• 10% sample ri = np.random.choice(N, m, replace=False) # random sample of indices ri.sort() # sorting not strictly necessary, but convenient for plotting t2 = t[ri] y2 = y[ri] 压缩感知核心算法： A = ...
先安装convex优化包

conda install -c conda-forge cvxpy

语音信号的生成

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize as spopt
import scipy.fftpack as spfft
import scipy.ndimage as spimg
import cvxpy as cvx

T= 0.000025
N = 5000
fn = np.linspace(0,1-1/N,int(N))

t = np.linspace(0, T*N, N)
y = np.sin(1394 * np.pi * t) + np.sin(3266 * np.pi * t)
yt = spfft.dct(y, norm='ortho')

fig, (axs1,axs2) = plt.subplots(2,1)
axs1.plot(t, y)
axs1.set_xlabel('t')
axs1.set_ylabel('y')
axs1.grid(True)

axs2.plot(fn, yt)
axs2.set_xlabel('k')
axs2.set_ylabel('F(y)')
axs2.grid(True)


局部放大

采样点数减少90%，并且随机采样

m = 500 # 10% sample
ri = np.random.choice(N, m, replace=False) # random sample of indices
ri.sort() # sorting not strictly necessary, but convenient for plotting
t2 = t[ri]
y2 = y[ri]

压缩感知核心算法：

A = spfft.idct(np.identity(N), norm='ortho', axis=0)
A = A[ri]
vx = cvx.Variable(N)
objective = cvx.Minimize(cvx.norm(vx, 1))
constraints = [A*vx == y2]
prob = cvx.Problem(objective, constraints)
result = prob.solve(verbose=True)

得到重建的频域信号为

做逆余弦变换得到时域信号（局部放大）

详细数学原理请关注公众号：未名方略

展开全文
• 压缩感知实验-OMP算法Python实现 #How does it work ##Orthogonal Matching Pursuit # -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Wed Sep 23 21:46:43 2020 @author: chen """ import numpy as np def Omp(y,A,K): ...
压缩感知实验-OMP算法Python实现一维图信号重建ExperimentResult
一维图信号重建
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Sep 23 21:46:43 2020

@author: chen
"""
import numpy as np

def Omp(y,A,K):
cols=A.shape[1]#传感矩阵A的列数 800
res=y #初始化残差r0 值为y
indexs=[]#用来保存索引的数组
A_c=A.copy()#传感矩阵A的拷贝

#进行K次迭代
for i in range(0,K):
products=[]#用来保存每次迭代产生的内积
#对于传感矩阵A中每一列进行计算
for col in range(cols):
#传感矩阵A第col列与残差的内积    (32,).T*初始残差y(32,)
products.append(np.dot(A[:,col].T,res))#获得一个内积 放入products数组

#一轮迭代products中有800个值
index=np.argmax(np.abs(products)) # 每列计算完成后 在products找最大内积并返回列索引值

indexs.append(index)#将最大列索引值加入索引数组indexs[]
#使用索引集在传感矩阵中获得子集
inv=np.dot(A_c[:,indexs].T,A_c[:,indexs])#

theta=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(inv),A_c[:,indexs].T),y)#利用最小二乘估计 计算一次θ
print(theta.shape)
res=y-np.dot(A_c[:,indexs],theta)#更新残差

#迭代8次出来的theta的形状为(8,0)

theta_final=np.zeros(800,)#重建theta 利用对应的索引
theta_final[indexs]=theta
return theta_final

Experiment
from PIL import Image
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
from numpy import sin,cos,pi
import math
import Omp_chen

