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  • KKT条件介绍 万次阅读
    2020-08-12 13:17:53

    KKT条件介绍

    KKT是非线性规划领域的重要成果,它是判断某点是极值点的必要条件。对于凸规划,KKT条件就是充要条件了,只要满足就是一定是极值点,且一定得到是全局最优解。

    问题模型

    “等式约束+不等式约束” 优化问题。

    设目标函数f(x),不等式约束为g(x)和h(x),此时的约束优化问题描述如下:

    m i n      f ( x ) min\:\:\:\:f(x) minf(x)

    s . t .       h j ( x ) = 0        j = 1 , 2 , … , p s.t.\:\:\:\:\:h_{j}(x)=0\:\:\:\:\:\:j=1,2,\dots,p s.t.hj(x)=0j=1,2,,p

    g k ( x ) ≤ 0        j = 1 , 2 , … , q g_{k}(x)\leq 0\:\:\:\:\:\:j=1,2,\dots,q gk(x)0j=1,2,,q

    我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L, 则L表达式为:

    L ( x , λ , μ ) = f ( x ) + ∑ j = 1 p λ j h j ( X ) + ∑ k = 1 q μ k g k ( x ) L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{j=1}^{p}\lambda_{j} h_{j}(X)+\sum_{k=1}^{q}\mu_{k}g_{k}(x) L(x,λ,μ)=f(x)+j=1pλjhj(X)+k=1qμkgk(x)

    其中f(x)是目标函数, h j ( x ) h_{j}(x) hj(x)是第j个等式约束条件, λ j \lambda_{j} λj 是对应的约束系数, g k ( x ) g_{k}(x) gk(x) 是不等式约束, μ k \mu_{k} μk是对应的约束系数(松弛变量)。

    一点铺垫

    实质上,KKT条件描述的是:这个点已经是可行域的边界了,再走一点就不满足约束条件了。显然,最优解一定在可行域的边界上的。如下图例子所示:

    figure.1

    这张图的紫色区域就是四个不等式约束限定的可行域,如果求z=x+2y的最大值,结果当然是红星店取得最大值,总之极值点应该在可行域的边界,这在自变量多的高维可行域空间同样适用。

    KKT到底是什么

    KKT条件就是说:如果一个点x是满足所有约束的极值点,那么该点x就要满足一下所有条件,即KKT条件:

    ∇ f ( x ) + ∑ j = 1 p λ j ∇ h j ( X ) + ∑ k = 1 q μ k ∇ g k ( x ) = 0 \nabla f(x)+\sum_{j=1}^{p}\lambda_{j}\nabla h_{j}(X)+\sum_{k=1}^{q}\mu_{k}\nabla g_{k}(x)=0 f(x)+j=1pλjhj(X)+k=1qμkgk(x)=0

    μ k ≥ 0 \mu_{k}\geq 0 μk0

    μ k g k ( x ) = 0 \mu_{k}g_{k}(x)=0 μkgk(x)=0

    h j ( x ) = 0 h_{j}(x)=0 hj(x)=0

    g k ( x ) ≤ 0 g_{k}(x)\leq 0 gk(x)0

    举例

    带有不等式约束的最优化问题通常可以表述为如下形式:

    m i n   f ( x ) min\: f(x) minf(x)

    s . t .       g k ( x ) ≤ 0 , k = 1 , 2 , … , q s.t.\:\:\:\:\:g_{k}(x)\leq 0,k=1,2,\dots,q s.t.gk(x)0,k=1,2,,q

    给出一个具体的例子:

    m i n   f ( d 1 , d 2 ) = d 1 2 + d 2 − 2 d 2 + 2 min\:f(d_{1},d_{2})=d_{1}^{2}+d_{2}^{}-2 d_{2}+2 minf(d1,d2)=d12+d22d2+2

    s . t .       d 1 2 + d 2 2 < 4 s.t.\:\:\:\:\: d_{1}^{2}+d_{2}^{2}<4 s.t.d12+d22<4

