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  • n个节点的二叉树有多少种
    2017-09-28 13:54:47

    N个节点的二叉树有多少种形态

    这是一道阿里的面试题。其实算不上新鲜,但是我之前没关注过,如今碰到了,就顺便探讨下这个问题吧:)

    拿到这个题,首先想到的是直接写出表达式肯定不行,所以有必要从递推入手。由特殊到一般,归纳法么~而且二叉树离不开递推这个尿性。。。

     

    先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1

    如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,有两种情况,一是左子树还剩一个节点,此刻类型数量为f(1),第二种情况是右子树生一个节点,此刻类型数量为f(1),固有f(2) = f(1) + f(1)

    如果有三个节点呢?我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不行,为什么?

    因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种,而在这多种基础之上你如何安排后续剩下的节点呢?所以必须挑出这个误区。

    回到二叉树的定义,二叉树本质上就是一个递归的形式,左子树,右子树,根节点。所以根节点应该不变,需要递归处理的是左右子树。

    也就是说,还是考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=0+2=1+1=2+0。

    所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

    那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1

    OK。递归表达式出来了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)

     

    观察一下这个表达式,嗯,和我们之前见过的递归表达有一点区别,递推层级为n的时候,更多的是考虑前一步(n-1),或者前两步(n-1)和(n-2)。

    但是这里却考虑到所有的情况,即1到n-1。

    最后说明一下,这个表达式有一个学名,叫做Catalan数。上面我们没有定义f(0)。如果把f(0)也考虑进去,显然没有节点也只有一种情况,即f(0)=1

    标准表达式为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0)

    前几个数为1,1,2,5,14,42,132。

    此外,还有一个通项公式为1/(n+1) * C(n, 2n) = C(n, 2n) - C(n-1, 2n) , n = 0,1,2,...

    有兴趣的同学可以参考组合数学相关书籍,这里就不累述其证明和推导了。

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    分析过程: 
    (1)先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1

    (2)如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,左右子树的分布情况为1=1+0=0+1,故有f(2) = f(1) + f(1)

    (3)如果有三个节点,(我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不,因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种)我们考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=2+0=1+1=0+2。 
    所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

    (4)那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

    接下来我们定义没有节点的情况,此时也只有一种情况,即f(0)=1 
    那么则有: 
    f(0)=1,f(1)=1 
    f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1) 
    f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2) 
    .
    f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1) 
    该数列称为卡特兰数(Catalan数),该递推关系的解为: 

    ![公式](https://img-blog.csdn.net/20150628170417849)


    即含n个节点的二叉树有f(n)种形态。

    【其他使用Catalan数解决的问题】

    (1)矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案? 
    (2)一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 
    (3)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 
    (4)将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 
    (5)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。 
    (6)一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

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    (1)先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1

    (2)如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,左右子树的分布情况为1=1+0=0+1,故有f(2) = f(1) + f(1)

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    所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

    (4)那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

    接下来我们定义没有节点的情况,此时也只有一种情况,即f(0)=1 
    那么则有: 
    f(0)=1,f(1)=1 
    f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1) 
    f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2) 




    f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1) 
    该数列称为卡特兰数(Catalan数),该递推关系的解为: 
    这里写图片描述 
    即含n个节点的二叉树有f(n)种形态。

    前几项为:  1, 1, 2, 5, 14, 42, 132,....

    # 求n个节点的二叉树有多少种形态
    
    class Solution:
        def orderMultiply(self, x):
            if x == 0:
                return 1
            else:
                return x * self.orderMultiply(x-1)
        
        def getStateofBinaryTree(self, n):
            if n == 0:
                return
            elif n == 1:
                return 1
            else:
                return self.orderMultiply(2*n) / self.orderMultiply(n) / self.orderMultiply(n+1)
    
    n = 3
    answer = Solution()
    print(answer.getStateofBinaryTree(n))

    【其他使用Catalan数解决的问题】

    (1)矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案? 
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    (5)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。 
    (6)一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

     

    转自 :

    https://blog.csdn.net/adminabcd/article/details/46672759

    http://www.cnblogs.com/ShaneZhang/p/4102581.html

    http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html

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    记n个节点的二叉树形态个数为A[n]

    1)0个节点的二叉树只有1种形态,A[0]=0;1个节点的二叉树只有1种形态,A[1]=1

    2)n个节点(n>=2)的二叉树有A[n]={\sum_{m=0}^{n-1}}(A[m]+A[n-1-m]),求和的每一项,分别表示根的左子树为m个节点、右子树为 n-1-m个节点的情况。(总共n个节点,左子树m个节点,根节点有1个,那么右子树的节点数为n-1-m个)

    刚好就是catalan数,直接用catalan数的公式:h(n)=C_{2n}^{n} /(n+1)=(2n)!/n!*(n+1)!

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