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  • 2021-02-23 13:54:57

    Python数据拟合——幂函数y=ax^b

    from scipy.optimize import curve_fit
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    # 幂函数拟合
    xdata = [2,3,4,5,6,7]
    ydata = [2400,5300,8000,9700,10700,11200]
    
    plt.plot(xdata,ydata,'b-')
    
    ### 定义拟合函数, y = a * x^b ###
    def target_func(x, a, b):
        return a * (x ** b)
    
    ### 利用拟合函数求特征值 ###
    popt, pcov = curve_fit(target_func, xdata, ydata)
    
    ### R^2计算 ###
    calc_ydata = [target_func(i, popt[0], popt[1]) for i in xdata]
    res_ydata = np.array(ydata) - np.array(calc_ydata)
    ss_res = np.sum(res_ydata ** 2)
    ss_tot = np.sum((ydata - np.mean(ydata)) ** 2)
    r_squared = 1 - (ss_res / ss_tot)
    
    # 拟合的值
    y = [target_func(i,popt[0],popt[1]) for i in xdata]
    plt.plot(xdata,y,'r--')
    plt.show()
    ### 输出结果 ###
    print("a = %f  b = %f   R2 = %f" % (popt[0], popt[1], r_squared))
    
    print(ydata, calc_ydata)
    
    
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  • python数据拟合

    2021-08-29 20:42:51
    多项式拟合及自定义函数的拟合

    python数据拟合

    1.多项式拟合

    1.1 多项式拟合描述

    输入:多项式次数 n n n;数据集合 { ( x i , y i ) } \{(x_i,y_i)\} {(xi,yi)}
    输出 f n ( x ) f_n(x) fn(x),使得 ∑ ( f ( x i ) − y i ) 2 \sum(f(x_i)-y_i)^2 (f(xi)yi)2 最小

    解决方案polyfit ( x , y , deg , rcond = None , full = False , w = None )

    1.2 多项式拟合实现

    导入库:numoy、matplotlib

    #导入库
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    

    生成测试数据:

    #定义测试多项式函数
    def func1(x):
        return 3*x*x*x-2*x*x+4
    
    #生成测试数组
    x1 = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8])
    y1 = func1(x1)
    
    #添加噪声
    n1 = np.random.normal(0.0,1.0,8)*0.1
    y1 = y1*(1+n1)
    

    数据拟合:

    f1 = np.polyfit(x1, y1, 3)
    p1 = np.poly1d(f1)
    print('p1 is :\n',p1)
    

    p1 is :
    3 2
    -1.897 x + 57.77 x - 204.8 x + 177.6

    在这里插入图片描述
    得到拟合函数:
    f 1 = − 1.897 x 3 + 57.77 x 2 − 204.8 x + 177.6 f_1=-1.897x^3+57.77x^2-204.8x+177.6 f1=1.897x3+57.77x2204.8x+177.6

    绘制拟合曲线:

    xx1 = np.arange(1,9,0.2)
    yvals1 = p1(xx1) #拟合y值
    
    #绘图
    plot1 = plt.plot(x1, y1, 'o',label='original values')
    plot2 = plt.plot(xx1, yvals1, 'r-',label='polyfit values')
    plt.xlabel('x1')
    plt.ylabel('y1')
    plt.legend(loc=4) #指定legend的位置右下角
    plt.title('polyfitting')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    2.自定义函数拟合

    2.1 自定义函数拟合描述

    输入:自定义函数 f ( x ) f(x) f(x)及参数 σ i \sigma_i σi;数据集合 { ( x i , y i ) } \{(x_i,y_i)\} {(xi,yi)}
    输出:使得 ∑ ( f ( x i ) − y i ) 2 \sum(f(x_i)-y_i)^2 (f(xi)yi)2 最小参数取值

    解决方案scipy.optimize.curve_fit(f, xdata, ydata, p0=None, sigma=None, absolute_sigma=False, check_finite=True, bounds=(- inf, inf), method=None, jac=None, **kwargs)