#生成原始信号
K=7;
N=256;
M=64;
f1=50;
f2=100;
f3=200;
f4=400;
fs=800;
x=np.linspace(0,256,fs)
x2=np.linspace(0,30,fs)
y=0.3*cos(2*pi*f1*x)+0.6*cos(2*pi*f2*x)+0.1*cos(2*pi*f3*x)+0.9*cos(2*pi*f4*x);#原始信号x N=800

def GetSparseRandomMtx(M,N,d):
Phi=np.zeros((M,N))
for col in range(N):
indexs=np.arange(M)
np.random.shuffle(indexs)
Phi[indexs[0:d],col]=1

return Phi

def GetGaussianMtx(M,N):
return np.random.randn(M,N)
np.random.seed(1)
#Gaussian=GetSparseRandomMtx(32,800,10)
Gaussian=GetGaussianMtx(65,800) #M=32 N=800 Φ高斯感知矩阵 (32,800) #65实验结果较好

sampled=np.dot(Gaussian,y)#y=Φx用感知矩阵采样后的结果y

sampled_fft=fft(y)
sampled_fft=np.abs(sampled_fft)
x_f=np.arange(800)
#plt.title("FFT")
#plt.plot(x_f,sampled_fft)

Psi=fft(np.eye(800,800))/np.sqrt(N)#傅里叶稀疏基Ψ (800,800)
A=np.dot(Gaussian,Psi)# 传感矩阵A =ΦΨ (32,800)

#Omp输入sampled,A,稀疏度K
K=8 #原始信号的稀疏程度

theta_final=Omp_chen.Omp(sampled,A,K)

y_r=np.dot(Psi,theta_final)

plt.figure(figsize=(4,2))
plt.title("Omp with GaussianMtx sampled_rate= 65:800")
plt.plot(x[0:100],y[0:100],"b")
plt.plot(x[0:100],y_r[0:100],"r", marker='o')
plt.legend(["Original_Signal y","Recovered_Signal y_r"])
plt.show()

Result


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• 压缩感知重构算法之OMP算法python实现

万次阅读 多人点赞 2016-03-18 15:08:55
压缩感知重构算法之OMP算法python实现 压缩感知重构算法之CoSaMP...压缩感知重构算法之IRLS算法python实现本文主要简单介绍了利用python代码实现压缩感知的过程。压缩感知简介【具体可以参考这篇文章】 假设一维信号x
压缩感知重构算法之OMP算法python实现 压缩感知重构算法之CoSaMP算法python实现 压缩感知重构算法之SP算法python实现 压缩感知重构算法之IHT算法python实现 压缩感知重构算法之OLS算法python实现 压缩感知重构算法之IRLS算法python实现

本文主要简单介绍了利用python代码实现压缩感知的过程。

压缩感知简介

【具体可以参考这篇文章】
假设一维信号x<!--//--><![CDATA[//><!--
x
//--><!]]>长度为N，稀疏度为K。Φ<!--//--><![CDATA[//><!--
\Phi
//--><!]]> 为大小M×N<!--//--><![CDATA[//><!--
M\times N
//--><!]]>矩阵(M<<N)<!--//--><![CDATA[//><!--
(M\lt \lt  N)
//--><!]]>。y=Φ×x<!--//--><![CDATA[//><!--
y=\Phi \times x
//--><!]]>为长度M的一维测量值。压缩感知问题就是已知测量值y<!--//--><![CDATA[//><!--
y
//--><!]]>和测量矩阵Φ<!--//--><![CDATA[//><!--
\Phi
//--><!]]>的基础上，求解欠定方程组y=Φ×x<!--//--><![CDATA[//><!--
y=\Phi \times x
//--><!]]>得到原信号x<!--//--><![CDATA[//><!--
x
//--><!]]>。Φ的每一行可以看作是一个传感器（Sensor），它与信号相乘，采样了信号的一部分信息。而这一部分信息足以代表原信号，并能找到一个算法来高概率恢复原信号。 一般的自然信号x本身并不是稀疏的，需要在某种稀疏基上进行稀疏表示x=ψs<!--//--><![CDATA[//><!--
x=\psi s
//--><!]]>,ψ<!--//--><![CDATA[//><!--
\psi
//--><!]]>为稀疏基矩阵，S<!--//--><![CDATA[//><!--
S
//--><!]]>为稀疏系数。所以整个压缩感知过程可以描述为y=Φx=ΦΨs=Θs<!--//--><![CDATA[//><!--
y=Φx=ΦΨs=Θs
//--><!]]>重建算法：OMP算法简析

