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  • 矩阵的初等变化矩阵的初等变化定义:1、交换两或两列。2、用一个数K乘以某一。3、用某个数乘以某一加到另一中去。上面的三种都属于初等变换 (包括列变化和变化)。矩阵的等价:1、如果矩阵A 经有限次初等...

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    “阅读本篇大概需要9分钟”
    本篇专题是矩阵的初等变化,主要
    是解决矩阵的相关计算问题的,这
    一篇也是线性代数的重点,基本上
    线性代数的计算都需要用到这些方法,
    看完全篇你一定会使用初等变换法的。
    矩阵的初等变化
    矩阵的初等变化定义:
    1、交换两行或两列。

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    2、用一个数K乘以某一行。

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    3、用某个数乘以某一行加到另一行中去。

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    上面的三种都属于初等变换
    (包括列变化和行变化)。
    矩阵的等价:
    1、如果矩阵A 经有限次初等行变换变成
    矩阵B,就称矩阵A 与B 行等价。
    
    2、如果矩阵A 经有限次初等列变换变成
    矩阵B,就称矩阵A 与B 列等价。
    
    3、如果矩阵A 经有限次初等变换变成
    矩阵B,就称矩阵A与B等价。
    矩阵之间等价关系具有的性质:

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    我们看下定理1:

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    初等矩阵:

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    三种「初等变化」对应的三种「初等矩阵」:

    为了更好地理解下面的内容,我事先把相关性质放出来先。

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    这句话我到底该怎么去理解它呢?
    我们先看下第一种初等变换:1、第一种初等矩阵「两行交换」:

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    上面这个初等变换,其实行交换和列交换的结果是一样的。大家也可以算一下来验证。

    下面把「第一种初等矩阵」和「普通矩阵A」进行「左乘」看规律:

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    2、第二种初等矩阵「K乘以某一行」不要和数乘弄混了~:

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    下面探究「第二种初等矩阵」的「左右乘规律」:

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    3、第三种初等矩阵「某一行乘以K加到另一行中去」:

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    下面探究「第三种初等矩阵」的「左右乘规律」:
    左乘:

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    右乘:

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    根据上面的推论1:

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    性质2:

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    怎么理解这句话?这句话有什么用?
    1、如果方阵A是可逆的,那么就存在一定数量的
    初等矩阵进行左乘、右乘最后可以由初等矩阵求
    出A矩阵来。
    
    2、如果存在一定数量的初等矩阵可以变换成为
    方阵A,那么这个方阵A是可逆的。
    定理1:

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    推论2:

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    怎么理解这句话?这句话有什么用?
    1、如果矩阵A是方阵的话,那么矩阵A一定
    可以转换称为单位阵E。
    
    2、如果矩阵A可以转换称为单位阵E的话,
    那么矩阵A一定是方阵。
    例题关键性质:

    ※※※

    下面有不懂的回来看这个,这个很关键。这里的PA表示的是行最简形。

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    例题检测:

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    PS:
    如果最后化简化不出左边为单位阵E的话
    ,那么就说明A是不可逆的。
    什么是行最简形?下面一题先了解什么是行最简形,理解定义:

    00d12e6cf6c8883651ba45bfd9ca971b.png
    例题:

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    最简行列式的简单说明:

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    用初等变换法求逆矩阵:

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    用初等变换法求矩阵方程:

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    用初等变换求行最简形:

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    这里的P是新求出来的一个可逆矩阵。

    用初等变换求行最简形:

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    如果有想要同济大学出版的线性代数第六版电子书
    和课后习题详解的话,可以私信我,我再发给你。
    
    若是想要线性代数相关学习资料的话,个人有建议
    就是可以到B站那里观看宋浩老师的线性代数教学
    视频,本人大一狗就是靠电子书和教学视频学习
    线性代数的。
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  • 在上一篇文章中我们介绍到矩阵的乘法不满足交换律,出于同样的原因,矩阵也不能够直接做除法,而我们在计算中却会经常遇到需要做除法的情况。比如我们有这样一个等式: 这里Y和X是n维向量,A是n阶方阵。我们通过测量...

