一、函数依赖（Functional Dependency)的概念

函数依赖是数据依赖的一种，它反映属性或属性组之间相依存，互相制约的关系，即反映现实世界的约束关系。

设R（U）是属性U上的一个关系模式，X和Y均为U={A1，A2，…，An}的子集，r为R的任一关系，如果对于r中的任意两个元组u，v，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记为X→Y。

简单的说就是在属性U上有两个子集属性X,Y，由X属性可以获得一个元组，而X属性对应的Y属性获得相同的元组

例：

(sno-学生ID，tno-教师ID，cno-课程ID，sname-学生姓名，tname-教师姓名，cname-课程名称，grade-成绩）
1、sno→sname, cno→cname,(sno,cno)→grade √
2、sname→sno, tno→cno, sno→tname × （不存在一一对应关系）



函数依赖是语义范畴 

1、语义：数据所反映的现实世界事物本质联系
2、根据语义来确定函数依赖性的存在与否
3、函数依赖反映属性之间的一般规律，必须在关系模式下的任一个关系r中都满足约束条件。



属性间的联系决定函数依赖关系 

设X、Y均是U的子集
1、X和Y间联系是1:1，则X→Y,Y→X。（相互依赖，可记作X←→Y）
2、X和Y间联系是M:1(M)， 则X→Y。
3、X和Y间联系是M:N(M,N)，则X、Y间不存在函数依赖。



完全函数依赖和部分函数依赖 

1、函数依赖分为完全函数依赖和部分函数依赖

2、定义：
在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何真子集X’都有X’-/->Y’，则称Y完全依赖于X，记作X→Y；否则，如果X→Y，且X中存在一个真子集X’，使得X’→Y成立，则称Y部分依赖于X。

例：

学生ID，学生姓名，所修课程ID，课程名称，成绩

（学生ID，所修课程ID）→成绩

成绩既不能单独依赖于学生ID，也不能单独依赖于所修课程ID，因此成绩完全函数依赖于关键字。

（学生ID，所修课程ID）→学生姓名

学生ID→学生姓名

学生姓名可以依赖于关键字的一个主属性——学生ID，因此学生姓名部分函数依赖于（学生ID，所修课程ID）。

平凡函数依赖和非平凡函数依赖 

设X，Y均为某关系上的属性集，且X→Y
1)若Y包含于X，则称X→Y为：平凡函数依赖；
2)若Y不包含于X，则称X→Y为：非平凡函数依赖。
Y包含于X内，W于X相交，与Y无直接交集。

则：X→Y为平凡函数依赖

X→W, W→Y为非平凡函数依赖

 函数依赖的逻辑蕴涵

设有关系模式R(U)及其函数依赖集F， 如果对于R的任一个满足F的关系r函数依赖X→Y都成立，
则称F逻辑蕴涵X→Y，或称X→Y可以由F推出。
例4.3.1：
关系模式 R=(A,B,C),函数依赖集F={A→B,B→C}, F逻辑蕴涵A→C。

函数依赖的性质

若U为关系模式R的属性全集，F为U上的一组函数依赖，设X、Y、Z、W均为R的子集，对R(U,F)有：
F1(自反性)：若X≥Y(表X包含Y），则X→Y为F所蕴涵；(F1′:X→X)
F2(增广性): 若X→Y为F所蕴涵，则XZ→YZ为F所蕴涵；(F2′:XZ→Y)
F3(传递性): 若X→Y,Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵；

F4(伪增性)：若X→Y，W≥Z(表W包含Z）为F所蕴涵，则XW→YZ为F所蕴涵；
F5(伪传性): 若X→Y，YW→Z为F所蕴涵, 则XW→Z为F所蕴涵；

F6(合成性): 若X→Y,X→Z为F所蕴涵，则X→YZ为F所蕴涵；
F7(分解性): 若X→Y,Z≤Y (表Z包含于Y）为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。

函数依赖推理规则F1∽F7都是正确的。



多值依赖的定义：

   设R(U)是一个属性集合U上的一个关系模式，X, Y, 和Z是U的子集，并且Z=U-X-Y，多值依赖X->->Y成立当且仅当对R的任一个关系r，r在(X,Z)上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。