OMP算法
输  入:测量值y、传感矩阵Phi=Φψ<!--//--><![CDATA[//><!--
Phi=\Phi \psi
//--><!]]>、稀疏度K
初始化:初始残差 r0=y,迭代次数t=1,索引值集合index;
步  骤:
1、找到残差r和传感矩阵的列积中最大值对应下标，也就是找到二者内积绝对值最大的一个元素对应的下标，保存到index当中
2、利用index从传感矩阵中找到，新的索引集Phit<!--//--><![CDATA[//><!--
Phi_t
//--><!]]>
3、利用最小二乘法处理新的索引集和y得到新的近似值θ=argmin||y−Phitθ||2<!--//--><![CDATA[//><!--
\theta=argmin||y-Phi_t\theta||_2
//--><!]]>
4、计算新的残差rt=y−Phitθ<!--//--><![CDATA[//><!--
r_t=y-Phi_t\theta
//--><!]]>，t=t+1
5、残差是否小于设定值，小于的话 退出循环，不小于的话再判断t>K是否成立，满足即停止迭代，否则重新回到步骤1，继续执行该算法。
输  出:θ的K-稀疏近似值

实验

要利用python实现，电脑必须安装以下程序

python      （本文用的python版本为3.5.1）
numpy      python包（本文用的版本为1.10.4）
scipy        python包（本文用的版本为0.17.0）
pillow  python包（本文用的版本为3.1.1）
python代码

#coding:utf-8
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# DCT基作为稀疏基，重建算法为OMP算法 ，图像按列进行处理
# 参考文献: 任晓馨. 压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究[D].
#北京交通大学, 2012.
#
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# 导入所需的第三方库文件
import  numpy as np
import math
from PIL import Image

#读取图像，并变成numpy类型的 array
im = np.array(Image.open('lena.bmp')) #图片大小256*256

#生成高斯随机测量矩阵
sampleRate=0.7  #采样率
Phi=np.random.randn(256*sampleRate,256)

#生成稀疏基DCT矩阵
mat_dct_1d=np.zeros((256,256))
v=range(256)
for k in range(0,256):
dct_1d=np.cos(np.dot(v,k*math.pi/256))
if k>0:
dct_1d=dct_1d-np.mean(dct_1d)
mat_dct_1d[:,k]=dct_1d/np.linalg.norm(dct_1d)

#随机测量
img_cs_1d=np.dot(Phi,im)

#OMP算法函数
def cs_omp(y,D):
L=math.floor(3*(y.shape[0])/4)
residual=y  #初始化残差
index=np.zeros((L),dtype=int)
for i in range(L):
index[i]= -1
result=np.zeros((256))
for j in range(L):  #迭代次数
product=np.fabs(np.dot(D.T,residual))
pos=np.argmax(product)  #最大投影系数对应的位置
index[j]=pos
my=np.linalg.pinv(D[:,index>=0]) #最小二乘,看参考文献1
a=np.dot(my,y) #最小二乘,看参考文献1
residual=y-np.dot(D[:,index>=0],a)
result[index>=0]=a
return  result

#重建
sparse_rec_1d=np.zeros((256,256))   # 初始化稀疏系数矩阵
Theta_1d=np.dot(Phi,mat_dct_1d)   #测量矩阵乘上基矩阵
for i in range(256):
print('正在重建第',i,'列。')
column_rec=cs_omp(img_cs_1d[:,i],Theta_1d) #利用OMP算法计算稀疏系数
sparse_rec_1d[:,i]=column_rec;
img_rec=np.dot(mat_dct_1d,sparse_rec_1d)          #稀疏系数乘上基矩阵

#显示重建后的图片
image2=Image.fromarray(img_rec)
image2.show()

matlab代码

%这个代码是网上某位大哥写的，在此谢过了~
function Demo_CS_OMP()
%------------ read in the image --------------
img=double(img);
[height,width]=size(img);
%------------ form the measurement matrix and base matrix -------
Phi=randn(floor(0.7*height),width);  % only keep one third of the original data
Phi = Phi./repmat(sqrt(sum(Phi.^2,1)),[floor(0.7*height),1]); % normalize each column

mat_dct_1d=zeros(256,256);  % building the DCT basis (corresponding to each column)
for k=0:1:255
dct_1d=cos([0:1:255]'*k*pi/256);
if k>0
dct_1d=dct_1d-mean(dct_1d);
end;
mat_dct_1d(:,k+1)=dct_1d/norm(dct_1d);
end

