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  • 最小权顶点覆盖问题

    2013-05-09 11:16:59
    项目设计:最小权顶点覆盖问题 给定一个赋权无向图 G=(V,E),每个顶点 v V ∈ 都有一个权值 w(v)。如果 U 包含于 V, 且对于 , 且对于(u,v) E ∈ 有 u U ∈ 且 v V ∈ -U,则有 v K. ∈ 如:U = {1}, 若有边(1...
  • npc顶点覆盖问题证明

    2013-11-04 21:55:33
    详细证明了np完全问题中的顶点覆盖问题,写的很清楚,可以看懂
  • 顶点覆盖问题

    千次阅读 2020-02-16 19:39:41
    顶点覆盖问题】 图的顶点覆盖也是一个点的集合。图中每一条边都至少有一个顶点在点集合中。如图2,黑色的点集合都是顶点覆盖集合,图的每一条边都至少有一个顶点在点集合中。 图2 顶点覆盖集(黑色) ♥,.,.♥,.,...

    【顶点覆盖问题】
    图的顶点覆盖也是一个点的集合。图中每一条边都至少有一个顶点在点集合中。如图2,黑色的点集合都是顶点覆盖集合,图的每一条边都至少有一个顶点在点集合中。
    在这里插入图片描述
    图2 顶点覆盖集(黑色)

    ♥,.,.♥,.,.♥,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.,.♥,.*,.♥
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  • 顶点覆盖问题的强化半定规划松弛,王新辉,刘三阳,对顶点覆盖问题的一种等价模型,利用一般的松弛方法,得到了一个半定规划松弛模型;通过引入算子 ,把这个等价模型进行提升,得�
  • 一个有效的本地搜索框架,可解决最小加权顶点覆盖问题
  • 如果U∈V,且对任意(u,v)∈E有u∈U或v∈U,就称U为图G的一个顶点条覆盖.G的最小权顶点覆盖是指G中所含顶点权之和最小的顶点覆盖。 ★算法设计:对于结定的无向图G,设计一个优先队列式分支限界法,计算G的最小权顶点覆盖...
  • 最小权顶点覆盖问题的C++代码(完整)

    热门讨论 2009-12-24 08:53:03
    如果U包含于V,且对任意(u,v)∈E有u∈U或v∈U,就称U为图G的一个顶点条覆盖.G的最小权顶点覆盖是指G中所含顶点权之和最小的顶点覆盖. 编程任务 对于结定的无向图G,设计一个优先队列式分支限界法,计算G的最小权顶点...
  • 最小权顶点覆盖问题分析

    千次阅读 2020-07-15 15:50:23
    G 的最小权顶点覆盖是指 G 中所含顶点权之和最小的顶点覆盖。 算法设计: 对于给定的无向图 G,设计一个优先队列式分支限界法,计算 G 的最小权顶点覆盖。 数据输入: 由文件input.txt给出输入数据。第 1 行有 2 个...

    问题描述:
    给定一个赋权无向图 G=(V,E),每个顶点 v∈V 都有一个权值 w(v)。如果 U⊆VU⊆V,且对任意(u,v)∈E 有 u∈U 或 v∈U,就称 U 为图 G 的一个顶点覆盖。G 的最小权顶点覆盖是指 G 中所含顶点权之和最小的顶点覆盖。

    算法设计:
    对于给定的无向图 G,设计一个优先队列式分支限界法,计算 G 的最小权顶点覆盖。

    数据输入:
    由文件input.txt给出输入数据。第 1 行有 2 个正整数 n 和 m,表示给定的图 G 有 n 个顶点和 m 条边,顶点编号为 1,2,…,n。第 2 行有 n 个正整数表示 n 个顶点的权。接下来 的 m 行中,每行有 2 个正整数 u,v,表示图 G 的一条边(u,v)。

    结果输出:
    将计算的最小权顶点覆盖的顶点权之和以及最优解输出到文件output.txt。文件的第1行是最小权顶点覆盖顶点权之和;第2行是最优解xi(1<=i<=n),xi=0表示顶点i不在最小权顶点覆盖中,xi=1表示顶点i在最小权顶点覆盖中。

