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  • 文章目录一、随机时间概率---day11.随机事件样本空间的概念2.事件的关系(集合之间的关系)3.事件的运算律---交换律-结合律-分配律-德摩根律4.概率的概念和性质5.古典概型6.条件概率7.乘法定理8.全概率公式9....

    文章目录


    一、随机时间与概率—day1

    1.随机事件与样本空间的概念

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    2.事件的关系(集合之间的关系)

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    3.事件的运算律—交换律-结合律-分配律-德摩根律

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    4.概率的概念和性质

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    5.古典概型

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    • 古典概型计算公式 在这里插入图片描述

    6.条件概率

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    7.乘法定理

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    8.全概率公式

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    9.贝叶斯公式

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    全概率&贝叶斯举例

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    10.事件独立性

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    11.大概会考啥?

    古典概型-加法-减法-乘法公式

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    12.举几个例子

    (1)条件概率与古典概型

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    (2)德摩根律与古典概型

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    (3)条件概率

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    (4)古典概型与组合C

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    (5)串并联电路与古典概型

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    (6)古典概型与组合C–正品次品

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    (7)全概率与贝叶斯公式的应用

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    (8)贝叶斯公式与全概率公式的应用

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    • 依次类推
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    练习题—day1

    1.德摩根律与条件概率

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    2.A&B事件判断

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    3.正品次品组合C-全概率公式

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    4.串并联电路

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    5.零件加工-全概率与贝叶斯公式

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    二、随机变量及其分布—day2

    1.随机变量的概念

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    2.分布律、分布函数、概率密度

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    3.常用离散随机变量—(0-1,二项,泊松)分布

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    4.常用的连续型随机变量分布—(均匀、正态、标准正态、指数)分布

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    5.举几个例子

    (1)求随机变量X的分布律

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    第二题:
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    (2)已知X的分布律,求X的分布函数Fx(X)

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    (3)求Y=(X-1)2的分布律, Y的分布函数F(Y)

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    (4)泊松分布X~P(λ)

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    (5)均匀分布X~U(a,b)

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    (6)指数分布X~e(λ)

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    (7)正态分布X~N(μ,σ2)

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    (8) 已知概率密度f(x),求c的值和X的分布函数F(x)

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    (9)已知分布函数F(X),求A,B的值及概率密度f(X)X和fY(Y)

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    (10)已知概率密度f(X)的一道应用题&&二项分布—B(n,p)

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    练习题—day2

    1.古典概型和二项分布—B(n,p)

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    2.求X的分布律和分布函数F(X)

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    3.泊松分布X~P(λ)

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    4.已知X的概率密度函数,y=2x+1,求fy(Y)

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    5.已知X的分布律,求Y=X2-1的分布律

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    6.正态分布X~N(μ,σ2)与标准正态分布X~N(0,1)

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    7.已知概率密度f(x),求a,b和fy(Y)

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    8.已知概率密度f(X)的一道应用题&&条件概率P(A|B)&&二项分布—B(n,p)

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    三、二维随机变量及其分布—day3

    1.多维随机变量及其分布和独立性

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    2.二维离散型随机变量的分布及独立性

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    3.二维连续型随机变量的分布及独立性

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    4.二维标准正态分布N(0,1)联合概率密度

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    5.两个随机变量的函数分布

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    6.举几个例子

    (1)已知二维离散型随机向量(X,Y)列表分布律,填完表格。并求u=max{X,Y}分布律、P(X<Y)

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    类似的第二题:
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    (2)已知x,y服从N(0,1)分布,求联合概率密度f(X,Y)和Z的分布律

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    (3)已知二维随机变量的联合分布密度f(X,Y),求X,Y是否相互独立及P(X<Y)

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    (4)已知二维随机变量的联合分布密度f(X,Y),求fx(x)及条件概率fY|X(y|x)

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    (5)已知X,Y联合密度f(x,y),求P(Y>=X2)和Z=X+Y的概率密度函数

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    练习题—day3

    1.已知X的概率密度函数,A={X>a}与B={Y>a}相互独立,且P(AUB)=3/4,求a的值

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    2.已知二维随机变量的概率密度函数f(x,y),求边缘密度函数fx(x),fY(y),P(Y>=X2)

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    类似的题目:
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    3.已知联合概率密度f(x,y),求fz(z),p{min(X,Y)<=1/2}

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    • 可参考前面的例题,关于(2)
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    四、随机变量数字特征—day4

    1.数学期望E(X)