%--------- projection ---------
img_cs_1d=Phi*img;

%-------- recover using omp ------------
sparse_rec_1d=zeros(height,width);
Theta_1d=Phi*mat_dct_1d;%测量矩阵乘上基矩阵
for i=1:width
column_rec=cs_omp(img_cs_1d(:,i),Theta_1d,height);
sparse_rec_1d(:,i)=column_rec'; %  稀疏系数
end
img_rec_1d=mat_dct_1d*sparse_rec_1d;  %稀疏系数乘上基矩阵

%------------ show the results --------------------
figure(1)
subplot(2,2,1),imshow(uint8(img)),title('original image')
subplot(2,2,2),imagesc(Phi),title('measurement mat')
subplot(2,2,3),imagesc(mat_dct_1d),title('1d dct mat')
psnr = 20*log10(255/sqrt(mean((img(:)-img_rec_1d(:)).^2)));
subplot(2,2,4),imshow(uint8(img_rec_1d));
title(strcat('PSNR=',num2str(psnr),'dB'));

%*******************************************************%
function hat_x=cs_omp(y,T_Mat,m)
% y=T_Mat*x, T_Mat is n-by-m
% y - measurements
% T_Mat - combination of random matrix and sparse representation basis
% m - size of the original signal
% the sparsity is length(y)/4

n=length(y);
s=floor(3*n/4); %  测量值维数
hat_x=zeros(1,m); %  待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[];        %  增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=y;  %  残差值

for times=1:s; %  迭代次数(稀疏度是测量的1/4)

product=abs(T_Mat'*r_n);
[val,pos]=max(product);   %最大投影系数对应的位置
Aug_t=[Aug_t,T_Mat(:,pos)];   %矩阵扩充
T_Mat(:,pos)=zeros(n,1); %选中的列置零
aug_x=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*y;  % 最小二乘,看参考文献1
r_n=y-Aug_t*aug_x;   %残差
pos_array(times)=pos;   %纪录最大投影系数的位置

end
hat_x(pos_array)=aug_x;  %  重构的向量



参考文献

1、最小二乘法介绍 （wiki链接）
2、任晓馨. 压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究[D]. 北京交通大学, 2012.（OMP算法介绍）

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展开全文
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• IHT（iterative hard thresholding ）算法是压缩感知中一种非常重要的贪婪算法，它具有算法简单的有点，且易于实现，在实际中应用较多。本文给出了IHT算法的python和matlab代码（本文给出的代码未经过优化，所以重建...
压缩感知重构算法之OMP算法python实现 压缩感知重构算法之CoSaMP算法python实现 压缩感知重构算法之SP算法python实现 压缩感知重构算法之IHT算法python实现 压缩感知重构算法之OLS算法python实现 压缩感知重构算法之IRLS算法python实现

IHT（iterative hard thresholding ）算法是压缩感知中一种非常重要的贪婪算法，它具有算法简单的有点，且易于实现，在实际中应用较多。本文给出了IHT算法的python和matlab代码（本文给出的代码未经过优化，所以重建质量不是非常好），以及完整的仿真过程。

算法流程

python代码

要利用python实现，电脑必须安装以下程序

python （本文用的python版本为3.5.1）
numpy python包（本文用的版本为1.10.4）
scipy python包（本文用的版本为0.17.0）
pillow python包（本文用的版本为3.1.1）
#coding:utf-8
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# DCT基作为稀疏基，重建算法为IHT算法,图像按列进行处理
#  参考文献: Carrillo R E, Polania L F, Barner K E. Iterative hard thresholding for compressed sensing
#with partially known support[C]
#//Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP),
#2011 IEEE International Conference on. IEEE, 2011: 4028-4031.
#
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