    写出拉格朗日函数

    g ( d 1 , d 2 , λ ) = f ( d 1 , d 2 ) + λ ( d 1 2 + d 2 2 − 4 ) g(d_{1},d_{2},\lambda)=f(d_{1},d_{2})+\lambda (d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4) g(d1,d2,λ)=f(d1,d2)+λ(d12+d224)

    λ是拉格朗日乘子(KKT乘子),它的目的是能够将不等式约束变为等式约束,主要 λ>=0。等式约束的拉格朗日乘子是不等于0即可的。

    求偏导

    g ( d 1 , d 2 , λ ) = f ( d 1 , d 2 ) = d 1 2 + d 2 − 2 d 2 + 2 + λ ( d 1 2 + d 2 2 − 4 ) g(d_{1},d_{2},\lambda)= f(d_{1},d_{2})=d_{1}^{2}+d_{2}^{}-2 d_{2}+2+\lambda (d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4) g(d1,d2,λ)=f(d1,d2)=d12+d22d2+2+λ(d12+d224)

    然后对该式子三个未知量分别求偏导,且令导数函数为0:

    2 d 1 + 2 λ d 1 = 0 2d_{1}+2\lambda d_{1}=0 2d1+2λd1=0

    2 d 2 − 2 + 2 λ d 2 = 0 2d_{2}-2+2\lambda d_{2}=0 2d22+2λd2=0

    d 1 2 + d 2 2 − 4 = 0 d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4=0 d12+d224=0

    λ ≥ 0 \lambda \geq 0 λ0

    计算

    根据上面式子可以得出存在两种可能的情况:

    第一种情况:
    当lamda不等于0的时候,根据上面的式子可以得出 d 1 = 0 d_{1}=0 d1=0,根据其他的式子可以得到 d 2 = + / − 2 d_{2}=+/-2 d2=+/2 ,然后无论 d2 = +2/-2,λ都不满足大于等于0的条件。因此不存在的。

    第二种情况:
    当λ等0的时候,根据上面的式子可以得出 d 1 = 1 , d 2 = 3 d_{1}=1,d_{2}=\sqrt{3} d1=1,d2=3 。因此该式子是正确的。

    各种情况下的KKT条件

    等式约束下的KKT条件

    题目描述

    m i n i m i z e       x T x minimize\:\:\:\:\:x^{T}x minimizexTx

    s . t .       A x = b s.t.\:\:\:\:\: Ax=b s.t.Ax=b

    拉格朗日函数:

    L(x,v)=x^{T}x+λ(Ax-b)

    KKT条件:

    ∂ L ( x , λ ) ∂ ( x ) = 0 \frac{\partial L(x,\lambda)}{\partial (x)}=0 (x)L(x,λ)=0

    λ = 0 \lambda = 0 λ=0 拉格朗日乘子在等式约束下等于0

    A x = b Ax=b Ax=b 等式约束条件

    不等式约束下的KKT条件

    题目描述

    m a x i m i z e       f ( x ) = ( x − 3 ) 3 maximize\:\:\:\:\:f(x)=(x-3)^{3} maximizef(x)=(x3)3

    s . t .       1 ≤ x ≤ 5 s.t.\:\:\:\:\: 1\leq x \leq 5 s.t.1x5

    等价于:要保证是min f(x)以及不等式约束要小于等于0

    m i n m i z e f ( x ) = − ( x − 3 ) 3 minmize f(x)=-(x-3)^{3} minmizef(x)=(x3)3

    g 1 ( x ) = 1 − x ≤ 0 g_{1}(x)=1-x\leq 0 g1(x)=1x0

    g 2 ( x ) = x − 5 ≤ 0 g_{2}(x)=x-5\leq 0 g2(x)=x50

    拉格朗日函数:

    L ( x , λ 1 , λ 2 ) = f ( x ) + λ 1 g 1 ( x ) + λ 2 g 2 ( x ) = − ( x − 3 ) 3 + λ 1 ( 1 − x ) + λ 2 ( x − 5 ) L(x,\lambda_{1},\lambda_{2})=f(x)+\lambda_{1}g_{1}(x)+\lambda_{2}g_{2}(x)=-(x-3)^{3}+\lambda_{1}(1-x)+\lambda_{2}(x-5) L(x,λ1,λ2)=f(x)+λ1g1(x)+λ2g2(x)=(x3)3+λ1(1x)+λ2(x5)

    KKT条件:

    ∂ L ( x , λ 1 , λ 2 ) ∂ ( x ) = − 2 ( x − 3 ) − λ 1 + λ 2 = 0 \frac{\partial L(x,\lambda_{1},\lambda_{2})}{\partial (x)}=-2(x-3)-\lambda_{1}+\lambda_{2}=0 (x)L(x,λ1,λ2)=2(x3)λ1+λ2=0

    λ 1 g 1 ( x ) = λ 1 ( 1 − x ) = 0 \lambda_{1}g_{1}(x)=\lambda_{1}(1-x)=0 λ1g1(x)=λ1(1x)=0 不等式约束条件

    λ 2 g 2 ( x ) = λ 2 ( x − 5 ) = 0 \lambda_{2}g_{2}(x)=\lambda_{2}(x-5)=0 λ2g2(x)=λ2(x5)=0 不等式约束条件

    g 1 ( x ) ≤ 0 g_{1}(x)\leq 0 g1(x)0 不等式约束条件

    g 2 ( x ) ≤ 0 g_{2}(x)\leq 0 g2(x)0 不等式约束条件

    λ 1 ≥ 0 \lambda_{1} \geq 0 λ10 拉格朗日乘子在不等式约束下大于等于0

    λ 2 ≥ 0 \lambda_{2} \geq 0 λ20 拉格朗日乘子在等式约束下大于等于0

    等式约束和不等式约束结合的KKT条件

    题目描述

    m i n      f ( x ) min\:\:\:\:f(x) minf(x)

    s . t .       h j ( x ) = 0        j = 1 , 2 , … , p s.t.\:\:\:\:\:h_{j}(x)=0\:\:\:\:\:\:j=1,2,\dots,p s.t.hj(x)=0j=1,2,,p

    g k ( x ) ≤ 0        j = 1 , 2 , … , q g_{k}(x)\leq 0\:\:\:\:\:\:j=1,2,\dots,q gk(x)0j=1,2,,q

    拉格朗日函数

    L ( x , λ , μ ) = f ( x ) + ∑ j = 1 p λ j h j ( X ) + ∑ k = 1 q μ k g k ( x ) L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{j=1}^{p}\lambda_{j} h_{j}(X)+\sum_{k=1}^{q}\mu_{k}g_{k}(x) L(x,λ,μ)=f(x)+j=1pλjhj(X)+k=1qμkgk(x)

    KKT条件

    ∇ f ( x ) + ∑ j = 1 p λ j ∇ h j ( X ) + ∑ k = 1 q μ k ∇ g k ( x ) = 0 \nabla f(x)+\sum_{j=1}^{p}\lambda_{j}\nabla h_{j}(X)+\sum_{k=1}^{q}\mu_{k}\nabla g_{k}(x)=0 f(x)+j=1pλjhj(X)+k=1qμkgk(x)=0 对x求导等于0

    μ k ≥ 0 \mu_{k}\geq 0 μk0

    μ k g k ( x ) = 0 \mu_{k}g_{k}(x)=0 μkgk(x)=0

    h j ( x ) = 0 h_{j}(x)=0 hj(x)=0

    g k ( x ) ≤ 0 g_{k}(x)\leq 0 gk(x)0

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  • 从国外大学网站(卡耐基梅隆、伊利诺伊州立大学、哥伦比亚大学、丹麦技术大学)下载的课程PPT,关于凸优化、拉格朗日函数、KKT等。
  • KKT_KKT条件_kkt_KKT方法_