    2.1 自定义函数拟合的实现

    导入库:numpy、matplotlib、scipy

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import curve_fit
    

    设置拟合数据:

    x2 = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10])
    y2 = np.array([0.16,0.63,1.60,3.00,8.00,33.0,73.0,125.0,211.0,310.0])
    y2=y2*100
    

    自定义拟合函数:

    def func2(x, p, q,m):
        return m*(1-np.exp(-x*(p+q)))/(1+q/p*np.exp(-(p+q)*x))
    

    非线性最小二乘法拟合:

    popt, pcov = curve_fit(func2, x2, y2)
    

    拟合y值

    p = popt[0] 
    q = popt[1]
    m = popt[2]
    
    yvals2 = func2(x2,p,q,m) #拟合y值
    print('popt:', popt)
    print('系数p:', p)
    print('系数q:', q)
    print('系数m:', m)
    print('系数pcov:', pcov)
    print('系数yvals2:', yvals2)
    

    popt: [4.93963593e-04 7.86873973e-01 4.96871803e+04]
    系数p: 0.0004939635925128215
    系数q: 0.7868739729224568
    系数m: 49687.18030400891
    系数pcov: [[ 1.16165013e-08 -4.88182871e-06 3.60534694e-01]
    [-4.88182871e-06 2.28100736e-03 -1.95238501e+02]
    [ 3.60534694e-01 -1.95238501e+02 1.97747550e+07]]
    系数yvals2: [ 37.30343602 119.0851606 297.86586198 686.25958059
    1518.69723981 3252.26832861 6655.68174484 12625.30614774
    21284.37699301 30920.18607139]

    绘制拟合图像

    xx2 = np.arange(1,21)
    y2test = func2(xx2,p,q,m)
    
    #绘图
    plot1 = plt.plot(x2, y2, 's',label='original values')
    plot2 = plt.plot(xx2, y2test, 'r',label='polyfit values')
    plt.xlabel('x2')
    plt.ylabel('y2')
    plt.legend(loc=4) #指定legend的位置右下角
    plt.title('curve_fit')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 主要为大家详细介绍了Python数据拟合与广义线性回归算法,具有一定的参考价值,感兴趣的小伙伴们可以参考一下
  • 本文实例讲述了Python线性拟合实现函数与用法。分享给大家供大家参考,具体如下: 1. 参考别人写的: #-*- coding:utf-8 -*- import math import matplotlib.pyplot as plt def linefit(x , y): N = float(len(x))...
  • 使用Python进行数据拟合

    千次阅读 2021-07-08 19:46:54
    使用Python进行数据拟合 文章目录使用Python进行数据拟合多项式拟合非多项式拟合 多项式拟合 任何一个函数都可以拆分成近似于这个函数的多项式表达。 多项式拟合需要用到的函数是np.polyfit,它的使用方法为: np...

    使用Python进行数据拟合


    多项式拟合

    任何一个函数都可以拆分成近似于这个函数的多项式表达。

    多项式拟合需要用到的函数是numpy库当中的np.polyfit,它的使用方法为:

    np.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)
    

    使用最小二乘法原理,根据已知的x与y对应值,拟合一个下面形式的多项式。
    P ( x ) = P 0 x d e g + P 1 x d e g − 1 ⋅ ⋅ ⋅ + P d e g P(x)=P{_0}x^{deg}+P{_1}x^{deg-1}···+P_{deg} P(x)=P0xdeg+P1xdeg1+Pdeg
    返回一系列的系数 P P P.

    参数说明:
    一般情况下,我们只需要用到前三个参数。

    xarray类型,形状(M,),M 个样本点的 x 坐标(x[i], y[i])
    yarray类型,形状 (M,) 或 (M, K),样本点的 y 坐标。
    degint型常量,拟合多项式的最高次项。

    返回值:

    p p p各个系数, p p p的个数为 d e g + 1 deg+1 deg+1.