#导入集成库
import math

# 导入所需的第三方库文件
import  numpy as np    #对应numpy包
from PIL import Image  #对应pillow包

#读取图像，并变成numpy类型的 array
im = np.array(Image.open('lena.bmp'))#图片大小256*256

#生成高斯随机测量矩阵
sampleRate=0.7  #采样率
Phi=np.random.randn(256,256)
u, s, vh = np.linalg.svd(Phi)
Phi = u[:256*sampleRate,] #将测量矩阵正交化

#生成稀疏基DCT矩阵
mat_dct_1d=np.zeros((256,256))
v=range(256)
for k in range(0,256):
dct_1d=np.cos(np.dot(v,k*math.pi/256))
if k>0:
dct_1d=dct_1d-np.mean(dct_1d)
mat_dct_1d[:,k]=dct_1d/np.linalg.norm(dct_1d)

#随机测量
img_cs_1d=np.dot(Phi,im)

#IHT算法函数
def cs_IHT(y,D):
K=math.floor(y.shape[0]/3)  #稀疏度
result_temp=np.zeros((256))  #初始化重建信号
u=0.5  #影响因子
result=result_temp
for j in range(K):  #迭代次数
x_increase=np.dot(D.T,(y-np.dot(D,result_temp)))    #x=D*(y-D*y0)
result=result_temp+np.dot(x_increase,u) #   x(t+1)=x(t)+D*(y-D*y0)
temp=np.fabs(result)
pos=temp.argsort()
pos=pos[::-1]#反向，得到前面L个大的位置
result[pos[K:]]=0
result_temp=result
return  result

#重建
sparse_rec_1d=np.zeros((256,256))   # 初始化稀疏系数矩阵
Theta_1d=np.dot(Phi,mat_dct_1d)   #测量矩阵乘上基矩阵
for i in range(256):
print('正在重建第',i,'列。。。')
column_rec=cs_IHT(img_cs_1d[:,i],Theta_1d)  #利用IHT算法计算稀疏系数
sparse_rec_1d[:,i]=column_rec;
img_rec=np.dot(mat_dct_1d,sparse_rec_1d)          #稀疏系数乘上基矩阵

#显示重建后的图片
image2=Image.fromarray(img_rec)
image2.show()



matlab代码

%代码在matlab2010b测试通过
function Demo_CS_IHT()
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% the DCT basis is selected as the sparse representation dictionary
% instead of seting the whole image as a vector, I process the image in the
% fashion of column-by-column, so as to reduce the complexity.

% Author: Chengfu Huo, roy@mail.ustc.edu.cn, http://home.ustc.edu.cn/~roy
% Reference: T. Blumensath and M. Davies, “Iterative Hard Thresholding for
% Compressed Sensing,” 2008.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%------------ read in the image --------------
img=double(img);
[height,width]=size(img);
sampleRate=0.7; %采样率

%------------ form the measurement matrix and base matrix ---------------
%Phi=randn(floor(height/3),width);  % only keep one third of the original data
%Phi = Phi./repmat(sqrt(sum(Phi.^2,1)),[floor(height/3),1]); % normalize each column

Phi = orth(rand(256, 256));
Phi=Phi(1:256*sampleRate, :);

mat_dct_1d=zeros(256,256);  % building the DCT basis (corresponding to each column)
for k=0:1:255
dct_1d=cos([0:1:255]'*k*pi/256);
if k>0
dct_1d=dct_1d-mean(dct_1d);
end;
mat_dct_1d(:,k+1)=dct_1d/norm(dct_1d);
end

%--------- projection ---------
img_cs_1d=Phi*img;          % treat each column as a independent signal

%-------- recover using omp ------------
sparse_rec_1d=zeros(height,width);
Theta_1d=Phi*mat_dct_1d;
for i=1:width
column_rec=cs_iht(img_cs_1d(:,i),Theta_1d,height);
sparse_rec_1d(:,i)=column_rec';           % sparse representation
end
img_rec_1d=mat_dct_1d*sparse_rec_1d;          % inverse transform