    2021-10-02 01:51:33
    详细讲解KKT条件,非常适合工程人员阅读,来源是维基百科
  • KKT条件

    2021-11-29 19:17:47
    否则,这连个条件只是极值点的必要条件,需要附加一个正定的条件才能变成充要条件,如下: L ( x , μ ) = f ( x ) + μ h ( x ) \mathcal{L}(\mathbf{x}, \mu)=f(\mathbf{x})+\mu h(\mathbf{x}) L(x,μ)=f(x)+μh(x...

    无约束优化

    首先给出一些基本概念定义:

    1. 凸集: 欧式空间中,集合中任意两点的连线都在集合中,我们就说这个集合是凸集;
    2. 凸函数: 对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y,有 f ( a x + ( 1 − a ) y ) ≤ a ∗ f ( x ) + ( 1 − a ) ∗ f ( y ) f( ax + (1-a)y ) \le a * f(x) + (1-a) * f(y) f(ax+(1a)y)af(x)+(1a)f(y),几何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值,大于等于两点之间某点的函数值。凸函数的任一局部极小点也是全局极小点;
    3. 半正定矩阵: 特征值大于0的实对称矩阵;
    4. 半正定矩阵的充要条件: 行列式(n阶顺序主子式)等于0,行列式的i阶顺序主子式大于等于0, 1 ≤ i ≤ n − 1 1\le i \le n-1 1in1;
    5. 凸函数的充要条件: 如果 f ( x ) f(x) f(x)在开凸集 S S S上有二阶连续偏导数,且 f ( x ) f(x) f(x)的海塞矩阵(二阶偏导矩阵)在 S S S上处处半正定,则 f ( x ) f(x) f(x) S S S上的凸函数。

    为了避免函数陷入局部最优,在平时的建模中,尽量使用凸函数最为优化问题的目标函数。针对无约束优化问题的凸函数,可直接通过 f ( x ) f(x) f(x)梯度等于0来求全局极值点。

    带约束优化

    现考虑如下形式的优化问题:
    { min ⁡ f ( x )  s.t.  g i ( x ) < 0 , i = 1 , 2 , … , q h j ( x ) = 0 , j = q + 1 , … , m x ∈ D \left\{\begin{array}{l}\min f(x) \\ \text { s.t. } g_{i}(x)<0, i=1,2, \ldots, q \\ h_{j}(x)=0, j=q+1, \ldots, m \\ x \in D\end{array}\right. minf(x) s.t. gi(x)<0,i=1,2,,qhj(x)=0,j=q+1,,mxD
    其中 f ( x ) f(x) f(x) 是目标函数, g ( x ) g(x) g(x)为不等式约束, h ( x ) h(x) h(x)为等式约束。
    f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) f(x),g(x),h(x) f(x),g(x),h(x)均为线性函数,则该优化问题为线性优化问题
    若任意一个函数为非线性函数,则成为非线性规划;
    若目标函数为二次函数,约束全为线性函数,则称为二次规划;
    f ( x ) f(x) f(x)为凸函数, g ( x ) g(x) g(x)为凸函数, h ( x ) h(x) h(x)为线性函数,则该问题为凸优化。注意这里的不等式约束 g ( x ) ≤ 0 g(x)\le 0 g(x)0则要求 g ( x ) g(x) g(x)为凸函数,若 g ( x ) ≥ 0 g(x)\ge 0 g(x)0则要求 g ( x ) g(x) g(x)为凹函数。
    凸优化的任意局部极值点也是全局极值点,局部最优也是全局最优。