    输入文件示例
    input.txt
    7 7
    1 100 1 1 1 100 10
    1 6
    2 4
    2 5
    3 6
    4 5
    4 6
    6 7
    输出文件示例
    output.txt
    13
    1 0 1 0 1 0 1

    算法分析:

    1. 要找到最小权覆盖,要先判定该点能否加入集合,也就是判断集合V中的点是否能与U集合中的任意一点直接相连,如果当前方案不是一种顶点覆盖,直接进行剪枝。
    2. 以顶点的权重为优先级建立一个小根堆,当有活结点加入时,对点的优先级、结果向量等进行更新。每次将小根堆的堆顶结点取出进行判断。
    3. 但是无法使用界限函数对右孩子进行约束,因为如果当右孩子不加入集合U中时,那么点权和肯定更小,但是不一定能实现覆盖,所以不经过判断也要将右孩子加入到队列中去。
      顶点覆盖判断的实现:
      开辟一个数组c,用于保存与解向量x相连的顶点及其个数。令变量j从1到n,如果x[j]==0 && c[j]==0,则表示此时j结点既不是U中的点,而且也没有u中的点与其相连。
      如下图实例:
      在这里插入图片描述
      此时解向量x={0,1,0,0,1,0,0,0}表示1,4号顶点此时加入解集合
      邻接点数组c={0,0,1,0,0,1,2,0}表示2,5,6号顶点与U集合({1,4})直接相连,且6号顶点与2个U中顶点直接相连
      在这里插入图片描述 满足x[j]==0&&c[j]==0(j从1到7),不是完全覆盖
      从图中可以看出不是一种完全覆盖。
      在这里插入图片描述
      解向量x={0,0,1,0,0,0,1,0} 表示2,6号顶点加入解集合
      邻接点数组c={0,1,0,1,2,1,0,1} 表示1,3,7,4,5号顶点与U集合({2,6})直接相连,且4号顶点与2个U中顶点直接相连
      在这里插入图片描述 不满足 x[j]==0&&c[j]==0(j从1到7), 是完全覆盖
      从图中可以看出是一种完全覆盖,但是顶点的权值之和不一定最小。

    解空间树:
    在这里插入图片描述
    每个顶点都有两种选择,加入U集合或者不加入U集合,显然进入右子树的选择一定是比进入左子树的选择所得的权值和小,但是进入右子树不一定满足顶点覆盖,所有当试探完左子树的结果后,还需进入右子树进行测试。

    将每个试探的解向量加入到顶点权值小优先的优先队列,每次取出堆顶的解向量判断能否满足完全覆盖,如果能则得出最小权覆盖的解,因为堆顶解向量满足顶点权值和最小的原则,如果不能则继续取堆顶解向量判断。

    优先队列存储空间示意图:
    在这里插入图片描述
    图示为优先队列结点中存储的顶点权值和及其对应的解向量与邻接点数组。

    ——关于源代码应该都能搜到,所以这里就不再赘述了。

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  • NP顶点覆盖问题

    2012-05-17 11:03:35
    顶点覆盖问题属于NP问题,因此要找到G的一个最小顶点覆盖可能是很困难的,但是要找到一个近似最优顶点覆盖却不是太困难。下面为近似算法以无向图G作为输入,并且计算G的近似顶点覆盖,可以保证计算出的近似最优顶点...
  • 顶点覆盖问题近似计算

    千次阅读 2019-06-02 18:32:34
    算法分析与设计老师布置的代考试作业,其中一道题目是顶点覆盖问题近似计算,想了挺长时间,想到了一个思路,感觉自己好菜。。。 Description 无向图G=(E,V),寻找V的一个最小子集V’,使得图中所有边至少有一个...