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    2.数学期望的性质

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    3.方差D(X)与标准差

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    4.方差的性质

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    5.常用分布的期望和方差

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    6.协方差及性质

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    7.相关系数ρxy

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    8.矩—原点矩、中心矩

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    9.举几个例子

    (1)泊松分布、指数分布、正态分布,求期望E(X)

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    (2)均匀分布、泊松分布、正态分布,求期望E(X)、方差D(X)

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    (3)已知D(X),D(Y),ρxy,求D(X+Y),D(X-Y)

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    (4)已知(X,Y)联合分布律级边缘分布律,求E(X),E(Y),E(XY),Cov(x,y),ρxy

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    (5)已知(X,Y),联合分布密度,求E(Z),D(Z)

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    (6)已知(X,Y),联合分布密度,求边缘密度fx(x),E(Y),E(Y2),D(Y)

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    练习题—day4

    1.泊松分布求λ,正态分布、二项分布、求P,E(U),D(U)

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    2.已知(x,y)联合分布律表,求协方差Cov(X,Y )

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    3.已知二维随机变量X,Y)的联合密度函数f(x,y),求D(Y)

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    五、中心极限定理与抽样分布—day5

    1.中心极限定理1、2

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    2.总体和样本

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    3.统计量

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    4.常用统计量

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    5.常用分布

    X2(n)分布

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    t(n)分布

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    F分布

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    正态总体统计量的分布

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    6.举几个例子

    (1)中心极限定理2—B(n,p)

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    (2)中心极限定理1—N(μ,σ2)

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    (3)指数分布—e(λ)

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    (4)常用分布—X2(n)、t(n)、F

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    类似第二题:
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    (5)正态总体统计分布

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    练习题—day5

    1.常用分布的填空题—X2(n)、t(n)、F

    ********** 重要看个数 **********
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    2.中心极限定理1—N(μ,σ2)

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    3.中心极限定理2—B(n,p)

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    六、参数估计—day6

    1.点估计的概念

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    2.矩估计法

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    3.最大似然估计法

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    4.无偏估计量

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    5.举几个例子

    (1)离散型:矩估计法、最大似然估计求矩估计量

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    类似的第二题,区别在于最大似然估计值求法有点不一样:
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    (2)连续型:矩估计法求矩估计量

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    (3)连续型:最大似然估计法求估计量

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    (4)连续型:求矩估计量、最大似然估计量

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    (5)无偏估计

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    练习题—day6

    1.连续型:矩估计法求矩估计量

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    2.连续型:矩估计法和最大似然估计法求估计量

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    3.无偏估计

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  • 第一章 概率论基础 1.1 随机事件样本空间 随机试验:可重复进行,结果预先知道 样本空间:随机试验的一切可能结果组成的集合,称为样本空间 1.2 事件之间的关系运算 关系:包含、并交、互不相容(互斥)、差、...

    第一章 概率论基础

    1.1 随机事件与样本空间

    随机试验:可重复进行,结果预先知道

    样本空间:随机试验的一切可能结果组成的集合,称为样本空间

    1.2 事件之间的关系与运算

    关系:包含、并交、互不相容(互斥)、差、对立

    运算:交换律、结合律、分配率、摩根定律

    1.3 随机事件的概率

    统计概率、古典概率、几何概率,略

    1.4 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式

    P(B|A)=P(AB)/P(A),指的是在A发生的情况下B发生的概率

    全概率公式
    P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|Bi)P(Bi) P(A)=i=1nP(ABi)P(Bi)
    贝叶斯公式(逆概率公式)
    P ( B i ∣ A ) = P ( B i A ) P ( A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 n P ( A ∣ B j ) P ( B j )   ,   i = 1 , 2 , . . . , n P(Bi|A)=\frac {P(BiA)}{P(A)}= \frac {P(A|Bi)P(Bi)}{\sum_{j=1}^nP(A|Bj)P(Bj)} \ ,\ i=1,2,...,n P(BiA)=P(A)P(BiA)=j=1nP(ABj)P(Bj)P(ABi)P(Bi) , i=1,2,...,n
    实际上,贝叶斯公式可以不用记住,由条件概率和全概率公式推导即可

    1.5 事件的独立性

    定义:对两个事件A、B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A、B相互独立

    定理:①设A、B是相互独立的事件,若P(A)>0,则P(B|A)=P(B);若P(B)>0,则P(A|B)=P(A)

    ②设A、B是相互独立的事件,则下列各对事件也相互独立:A与B非、A非与B、A非与B非

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  • 此为期末复习整理整学期概率论笔记及习题 仅作为个人学习笔记 有错误欢迎指正 持续更新 第一章 一、概念性知识点 1. 事件间的关系 包含: A⊃B 事件A包含事件B且事件A发生事件B必发生 相等: A=B 事件A事件B相等 ...