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    在上一篇文章中我们介绍到矩阵的乘法不满足交换律,出于同样的原因,矩阵也不能够直接做除法,而我们在计算中却会经常遇到需要做除法的情况。

    比如我们有这样一个等式:

    这里Y和X是n维向量,A是n阶方阵。我们通过测量能够得到Y的值,而且也知道表示Y和X之间关系的矩阵A,想要得到X,怎么求出呢?显然我们不能够做

    这样的除法,而在实际中我们又常常会遇到这种已知Y和A而需要求X的情况。这时我们就需要用求逆矩阵的方法。

    求逆矩阵的方法基于单位矩阵的概念。假设一个n阶方阵,在其主对角线上的元素全为1,其余位置的元素全为0。

    就是一个三阶的单位矩阵。单位矩阵(Identity Matrix)可以用E表示。任何方阵乘以同阶的单位矩阵的结果都为自身。比如:
    ,或用代数方法写成

    从以上乘法中可以看出,单位矩阵E有些类似于代数乘法中的1,即任何数乘以1都等于它自身。那么,根据此思路,我们若能找出与A相乘等于E的矩阵来,

    ,就相当于找到了矩阵A的倒数了。

    定义:对于矩阵A,如果存在

    ,使
    ,则称
    为矩阵A的逆矩阵。

    明确了逆矩阵的定义后,我们需要了解计算出逆矩阵的方法。下面介绍如何利用矩阵的初等变换来求逆矩阵的方法。

    假设我们需要求A的逆矩阵,我们可以对矩阵A持续进行初等行变换的操作,直到将A转化成为单位矩阵E。与这些初等行变换操作同步进行的是对一个同阶单位矩阵E的初等行变换操作。也就是说,从第一步开始,都将对A的每一步初等行变换操作同时作用于E。这样,A不断变化的同时E也不断变化。当最终A转换为E的同时,对E的操作就将E转换为了A的逆矩阵。

    上图中左侧一列矩阵是将A不断地变换成单位矩阵的过程。而右侧是将E做同步操作的过程,其结果就是A的逆矩阵

    。化成单位矩阵的过程并不唯一,基本思路是先将第一列除第一行外的元素转化为0,再将第二列除第二行外的元素转化为0,最后操作第三列。

    每一次进行行变换时需要对两侧的矩阵同时进行行变换,计算量不小且比较繁琐,需要非常细心。当然,一个更好的办法是使用计算机或计算器来计算逆矩阵:

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    最后,并不是所有矩阵都存在逆矩阵的。首先,要满足

    ,矩阵必须是一个方阵。其次,矩阵的行列式不能为0,这个问题在我们介绍矩阵的秩时会有更多的介绍。
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  • 软件介绍小伙伴们,在上学的时候,还记得自己曾经使用的计算器吗?老大记得刚上初中的时候,曾经买过一款功能复杂的计算机,可以说基本上能算出很多结果,比如求某一个数的N次幂,三角函数等等,大家还记得这款...

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    软件介绍

    小伙伴们,在上学的时候,还记得自己曾经使用的计算器吗?老大记得刚上初中的时候,曾经买过一款功能复杂的计算机,可以说基本上能算出很多结果,比如求某一个数的N次幂,三角函数等等,大家还记得这款计算器吗?

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    想必是一代人的回忆吧,然而针对手机上的计算器,大部分的功能都挺简单,当然,这么复杂的计算器我们也用不了,毕竟用不到里面的功能。但是对于大学生来讲,这款计算器的功能还是比较适用了,加下来,老大给大家推荐一款计算机,不仅能算定积分、线性代数、还能进行简单的编程,最主要的还涵盖了数学、物理、化学等公式表。

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    功能演示

    1.复杂计算:这是老大随便输入的一个计算式子,可以看出,不仅能开方,还能算出定积分,如果对于复杂的式子,只需要一个计算器就能帮你解决结果。

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    2.矩阵计算:相比小伙伴们有的接触过线性代数吧,对于计算量可不是一般的少呀,其中最常见的就是M行N列的相乘,如果有规律,还能快速算出结果,对于毫无规律的矩阵,就只能慢慢的算了,如果有了这款计算器,很轻松。

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    3.函数图像,对函数进行编辑,就会显示出函数图像,无论多复杂,均能画出来。当然,对于一些空间能力想象不好的小伙伴来说,这款软件就是一大救星。接触过高等数学课程的小伙伴来讲,对于那些方程组组成的图像有时候是很难想象出来的,不借助图像软件压根就不知道长啥样。这款图像没还能显示出原函数的一阶导函数图形。当然,在这里展示的是笛卡尔坐标,还支持极坐标形式。

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    4.公式、单位换算:里面还包含大量的数学公式、物理公式对应的知识讲解,其中还包含一些单位换算,比如货币、压强、速度、密度、能量、电学等方面的换算。

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    5.键盘切换:当然,这里面还支持简单的键盘,对于简单键盘,相比直接使用手机自带的计算器即可,但是这款简单键盘,也比手机自带的计算器功能多了很多。

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    6.这款计算器还支持查看化学元素周期表、化学公式、编程等等,功能还有很多,在这里大家可以自行尝试一下,简直是宝藏呀!

