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  • 2020-04-16 21:11:49

    1. 贝叶斯概念理解

    如下为贝叶斯公式,其中P(A)为事件A的先验概率,P(A|B)为事件A的后验概率,且后验概率的计算融合了先验概率的值。
    P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) ∗ P ( A ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)} P(AB)=P(B)P(BA)P(A)这里的事件B可以理解为证据,事件A可以理解为待推理的事件,后验概率P(A|B)是在给出事件B作为证据的基础上,对P(A)值的推理更新。

    • 对贝叶斯的理解:根据数据或信息的更新,对事件发生的可能性进行重新估计。

    2. 贝叶斯公式推导

    在推导贝叶斯公式之前,首先需要了解条件概率公式
    P ( A ∣ B ) = P ( A B ) / P ( B ) P(A|B)=P(AB)/P(B) P(AB)=P(AB)/P(B)其中,P(AB)为A和B同时发生的概率,且有:
    P ( A B ) = P ( A ∣ B ) ∗ P ( B ) P(AB)=P(A|B)*P(B) P(AB)=P(AB)P(B) = P ( B ∣ A ) ∗ P ( A ) =P(B|A)*P(A) =P(BA)P(A)

    做简单的等式变换,P(B)除过来,直接得到贝叶斯公式,如下:
    P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) ∗ P ( A ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)} P(AB)=P(B)P(BA)P(A)

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    ②全概率公式 : 在计算一个比较复杂事件的概率时,我们总是希望从已知的简单地事件的概率来计算,为此经常把一个复杂事件分解为若干个不相容的简单事件的和,再分别计算这些简单事件的概率,最后利用有限可加性得到...

    基础知识:

    ①条件概率 :P(B|A) = P(AB) / P(A)       其中P(AB) = P(A∩B) 即事件A 和事件B同时发生的概率

     由上式变形可知  P(AB) = P(A) *  P(B|A)。

    ②全概率公式 : 在计算一个比较复杂事件的概率时,我们总是希望从已知的简单地事件的概率来计算,为此经常把一个复杂事件分解为若干个不相容的简单事件的和,再分别计算这些简单事件的概率,最后利用有限可加性得到较复杂事件的概率。

    设A1,A2,A3,···,An是样本空间Ω的一个划分(A1-An中 每次实验有且仅有一个发生)B是任意一个事件,则 全概率公式的表达形式: P(B)= \sum_{i = 1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})

    ③先验概率/后验概率:

    后验概率  是   由果推因 你知道是这个结果 那么造成这个结果的原因的概率是多少呢?

     似然概率 是   由因推果   哪个原因最有可能导致这个结果的概率。 

    贝叶斯公式:

    贝叶斯公式是求解后验概率的一种方法:

    贝叶斯公式内容 :  P(A_{i}|B) = \frac{P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k})}    

    证明:

    其中P(B|Ai)   叫做似然概率 他一般代表观测的准确性  。

           比如用体重计测量体重  P(A1 = 100) 表示重量为100kg的估计概率 , P(A2 = 101)表示总量为101kg的概率  。实际的体重在测量时 B = 100.5,但是这个测量值也是有误差的,并不是真实值。那么 P(B|A1)的含义就是当真实体重为100.5kg时,体重计测得体重为100kg的概率是多少。

           后验概率 所有的 值加起来概率和为1,这个可以通过全概率公式很好的算出来,但是似然概率之间的大小并没有影响。

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  • 贝叶斯公式推导

    千次阅读 2019-09-07 20:46:00
    贝叶斯公式推导 贝叶斯单一观测 p(x/z)=p(z/x)p(x)p(z) p(x/z)=\tfrac{p(z/x)p(x)}{p(z)} p(x/z)=p(z)p(z/x)p(x)​ 贝叶斯多种观测 p(x/z,u)=p(z,x,u)p(z,u)=p(z/x,u)p(x,u)p(z,u)=p(z/x,u)p(x/u)p(u)p(z/u)p(u)=p(z...