    等式约束

    先举例说明带等式约束的问题求解方法。
    目标函数 f ( x ) = x 1 + x 2 f(x)=x_1+x_2 f(x)=x1+x2,等式约束 h ( x ) = x 1 2 + x 2 2 − 2 h(x)=x_1^2+x_2^2-2 h(x)=x12+x222,求解极值点。
    f ( x ) f(x) f(x)在二维平面上的等高线就是一条条斜率相同的直线, h ( x ) = 0 h(x)=0 h(x)=0在二维平面上的等高线就是一个圆,如图所示:在这里插入图片描述
    可以明显的看出,在圆圈 h ( x ) h(x) h(x)的限制下,直线 f ( x ) f(x) f(x)的最小值为-2,在左下角直线 x 1 + x 2 = 2 x_1+x_2=2 x1+x2=2和圆的交点上。
    不考虑圆 h ( x ) h(x) h(x)的限制时, f ( x ) f(x) f(x)要得到极小值,需要往 f ( x ) f(x) f(x)的负梯度(下降最快的方向)方向走,如下左图蓝色箭头。
    如果考虑圆 h ( x ) h(x) h(x)的限制,要得到极小值,需要沿着圆的切线方向走,如下右图红色粗箭头。注意这里的方向不是 h ( x ) h(x) h(x)的梯度,而是正交于 h ( x ) h(x) h(x)的梯度, h ( x ) h(x) h(x)梯度如下右图的红色细箭头。

    在极小值点, f ( x ) f(x) f(x) h ( x ) h(x) h(x)的等高线是相切的。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    容易发现,在关键的极小值点处, f ( x ) f(x) f(x)的负梯度和h(x)的梯度在同一直线上,如下图左下方critical point的蓝色和红色箭头所示。

    注意图中所示是同向的,但是这里并不一定是同向,有可能反向(因为等式约束 h ( x ) = 0 h(x)=0 h(x)=0,把 h ( x ) h(x) h(x)变成 − h ( x ) -h(x) h(x)求解是一样的,这个时候 h ( x ) h(x) h(x)的梯度就相反了)
    在这里插入图片描述
    显然,要取得极小值点, f ( x ) f(x) f(x) h ( x ) h(x) h(x)的梯度要在同一条线上,即 ∇ x f ( x ∗ ) = μ ∇ x h ( x ∗ ) \nabla_{\mathbf{x}} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mu \nabla_{\mathbf{x}} h\left(\mathbf{x}^{*}\right) xf(x)=μxh(x)
    综上,只要满足上面式子,并且 h ( x ) = 0 h(x)=0 h(x)=0,得到的 x x x就是要求的极小值点(或极大值点,本文只讨论极小值点)。这也就引出了经典的求解带约束问题的优化方法:拉格朗日乘子法

    原问题: min ⁡ x ∈ R 2 f ( x ) \min _{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2}} f(\mathbf{x}) minxR2f(x) subject to h ( x ) = 0 h(\mathbf{x})=0 h(x)=0
    拉格朗日乘子: L ( x , μ ) = f ( x ) + μ h ( x ) \mathcal{L}(\mathbf{x}, \mu)=f(\mathbf{x})+\mu h(\mathbf{x}) L(x,μ)=f(x)+μh(x)
    (1) ∇ x L ( x ∗ , μ ∗ ) = 0 \nabla_{\mathbf{x}} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \mu^{*}\right)=\mathbf{0} xL(x,μ)=0
    (2) ∇ μ L ( x ∗ , μ ∗ ) = 0 \nabla_{\mu} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \mu^{*}\right)=0 μL(x,μ)=0

