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    [分布式控制浅述] (3)简单分布式事件触发控制

    事件触发控制(Event-triggered Control,ETC)是与传统的连续的周期控制不同的一类控制方法,事件触发控制不是在每个周期时都去计算和改变控制输入,而是在一些特定的、由系统稳定关系决定的一些特定时刻,去计算或改变控制输入。最早是K.Z Arzen教授和K.Astrom教授在首次提出的。
    事件触发控制一般由两部分组成,第一是反馈控制器,第二是触发条件,也就是什么时候区更新控制输入。
    本文根据笔者的经验和浅薄的知识,通俗易懂的介绍一个笔者认为较为经典的、容易理解的和一个分布式事件触发控制。
    建议首先学习图论的预备知识以及简单的一致性理论:
    [分布式控制浅述] (1) 图论基础
    [分布式控制浅述] (2) 经典一阶系统的一致性问题

    1 前言

    经过多年的发展,分布式事件触发控制已经衍生出了很多,根据笔者的经验,大致有以下五种主要类别:
    基于事件的控制(Event-Based Control,ETC)
    基于模型的事件触发控制(Model-Based Event-Triggered Control)
    基于采样数据的事件触发控制(Sampled-Data-Based Event-Triggered Control)
    自触发控制(Self-Triggered Control)
    动态事件触发控制(Dynamic Event-Triggered Control)

    如果您想深入了解他们差异细节和讨论的不同问题,您可以参考下篇这篇综述:
    Ding L, Han Q, Ge X, et al. An Overview of Recent Advances in Event-Triggered Consensus of Multiagent Systems[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2018,48(4):1110-1123.

    不过本文仅仅介绍其中一个笔者认为较为经典的、容易理解的和一个分布式事件触发控制,是基于Dimos V. Dimarogonas教授2012年的一篇TAC:
    Dimarogonas D V, Frazzoli E, Johansson K H. Distributed Event-Triggered Control for Multi-Agent Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012,57(5):1291-1297.

    2 分布式事件触发控制

    考虑无向图。
    系统方程:
    x˙i=ui{{\dot{x}}_{i}}={{u}_{i}}事件触发控制器:
    ui(t)=qi(t)=kjNi(xi(tki)xj(tk(t)j))t[tki,tk+1i)\begin{matrix} {{u}_{i}}\left( t \right)={{q}_{i}}\left( t \right)=-k\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}^{{}}{\left( {{x}_{i}}\left( t_{k}^{i} \right)-{{x}_{j}}\left( t_{{k}'\left( t \right)}^{j} \right) \right)} & t\in \left[ t_{k}^{i},t_{k+1}^{i} \right) \\ \end{matrix}

    切换条件:
    ei2(t)σ2klijq^i(t)e_{i}^{2}\left( t \right)\le \frac{\sigma }{2k{{l}_{ij}}}{{\hat{q}}_{i}}\left( t \right)

    其中:
    0<σ<10<\sigma <1ei(t)=xi(tki)xi(t)t[tki,tk+1i)\begin{matrix} {{e}_{i}}\left( t \right)={{x}_{i}}\left( t_{k}^{i} \right)-{{x}_{i}}\left( t \right) & t\in \left[ t_{k}^{i},t_{k+1}^{i} \right) \\ \end{matrix}

    对于t[tki,tk+1i)t\in \left[ t_{k}^{i},t_{k+1}^{i} \right)tk(t)jt_{{k}'\left( t \right)}^{j}为智能体jj上次事件触发更新事件。因此,控制ui(t){{u}_{i}}\left( t \right)会在自身时刻事件触发t0i,t1i,t_{0}^{i},t_{1}^{i},\ldots,以及其邻居事件触发更新时刻t0j,t1j,t_{0}^{j},t_{1}^{j},\ldots ,进行更新。值得注意的是,智能体iijj一般不会在同一时刻发生事件触发,因此tkit_{k}^{i}tkjt_{k}^{j}表示的是不同时刻。
    好了,这就是Dimos V. Dimarogonas教授提出的控制律,可以发现,输入ui(t){{u}_{i}}\left( t \right)是非连续的,因为xi(tki){{x}_{i}}\left( t_{k}^{i} \right)xj(tkj){{x}_{j}}\left( t_{k}^{j} \right)是非连续的。
    下面进行理论层面的分析。