    我们还可以使用polyval()来计算我们需要预测多项式的值.

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    
    if __name__ == "__main__":
      x = np.arange(1, 31, 1)
      y = np.array([20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 45, 53, 62, 73, 86, 101, 118, 138, 161, 188, 220, 257, 300, 350, 409, 478, 558, 651, 760, 887, 1035, 1208, 1410])
    
      z1 = np.polyfit(x, y, 3)              # 曲线拟合,返回值为多项式的各项系数
      p1 = np.poly1d(z1)                    # 返回值为多项式的表达式,也就是函数式子
      print(p1)
      y_pred = p1(x)                        # 根据函数的多项式表达式,求解 y
      #print(np.polyval(p1, 29))             #根据多项式求解特定 x 对应的 y 值
      #print(np.polyval(z1, 29))             #根据多项式求解特定 x 对应的 y 值
      plot1 = plt.plot(x, y, '*', label='original values')
      plot2 = plt.plot(x, y_pred, 'r', label='fit values')
      plt.title('')
      plt.xlabel('')
      plt.ylabel('')
      plt.legend(loc=3, borderaxespad=0., bbox_to_anchor=(0, 0))
      plt.show()
    

    输出结果:

            3         2
    0.1215 x - 3.045 x + 28.62 x - 34.47
    

    则其拟合的函数为 y = 0.1215 x 3 − 3.045 x 2 + 28.62 x − 34.47 y=0.1215 x{^3} - 3.045 x {^2}+ 28.62 x - 34.47 y=0.1215x33.045x2+28.62x34.47
    将拟合的曲线与原数据各点进行对比发现拟合效果良好。
    在这里插入图片描述

    非多项式拟合

    如果需要进行多项式拟合,前提是必须大体上知道散点的大致曲线形式,也就是大致的函数的形式。
    比如,例子中的散点看起来像是指数的函数分布,因此可以给出假设的函数
    y = b a x + c y=ba{^x}+c y=bax+c
    所以,只要给出具体的函数形式(可以是任意的,只要能写的出来皆可),用最小二乘的方式去逼近和拟合,即求出函数的各项系数。

    此时用到的是scipy.optimize包下的curve_fit函数了:

    代码示例:

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    from scipy.optimize import curve_fit
    
    def func(x, a, b, c):
      return b * np.power(a, x) + c
    
    if __name__ == "__main__":
      x = np.arange(1, 31, 1)
      y = np.array([20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 45, 53, 62, 73, 86, 101, 118, 138, 161, 188, 220, 257, 300, 350, 409, 478, 558, 651, 760, 887, 1035, 1208, 1410])
    
      popt, pcov = curve_fit(func, x, y)                # 曲线拟合,popt为函数的参数list
      y_pred = [func(i, popt[0], popt[1], popt[2]) for i in x]    # 直接用函数和函数参数list来进行y值的计算
      print(popt)
    
      plot1 = plt.plot(x, y, '*', label='original values')
      plot2 = plt.plot(x, y_pred, 'r', label='fit values')
      plt.title('')
      plt.xlabel('')
      plt.ylabel('')
      plt.legend(loc=3, borderaxespad=0., bbox_to_anchor=(0, 0))
      plt.show()
    

    输出结果为:

    [ 1.16791847 13.39168878  1.24633841]
    

    那么就有
    { a =   1.16791847 b =   13.39168878 c = 1.24633841 \left\{ \begin{aligned} a & = & \ 1.16791847 \\ b & =&\ 13.39168878 \\ c & = & 1.24633841 \end{aligned} \right. abc=== 1.16791847 13.391688781.24633841
    于是我们得到了拟合的函数为

    y = 13.39168878 ∗ 1.16791847 x + 1.24633841 y=13.39168878*1.16791847{^x}+1.24633841 y=13.391688781.16791847x+1.24633841
    将拟合的曲线与原数据各点进行对比发现拟合效果良好。
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • python数据拟合