    注意:优化问题是凸优化时,则通过上面两个条件得到的就是极小值点,而且是全局最小;否则,这连个条件只是极值点的必要条件,需要附加一个正定的条件才能变成充要条件,如下:
    L ( x , μ ) = f ( x ) + μ h ( x ) \mathcal{L}(\mathbf{x}, \mu)=f(\mathbf{x})+\mu h(\mathbf{x}) L(x,μ)=f(x)+μh(x)
    (1) ∇ x L ( x ∗ , μ ∗ ) = 0 \nabla_{\mathbf{x}} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \mu^{*}\right)=\mathbf{0} xL(x,μ)=0
    (2) ∇ μ L ( x ∗ , μ ∗ ) = 0 \nabla_{\mu} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \mu^{*}\right)=0 μL(x,μ)=0
    (3) y t ( ∇ x x 2 L ( x ∗ , μ ∗ ) ) y ≥ 0 ∀ y \mathbf{y}^{t}\left(\nabla_{\mathbf{x x}}^{2} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \mu^{*}\right)\right) \mathbf{y} \geq 0 \quad \forall \mathbf{y} yt(xx2L(x,μ))y0y s.t. ∇ x h ( x ∗ ) t y = 0 \nabla_{\mathbf{x}} h\left(\mathbf{x}^{*}\right)^{t} \mathbf{y}=0 xh(x)ty=0

    不等式约束

    对于不等式约束 g ( x ) ≤ 0 g(x)\le 0 g(x)0,和等式约束 h ( x ) = 0 h(x)=0 h(x)=0不一样, h ( x ) = 0 h(x)=0 h(x)=0可以在平面上画出一条等高线,而 g ( x ) ≤ 0 g(x) \le 0 g(x)0是一个区域,很多个等高线堆叠而成的一块区域,我们把这块区域称为可行域。不等式约束分两种情况来讨论,第一种是(不考虑可行域限制时的)极小值点落在可行域内(不包含边界),第二种是(不考虑可行域限制时的)极小值点落在可行域外(包含边界)。下面举两个例子来解释这两种情况,然后总结两种情况给出转换求解。

    极值点落在可行域内(不包含边界):
    考虑目标函数 f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 f(x)=x^2_1+x^2_2 f(x)=x12+x22,不等值约束 g ( x ) = x 1 2 + x 2 2 − 1 g(x)=x^2_1+x^2_2−1 g(x)=x12+x221,显然f(x)的极小值为原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0),落在可行域内。可行域以原点为圆心,半径为1。这种情况约束不起作用,考虑极小值点 x ∗ x^* x,这个时候, g ( x ∗ ) < 0 g(x^*) < 0 g(x)<0 f ( x ∗ ) f(x^*) f(x)的梯度等于0。
    在这里插入图片描述
    极值点落在可行域外(包含边界)
    考虑目标函数 f ( x ) = ( x 1 − 1.1 ) 2 + ( x 2 + 1.1 ) 2 f(x)=(x_1−1.1)^2+(x_2+1.1)^2 f(x)=(x11.1)2+(x2+1.1)2 ,不等值约束 g ( x ) = x 1 2 + x 2 2 − 1 g(x)=x^2_1+x^2_2−1 g(x)=x12+x221,显然 f ( x ) f(x) f(x)的极小值为原点 ( 1.1 , − 1.1 ) (1.1, -1.1) (1.1,1.1),落在可行域外。可行域以原点为圆心,半径为1。
    这种情况约束起作用,要考虑求解 f ( x ) f(x) f(x)在可行域内的极小值点。
    对于 f ( x ) f(x) f(x)而言要沿着 f ( x ) f(x) f(x)的负梯度方向走,才能走到极小值点,如下图的蓝色箭头。
    这个时候 g ( x ) g(x) g(x)的梯度往区域外发散,如下图红色箭头。
    显然,走到极小值点的时候, g ( x ) g(x) g(x)的梯度和 f ( x ) f(x) f(x)的负梯度同向。因为极小值点在边界上,这个时候 g ( x ) g(x) g(x)等于0。
    在这里插入图片描述
    总结
    极小值点落在可行域内(不包含边界):这个时候可行域的限制不起作用,相当于没有约束,直接f(x)的梯度等于0求解,这个时候 g ( x 极 小 值 点 ) < 0 g(x极小值点)<0 g(x)<0(因为落在可行域内),即:
    (1) g ( x ∗ ) < 0 g\left(\mathbf{x}^{*}\right)<0 g(x)<0
    (2) ∇ x f ( x ∗ ) = 0 \nabla_{\mathbf{x}} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{0} xf(x)=0

