (3)什么是随机过程
    就是随机变量的一个集合
    X1,X2,X3,...X_1,X_2,X_3,...是随时间变化的各个随机变量,且过程是随机的
    而且满足,XtX_t~distribution(μ,σ)distribution(\mu ,\sigma)

    (4)自协方差函数
    对于在时间点s和在时间点t的两个随机变量而言
    我们首先这样定义
    γ(s,t)=Cov(Xs,Xt)\gamma_{(s,t)} = Cov(X_s , X_t)
    γ(t,t)=Cov(Xt,Xt)=Var(Xt)=σt2\gamma_{(t,t)} = Cov(X_t , X_t) = Var(X_t) = \sigma_t^2

    γk=γ(t,t+k)ck\gamma_k = \gamma_(t,t+k) \approx c_k
    这时候我们称呼γ\gamma是自协方差函数,而ckc_k为自协防差函数系数。为什么呢?因为在一个稳定的时间序列里面,我们会发现,在相同的时间段里面,首尾两个端点应该满足一些线性关系

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  • 自相关函数和自协方差函数

    万次阅读 2012-05-31 21:03:23
    9.2.3自相关函数和自协方差函数  上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1,t2时刻的随机取值X(t1),X(t2)之间的关联...

    9.2.3自相关函数和自协方差函数

        上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1t2时刻的随机取值X(t1)X(t2)之间的关联程度如何,这种关联称为自关联。同样,我们也要研究两个随机信号X(t)Y(t)数值之间的关联程度,这种关联性称为XY之间的互关联(下一小节介绍)。

      1.自相关函数

       自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的相关程度。

    定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为

                     

    9.2.7

      由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关,设 ,则有 。所以,平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数,记为Rxx(t).

      2.自协方差函数

        自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

    定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为

       

      (9.2.8

      时,有

       显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

    对于平稳随机信号,自协方差函数是时间间隔t的函数,记为Cxx(t),且有:

                    

         (9.2.9)

      当均值时,有

       当随机过程X(t)的均值为常数,相关函数只与时间间隔有关,且均方值为有限值时,则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

    3.平稳随机信号自相关函数的性质

       设X(t)为平稳随机过程,其自相关函数为,自协方差函数,则有如下性质:

    1                                            (9.2.10)

                                                          (9.2.11)

            即时的自相关函数等于均方差,自协方差函数等于方差。

    2                            (9.2.12

            即当平稳随机信号是实函数时,其相关函数是偶函数。

    3                           9.2.13

            即时的自相关函数、自协方差函数取最大值。

    4)   若,则其自相关函数也是周期为T的周期函数,即

                                9.2.14

    5)   若均值,当时,相互独立,有   

                                                    (9.2.15

      即对于零均值的平稳随机信号,当时间间隔很大时,相互独立,互不相关。



    http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/68/sANDs/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm

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  • 1.相关函数(Autocorrelation function)

    1.自相关函数(Autocorrelation function)

    自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的相关程度


    2. 自协方差函数(Autocovariance function)

    自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。


    时, 

    显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。


    3. 协方差矩阵


    记住,XY是一个列向量,它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定


    由于数据是二维的,所以协方差矩阵是一个2*2的矩阵,矩阵的每个元素为:元素(i,j) = (第 i 维所有元素 - 第 i 维的均值) * (第 j 维所有元素 - 第 j 维的均值) 。

    其中「*」代表向量内积符号,即两个向量求内积,对应元素相乘之后再累加。

    我们首先列出第一维:D1: (1,3,4,5) 均值:3.25

    D2: (2,6,2,2) 均值:3

    下面计算协方差矩阵第(1,2)个元素:

    元素(1,2)=(1-3.25,3-3.25,4-3.25,5-3.25)*(2-3,6-3,2-3,2-3)=-1

    类似的,我们可以把2*2个元素都计算出来:


    这个题目的最终结果就是:

    用matlab计算这个例子

    z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

    cov(z)

    ans =

        2.9167   -0.3333

       -0.3333    4.0000

    可以看出,matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以,协方差的matlab计算公式为:

        协方差(i,j)=(第i列所有元素-第i列均值)*(第j列所有元素-第j列均值)/(样本数-1)



    参考:

    [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

    [2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html

    [3]http://blog.csdn.net/ybdesire/article/details/6270328

    [4] http://202.117.122.42:9001/xhxt/xhyxt/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm


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  • 协方差函数与变差函数都是衡量空间相关性的变化情况。   (一)在理解协方差函数和变差函数之前先弄清楚协方差和相关系数的含义: 参考知乎回答:https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/134902061 ...
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  • 2.5 例子(续)上一讲的最后介绍了 AR 序列自相关系数的递推公式,现在来考察 AR(2) 自协方差函数的计算。(一)AR(2) 的自协方差函数例 解法一:Y-W 方程推论根据 Y-W 方程的推论可以得到关于自协方差函数的如下...
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  • 协方差法寻峰函数

    2019-01-09 14:29:22
    在网络上找了半天找不到协方差法的程序,一怒之下自己按照那又臭又长的公式编写了这段函数代码。因为这个方法较为冷门,代码中注释并不多,有问题可以私信我。如果喜欢的话,别忘了回头评个分哦~
  • 在学习概率统计之前,我学习的都是确定的函数。概率统计讨论了一次取值时获得的值是不确定的,而随机过程讨论了不确定会发生哪个时间函数。 每个x(t)函数(样本函数)就是实际发生的一个表达式确定的函数,...相关函数
  • 今天同学上课要对一段信号,添加噪声,然后对函数进行相关分析。我写了个如下代码 close all; x = 0:2*pi/299:2*pi; k = sin(x); subplot(2,4,1),plot(x,k),title( ' 原函数 ' ); 把原函数设置为sinx` 然后添加0·1...
  • MATLAB之相关函数

    千次阅读 2019-04-13 21:30:31
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  • 线性函数协方差传播

    千次阅读 2015-05-27 23:41:18
    开始着手学习平差啦,第一个要接触的就是协方差传播,而书上最先介绍的便是线性函数协方差传播,鉴于这个地方十分重要,自己来推一遍。 一切都源于统计里的方差计算公式: (1)  以及协方差公式: (2)  1、...
  • 目前还弄不清是什么原因,有多大影响,只知道存在这个问题。 运行版本: 1.MatlabR2015b windows64Bit 2.https://octave-online.net/ ...%协方差矩阵计算法结果一致,但与matlab自带的cov函数不一致 % ...

空空如也

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