    2017-11-21 22:04:16
    将DataFrame格式的数据转换成数组的形式,并且调用scipy进行数据拟合计算操作,并对将来值进行预测。
  • python 绘制拟合曲线并加指定点标识 import os import numpy as np from scipy import log from scipy.optimize import curve_fit import matplotlib.pyplot as plt import math from sklearn.metrics import r2_...
  • python数据拟合fit

    千次阅读 2018-12-18 10:52:49
    第一部分:多项式拟合 1)一次式 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x,y = [1,1.25,1.33,1.60,2.0,2.4,2.5,3.0,3.2],[931.525,1163.97,1238.35,1489.44,1861.48\ ,2233.6,2326.64,...

    第0部分:多项式拟合数学基础

    参考文献
    多项式拟合采用的是最小二乘拟合
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里最重要的就是平方误差条件和公式(4)。
    公式4表明,
    1) 我们在计算系数a的时候可以直接通过矩阵来计算。
    2) 对两条曲线和的拟合等于单独对两条曲线拟合的和。
    比如,现在有两组数据 ( x i , y i ) 和 ( x i , z i ) (x_i,y_i)和(x_i,z_i) (xi,yi)(xi,zi),多项式对单组数据拟合和对 ( x i , y i + z i ) (x_i,y_i+z_i) (xi,yi+zi)的拟合是可以直接相加的,我们可以由(4)式子有
    在这里插入图片描述
    上面的图片告诉我们一个很重要的信息,即有自变量 x i x_i xi组成的矩阵是一样的,那么我们在对 ( x i , y i + z i ) (x_i,y_i+z_i) (xi,yi+zi)的拟合系数等于单独对 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)的拟合系数与 ( x i , z i ) (x_i,z_i) (xi,zi)的拟合系数的和。这表明当我们对两条曲线的和做拟合时得到的拟合曲线是 p n ( x ) = ∑ k = 0 n ( a k + b k ) x k p_n(x)=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k pn(x)=k=0n(ak+bk)xk,那么两条曲线与拟合曲线相减,剩余为 w i = ( y + z ) i − p n i ( x ) = ( y + z ) i − ∑ k = 0 n ( a k + b k ) x k w_i=(y+z)_i-p_n^i(x)=(y+z)_i-\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k wi=(y+z)ipni(x)=(y+z)ik=0n(ak+bk)xk,如果要计算其中一条曲线被减了多少,或者要知道剩余中每条曲线分别还含有多少比例,那么可以放心大胆的再次使用这个 n n n阶多项式单独对每条曲线进行fit再相减,即 y y y的剩余为 y i − ∑ k = 0 n a k x k y_i-\sum_{k=0}^na_kx^k yik=0nakxk, z z z的剩余为 z i − ∑ k = 0 n b k x k z_i-\sum_{k=0}^nb_kx^k zik=0nbkxk.这里要注意必须使用相同阶数,比如对 ( y + z ) (y+z) (y+z)使用10阶多项式拟合,那么对单个成分也必须是10阶。

    举例

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    第一部分:多项式拟合

    • 1)一次式
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    x,y = [1,1.25,1.33,1.60,2.0,2.4,2.5,3.0,3.2],[1000,1100,1300,1500,1861.48\
          ,2233.6,2326.64,2791.94,2978.09]
    x,y = np.array(x),np.array(y) #变成数组形式,方便数学计算
    z1 = np.polyfit(x,y,1)   #使用一次式拟合,使用N次式则将1改为N即可
    p1 = np.poly1d(z1)    #一维
    print(p1)         #输出p1的式子
    y_fit = p1(x)      #fit之后的结果
    
        
    plt.scatter(x,y_fit,label='fit')    #画fit后的图
    plt.scatter(x,y,label='data')    #画原始图
    
    plt.legend()
    plt.show()
    

    输出的一次函数形式:
    在这里插入图片描述
    得到的图像:
    在这里插入图片描述

    第二部分

    最小二乘法拟合(参考python科学计算)