    算法分析与设计老师布置的代考试作业,其中一道题目是顶点覆盖问题近似计算,想了挺长时间,想到了一个思路,感觉自己好菜。。。

    Description
    	无向图G=(E,V),寻找V的一个最小子集V’,使得图中所有边至少有一个顶点在集合V’中。输出V’包含的顶点数。若最优解为C,输出的近似解C*接受范围是[C, 1.5*C]。
    Input
     第1行有两个正整数n和m,1<=n<=100, 1<=m<=1000,分别代表图中顶点个数和边个数。
     第2行至第m+1行分别有2个整数a[i],b[i],表示图中的一条边,其顶点编号是a[i]和b[i],编号从0开始。
    Output
     第一行输出近似解正整数C*。
     接下来一行输出C*个正整数,表示每个顶点的编号,顺序任意。
    Sample Input
    4 5
    0 1
    1 2
    2 3
    0 2
    1 3
    
    Sample Output
    2
    1 2
    

    首先构建出无向图,在构建图的同时标记每个顶点的度数,通过对题意的分析得出需找到的集合一定满足其内全部顶点度数之和大于等于总边数的结论。然后就是采用了贪心算法和枚举算法。(我觉得是贪心和枚举,具体我这个代码用到了啥我不确定,菜鸟上路,大佬勿喷)

    算法过程:
    第1步,将所有无向图中顶点按照其度数有大到小的顺序排列;
    第2步,采用枚举法列举出所有满足度数之和大于无向图边数的集合;
    第3步,每列举出一个测试集合,测试其是否满足顶点覆盖问题的要求,若满足则暂存集合;
    第4步,重复2、3步,若有满足要求且集合内顶点数量更少的集合则替换掉之前的暂存集合,直到遍历完全部可能集合或者满足近似解范围为止。
    
    import java.util.*;
    public class Main {
    	public static int flag;
    	static ArrayList<String> map = new ArrayList<String>();					//存放所有的边
    	static LinkedList<Integer> trueList = new LinkedList<Integer>();		//存放最终的最优结果
    	static LinkedList<Integer> tmpList = new LinkedList<Integer>();			//存放递归过程中的临时集合
    	public static void main(String[] args) {
    		Scanner sc = new Scanner(System.in);
    		int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();							//n,m分别代表点数和边数
    		flag = n;
    		int[] nNum = new int[n];										//存每个顶点的度
    		for(int i=0;i<m;i++) {
    			int tmp1 = sc.nextInt(), tmp2 = sc.nextInt();				//暂存一条边连接的两个顶点
    			nNum[tmp1]++;												//顶点度数自增
    			nNum[tmp2]++;
    			map.add(tmp1+"-"+tmp2);										//存入边
    		}
    		LinkedList<Integer> port = new LinkedList<Integer>();			//按照降序存放顶点
    		LinkedList<Integer> portNum = new LinkedList<Integer>();		//按照降序存放顶点的度
    		port.add(0);
    		portNum.add(nNum[0]);
    		for(int i=1;i<n;i++) {
    			if(nNum[i]>=portNum.get(0)) {
    				port.add(0,i);
    				portNum.add(0,nNum[i]);
    			}
    			else if(nNum[i]<=portNum.get(portNum.size()-1)) {
    				port.add(port.size()-1,i);
    				portNum.add(portNum.size()-1, nNum[i]);
    			}
    			else {
    				for(int j=1;j<port.size();j++) {
    					if(nNum[i]>=portNum.get(j)) {
    						port.add(j,i);
    						portNum.add(j,nNum[i]);
    						break;
    					}
    				}
    			}
    		}
    		Recursion(0, m, port, portNum, 0);								//递归枚举所有的可能组合
    		System.out.println(flag);
    		for(int i=0;i<flag;i++) {
    			System.out.print(trueList.get(i)+" ");
    		}
    	}
    	
    	static void Recursion(int i, int m, LinkedList<Integer> port, LinkedList<Integer> portNum, int Sum) {
    		int ASum = Sum + portNum.get(i);
    		tmpList.add(port.get(i));
    		if(ASum>=m && Judge(tmpList)==1 && tmpList.size()<flag) {
    				trueList = tmpList;
    				flag = trueList.size();
    		}
    		else if(i<port.size()-1){
    			Recursion(i+1, m, port, portNum, ASum);
    			tmpList.remove(tmpList.size()-1);
    			Recursion(i+1, m, port, portNum, Sum);
    		}
    	}
    	
