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  • 重叠相加法计算线性卷积
    2021-05-22 16:59:10

    与《重叠相加法计算线性卷积》相关的范文

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    前言

    我们知道,如果使用DFT来计算线性卷积,需要分别将M点数据长度的 x ( n ) x(n) x(n)和N点滤波器长度的 h ( n ) h(n) h(n)分别补零至L点以上,其中
    L = M + N − 1 L=M+N-1 L=M+N1然而,当M与N相差非常大时,需要补很多零,另外,由于FFT属于批处理算法,需要等到长序列全部输入完毕后才能利用FFT这一快速算法计算DFT,实时性难以保证。因此,可以采用分段卷积的方法来解决这一问题。分段卷积的具体方法,主要包括重叠相加法和重叠保留法。

    重叠相加法

    理论分析

    重叠相加法的核心思想在于,将长序列均匀分段,每段分别与短序列做线性卷积,而后将卷积结果重叠部分叠加起来。结果可以用分段函数来表示,对给定的n,可以相应求出结果值y(n)。
    具体分析如下:
    设长序列 x ( n ) x(n) x(n)长到无限长,滤波器 h ( n ) h(n) h(n)的长度为N,将 x ( n ) x(n) x(n)按照每M点一部分进行划分,其中设M>N,每段用 x k ( n ) x_k(n) xk(n)表示,则有
    x k ( n ) = { x ( n + k M ) ,0  ≤  n  ≤  M-1, k=0,1,2 … 0 ,others x_k(n)=\begin{cases} x(n+kM) & \text{,0 $\le$ n $\le$ M-1, k=0,1,2…} \\ 0 & \text{,others} \end{cases} xk(n)={x(n+kM)0,0  n  M-1, k=0,1,2,others
    反过来, x ( n ) x(n) x(n)可以用 x k ( n ) x_k(n) xk(n)表示为
    x ( n ) = ∑ k = 0 ∞ x k ( n − k M ) x(n)=\sum_{k=0}^{\infty}x_k(n-kM) x(n)=k=0xk(nkM)
    设卷积结果为 y ( n ) y(n) y(n),有
    y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ k = 0 ∞ x k ( n − k M ) ∗ h ( n ) = ∑ k = 0 ∞ y k ( n − k M ) y(n)=x(n)*h(n)\\ =\sum_{k=0}^{\infty}x_k(n-kM)*h(n)\\ =\sum_{k=0}^{\infty}y_k(n-kM) y(n)=x(n)h(n)=k=0xk(nkM)h(n)=k=0yk(nkM)
    其中, y k ( n ) = x k ( n ) ∗ h ( n ) y_k(n)=x_k(n)*h(n) yk(n)=xk(n)h(n), 0 ≤ n ≤ N + ( M − 1 ) − 1 0\le n \le N+(M-1)-1 0nN+(M1)1
    y k ( n − k M ) y_k(n-kM) yk(nkM)的非零部分的自变量取值范围为
    0 ≤ n − k M ≤ N + ( M − 1 ) − 1 0\le n-kM \le N+(M-1)-1 0nkMN+(M1)1

    k M ≤ n ≤ N + ( k + 1 ) M − 2 kM\le n \le N+(k+1)M-2 kMnN+(k+1)M2
    下面讨论重叠部分:
    由于 y k ( n − k M ) y_k(n-kM) yk(nkM)非零部分的自变量取值范围为
    k M ≤ n ≤ N + ( k + 1 ) M − 2 kM\le n \le N+(k+1)M-2 kMnN+(k+1)M2
    y k + 1 ( n − ( k + 1 ) M ) y_{k+1}(n-(k+1)M) yk+1(n(k+1)M)非零部分的自变量取值范围为
    ( k + 1 ) M ≤ n ≤ N + ( k + 2 ) M − 2 (k+1)M\le n \le N+(k+2)M-2 (k+1)MnN+(k+2)M2
    则可以得出,重叠区间为
    ( k + 1 ) M ≤ n ≤ N + ( k + 1 ) M − 2 (k+1)M\le n \le N+(k+1)M-2 (k+1)MnN+(k+1)M2
    可见,重叠点数为
    N + ( k + 1 ) M − 2 − ( k + 1 ) M + 1 = N − 1 N+(k+1)M-2 - (k+1)M +1 = N-1 N+(k+1)M2(k+1)M+1=N1
    所以,只要将结果分段,未重叠部分直接得到最终结果,重叠部分相加后得到结果,就可逐段得到最终卷积结果。