      若X->->Y，而Z=空集，则称X->->Y为平凡的多值依赖。否则，称X->->Y为非平凡的多值依赖。

平凡多值依赖就是，属性集合中分为两个真子集，每一个X对应一组Y的取值

可以看出，如果把上面的一组改为一个，那么多值依赖就变成了函数依赖。当然一个值组成的组也是组，所以说，函数依赖是多值依赖的特殊情况。

如下表：

课程C                                   教师T                              参考书B

数学                                      邓军                                数学分析

数学                                      邓军                                高等代数

数学                                      邓军                                微分方程



表中，U = C+T+B，（C,T）确定一组B,但是这组B其实与T无关，仅由C确定，所以(C,T)->->B。又因为T不是空集，所以(C,T)->->B为非平凡多值依赖。

要想消除多只依赖，可以分解为：(C,T), (C,B)及

表1：

课程C                  教师T

数学                     邓军



表2:



课程C                    参考书B

数学                      数学分析

数学                      高等代数

数学                      微分方程



对于R中的每个非平凡多值依赖X->->Y（Y不属于X)，X都含有候选码，则R属于4NF。

分析：对于每一个非平凡多值依赖X->->Y，X若含有候选码，也就是X->Y，所以4NF所允许的非平凡多值依赖是函数依赖。

多值依赖的性质：

若 X->->Y ， 则 X->->Z  多值依赖对称性

若X->Y.则X->->Y   说明函数依赖是多值依赖的特殊情况，当X->Y的时候，对于每一个X都有一个Y与之对应，那么对于每一对X,Z都有一组Y与之对应

设属性值之间有包含关系 XY包含于W包含于U 那么如果R（U）上有X->->Y，那么在R(W)上一世成立的

若X->->Y 在R（U）上成立，且Y’ 包含于Y，不能断言 X->->Y’在R（U）上成立（注意和上一条性质不同） （因为多值依赖中的定义中涉及了U中除了X,Y之外的其余属性Z，因此换成Y’后就需要涉及Z’ = U-X-Y’ 比之前确定X->->Y的时候属性列多，就不一定了）



 函数的概念和这个概念有相似的地方

学习函数的概念前，先引入的概念是映射，一对一映射的关系就被称为函数。简单的例子

f(x, y, z)= x2+4y+z

对于任何一确定的(x,y,z)，都有一个确定的f(x,y,z)与之对应。这种概念很容易推广到关系数据库模式上，R(U)，U={X，Y，Z, K},对于任何一个元组，只要(X,Y,Z)确定了，就能确定整个元组，也就是存在K = f(X,Y,Z)的关系，只不过这里的f不能用公式表达，而只能是语义上的含义。



再到后来，我们接触了类似y2=x的方程，也就是

f(x,y) = +-sqrt(x)

显然，此时对于一个确定的x值，f(x)可能有两个值与之对应，从严格的“函数”定义出发，这不能算是函数。但是为了统一概念，被称作“多值函数”。需要注意的是这里虽然x不能完全确定f(x,y)的值，但是能确定f(x,y)的取值范围（所有可能的值的组）。

关系模式中的多值依赖也从概念上与此非常类似，给定元组中的一些属性，可确定另外的属性可能的取值，也就是说，给定的属性值能确定几个元组，而不是唯一的元组。

还是上面的多值函数，可见f(x,y)的值仅与x有关 ，而与y无关。这在关系模式上就叫做平凡多值依赖。平凡多值依赖是4NF中可以存在的，而非平凡且非函数多值依赖不能在4NF中存在。

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一、函数依赖（Functional Dependency)的概念

函数依赖是数据依赖的一种，它反映属性或属性组之间相依存，互相制约的关系，即反映现实世界的约束关系。

设R（U）是属性U上的一个关系模式，X和Y均为U={A1，A2，…，An}的子集，r为R的任一关系，如果对于r中的任意两个元组u，v，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记为X→Y。