    3 稳定性分析

    考虑Lyapunov函数:
    V=12xT(In1n1T1)x=12i=1n(xi(t)xˉ(0))2\begin{aligned} & V=\frac{1}{2}{{\mathbf{x}}^{T}}\left( {{I}_{n}}-\frac{1}{n}{{\mathbf{1}}^{T}}\mathbf{1} \right)\mathbf{x} \\ & =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}\left( t \right)-\bar{x}\left( 0 \right) \right)}^{2}}} \end{aligned}其中xˉ(0)=1ni=1nxi(0)\bar{x}\left( 0 \right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}\left( 0 \right)}
    求导:
    V˙=i=1n(xi(t)xˉ(0))x˙i(t)=i=1nxi(t)j=1nklijx^j(t)=i=1n(x^i(t)ei(t))j=1nklijx^j(t)=i=1nq^i(t)i=1nj=1nei(t)klijx^j(t)=i=1nq^i(t)i=1nj=1,ijnei(t)klij(x^j(t)x^i(t))i=1nq^i(t)+i=1nj=1,ijnklijei2(t)+i=1nj=1,ijn14klij(x^j(t)x^i(t))2=i=1n12q^i(t)+i=1nj=1,ijnklijei2(t)\begin{aligned} & \dot{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{x}_{i}}\left( t \right)-\bar{x}\left( 0 \right) \right){{{\dot{x}}}_{i}}\left( t \right)} \\ & =\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}\left( t \right)\sum\limits_{j=1}^{n}{-k{{l}_{ij}}{{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right)-{{e}_{i}}\left( t \right) \right)\sum\limits_{j=1}^{n}{k{{l}_{ij}}{{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{e}_{i}}\left( t \right)k{{l}_{ij}}{{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{{{e}_{i}}\left( t \right)k{{l}_{ij}}\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}} \\ & \le -\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{k{{l}_{ij}}e_{i}^{2}\left( t \right)}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{\frac{1}{4}k{{l}_{ij}}{{\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}^{2}}}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{k{{l}_{ij}}e_{i}^{2}\left( t \right)}} \end{aligned}

    其中:
    i=1nq^i(t)=i=1nj=1,ijn12klij(x^j(t)x^i(t))2=kx^T(t)Lx^(t)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{\frac{1}{2}k{{l}_{ij}}{{\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}^{2}}}}=k{{\mathbf{\hat{x}}}^{T}}\left( t \right)L\mathbf{\hat{x}}\left( t \right)ei(t)(x^j(t)x^i(t))ei2(t)+(x^j(t)x^i(t))2{{e}_{i}}\left( t \right)\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)\le e_{i}^{2}\left( t \right)+{{\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}^{2}}
    容易知道,该系统在控制时必然满足切换条件ei2(t)σ2klijq^i(t)e_{i}^{2}\left( t \right)\le \frac{\sigma }{2k{{l}_{ij}}}{{\hat{q}}_{i}}\left( t \right),那么代入切换条件,即有:
    V˙i=1n12q^i(t)+i=1nj=1,ijnklijei2(t)12(1σ)x^T(t)Lx^(t)0\begin{aligned} & \dot{V}\le -\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{k{{l}_{ij}}e_{i}^{2}\left( t \right)}} \\ & \le -\frac{1}{2}\left( 1-\sigma \right){{{\mathbf{\hat{x}}}}^{T}}\left( t \right)L\mathbf{\hat{x}}\left( t \right)\le \text{0} \end{aligned}

    显然,是渐近稳定的。

    展开全文
  • 针对无线网络中存在的能耗严重、信道竞争冲突等问题,在控制机制上,重点研究了事件触发控制机制,考虑到被控对象参数的不确定性以及各种强干扰因素,将鲁棒H_∞控制与事件触发控制相结合,对鲁棒H_∞控制器和触发条件...
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