    代码验证

    下面举个例子:
    h ( n ) = 2 , 4 , 1 , 6 h(n)={2,4,1,6} h(n)=2,4,1,6, x ( n ) = n 2 − 4 n + 1 , 0 ≤ n ≤ 20 x(n)=n^2-4n+1, 0\le n \le 20 x(n)=n24n+1,0n20,取分段数M为6.

    这里使用MATLAB,将采用重叠相加法得到的最终卷积结果与直接使滤波器与长序列线性卷积得到的结果相比较,从而验证算法的正确性。

    clc;close all;clear;
    hn = [2,4,1,6];
    n = 0 : 20;
    xn = n.^2-4*n+1;
    M = 6;
    N = length(hn);
    La = length(xn);
    L = M + N - 1;
    km = floor(La/M);
    break_mtx = zeros(km, M);
    end_set = zeros(1, La-km*M); 
    y_mtx = zeros(km, L);
    end_y_set = zeros(1, La-km*M+N-1);
    for k = 0 : km
        if (k~=km)
            break_mtx(k+1, :) = xn(1+k*M:(k+1)*M);
            y_mtx(k+1, :) = conv(break_mtx(k+1, :), hn);
        else
            end_set = xn(1+k*M:La);
            end_y_set = conv(end_set, hn);
        end
    end
    y_final = zeros(1, La+N-1);
    y_mtx = [y_mtx;[end_y_set,zeros(1,L-(La-km*M+N-1))]];
    for k = 0 : km
        if(k==0)
             y_final(1+k*M:(k+1)*M) = y_mtx(k+1,1:M); 
            y_final((k+1)*M+1:L+k*M) = y_mtx(k+1, M+1:L)+y_mtx(k+2,1:N-1);
        elseif(k~=km)
             y_final(N+k*M:(k+1)*M) = y_mtx(k+1,N:M); 
            y_final((k+1)*M+1:L+k*M) = y_mtx(k+1, M+1:L)+y_mtx(k+2,1:N-1);
        else
            y_final(N+k*M:end) = y_mtx(k+1,N:La-km*M+N-1); 
        end
    end
    y_test = conv(xn, hn);
    CorrectNum = sum(y_final-y_test==0);
    if(CorrectNum==length(y_test))  disp('SUCCESSFUL');end
    

    结果:

    SUCCESSFUL
    

    重叠保留法

    理论分析

    重叠保留法的要点在于,利用循环卷积,通过初始移位使得重叠点为不需要的点,舍弃重叠点拼接得到最终结果。

    设滤波器 h ( n ) h(n) h(n)的长度为N,将长序列 x ( n ) x(n) x(n)按照每M个点为一段进行划分。设M>N,我们知道,循环卷积的前N-1个点是重叠点。我们希望重叠点无用被弃置,所以在开始分段之前,先将长序列 x ( n ) x(n) x(n)整体右移N-1个点,空位补零,然后再分段,每段与 h ( n ) h(n) h(n)进行循环卷积。这里要注意,此处的段,不是直接划分,而是在每段的前N-1个点,取上一个段的后N-1个点。将每一个卷积后的段的前N-1个点舍弃,保留并拼接剩下的M-N+1个点,即可得到最终的卷积结果。