    此为期末复习整理整学期概率论笔记及习题 仅作为个人学习笔记 有错误欢迎指正 持续更新

    第一章

    一、概念性知识点

    1. 事件间的关系
    1. 包含: A⊃B
      事件A包含事件B且事件A发生事件B必发生
    2. 相等: A=B
      事件A与事件B相等
    3. 并(和): A∪B或A+B
      A与B中至少有一个发生
    4. 交(积): A∩B或A*B=AB
      A与B同时发生
    5. 差: A-B=A-AB
      A发生而B不发生

    2. 互不相容事件、对立事件
    1. 互不相容事件
      A B不同时发生 AB=空集
      n个事件A1,A2,A3…An两两互不相容,AiAj=空集
    2. 对立事件
      A B互不相容且A∪B=Ω,A∩B=空集
    3. 联系
      两事件对立,一定互不相容
      对立只适用于两个事件
      互不相容不能同时发生也可能都不发生
      对立有且只有一个发生

    3. 事件间的运算律
    1. 交换律 A∩B=B∩A
    2. 结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
    3. 分配律 (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
    4. 对偶律 (A∪B)的逆=A的逆∩B的逆 (A∩B)的逆=A的逆∪B的逆

    4.习题
    1. 事件A B C是试验E的随机事件
      1)A B C至少一个发生: A+B+C
      2)至少两个发生:AB+AC+BC

    二、计算题型

    1. 排列组合
    1. 排列: n个不同元素取出m个
      不重复排列
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      重复排列
      n^m
    2. 组合
      在这里插入图片描述

    1. 小知识点补充
      ① 0!=1
      证明:∵1!=1×0!∴0!=1
      ② 0^0 无意义
      证明:50/50=5(1-1)=50=1
      类比 00/00 (分母不0没有意义)

    2. 古典概型
    1. 4个邮筒,编号1,2,3,4,共2封信
      解:对信进行分配,每封信有4种投入情况,总情况即为4×4=16
      1)前两个邮筒各投入一封信概率
      共两封信放进2个邮筒 内有2种情况 ∴P=1/8
      2)第二个邮筒恰有一封信概率
      选一封信放入第二个邮筒2种情况 另一封信3个邮筒选一个3种情况 共2×3=6种情况 ∴P=3/8
      3)2封信投入不同邮筒概率
      第一封信有4种选择,第二封有3种选择 共12种 ∴P=3/4

    1. a个白球b个黑球,从中接连取出m个(1<=m<=a+b),求第m个是白球的概率
      1)解法1
      总事件:(a+b)!
      取一个白球放在第m个位置上,有a种可能,其余(a+b-1)个球全排列即可
      ∴P=[a×(a+b-1)!]/(a+b)!=a/b
      2)解法2
      只取m个球,其他位置不考虑,即从a+b个球中取m个要求第m个为白球则有a种情况 其它m-1个球则从a+b-1个球中随取全排列即可
      ∴P=[a×A(m-1) (a+b-1)]/Am a+b=a/b
      3)解法3
      已取好m个球在桌子上,只要求第m个为白球
      P=a/(a+b)

    1. 10本不同的书,随机分给5个人,求下列概率
      1)甲乙丙各得两本,丁三本,戊一本
      总情况5^10
      P=[C2 10×C2 8×C2 6×C3 4]/5^10
      2)有三人各得两本,一人得三本,一人一本
      P=[C2 10×C2 8×C2 6×C3 4 *C3 5×C1 2]/5^10

    1. 一个袋子N个球,M个白球,逐个无放回取出,试求第K个取出白球,且前n个取出球中恰有m个白球的概率
      ①总情况:Cn N 从N个中选n个全排列
      ②第K个位置为白球有:M种情况
      ③前n个球保证除第K个位置白球外剩下有m-1个白球:从M-1个球中选m-1个白球全列 C(m-1) (M-1)种情况
      ④另外n-m个位置要求有全排列黑球:从N-M个黑球中选n-m个球全排列 C(n-m) (N-M)
      综上:P=②×③×④/①

    1. 将n跟手杖都截成一长一短两部分,然后将所得的2n个小段随机分成n段,每对都连接成一根新“手杖”,求以下概率
      1)2n个小段全部被组成原来的手杖的概率
      全部组成原来手杖有1种可能
      总情况:[C2 (2n) *C2 (2n-2)*C2 (2n-4)*....*C2 2]/An n=(2n)!/[n!*2^n]
      ∴P=1/总情况
      2)均是长的部分与短的部分连接起来
      思路:将所有长的部分排成一列;短的部分排成一列 将一长一短组合起来有n!种情况
      ∴P=n!/总情况=[2^n*(n!)²]/(2n)!