简单的说就是在属性U上有两个子集属性X,Y，由X属性可以获得一个元组，而X属性对应的Y属性获得相同的元组

例：

(sno-学生ID，tno-教师ID，cno-课程ID，sname-学生姓名，tname-教师姓名，cname-课程名称，grade-成绩）
1、sno→sname, cno→cname,(sno,cno)→grade √
2、sname→sno, tno→cno, sno→tname × （不存在一一对应关系）

函数依赖是语义范畴 

1、语义：数据所反映的现实世界事物本质联系
2、根据语义来确定函数依赖性的存在与否
3、函数依赖反映属性之间的一般规律，必须在关系模式下的任一个关系r中都满足约束条件。

属性间的联系决定函数依赖关系 

设X、Y均是U的子集
1、X和Y间联系是1:1，则X→Y,Y→X。（相互依赖，可记作X←→Y）
2、X和Y间联系是M:1(M)， 则X→Y。
3、X和Y间联系是M:N(M,N)，则X、Y间不存在函数依赖。

完全函数依赖和部分函数依赖 

1、函数依赖分为完全函数依赖和部分函数依赖

2、定义：
在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何真子集X’都有X’-/->Y’，则称Y完全依赖于X，记作X→Y；否则，如果X→Y，且X中存在一个真子集X’，使得X’→Y成立，则称Y部分依赖于X。

例：

学生ID，学生姓名，所修课程ID，课程名称，成绩

（学生ID，所修课程ID）→成绩

成绩既不能单独依赖于学生ID，也不能单独依赖于所修课程ID，因此成绩完全函数依赖于关键字。

（学生ID，所修课程ID）→学生姓名

学生ID→学生姓名

学生姓名可以依赖于关键字的一个主属性——学生ID，因此学生姓名部分函数依赖于（学生ID，所修课程ID）。

平凡函数依赖和非平凡函数依赖 

设X，Y均为某关系上的属性集，且X→Y
1)若Y包含于X，则称X→Y为：平凡函数依赖；
2)若Y不包含于X，则称X→Y为：非平凡函数依赖。
Y包含于X内，W于X相交，与Y无直接交集。

则：X→Y为平凡函数依赖

X→W, W→Y为非平凡函数依赖

 函数依赖的逻辑蕴涵

设有关系模式R(U)及其函数依赖集F， 如果对于R的任一个满足F的关系r函数依赖X→Y都成立，
则称F逻辑蕴涵X→Y，或称X→Y可以由F推出。
例4.3.1：
关系模式 R=(A,B,C),函数依赖集F={A→B,B→C}, F逻辑蕴涵A→C。

函数依赖的性质

若U为关系模式R的属性全集，F为U上的一组函数依赖，设X、Y、Z、W均为R的子集，对R(U,F)有：
F1(自反性)：若X≥Y(表X包含Y），则X→Y为F所蕴涵；(F1′:X→X)
F2(增广性): 若X→Y为F所蕴涵，则XZ→YZ为F所蕴涵；(F2′:XZ→Y)
F3(传递性): 若X→Y,Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵；

F4(伪增性)：若X→Y，W≥Z(表W包含Z）为F所蕴涵，则XW→YZ为F所蕴涵；
F5(伪传性): 若X→Y，YW→Z为F所蕴涵, 则XW→Z为F所蕴涵；

F6(合成性): 若X→Y,X→Z为F所蕴涵，则X→YZ为F所蕴涵；
F7(分解性): 若X→Y,Z≤Y (表Z包含于Y）为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。

函数依赖推理规则F1∽F7都是正确的。

多值依赖的定义：

   设R(U)是一个属性集合U上的一个关系模式，X, Y, 和Z是U的子集，并且Z=U-X-Y，多值依赖X->->Y成立当且仅当对R的任一个关系r，r在(X,Z)上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。