    贝叶斯单一观测

    p ( x / z ) = p ( z / x ) p ( x ) p ( z ) p(x/z)=\tfrac{p(z/x)p(x)}{p(z)} p(x/z)=p(z)p(z/x)p(x)

    贝叶斯多种观测

    p ( x / z , u ) = p ( z , x , u ) p ( z , u ) = p ( z / x , u ) p ( x , u ) p ( z , u ) = p ( z / x , u ) p ( x / u ) p ( u ) p ( z / u ) p ( u ) = p ( z / x , u ) p ( x / u ) p ( z / u ) p(x/z,u)=\tfrac{p(z,x,u)}{p(z,u)} =\tfrac{p(z/x,u)p(x,u)}{p(z,u)} =\tfrac{p(z/x,u)p(x/u)p(u)}{p(z/u)p(u)} =\tfrac{p(z/x,u)p(x/u)}{p(z/u)} p(x/z,u)=p(z,u)p(z,x,u)=p(z,u)p(z/x,u)p(x,u)=p(z/u)p(u)p(z/x,u)p(x/u)p(u)=p(z/u)p(z/x,u)p(x/u)

    SLAM中贝叶斯公式推导

    B e l ( x t ) = p ( x t / x 0 , z 1 : t , u 1 : t ) = p ( z t / x t , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) p ( x t / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) p ( z t / z 1 : t − 1 , u 1 : t ) ( 1 ) = η p ( z t / x t ) p ( x t / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) ( 2 ) = η p ( z t / x t ) ∫ p ( x t / x t − 1 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) d x t − 1 ( 3 ) = η p ( z t / x t ) ∫ p ( x t / x t − 1 , u t ) p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) d x t − 1 ( 4 ) = η p ( z t / x t ) ∫ p ( x t / x t − 1 , u t ) p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t − 1 ) d x t − 1 ( 5 ) = η p ( z t / x t ) ∫ p ( x t / x t − 1 , u t ) B e l ( x t − 1 ) d x t − 1 \begin{aligned} Bel(x_{t})&=p(x_{t}/x_{0},z_{1:t},u_{1:t}) \\ &=\tfrac{p(z_{t}/x_{t},z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_{t}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t})}{p(z_{t}/z_{1:t-1},u_{1:t})} (1)\\ &=\eta p(z_{t}/x_{t}) p(x_{t}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t}) (2) \\ &=\eta p(z_{t}/x_{t}) \int p(x_{t}/x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t}) p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t})dx_{t-1}(3) \\ &=\eta p(z_{t}/x_{t}) \int p(x_{t}/x_{t-1},u_{t}) p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t})dx_{t-1}(4) \\ &=\eta p(z_{t}/x_{t}) \int p(x_{t}/x_{t-1},u_{t}) p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t-1})dx_{t-1}(5) \\ &=\eta p(z_{t}/x_{t}) \int p(x_{t}/x_{t-1},u_{t}) Bel(x_{t-1})dx_{t-1} \end{aligned} Bel(xt)=p(xt/x0,z1:t,u1:t)=p(zt/z1:t1,u1:t)p(zt/xt,z1:t1,u1:t)p(xt/x0,z1:t1,u1:t)(1)=ηp(zt/xt)p(xt/x0,z1:t1,u1:t)(2)=ηp(zt/xt)p(xt/xt1,z1:t1,u1:t)p(xt1/x0,z1:t1,u1:t)dxt1(3)=ηp(zt/xt)p(xt/xt1,ut)p(xt1/x0,z1:t1,u1:t)dxt1(4)=ηp(zt/xt)p(xt/xt1,ut)p(xt1/x0,z1:t1,u1:t1)dxt1(5)=ηp(zt/xt)p(xt/xt1,ut)Bel(xt1)dxt1
    (1)式到(2)式,分母与x无关,是一个常数,为了方便表示用 η \eta η表示,由马尔科夫假设,在已知 x t x_{t} xt的情况下, z t z_{t} zt与{ z 1 : t − 1 , u 1 : t {z_{1:t-1},u_{1:t}} z1:t1,u1:t}无关,所以分子第一项化简为 p ( z t / x t ) p(z_{t}/x_{t}) p(zt/xt)

    (2)式到(3)式,当前状态 x t x_{t} xt是基于之前所有状态估计得到的,至少它会受 x t − 1 x_{t-1} xt1影响,于是按照 x t − 1 x_{t-1} xt1时刻为条件概率展开: p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) = p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t − 1 ) = B e l ( x t − 1 ) p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t})=p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t-1})=Bel(x_{t-1}) p(xt1/x0,z1:t1,u1:t)=p(xt1/x0,z1:t1,u1:t1)=Bel(xt1)

    (3)式到(4)式,由马尔科夫假设,当前时刻状态只和上一个时刻有关,所以 ∫ p ( x t / x t − 1 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) = ∫ p ( x t / x t − 1 , u t ) \int p(x_{t}/x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t})=\int p(x_{t}/x_{t-1},u_{t}) p(xt/xt1,z1:t1,u1:t)=p(xt/xt1,ut)