    使用幂律谱

    幂律谱有如下形式:
    y = a × x b y=a\times x^b y=a×xb
    如果用矢量p表示函数中需要确定的参数,则目标是找到一组p使得函数S的值最小:
    S ( p ) = ∑ i = 1 m [ y i − f ( x i , p ) ] 2 S(\boldsymbol p)=\sum_{i=1}^{m}[y_i-f(x_i,\boldsymbol p)]^2 S(p)=i=1m[yif(xi,p)]2

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    def residuals(p):
        a,b = p    # p表示参数,所以这里有两个参数a,b(不可少)
        return Ad-(a*fsky**b)   #输出真实值与拟合值的差,这里使用的是幂律谱y_fit = a*x**b
    
    fsky = np.array([0.24,0.33,0.42,0.52,0.62,0.71])
    Ad = np.array([0.48*34.3,0.45*47.3,0.50*74.7,0.53*120.1,0.53*190.7,0.53*315.4])
    
    popt = leastsq(residuals,[1,0])  #这里给出residual得到的数组的平方和,即上面公式的S(p)
    #[1,0]分别是a,b的初始值
    a,b = popt[0]   # 两个参数
    x = np.linspace(0,1,10)
    Ad_fit = a*x**b
    
    plt.scatter(fsky,Ad)
    plt.plot(x,Ad_fit)
    plt.show()
    
    

    在这里插入图片描述
    更新(2021.7.26)
    更新对于log坐标下的幂律谱拟合
    比如有个 ℓ \ell C ℓ C_\ell C,它们在log坐标下的关系如下:
    在这里插入图片描述
    现在要用幂律谱拟合这条曲线,由于是在ipython环境,所以就直接这么写了
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    使用e指数

    e指数有如下形式
    y = a × e b × x y=a\times e^{b\times x} y=a×eb×x

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    def residuals(p):
        a,b = p
        return Ad-(a*np.exp(b*fsky))
    
    fsky = np.array([0.24,0.33,0.42,0.52,0.62,0.71])
    Ad = np.array([0.48*34.3,0.45*47.3,0.50*74.7,0.53*120.1,0.53*190.7,0.53*315.4])
    
    popt = leastsq(residuals,[1,0])
    a,b = popt[0]
    x = np.linspace(0,1,10)
    Ad_fit = a*np.exp(b*x)
    
    plt.scatter(fsky,Ad)
    plt.plot(x,Ad_fit)
    plt.show()
    
    

    在这里插入图片描述

    三种方法总结

    将上面提到的三种方法统一写在下面的这个代码中,对输入fsky, Ad做拟合

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    def polynomial_fit(x,y,N):
        return np.polyfit(x,y,N)
    
    def exponential(p):
        a,b = p
        return Ad-(a*np.exp(b*fsky))
    
    def power_law(p):
        a,b = p
        return Ad-(a*fsky**b)
    
    fsky = np.array([0.24,0.33,0.42,0.52,0.62,0.71])
    Ad = np.array([0.48*34.3,0.45*47.3,0.50*74.7,0.53*120.1,0.53*190.7,0.53*315.4])
    # x range
    x = np.linspace(0,1,100)
    
    # polynomial_fit
    popt_poly = polynomial_fit(fsky,Ad,3)
    p1 = np.poly1d(popt_poly)
    Ad_poly = p1(x)
    print(p1)
    
    #exponential form
    popt_exp = leastsq(exponential,[1,0])
    a_exp,b_exp = popt_exp[0]
    #power law
    popt_power_law = leastsq(power_law,[1,0])
    a_pow,b_pow = popt_power_law[0]
    