    极小值点落在可行域外(包含边界):可行域的限制起作用,极小值点应该落在可行域边界上即 g ( x ) = 0 g(x)=0 g(x)=0,类似于等值约束,此时有 g ( x ) g(x) g(x)的梯度和 f ( x ) f(x) f(x)的负梯度同向,即:
    (1) g ( x ∗ ) = 0 g\left(\mathbf{x}^{*}\right)=0 g(x)=0
    (2) − ∇ x f ( x ∗ ) = λ ∇ x g ( x ∗ ) -\nabla_{\mathbf{x}} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\lambda \nabla_{\mathbf{x}} g\left(\mathbf{x}^{*}\right) xf(x)=λxg(x) with λ > 0 \lambda>0 λ>0

    总结以上两种情况,可以构造拉格朗日函数来转换求解问题。
    对于不等式约束的优化,需要满足三个条件,满足这三个条件的解x*就是极小值点。
    这三个条件就是著名的KKT条件,它整合了上面两种情况的条件。
    优化问题: min ⁡ x ∈ R 2 f ( x ) \min _{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2}} f(\mathbf{x}) minxR2f(x) subject to g ( x ) ≤ 0 g(\mathbf{x}) \leq 0 g(x)0
    拉格朗日乘子: L ( x , λ ) = f ( x ) + λ g ( x ) \mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda)=f(\mathbf{x})+\lambda g(\mathbf{x}) L(x,λ)=f(x)+λg(x)
    (1) ∇ x L ( x ∗ , λ ∗ ) = 0 \nabla_{\mathbf{x}} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \lambda^{*}\right)=\mathbf{0} xL(x,λ)=0
    (2) λ ∗ ≥ 0 \lambda^{*} \geq 0 λ0
    (3) λ ∗ g ( x ∗ ) = 0 \lambda^{*} g\left(\mathbf{x}^{*}\right)=0 λg(x)=0

    特别注意:优化问题是凸优化的话,KKT条件就是极小值点(而且是全局极小)存在的充要条件。
    不是凸优化的话,KKT条件只是极小值点的必要条件,不是充分条件,KKT点是驻点,是可能的极值点。也就是说,就算求得的满足KKT条件的点,也不一定是极小值点,只是说极小值点一定满足KKT条件。
    不是凸优化的话,还需要附加多一个正定的条件才能变成充要条件,如下图所示。

    优化问题: min ⁡ x ∈ R 2 f ( x ) \min _{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2}} f(\mathbf{x}) minxR2f(x) subject to g ( x ) ≤ 0 g(\mathbf{x}) \leq 0 g(x)0
    拉格朗日乘子: L ( x , λ ) = f ( x ) + λ g ( x ) \mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda)=f(\mathbf{x})+\lambda g(\mathbf{x}) L(x,λ)=f(x)+λg(x)
    (1) ∇ x L ( x ∗ , λ ∗ ) = 0 \nabla_{\mathbf{x}} \mathcal{L}\left(\mathbf{x}^{*}, \lambda^{*}\right)=\mathbf{0} xL(x,λ)=0
    (2) λ ∗ ≥ 0 \lambda^{*} \geq 0 λ0
    (3) λ ∗ g ( x ∗ ) = 0 \lambda^{*} g\left(\mathbf{x}^{*}\right)=0 λg(x)=0
    (4) g ( x ∗ ) ≤ 0 g\left(\mathbf{x}^{*}\right) \leq 0 g(x)0
    (5) Plus positive definite constraints on ∇ x x L ( x ∗ , λ ∗ ) \nabla_{\mathrm{xx}} \mathcal{L}\left(\mathrm{x}^{*}, \lambda^{*}\right) xxL(x,λ).