    	static int Judge(LinkedList<Integer> tmpList) {				//判断是否满足覆盖的要求
    		for(int i=0;i<map.size();i++) {
    			String[] tmpstr = map.get(i).split("-");
    			if(tmpList.indexOf(Integer.parseInt(tmpstr[0]))==-1 && (tmpList.indexOf(Integer.parseInt(tmpstr[1]))==-1)) {
    				return 0;
    			}
    		}
    		return 1;
    	}
    }
    

    因为通过递归去枚举所有的情况,好像整体效率并不是很高,暂时没想到其他的改进方法,欢迎大家帮忙提一下建议,或者其他思路,感激不尽。

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  • 在分析最小顶点覆盖问题特点的基础上,以5个顶点的图为例,将最小顶点覆盖问题转化为可满足性问题,简化问题的操作难度。再根据DNA自组装的自发性和并行性等优势,通过建立DNA自组装模型解决可满足性问题,从而解决图的...
  • #include<iostream> using namespace std; int bestw=100000; int n,m; int tw=0; int connect[100][100]; int w[100]; int cover_in[100]; int cover(int *cover_in){... cout最小权顶点覆盖:"; return 0; } 实例:
    #include<iostream>
    using namespace std;
    int bestw=100000;
    int n,m;
    int tw=0;
    int connect[100][100];
    int w[100];
    int cover_in[100];
    int cover(int *cover_in){
    	int cover_all[100];
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		cover_all[i]=0;
    	}
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(cover_in[i]==1){
    			cover_all[i]=1;
    			for(int j=0;j<n;j++){
    				if(connect[i][j]&&(cover_all[j]==0)){
    					cover_all[j]=2;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	int count=0;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(cover_all[i]>0){
    			count++;
    		}
    	}
    	if(count==n){
    		return 1;
    	}
    	return 0;
    }
    int search(int level,int isLeft,int *cover_in){
    	if(level==0){
    		search(level+1,1,cover_in);
    		search(level+1,0,cover_in);
    	} 
    	else if(level>n){
    		if(cover(cover_in)){
    			if(tw<bestw){
    			    for(int i=0;i<n;i++){
    				    cout<<cover_in[i]<<" ";
    			    }
    			    cout<<tw<<endl;
    			    bestw=tw;
    		    }
    		} 
    	} 
    	else{
    		if(isLeft){
    			cover_in[level-1]=1;
    			tw=tw+w[level-1];
    			search(level+1,1,cover_in);
    		    search(level+1,0,cover_in);
    		    cover_in[level-1]=0;
    			tw=tw-w[level-1];
    		}
    		else{
    			search(level+1,1,cover_in);
    		    search(level+1,0,cover_in);
    		}
    	}
    }
    int main(){
    	int tempx,tempy;
    	cout<<"请输入顶点数和边数:"<<endl;
    	cin>>n>>m;
    	cout<<"连接边:"<<endl;
    	for(int i=0;i<m;i++){
    		int x,y;
    		cin>>x>>y;
    		connect[x-1][y-1]=1;
    		connect[y-1][x-1]=1;
    	}
    	cout<<"请输入顶点的权值:"<<endl;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		cin>>w[i];
    	}
    	search(0,0,cover_in);
    	cout<<"最小权顶点覆盖:"<<bestw;
    	return 0;
    }
    

    实例:
    在这里插入图片描述

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  • 顶点覆盖近似算法.zip

    2019-05-14 16:53:51
    采用matlab语言编写高效程序,实现顶点覆盖近似算法
  • 分支限界法之最小权顶点覆盖问题

    千次阅读 2020-06-03 18:57:11
    问题描述
  • 广义顶点覆盖问题的混合元启发式算法
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空空如也

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顶点覆盖问题