    Ad_fit_exp = a_exp*np.exp(b_exp*x)
    Ad_fit_pow = a_pow*x**b_pow
    
    #plt.figure()
    plt.scatter(fsky,Ad)
    plt.plot(x,Ad_poly,label='polynomial fit')
    plt.plot(x,Ad_fit_exp,label='exponential fit')
    plt.plot(x,Ad_fit_pow,label='power_law fit')
    plt.xlabel('fsky')
    plt.ylabel('Ad')
    
    plt.legend()
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例题:拟合中国GDP最近10年的增速,计算多少年可以赶上美国

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    def residuals(p):
        a,b = p    # p表示参数,所以这里有两个参数a,b(不可少)
        return(Ad-(a*(fsky-2001)**b))   #输出真实值与拟合值的差,这里使用的是幂律谱y_fit = a*x**b
    
    fsky = np.array([2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019])  #这里是时间,我就直接使用sky表示了
    Ad = np.array([10.9,9.5,7.9,7.8,7.3,6.9,6.7,6.8,6.6,6.3])#这里是中国GDP最近10年增速
    
    popt = leastsq(residuals,[1,1])  #这里给出residual得到的数组的平方和,即S(p)
    a,b = popt[0]   # 两个参数
    x = np.arange(2010,2030)
    Ad_fit = a*(x-2001)**b
    
    def residualss(p):
        c,d = p
        return(Ad-(c*np.exp(d*(fsky-2001))))
    
    popts = leastsq(residualss,[1,0])
    c,d = popts[0]
    Ad_fit1 = c*np.exp(d*(x-2001))
    
    plt.plot(x,Ad_fit1,'k',label='exponential fit')
    plt.scatter(fsky,Ad)
    plt.plot(x,Ad_fit,'r',label='power_law fit')
    plt.legend()
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    这种情况需要到2038年
    在这里插入图片描述

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.optimize import leastsq
    
    #power law 形式
    def residuals(p):
        a,b = p    # p表示参数,所以这里有两个参数a,b(不可少)
        return(Ad-(a*(fsky-2001)**b))   #输出真实值与拟合值的差,这里使用的是幂律谱y_fit = a*x**b
    
    fsky = np.array([2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019])
    Ad = np.array([10.9,9.5,7.9,7.8,7.3,6.9,6.7,6.8,6.6,6.3])
    
    popt = leastsq(residuals,[1,1])  #这里给出residual得到的数组的平方和,即S(p)
    a,b = popt[0]   # 两个参数
    x = np.arange(2010,2040)
    Ad_fit = a*(x-2001)**b
    
    
    #e指数形式
    def residualss(p):
        c,d = p
        return(Ad-(c*np.exp(d*(fsky-2001))))
    
    popts = leastsq(residualss,[1,0])
    c,d = popts[0]
    Ad_fit1 = c*np.exp(d*(x-2001))
    
    plt.plot(x,Ad_fit,'r',label='power_law fit')
    plt.plot(x,Ad_fit1,'k',label='exponential fit')
    plt.scatter(fsky,Ad)
    
    plt.legend()
    plt.show()
    
    x1 = np.arange(2018,2045)
    w = a*(x1-2001)**b
    #使用power law 形式,乘以0.001是从百分比化成小数
    #计算需要用到append函数来保存
    y1 = [13.6]
    w = 13.6
    for i in range(2019,2045):
        w = w*(1+0.01*a*(i-2001)**b)
        y1.append(w)
    y1 = y1
    y2 = 20.5*np.power(1+0.023,x1-2018)
    plt.figure()
    plt.plot(x1,y1,label='China')
    plt.plot(x1,y2,label='United States')
    plt.legend()
    plt.show()
    

    第三部分:使用窗口平滑化处理(scipy.signal.convolve)

    如果信号噪声比较多,或者图片/数组中高频部分多,那么可以考虑使用scipy的卷积来平滑smooth,

    #convolution (smoothing)
    win = signal.hann(10)
    y1 = signal.convolve(y,win,mode='same')/sum(win)
    

    下图蓝色是平滑前,黄色是平滑后,可以降低噪声水平
    在这里插入图片描述

    展开全文
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