    1. m个男孩和n个女孩(n<=m)随机的围城一个圆圈,求任意两个女孩不相邻的概率
      ①总情况 设某一男生为基准 除去基准男生其余人全排列(m+n-1)!
      ②除去基准男生其余男生全排列(m-1)!
      ③m个空挑n个空放女生 Cn m
      ④n个女生全排 n!
      ∴P=(②*③*④)/①

    1. 圆周上随机选取三个点ABC 求▲ABC为锐角三角形的概率
      固定C点 直径所对圆心角为直角,当三角形的三个顶点都在直径的同一侧时为钝角三角形;
      当点C和AB两个点在直径的两侧时为锐角三角形,A点选取的概率是1/2,B点选取的概率1/2
      ∴P=1/2*1/2=1/4

    1. 一段线段随机相继投三个点,求第三个点落在前两点之间的概率
      P=1/3

    1. 袋中a个黑球,b个白球,随机一个一个摸出不放回,知道剩下全部为同一颜色为止,求最后剩下都是黑球的概率
      P=a/(a+b)

    3. 几何概型
    1. 会面问题:甲乙约定6点—7点见面,先到者等一刻钟,甲乙在6点—7点任意事件可到达,求可相见的概率
      在这里插入图片描述

    1. 监控期为L单位时间内,该时间内可随时提取鸟样化验,设该人员随时可能复吸 且复吸后S单位时间尿样成阳性,问其被复吸查验出概率为多少?
      在这里插入图片描述
    2. 在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    4. 条件概率
    1. 公式:P(A|B)=P(AB)/P(B)=nAB/nB **解释:**在B的条件下 A发生的概率
      P(A|B逆)+P(A逆|B逆)=1

    1. 产品100件,次品率10%,不放回取3次,第三次才取到合格品的概率
      解:设A1A2A3表示第1、2、3次取到合格品
      ∴P=(A1逆A2逆A3)=P(A1逆)P(A2逆|A1逆)P(A3|A1逆A2逆)=10/100×9/99×90/98=0/0835

    1. 某地区今年会发生洪水的概率是 80%,今明两年至少有一年会发生洪水的概率是 85%,假如今年没有发生洪水,那么明年发生洪水的概率是多少?
      在这里插入图片描述

    5. 全概率模型
    1. 在这里插入图片描述

    1. 10件产品,次品可能0,1,2件(等概率),正品通过检查为正品概率0.98,没通过检查断定为次品概率为0.02;次品通过检查误判为正品概率0.05,未通过检查断定为次品概率为0.95,求该产品通过检验合格的概率
      设B:通过验证
      设A0 A1 A2:0,1,2件次品
      设B1:抽到是正品 ;B1逆: 抽到是次品
      ∴P(A0)=P(A1)=P(A2)=1/3
      P(B1|A0)=1(在没有次品的情况下抽到正品概率)
      P(B1|A1)=9/10(在1件次品的情况下抽到正品概率)
      P(B1|A2)=8/10(在2件次品的情况下抽到正品概率)
      ∴P(B1)=P(A0B1)+P(A1B1)+P(A2B1)=P(A0)×P(B1|A0)+P(A1)×P(B1|A1)+P(A2)×P(B1|A2)=0.9(抽到是正品)
      ∴P(B1逆)=1-P(B1)=0.1(抽到是次品)
      ∴P(B)=P(B1)P(B|B1)+P(B1逆)P(B|B1逆)=0.88

    6.贝叶斯公式
    1. 发病率0.0004,患者诊断为有病概率为99%,诊断为无病1%;健康人误诊为有病0.1%,诊断为无病99.1%。求检验有病,计算其真有病的概率。
      设 A:患者 A逆:健康 B:检验有病
      P(A)=0.0004 P(A逆)=0.9996
      P(B|A)=0.99(患者检验有病) P(B|A逆)=0.01(健康人检验有病)
      ∴P(B)=P(A)*P(B|A)+P(A逆)*P(B|A逆)=0.0013956
      ∴P(A|B)=P(AB)/P(B)=[P(A)*P(B|A)]/P(B)=0.284