      若X->->Y，而Z=空集，则称X->->Y为平凡的多值依赖。否则，称X->->Y为非平凡的多值依赖。

平凡多值依赖就是，属性集合中分为两个真子集，每一个X对应一组Y的取值

可以看出，如果把上面的一组改为一个，那么多值依赖就变成了函数依赖。当然一个值组成的组也是组，所以说，函数依赖是多值依赖的特殊情况。

如下表：

课程C                                   教师T                              参考书B

数学                                      邓军                                数学分析

数学                                      邓军                                高等代数

数学                                      邓军                                微分方程

表中，U = C+T+B，（C,T）确定一组B,但是这组B其实与T无关，仅由C确定，所以(C,T)->->B。又因为T不是空集，所以(C,T)->->B为非平凡多值依赖。

要想消除多只依赖，可以分解为：(C,T), (C,B)及

表1：

课程C                  教师T

数学                     邓军

表2:

课程C                    参考书B

数学                      数学分析

数学                      高等代数

数学                      微分方程

对于R中的每个非平凡多值依赖X->->Y（Y不属于X)，X都含有候选码，则R属于4NF。

分析：对于每一个非平凡多值依赖X->->Y，X若含有候选码，也就是X->Y，所以4NF所允许的非平凡多值依赖是函数依赖。

多值依赖的性质：

若 X->->Y ， 则 X->->Z  多值依赖对称性

若X->Y.则X->->Y   说明函数依赖是多值依赖的特殊情况，当X->Y的时候，对于每一个X都有一个Y与之对应，那么对于每一对X,Z都有一组Y与之对应

设属性值之间有包含关系 XY包含于W包含于U 那么如果R（U）上有X->->Y，那么在R(W)上一世成立的

若X->->Y 在R（U）上成立，且Y’ 包含于Y，不能断言 X->->Y’在R（U）上成立（注意和上一条性质不同） （因为多值依赖中的定义中涉及了U中除了X,Y之外的其余属性Z，因此换成Y’后就需要涉及Z’ = U-X-Y’ 比之前确定X->->Y的时候属性列多，就不一定了）

同时也引用在http://blog.csdn.net/smstong/article/details/5599609

 函数的概念和这个概念有相似的地方

学习函数的概念前，先引入的概念是映射，一对一映射的关系就被称为函数。简单的例子

f(x, y, z)= x2+4y+z

对于任何一确定的(x,y,z)，都有一个确定的f(x,y,z)与之对应。这种概念很容易推广到关系数据库模式上，R(U)，U={X，Y，Z, K},对于任何一个元组，只要(X,Y,Z)确定了，就能确定整个元组，也就是存在K = f(X,Y,Z)的关系，只不过这里的f不能用公式表达，而只能是语义上的含义。

再到后来，我们接触了类似y2=x的方程，也就是

f(x,y) = +-sqrt(x)

显然，此时对于一个确定的x值，f(x)可能有两个值与之对应，从严格的“函数”定义出发，这不能算是函数。但是为了统一概念，被称作“多值函数”。需要注意的是这里虽然x不能完全确定f(x,y)的值，但是能确定f(x,y)的取值范围（所有可能的值的组）。

关系模式中的多值依赖也从概念上与此非常类似，给定元组中的一些属性，可确定另外的属性可能的取值，也就是说，给定的属性值能确定几个元组，而不是唯一的元组。

还是上面的多值函数，可见f(x,y)的值仅与x有关 ，而与y无关。这在关系模式上就叫做平凡多值依赖。平凡多值依赖是4NF中可以存在的，而非平凡且非函数多值依赖不能在4NF中存在。

数据库中的函数依赖，主码，候选码等的区别：点击打开链接

数据库中的范式：分为，1NF,2NF,3NF,BCNF,4NF。一般我们，我们设计数据库到第三范式就算完整的了。它们的关系如下：

第一范式：定义很多，其实说的就是列不可分。

如：

在关系数据库中不能出现这种情况。

第二范式定义：若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于码，则R∈2NF。意思是非主属性完全依赖于码（候选码，主码），这里需要注意一下，是非主属性（候选码之外的属性），在前一篇文章已经说过。