    (4)式到(5)式,考虑到t时刻的输入量 u t u_{t} ut与 t−1 时刻的状态无关,所以把 u t u_{t} ut拿掉, p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t ) = p ( x t − 1 / x 0 , z 1 : t − 1 , u 1 : t − 1 ) = B e l ( x t − 1 ) p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t})=p(x_{t-1}/x_{0},z_{1:t-1},u_{1:t-1})=Bel(x_{t-1}) p(xt1/x0,z1:t1,u1:t)=p(xt1/x0,z1:t1,u1:t1)=Bel(xt1)

    总结:从最终的式子可以看出,SLAM中的贝叶斯框架就是:我们用轮速里程计运动数据 u t u_{t} ut来预测下一时刻机器人的位姿 x t x_{t} xt,接着用视觉传感器观测数据 z t z_{t} zt来对预测的位姿 x t x_{t} xt进行校正,这样就获得了当前时刻状态的后验。其实就是两个过程,状态预测状态更新

    展开全文
  • I . 贝叶斯分类器 II . 贝叶斯推断 ( 逆向概率 ) III . 贝叶斯推断 应用场景 ( 垃圾邮件过滤 ) IV . 贝叶斯方法 由来 V ....VI . 贝叶斯公式 VII . 贝叶斯公式推导过程 VIII . 使用贝叶斯公式求逆向概率



    I . 贝叶斯分类器



    1 . 贝叶斯分类器 :


    ① 原理 : 基于统计学方法贝叶斯 ( Bayes ) 理论 , 预测样本某个属性的分类概率 ;

    ② 性能分析 : 朴素贝叶斯 分类器 , 与 决策树 , 神经网络 分类器 性能基本相同 , 性能指标处于同一数量级 , 适合大数据处理 ;


    2 . 贝叶斯分类器的类型 :

    ① 朴素贝叶斯分类器 : 样本属性都是独立的 ;

    ② 贝叶斯信念网络 : 样本属性间有依赖关系的情况 ;


    决策树 , 贝叶斯 , 神经网络 都是机器学习的核心方法



    II . 贝叶斯推断 ( 逆向概率 )



    1 . 贝叶斯推断 : 是统计学方法 , 贝叶斯定理的应用 , 用于估算统计量的性质 ;


    2 . 正向概率 与 逆向概率 :

    ① 正向概率 : 盒子中有 N N N 个白球 , M M M 个黑球 , 摸出黑球的概率是 M N + M \rm \cfrac{M}{N + M} N+MM ;

    ② 逆向概率 : 事先不知道盒子中白球和黑球的数量 , 任意摸出 X X X 个球 , 通过观察这些球的颜色 , 推测盒子中有多少白球 , 多少黑球 ;



    III . 贝叶斯推断 应用场景 ( 垃圾邮件过滤 )



    1 . 传统垃圾邮件过滤方法 :


    ① 关键词法 : 识别特定词语 , 识别 “发票” “培训” 等关键字 ;

    ② 检验码法 : 计算邮件中文本的校验码 , 与已知的垃圾邮件对比 ;

    ③ 效果 : 关键词法 和 校验码法 对垃圾邮件的识别效果不好 , 容易规避 ;

    ④ 问题本质 : 垃圾邮件过滤是二元分类问题 , 针对每个邮件 , 都需要判定其是否是垃圾邮件 ,


    2 . 贝叶斯推断过滤垃圾邮件 :


    ① 效果 : 准确性很高 , 并且没有误判 ;

    ② 原理 : 贝叶斯推断的垃圾邮件过滤器有学习能力 , 收到的邮件越多 , 训练集越大 , 判定越准确 ;



    IV . 贝叶斯方法 由来



    1 . 贝叶斯方法 由来 :


    ① 现实情况 : 现实世界本身的状况复杂 , 不确定性很大 , 人的观察能力也有限 ;

    ② 人的应对方案 : 多数情况下 , 只能根据观察到的结果 , 来估算实际的情况 ;


    2 . 贝叶斯 处理 逆向概率 问题示例 :


    ① 盒子白球黑球问题 : 从盒子中取出白球和黑球 , 不知道盒子中有多少白球和黑球 , 只能根据从盒子中取出球的情况 , 估算盒子中的白球和黑球数 ;

    ② 互联网垃圾邮件问题 : 互联网中发送邮件 , 有多少是正常邮件 , 有多少是垃圾邮件是不知道的 , 只能根据当前收到的垃圾邮件 , 反向估算实际情况 ;