    三、公式题型

    1. 公理化
    1. 公式
      P(A逆)=1-P(A)
      P(A-B)=P(AB逆)=P(A)-P(AB)
      P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
      P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
      P(A逆)=1-P(A)

    1. P(A)=0.4 P(B)=0.3 P(A+B)=0.6 求P(AB逆)
      P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∴P(AB)=0.1
      P(AB逆)=P(A)-P(AB)=0.3

    1. P(A)=P(B)=P( C )=1/4 P(AB)=0 P(AC)=P(BC)=1/16
      1 )求ABC至少一个发生的概率
      即P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=5/8+P(ABC)
      ∵ABC⊃AB 且P(AB)=0 ∴P(ABC)=0
      ∴P(A+B+C)=5/8
      2 )求ABC都不发生的概率
      P(ABC)=1-P(A+B+C)=3/8

    1. 池中甲乙丙三条鱼,甲或乙竞争到食物的机会1/2,甲或丙竞争到食物机会3/4,且一次竞争只能被一只鱼享用,求最佳捕食者
      P(A+B)=1/2 P(A+C)=3/4
      互不相容:P(AB)=P(BC)=P(AC)=0且P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+C)=P(A)+P(C)
      P(A)+P(B)+P(C)=1
      ∴P(A)=1/4 P(B)=1/2 P(C)=1/4 最佳捕食者是丙

    2. 独立性
    1. 公式:
      P(A|B)=P(A) A的概率不受是否发生B影响
      ②A,B独立 则P(AB)=P(A)P(B) A与B逆、A逆与B、A逆与B逆 相互独立
      ③P(A)=0或P(A)=1 则A与任意事件独立
      ④P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(AB)P(C|AB)

    1. 0<P(A)<1 0<P(B)<1 且P(A|B)+P(A逆|B逆)=1 求证P(A)P(B)=P(AB)
      ∵P(A|B)+P(A逆|B)=1且P(A|B)+P(A逆|B逆)=1
      ∴P(A逆|B逆)=P(A逆|B)
      ∴P(A逆B逆)/P(B逆)=P(A逆B)/P(B)
      ∴P(A逆B逆)/P(B)=P(A逆B)/P(B逆)
      ∴P(A逆B逆)/[1-P(B逆)]=P(A逆B)/P(B逆)
      ∴P(A)/P(B)=P(AB) 即A逆与B相互独立

    1. 设ABC两两独立,且满足ABC=空集,P(A)=P(B)=P©=x,求x的最大值
      ∵ABC两两独立∴P(AB)=P(A)*P(B) P(ABC)=0 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x²
      P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x²
      由概率大于0小于1得x取值范围
      0<=3x-3x²<=1
      0<=2x-x²<=1
      ∴x最大值为1
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  • 课 程 名 称:概率统计 A卷 命 题:基础数学教研室 题 号 一 二 三 总 分 得 分 一.单项选择题(每小题2分,共10分) 1.,则 ( B ); (A) 0.7 (B) 0.4 © 0.58 (D) 0.8 2. 设,已知,,则参数各为( C ) 3...

    桂林理工大学考试试卷
    (2016-2017 学年度第 一 学期)

    课 程 名 称:概率统计 A卷
    命 题:基础数学教研室
    题 号 一 二 三 总 分
    得 分
    一.单项选择题(每小题2分,共10分)
    1.,则 ( B );
    (A) 0.7 (B) 0.4 © 0.58 (D) 0.8
    2. 设,已知,,则参数各为( C )
    在这里插入图片描述

    3.设随机变量的概率分布为
    X 0 1 2
    p 0.25 0.35 0.4
    是的分布函数,则=(A )
    (A)0.6; (B)0.35; (C)0.75; (D)0.4
    4.设是来自正态总体的样本,其中未知,已知,则下列不是统计量的是( B )
    (A)  (B)   (C)  (D)

    5.设是来自具有数学期望为,方差为的任一总体的一个样本,则的无偏估计量为(C)
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  • 本科数学课程-概率论与数理统计期末复习提纲
  • 中山大学《概率论与数理统计期末考试复习资料
  • 苏州大学《概率论与数理统计期末考试复习资料

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概率论与数理统计期末