%------------ show the results --------------------
figure(1)
subplot(2,2,1),imagesc(img),title('original image')
subplot(2,2,2),imagesc(Phi),title('measurement mat')
subplot(2,2,3),imagesc(mat_dct_1d),title('1d dct mat')
psnr = 20*log10(255/sqrt(mean((img(:)-img_rec_1d(:)).^2)));
subplot(2,2,4),imshow(uint8(img_rec_1d));
title(strcat('PSNR=',num2str(psnr),'dB'));

disp('over')

%************************************************************************%
function hat_x=cs_iht(y,T_Mat,m)
% y=T_Mat*x, T_Mat is n-by-m
% y - measurements
% T_Mat - combination of random matrix and sparse representation basis
% m - size of the original signal
% the sparsity is length(y)/4

hat_x_tp=zeros(m,1);         % initialization with the size of original
s=floor(length(y)/4);        % sparsity
u=0.5;                       % impact factor

% T_Mat=T_Mat/sqrt(sum(sum(T_Mat.^2))); % normalizae the whole matrix

for times=1:s

x_increase=T_Mat'*(y-T_Mat*hat_x_tp);

hat_x=hat_x_tp+u*x_increase;

[val,pos]=sort((hat_x),'descend');  % why? worse performance with abs()

hat_x(pos(s+1:end))=0;   % thresholding, keeping the larges s elements

hat_x_tp=hat_x;          % update

end



参考文章

1、Carrillo R E, Polania L F, Barner K E. Iterative hard thresholding for compressed sensing with partially known support[C]//Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2011 IEEE International Conference on. IEEE, 2011: 4028-4031.

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• matlab精度检验代码AutoBCS：具有数据驱动的采集和非迭代重建的基于块的图像压缩传感 此存储库适用于以下论文中介绍的AutoBCS框架：。 该代码是在具有Nvdia Tesla V100的Centos 7.8和具有GTX 1060的Windows 10环境...
• 使用深度卷积网络的语义感知图像压缩代码是论文一部分，论文摘要在本页底部提供。 它包括三个部分： 生成感兴趣的多结构区域（MSROI）的代码（使用CNN模型。已提供了预训练的模型） 使用MSROI映射在语义上将...
• 代替像素级JND轮廓估计，被认为是与人类感知更好相关的基本处理单元的图像块可以进一步分解为三个概念独立的组件，以进行可见性估计。 特别是，为了将结构退化合并到补丁程序级别的JND模型中，对基于深度学习的结构...
• GNN-RL压缩：使用多阶段图嵌入和强化学习的拓扑感知网络修剪 依存关系 当前代码库是在以下环境下测试的： Python 3.8 PyTorch 1.8.0（CUDA 11.1） 火炬视觉0.7.0 1.6.1 GNN-RL频道修剪 在这项工作中，我们通过在...
• 深度学习感知 运动建模和状态估计 本地化和映射 对象追踪 行为计划； 路径规划和车辆控制 安全性以及验证和确认 采纳与影响 此外，我还通过Coursera完成了密歇根大学的Python专业化应用ML MATLAB中的图像处理 简介和...
• 概率密度函数非参数估计matlab代码人工智能笔记 我所了解的有关人工智能/数据科学/机器学习/统计建模/模式识别/您想要称呼本笔记内容的一切。 所有这些之间的界线都非常模糊，但是它们都试图回答相同的问题：“我们...
• 写在前面的话： 总结一下压缩感知课程的内容，都是为了学习巩固，有什么不对的地方还希望各位大佬指正出来，不胜感激。这是第二部分，代码已上传到github，其链接放到第三部分中。 关键点：压缩感知三要素 稀疏性 ...
• 写在前面的话： 总结一下压缩感知课程的内容，都是为了学习巩固，有什么不对的地方还希望各位大佬指正出来，不胜感激。其实课程是要求matlab，老师也给部分代码，经过查阅大量资料，有摘过来的部分代码，也有复现的...
• 与该代码关联的关键词：多项式替代，多项式混沌，多项式变量投影，高斯求积，Clenshaw Curtis，多项式最小二乘，压缩感知，梯度增强的替代，监督学习。 代码代码的最新版本是Narwhal v9.0.1，并于2020年9月发布...

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