    代码验证

    仍以上面的例子,进行MATLAB验证:

    clc;clear;close all;
    hn = [2,4,1,6];
    n = 0:20;
    xn = n.^2-4*n+1;
    M = 6;
    N = length(hn);
    La = length(xn);
    km = ceil(La/(M-N+1));
    remains = km*(M-N+1)-La;
    km = km+1;
    x_mtx = zeros(km, M);
    y_mtxrow = zeros(1, km*(M-N+1));
    for k = 1 : km
        if(k==1)
            x_mtx(k,:) = [zeros(1,N-1), xn(1+(k-1)*(M-N+1):k*(M-N+1))];
        elseif(k==km)
            x_mtx(k,:) = [xn((k-1)*(M-N+1)-(N-2):(k-1)*(M-N+1)), zeros(1, M-N+1)];
        elseif(k==km-1)
             x_mtx(k,:) = [xn((k-1)*(M-N+1)-(N-2):(k-1)*(M-N+1)), xn(1+(k-1)*(M-N+1):La), zeros(1, remains)];
        else
            x_mtx(k,:) = [xn((k-1)*(M-N+1)-(N-2):(k-1)*(M-N+1)), xn(1+(k-1)*(M-N+1):k*(M-N+1))];
        end
        temp = ifft(fft(x_mtx(k,:), M).*fft(hn, M), M);
        y_mtxrow(1+(k-1)*(M-N+1):k*(M-N+1)) = temp(N:M);
    end
    y_final = y_mtxrow(1:La+N-1);
    y_test = conv(xn, hn);
    CorrectNum = sum(y_final-y_test<1e-4);%fft引入微小误差
    if(CorrectNum==length(y_test))  disp('SUCCESSFUL');end
    

    结果:

    SUCCESSFUL
    
    展开全文
  • 重叠相加法&重叠保留法

    千次阅读 2020-12-20 06:24:29
    ∑ m = 0 M x ( n − m ) h ( m ) 那怎么利用频域计算呢,两种方法,重叠相加(overlap-add)和重叠保留(overlap-save) 重叠相加法(OLA) 将x(n) x ( n )分段,每段长为M M,保证M M接近N N即可,然后将xk(n) x k ...

    1.问题

    上一篇中介绍了利用循环卷积计算线性卷积,但是当两个卷积项长度相差很大时,短序列需要补的0非常多,这样无助于计算量的减小,并且这种方法需要等长序列全部输入完之后才开始计算,这会造成输出有很大的延时。

    但是实际中这种现象很长见,比如对音频信号进行数字滤波,滤波器抽头系数点数较少,而MIC一直在录音,需要滤波的信号可以认为是无限长的,如果等录很久后才开始进行滤波,则会造成需要存储的数据量急剧增大,同时输出的信号也会有较长的延时,这个时候怎样保证延时小的同时输出的结果跟对长信号滤波的结果相同呢

    滤波器系数h(n), h ( n ) ,长度为N N,输入信号x(n) x ( n ),长度为无限长,输出y(n) y ( n )即为它们的卷积

    y(n)=∑Mm=0x(n−m)h(m) y ( n ) = ∑ m = 0 M x ( n − m ) h ( m )

    那怎么利用频域计算呢,两种方法,重叠相加(overlap-add)和重叠保留(overlap-save)

    重叠相加法(OLA)

    将x(n) x ( n )分段,每段长为M M,保证M M接近N N即可,然后将xk(n) x k ( n )补零延长到L=M+N−1 L = M + N − 1,计算L L点FFT F F T得到XK(K) X K ( K )

    将h(n) h ( n )补零延长至L=M+N−1 L = M + N − 1,计算L L点FFT F F T得到H(K)。 H ( K ) 。

    计算yk(k)=XK(K)∗H(K) y k ( k ) = X K ( K ) ∗ H ( K ),然后求L L点的IFFT, I F F T ,得到yk(K) y k ( K )

    观察可以发现,每段xk(n) x k ( n )长为M M,恢复得到的yk(K) y k ( K )长为L,L>M L , L > M,那怎么将每段yk(K) y k ( K )拼接起来呢,方法为在还原的时候将重叠部分相加就可以了,这也是重叠相加法名字的由来。

    用matlab验证一下,很简单,因为matlab的FFT F F T指定长度后会自动补零,那么上述过程几行代码就可以验证了

    close all

    clear all

    h = [1,7,8];