如：

(学号, 系名, 课程号, 成绩) ∈1NF

(学号, 系名, 课程号, 成绩)不属于 2NF

在该关系模式中，学号+课程号是码，其他属性都是非主属性，但是只有成绩完全依赖于码，系名是部分依赖，因为学号就可以推出学生所在的系了。

第三范式定义：它的定义。。不打了，太烦了。其实说的就是消除 传递依

赖。每一个非主属性都要直接依赖于码，不能传递依赖于码。如：在一个

学生表中，我们规定一个系的学生是住在同一个宿舍区域的，于是，该关

系模型为：

学生表(学号, 系名, 宿舍区)

在这关系中，学号为码，学号——>系名，学号——>宿舍区，但是，系名也能推出宿舍区，变成   学号——>系名——>宿舍区，即宿舍区传递依赖于学好了。

解决方法：拆分成两个表：

1（学号，系名），2（系名，宿舍区）

从上面我们可以看到，在两个表中我们可以看到，当两个表通过外键（1表的系名，2中系名为主健）关联后，另一个表的的信息（如2表中的宿舍区）不能再写到包含外键关系的表中（1表）。

BC范式：前面的三个范式是针对非主属性的，BC范式则是针对于码（什么是码，前篇文章说过），它要求每个函数的依赖关系中其决定因素都要包含码。

如：

在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。

           函数依赖：(S，J)→T，(S，T)→J， T→J 其中，(S，J)和(S，T)都是候选                 码。

可以看出STJ中，它是属于第三范式的，因为没有哪一组依赖关系中，非主属性传递或者部分 依赖于码，（记住是非主属性，是候选码以外的属性，T在候选码中），但是，它不属于BC范式，因为T是决定因素，T不包含码（候选码的任何一个真子集都不能叫候选码）。

多值依赖定义：第四范式需要掌握的一个内容。它说的就是设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y。关系模式R(U)中多值依赖 X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关（想不到好的方法把它概括起来，哎！）

判定方法：对于任意关系中，如果存在两个元组（就是行），记为A,B，如果他们的某一属性X的值相等，那么我们交换它们另外的属性Y的值后，得到的新的两个元组，在表中是可以在原来的表中找到与它们相匹配的元组的。

如：

该表中的码为（C,T,B）我们可以找到第一和第四行，它们的属性X=物理是相同的，当我们交换Y=教员属性后得到（物理，王军，普通物理学）和（物理，李勇，普通 物理学），与原来的表相比，是一毛一样的。我们也可以交换第三行和第四行，得到（物理，王军，物理习题集）和（物理，李勇，普通物理学），与原来表相比，我们还是能找到与它们相匹配的元组的。

平凡多值依赖和非平凡的多值依赖：

若X→→Y，而Z＝φ，则称X→→Y为平凡的多值依赖否则称X→→Y为非平凡的多值依赖。

多值依赖与函数依赖的区别：

1）若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y' 属于Y均有X→Y' 成立

2）多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y' 属于Y有X→→Y' 成立，因为多值依赖中，其实就是一对一组，一个老师可能交多门课，所以不同老师可能有教相同的课，所以不能推出X→→Y' 成立。我们可以看出，如果把一组改为一个，实际上就是函数依赖，所以所函数依赖是多值依赖的特例，多值依赖不一定是函数依赖，但函数依赖一定是多值依赖。

多值依赖性质：

（1）多值依赖具有对称性

若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y

（2）多值依赖具有传递性

若X→→Y，Y→→Z， 则X→→Z –Y

（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。

若X→Y，则X→→Y。

（4）若X→→Y，X→→Z，则X→→YU Z。

（5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。

（6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。

第四范式：1）不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖

                 2）允许的非平凡多值依赖是函数依赖

                 3）平凡的多值依赖属于第四范式

像，我们上面的图表（C,T,B）,如果改成属于第四范式，就要分为：

                           CT(C, T) ∈ 4NF

             CB(C, B) ∈ 4NF

其中， C→→T， C→→B是平凡多值依赖。

总结：

目的：尽量消除插入、删除异常，修改复杂，数据冗余