    结束语

    这款计算器简直就是宝藏,是大学生学习高等数学、线性代数、大学物理、化学的神器,比市面上的是计算器携带的功能还要多,复杂运算、图形均能使用,不仅能看笛卡尔坐标图形,还能在极坐标形势下展示图形,老大建议,赶紧行动起来,万一哪天用到了呢!

    具体详情和获取方式

    超级计算器mp.weixin.qq.com
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  • 前言之前有小伙伴想了解A Level数学考试中该如何使用计算器的问题,并希望得到一些计算器使用的建议。那么今天,我们就和大家聊聊关于A Level计算器的使用,希望能够帮助到大家~A Level考试中虽然一些科目需要带...

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    前言

    之前有小伙伴想了解A Level数学考试中该如何使用计算器的问题,并希望得到一些计算器使用的建议。那么今天,我们就和大家聊聊关于A Level计算器的使用,希望能够帮助到大家~
    A Level考试中虽然一些科目需要带计算器,但各个考试局对于计算器都有要求。一般来说,要求计算器不能有代数运算功能(CAS),只能进行纯数运算,比如CIE在官网是这样要求的:

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    (https://help.cambridgeinternational.org/hc/en-gb/articles/115005425605-When-can-I-use-a-calculator-and-what-calculators-are-acceptable-)

    这不同于AP考试所需要的画图计算器。事实上,Alevel考试中只需要计算和验证功能。所以选择的计算器需要有一下几点功能:

    1. 有虚数模式

    2. 可以进行integration和differentiation的计算(主要用于验证答案)

    3. 统计模式

    4. 向量模式(看个人需求)

    今天我们会用A Level学子通常强推的Casio class wiz系列计算器做例子,这款计算器不光外形好看,使用时候按键也很舒服。机型比较轻薄而且还带有太阳能充电。它主要常用的编号有两个,fx991cn和fx991EX。

    因为具备以上所有的功能,今天我们用它来介绍一些具体在A Level数学考试中遇到的操作。接下来,我将在文中主要介绍一下几点:

    1. 991系列的基本介绍&CN和EX的差别

    2. 分布概率的计算

    3. 统计计算(grouped continuous data)

    4. 计算器使用注意事项

    基本介绍

    fx991CN和fx991EX这两个计算器外观差别不大,计算、复数、基数、方程、矩阵、统计、不等式、比例、函数表格和向量功能是一样的。但是991EX比991CN多出两个功能:电子表格和分布计算。也就是说,只要不是对分布计算有太多要求的同学,选择fx991CN绰绰有余。何况A-level考试对计算器的使用要求并不太高。

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    第一次拿到这款计算器,可能会被上面的字符弄的晕晕乎乎。但是A-level所需要的按键只有一部分。点击shift(左上角黄色的按键)并选择上面带黄色字符的按键,就可以使用黄色字符。如果需要红色字符的功能,点击左上角红色按键并选择即可。

    比如需要求tan(x)=88时,点击shift,点击tan,输入88,即可求出反函数。

    接下来,我们讲一下具体操作。

    分布概率计算

    这是EX才有的功能。以binomial distribution为例,其他分布大同小异:

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    首先,先判断题型是否是binomial distribution,并找出parameter(n和p),然后打开计算器,在mode里面选择7。

    f8b5bedb0a5e1ab13813ffbba04530bf.png

    然后就会发现有很多数据分布模式。其中PD是poison distribution的缩写,CD是commutative distribution的缩写。

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    下拉选择1, binomial CD,选择1 list。进入页面。

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    以下题为例:

    A random variable X has the distribution B(8, 0.55). Find P(x<7),

    x小于7在这里就是x小于等于6

    在第一列里输入x的大小

    147644cb5262a2898eeb831f5349e880.png

    点击等号进入输入parameter的环节,N=8,P=0.55。

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    完成计算,采取需要的数值。

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    注意:第一列是序号,第二列是数值,不要搞混。

    Mean & Standard Deviation of Grouped Continious Data

    A-level统计里面所需要的量有:

    Mean

    Median

    Min/Max

    Standard Deviation

    Variance

    在统计数据分析里,首先要做的第一步就是判断数据是否连续。如果是时间、高度等量的话,就是continuous data;如果是年龄(周岁),人数等,则是discrete data。

    以下题为例:

    40 people were asked to guess the length of a certain road. Each person gave their guess, l km, correct to the nearest km.