    N = length(h);

    x = [5,8,9,6,3,4,8,2,1,7,5,6];

    M = 4;

    L = M+N-1;

    x1 = x(1:4);

    x2 = x(5:8);

    x3 = x(9:12);

    H = fft(h,L);

    Y1 = fft(x1,L).*H;

    Y2 = fft(x2,L).*H;

    Y3 = fft(x3,L).*H;

    y1 = ifft(Y1,L);

    y2 = ifft(Y2,L);

    y3 = ifft(Y3,L);

    y_conv = conv(h,x)

    y_ola = [y1(1:4),y1(5:6)+...

    y2(1:2),y2(3:4),y2(5:6)+...

    y3(1:2),y3(3:6)]

    上面代码为了看的更清楚,循环都不用了,可以对比看看结果直接计算的y_conv与y_ola是不是相等的

    重叠保留法(OLS)

    将x(n) x ( n )分段,每段长为M M,保证M M接近N N即可,然后 将每段xk(n) x k ( n )向前多取N−1 N − 1个点,第一段前面补N−1 N − 1个0,则每段xk(n) x k ( n )长为L=M+N−1 L = M + N − 1,计算L L点FFT F F T得到XK(K) X K ( K )

    将h(n) h ( n )补零延长至L=M+N−1 L = M + N − 1,计算L L点FFT F F T得到H(K)。 H ( K ) 。

    计算yk(k)=XK(K)∗H(K) y k ( k ) = X K ( K ) ∗ H ( K ),然后求L L点的IFFT, I F F T ,得到yk(K) y k ( K )

    分析下上面的步骤,对比下线性卷积与圆周卷积:

    线性卷积:

    xk(n) x k ( n ):L=M+N−1 L = M + N − 1

    h:N h : N

    yk(n):M+2N−2 y k ( n ) : M + 2 N − 2

    圆周卷积:

    XK(K) X K ( K ):L=M+N−1 L = M + N − 1

    H(K):L=M+N−1 H ( K ) : L = M + N − 1

    Yk(K):L=M+N−1 Y k ( K ) : L = M + N − 1

    可以看到线性卷积的长度(M+2N−2 M + 2 N − 2)>圆周卷积长度(M+N−1 M + N − 1),由线性卷积与圆周卷积的关系可知当圆周卷积长度小于线性卷积长度时会发生混叠,那就在恢复的时候,丢掉前面混叠的部分(M+2N−2 M + 2 N − 2)-(M+N−1 M + N − 1)=N−1 = N − 1,每段仅保留后面M M点就行,这也是重叠保留名字的由来。

    代码如下:

    close all

    clear all

    h = [1,7,8];

    N = length(h);

    x0 = [5,8,9,6,3,4,8,2,1,7,5,6];

    M = 4;

    x = [zeros(1,N-1),x0];

    L = M+N-1;

    x1 = x(1:6);

    x2 = x(5:10);

    x3 = x(9:14);

    x4 = [x(13:14),zeros(1,4)];

    H = fft(h,L);

    Y1 = fft(x1,L).*H;

    Y2 = fft(x2,L).*H;

    Y3 = fft(x3,L).*H;

    Y4 = fft(x4,L).*H;

    y1 = ifft(Y1,L);

    y2 = ifft(Y2,L);

    y3 = ifft(Y3,L);

    y4 = ifft(Y4,L);

    y_conv = conv(h,x0)

    y_ols = [y1(3:6),y2(3:6),y3(3:6),y4(3:6)]

    可以对比看看y_conv与y_ols是否相同

    参考链接:

    Frequency-Domain FIR Filter

    卷积

    展开全文
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    0 -

    设计任务

    计算1个给定序列与输入序列的卷积。

    功能:对给定的数据进行卷积运算,要求分段卷积由循环卷积实现。要求设计有数据导入界面,各种参数从软件界面可以输入,其中给定序列可以由界面输入,对运算前后的数据绘制曲线。

    要求:

    初步完成总体设计,搭好框架,确定人机对话的界面,确定函数功能,控 制参数的输入方法;

