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方差递推公式_时间序列的几个基本概念:样本自协方差函数 、自协方差函数、自相关函数、偏自相关系数...
2020-12-22 07:25:211. 样本自协方差函数2. 自协方差函数3. 自相关函数4. 偏自相关系数1. 样本自协方差函数对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:2. 自协方差函数自...1. 样本自协方差函数
2. 自协方差函数
3. 自相关函数
4. 偏自相关系数
1. 样本自协方差函数
对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:
2. 自协方差函数
自协方差函数是描述随机信号
在任意两个不同时刻t,t-k,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述
起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。在两个时刻取值的
协方差定义为:
时间序列的自协方差指:时间序列或者信号,经过时间平移后,与自己的协方差
而对于中心化AR模型,均值为0,即
所以上式表示为
在平稳AR模型等式两边同乘以
再取数学期望可得,
得到自协方差函数的递推公式
Yule-Walker方程
平稳AR序列的自协方差函数满足其中
此方程的意义在于:
已知AR模型的具体形式,可计算出自协方差函数;已知自协方差函数,可以估计出模型的未知参数。而在实际应用中,选用样本自协方差函数估计自协方差函数
3.自相关函数(Autocorrelation function)自相关函数是描述随机信号
相关程度在任意两个不同时刻t,t+k的取值之间的
公式定义对于零均值的平稳AR序列,自相关函数为
自相关系数的递推公式
自相关系数按负指数衰减且具有拖尾性
4 . 偏自相关系数
自相关系数直接反映了随机变量
与
之间的相关关系,不考虑中间k-1个随机变量的影响
而偏自相关系数把中间k-1个随机变量看作已知的条件下来研究与
之间的相关关系
公式定义其中,
条件期望为
考虑中心化平稳AR序列,可用过去的k个序列作k阶回归拟合
,即:两边取数学期望得:
则有:
所以, 偏自相关系数恰好就等于k阶自回归拟合中的滞后k阶偏自相关系数
也就是说,计算偏自相关系数可用通过计算k阶自回归拟合得到
Levinson递推公式:
如果
正定,对
有
偏自相关系数在p之后的值均为0 ,即截尾性
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稳定性 与自协方差函数
2018-10-03 22:26:19二、自协方差函数(时间序列) (1)目标 a,记录各类随机变量,并且找出两个随机变量之间的协方差 b, 明确,时间序列描述为一系列随机过程的实现 c, 定义自协方差函数 (2)什么是协方差 X,Y 是两个随机变量,协方差则是...一、稳定性问题
(1) 弱稳定性的几个特征:
a, 均值并没有系统性的变化(无趋势)
b,方差也没有系统性的变化
c,没有周期性的浮动二、自协方差函数(时间序列)
(1)目标
a,记录各类随机变量,并且找出两个随机变量之间的协方差
b, 明确,时间序列描述为一系列随机过程的实现
c, 定义自协方差函数(2)什么是协方差
X,Y 是两个随机变量,协方差则是测量这X Y 线性相关程度的
(3)什么是随机过程
就是随机变量的一个集合
是随时间变化的各个随机变量,且过程是随机的
而且满足,~(4)自协方差函数
对于在时间点s和在时间点t的两个随机变量而言
我们首先这样定义
这时候我们称呼是自协方差函数,而为自协防差函数系数。为什么呢?因为在一个稳定的时间序列里面,我们会发现,在相同的时间段里面,首尾两个端点应该满足一些线性关系 -
自相关函数和自协方差函数
2012-05-31 21:03:239.2.3自相关函数和自协方差函数 上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1,t2时刻的随机取值X(t1),X(t2)之间的关联...9.2.3自相关函数和自协方差函数
上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1,t2时刻的随机取值X(t1),X(t2)之间的关联程度如何,这种关联称为自关联。同样,我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度,这种关联性称为X与Y之间的互关联(下一小节介绍)。
1.自相关函数
自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1,t2,的取值之间的相关程度。
定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为
(9.2.7)
由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关,设
,则有
。所以,平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数,记为Rxx(t).
2.自协方差函数
自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1,t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。
定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为
(9.2.8)
当
时,有
。
显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。
对于平稳随机信号,自协方差函数是时间间隔t的函数,记为Cxx(t),且有:
(9.2.9)
当均值
时,有
。
当随机过程X(t)的均值为常数,相关函数只与时间间隔
有关,且均方值为有限值时,则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。
3.平稳随机信号自相关函数的性质
设X(t)为平稳随机过程,其自相关函数为
,自协方差函数
,则有如下性质:
(1)
(9.2.10)
(9.2.11)
即
时的自相关函数等于均方差,自协方差函数等于方差。
(2)
(9.2.12)
即当平稳随机信号是实函数时,其相关函数是偶函数。
(3)
(9.2.13)
即
时的自相关函数、自协方差函数取最大值。
(4) 若
,则其自相关函数也是周期为T的周期函数,即
(9.2.14)
(5) 若均值
,当
时,
与
相互独立,有
(9.2.15)
即对于零均值的平稳随机信号,当时间间隔
很大时,
与
相互独立,互不相关。
http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/68/sANDs/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm
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自协方差函数,自相关函数,协方差矩阵
2014-10-23 21:48:571.自相关函数(Autocorrelation function)1.自相关函数(Autocorrelation function)
自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1,t2,的取值之间的相关程度
2. 自协方差函数(Autocovariance function)
自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1,t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。
当
时,
显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。
3. 协方差矩阵
记住,X、Y是一个列向量,它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定
由于数据是二维的,所以协方差矩阵是一个2*2的矩阵,矩阵的每个元素为:元素(i,j) = (第 i 维所有元素 - 第 i 维的均值) * (第 j 维所有元素 - 第 j 维的均值) 。
其中「*」代表向量内积符号,即两个向量求内积,对应元素相乘之后再累加。
我们首先列出第一维:D1: (1,3,4,5) 均值:3.25
D2: (2,6,2,2) 均值:3
下面计算协方差矩阵第(1,2)个元素:
元素(1,2)=(1-3.25,3-3.25,4-3.25,5-3.25)*(2-3,6-3,2-3,2-3)=-1
类似的,我们可以把2*2个元素都计算出来:
这个题目的最终结果就是:
用matlab计算这个例子
z=[1,2;3,6;4,2;5,2]
cov(z)
ans =
2.9167 -0.3333
-0.3333 4.0000
可以看出,matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以,协方差的matlab计算公式为:
协方差(i,j)=(第i列所有元素-第i列均值)*(第j列所有元素-第j列均值)/(样本数-1)
参考:
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix
[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html
[3]http://blog.csdn.net/ybdesire/article/details/6270328
[4] http://202.117.122.42:9001/xhxt/xhyxt/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm
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