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    对以上数据进行整理,因为是continuous data,所以需要进行boundary的变化然后计算平均数,作为一个合理估算。虽然10-12的平均和9.5-12.5的平均数都是11,但是因为其他题里面不一定这样,所以我们要养成改变boundary的习惯。

    以此类推,L的数值分别是:11,14,18和25.5。接下来,我们拿出计算器(两种型号都可以),点击菜单键,选择6统计:

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    点击第一行:1-variable(单变量统计)

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    但是我们可以发现,现在只有一列x的值,因此需要引入frequency:

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    点击shift,然后按菜单按键(这样打开的就是设置),点击⬇️下拉

    fda49439f85ce549dedff09c16e1325f.png

    选择3 statistics(统计)

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    点击1 打开frequency(频数)

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    这样看就是两列啦~在x那一列输入l的平均值;然后在frequency那一列输入f的数值。

    都输进去之后

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    点击OPTN(option键)

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    进入如图页面,选择3,1Variable Calc(单变量计算),这样就可以得到这一组数据相关的值啦~

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    计算器使用注意事项

    1在操作过程中

    1. 因为fx991系列是采用日光充电,请在长期不使用的情况下不要一直盖着盖子,否则会有可能没电或者电量低。

    2. 建议指甲长的男生女生把指甲剪短,因为很有可能会按错数字,导致结果出错,小题每分答题扣分。

    3. 保持计算器干净整洁,不要在其上面做任何标记。考试的时候不允许计算器带壳入场,如果有标记,在监考严格的情况下可能会视作作弊行为。

    2在做题过程中题

    1. Alevel考试更注重的是学生做题的步骤,而并非答案。所以以上写的小技巧都可以当作验证用,包括最常用的integration。但是很多题只写答案是没有得分的,请务必记住不要依赖计算器答题,计算器只是在你解题步骤里帮你计算,写完题之后验证答案用的。

    2. ans按键可以保留上一次计算的结果,建议能尽量使用ans计算就不用再输入一边。尤其是根据一个算式找方程解的时候。将第一个数字a1输入,点击等号。然后写general equation(an+1和an的关系),将未知数替换为ANS,按一次等号是a2的结果,以此类推。

    3.shift+数字7可以快速查到所有科学常数。在物理化学考试中可以节省查表/录入的时间。

    4. 数字上两行有大写的红色ABCD等字母,也可以进行自定义数值。

    5. 可以使用红色的alpha+红色的等号+solve按键进行解方程。

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  • 实例017 设计计算器程序界面 26 实例018 设计关于进销存管理系统的界面 27 第2章 Java基础应用 29 2.1 基本语法 30 实例019 输出错误信息与调试信息 30 实例020 从控制台接收输入字符 31 实例021 重定向输出流实现...
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  • 实例030 对调最大与小数位置 36 实例031 二维数组行列互换 37 实例032 使用数组统计学生成绩 39 实例033 打印5阶幻方 40 1.6 字符和字符串操作 41 实例034 统计各种字符个数 41 实例035 字符串倒置 ...
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  • c语言经典案例

    2014-10-30 08:06:57
    实例116 对调最大数与小数位置 153 第10章 函数编程基础 155 实例117 输出两个数中的最大值 156 实例118 判断素数 157 实例119 递归解决年龄问题 158 实例120 递归解决分鱼问题 159 实例121 小数分离 160 实例122 ...
  • 数据结构演示软件

    2013-06-02 21:32:36
    在算法选择菜单画面中,如 的图标意为尚有下级菜单,如 的图标则表示将直接进入算法演示状态。此时也可直接单击一级菜单或二级菜单的标题直接返回之,注意:菜单右侧上方的“退出”按钮意为退出整个演示课件。 ...
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  •  《Visual Basic开发实战1200例》分为I、II两卷共计1200个例子,包括了开发中各个方面常用的实例,是目前市场上实例全面的开发类图书;书中实例来源于多位工程师的多年积累,具有很强的实用性。 本书是第I卷,...
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空空如也

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行最简形矩阵计算器