    设计线性卷积的实现方案;

    编写两序列作循环卷积的程序;

    通过直接做线性卷积来检验最后结果。

    设计步骤:

    用结构化设计方法。一个程序划分成若干模块,每一个模块的函数功能要划分好,总体设计应画出流程图;

    输入输出界面要友好;

    源程序书写要规范,加必要的注释;

    要提供通过直接卷积进行检验的结果;

    程序一定要要能运行起来。

    一、原理

    1、算法产生背景

    DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的。DFT 具备明确且合理的物理含义,适合应用于数字系统,同时可以方便地由计算机进行运算。

    对于线性非移变离散系统,可由线性卷积表示时域输入输出关系,即

    y(n)=x(n)*h(n) ?

    通常采用循环卷积降低运算量,但实际中往往无法满足对信号处理的实时性要求。因此,产生了重叠相加法和重叠保留法两种典型的算法,用以快速计算线性卷积,成为了DFT 的一个重要应用。

    2、算法基本思想

    重叠相加法是将待过滤的信号分割成长为 N 的若干段,,每一段都可以和有限时宽单位取样回应作卷积,再将过滤后的各段重叠相加。

    在实际应用中利用FFT来计算两个序列的圆周卷积从而实现计算其线性卷积,但是常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大,这样长度小的序列就需要补很多的零点,这样就需要大的存储量,运算时间也会变长。所以常用重叠相加法来解决。

    如以下情况:

    h(n)长度为N,x(n)长度为无限长

    x(n)取M点,且与N尽量接近

    可采用如下方法来解决

    x(n)

    x(n)与h(n)的卷积为

    重叠相加法的卷积示意图

    重叠相加法的步骤如下

    (1)将h(n)补零延长到L =M+ N -1,并计算长为L的FFT,得到 H(k)。

    (2)分别将xk(n)补零延长到L =M+ N -1,并计算长为L的FFT,得到 Xk(k)

    (3)计算,并求长为L的反变换,即

    (4)将yk(n)的重叠部分相加,最后得到结果为

    二、程序设计

    1、程序设计思路

    函数juanji(x1,x2,L)设计

    x1(n)进行N点快速傅里叶变换得X1k

    x2(n)进行N点快速傅里叶变换得X2k

    进行频域相乘Yk=X1k*X2k

    对Yk进行反变换得到时域卷积结果y(n)

    函数chongdie(x,h,N)设计

    (1)首先取圆周卷积的周期L(即进行L点的快速傅里叶变换)

    (2)计算每一分段的大小N

    (3)填充序列使得循环中对序列的索引不会超出范围

    (4)计算分段数K

    (5)对序列进行分段调用juanji()函数计算圆周卷积

    (6)各段重叠相加

    (7)取出实际的输出序列

    程序流程图

    开始对x1(n)进行FFT运算

    开始

    对x1(n)进行FFT运算

    对x(2)进行FFT运算

    频域相乘

    Yk=X1k*X2k

    对Yk进行反变换得到时域结果y(n)

    结束

    开始

    取圆周卷积的周期L

    计算每一分段的大小N

    将序列按要求填充

    计算分段数K

    调用卷积函数

    将各段处理的结果重叠相加输出最终结果

    结束

    重叠相加法

    卷积

    三、分析与测试

    1、循环卷积设计

    = 1 \* GB3 ① 程序

    M = length(h);

    if N

    N = M+1;

    end

    L = M+N-1; %循环卷积与线性卷积结果相同时需要进行运算的最少点数

    Lx = length(x);

    T = ceil(Lx/N); %确定分段数T

    t = zeros(1,M-1); %初始化序列t(n)

    x = [x,zeros(1,(T+1)*N-Lx)]; %不足的分段补零

    y = zeros(1,(T+1)*N); %生成输出序列y(n),长度足够长

    for i=0:1:T

    xi=i*N+1;

    x_seg = x(xi:xi+N-1); %选择低点数计算时的分段x(n)

    X1k = fft(x_seg,L); %x_seg做L点FFT

    X2k = fft(h,L);

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