    V . 贝叶斯方法



    贝叶斯方法 :


    ① 提出假设 : 给出样本属性的 不同类型 的猜测的 属性值 , 如 : 邮件是否是垃圾邮件 , 是 或者 否 ;

    ② 计算每种取值的可能性 : 计算每种猜测的可能性 ;

    ③ 确定猜测 : 选取可能性最大的猜测 , 作为贝叶斯推断的结果 ;



    VI . 贝叶斯公式



    1 . 贝叶斯公式 :


    公式 ①

    P ( B ∣ A ) = P ( A ∣ B ) × P ( B ) P ( A ∣ B ) × P ( B ) + P ( A ∣ ∼ B ) × P ( ∼ B ) P ( B | A ) = \frac{P ( A | B ) \times P ( B ) }{ P ( A | B ) \times P ( B ) + P ( A | \sim B ) \times P ( \sim B ) } P(BA)=P(AB)×P(B)+P(AB)×P(B)P(AB)×P(B)

    简写形式 :

    公式 ②

    P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P ( B | A ) = \frac{P ( AB )}{P ( A )} P(BA)=P(A)P(AB)

    公式 ③

    P ( B ∣ A ) = P ( B ) × P ( A ∣ B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(B) \times P(A|B)}{P(A) } P(BA)=P(A)P(B)×P(AB)


    2 . 公式中的事件说明 : 有两个事件 , 事件 A A A , 和事件 B B B ;


    3 . 概率的表示方法 :


    ① 事件 A A A 发生的概率 : 表示为 P ( A ) P(A) P(A) ;

    ② 事件 B B B 发生的概率 : 表示为 P ( B ) P(B) P(B) ;

    A B A B AB两个事件同时发生的概率 : 表示为 P ( A , B ) P(A,B) P(A,B) ;

    ④ 事件 A A A 发生时 B B B 发生的概率 : 表示为 P ( B ∣ A ) P(B | A) P(BA) ;



    VII . 贝叶斯公式 ③ 推导过程



    1 . 事件 A A A B B B 同时发生的概率 ( 第 1 1 1 种求法 ) :


    ① 先求 A A A 发生的概率 : P ( A ) P(A) P(A)

    ② 再求 A A A 发生时 B B B 发生的概率 : P ( B ∣ A ) P(B | A) P(BA)

    A B AB AB 同时发生的概率 : P ( A , B ) = P ( A ) × P ( B ∣ A ) P(A,B) = P(A) \times P(B|A) P(A,B)=P(A)×P(BA)


    2 . 事件 A A A B B B 同时发生的概率 ( 第 2 2 2 种求法 ) :


    ① 先求 B B B 发生的概率 : P ( B ) P(B) P(B)

    ② 再求 B B B 发生时 A A A 发生的概率 : P ( A ∣ B ) P(A | B) P(AB)

    A B AB AB 同时发生的概率 : P ( A , B ) = P ( B ) × P ( A ∣ B ) P(A,B) = P(B) \times P(A|B) P(A,B)=P(B)×P(AB)


    3 . 公式 ③ 推导过程 :


    P ( A ) × P ( B ∣ A ) P(A) \times P(B|A) P(A)×P(BA) P ( B ) × P ( A ∣ B ) P(B) \times P(A|B) P(B)×P(AB) 两个公式是等价的 , 可推导出如下公式 :

    P ( A ) × P ( B ∣ A ) = P ( B ) × P ( A ∣ B ) P(A) \times P(B|A) = P(B) \times P(A|B) P(A)×P(BA)=P(B)×P(AB)

    P ( B ∣ A ) = P ( B ) × P ( A ∣ B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(B) \times P(A|B)}{P(A) } P(BA)=P(A)P(B)×P(AB)



    VIII . 使用贝叶斯公式求逆向概率



    使用贝叶斯公式求逆向概率 :


    知道 B B B 发生时 , A A A 发生的概率 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(AB) , 求其逆概率 : A A A 发生时 , B B B 发生的概率 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(BA) ;

    可将已知的 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(AB) 概率 , 和 A B AB AB 单独发生的概率 P ( A ) P(A) P(A) , P ( B ) P(B) P(B) , 代入如下公式 :

    P ( B ∣ A ) = P ( B ) × P ( A ∣ B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(B) \times P(A|B)}{P(A) } P(BA)=P(A)P(B)×P(AB)

    即可得到其逆概率 , B B B 发生时 , A A A 发生的概率 ;

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