    优化约束总结
    优化问题: min ⁡ x ∈ R 2 f ( x ) \min _{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2}} f(\mathbf{x}) minxR2f(x)
    约束条件: h i ( x ) = 0 h_{i}(\mathbf{x})=0 hi(x)=0 for i = 1 , … , l i=1, \ldots, l i=1,,l and g j ( x ) ≤ 0 g_{j}(\mathbf{x}) \leq 0 gj(x)0 for j = 1 , … , m j=1, \ldots, m j=1,,m
    拉格朗日乘子: L ( x , μ , λ ) = f ( x ) + μ t h ( x ) + λ t g ( x ) \mathcal{L}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\lambda})=f(\mathbf{x})+\boldsymbol{\mu}^{t} \mathbf{h}(\mathbf{x})+\boldsymbol{\lambda}^{t} \mathbf{g}(\mathbf{x}) L(x,μ,λ)=f(x)+μth(x)+λtg(x)
    (1) ∇ x L ( x ∗ , μ ∗ , λ ∗ ) = 0 \nabla_{\mathbf{x}} \mathcal{L}\left(\mathrm{x}^{*}, \boldsymbol{\mu}^{*}, \boldsymbol{\lambda}^{*}\right)=\mathbf{0} xL(x,μ,λ)=0
    (2) λ j ∗ ≥ 0 \lambda_{j}^{*} \geq 0 λj0 for j = 1 , … , m j=1, \ldots, m j=1,,m
    (3) λ j ∗ g j ( x ∗ ) = 0 \lambda_{j}^{*} g_{j}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=0 λjgj(x)=0 for j = 1 , … , m j=1, \ldots, m j=1,,m
    (4) g j ( x ∗ ) ≤ 0 g_{j}\left(\mathbf{x}^{*}\right) \leq 0 gj(x)0 for j = 1 , … , m j=1, \ldots, m j=1,,m
    (5) h ( x ∗ ) = 0 \mathbf{h}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{0} h(x)=0
    (6) Plus positive definite constraints on ∇ x x L ( x ∗ , λ ∗ ) \nabla_{\mathrm{xx}} \mathcal{L}\left(\mathrm{x}^{*}, \boldsymbol{\lambda}^{*}\right) xxL(x,λ).

    拉格朗日对偶性
    在约束优化问题中,常常用拉格朗日对偶性将原始问题转为对偶问题,通过解对偶问题来得到原始问题的解;
    为什么要用对偶?
    (1)满足某些条件时,对偶问题等于原问题的解(强对偶)
    (2)无论原始问题是否是凸的,对偶问题都是凸优化问题

    显然,在某些情况下,直接对对偶问题求解可以得到原问题的解,而且对偶问题是凸优化,易于求解。所以利用对偶来求解是很有用的。

    原始问题:
    { min ⁡ f ( x )  s.t.  g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , q h j ( x ) = 0 , j = q + 1 , ⋯   , m x ∈ D \begin{cases}\min & f(x) \\ \text { s.t. } & g_{i}(x) \leq 0, \quad i=1,2, \cdots, q \\ & h_{j}(x)=0, \quad j=q+1, \cdots, m \\ & x \in D\end{cases} min s.t. f(x)gi(x)0,i=1,2,,qhj(x)=0,j=q+1,,mxD
    拉格朗日函数: L ( x , α , β ) = f ( x ) + ∑ i = 1 q α i g i ( x ) + ∑ j = q + 1 m β j h j ( x ) L(x, \alpha, \beta)=f(x)+\sum_{i=1}^{q} \alpha_{i} g_{i}(x)+\sum_{j=q+1}^{m} \beta_{j} h_{j}(x) L(x,α,β)=f(x)+i=1qαigi(x)+j=q+1mβjhj(x)
    考虑函数: Θ P ( x ) = max ⁡ α , β : α i ⩾ 0 L ( x , α , β ) \Theta_{P}(x)=\max _{\alpha, \beta: \alpha_{i} \geqslant 0} L(x, \alpha, \beta) ΘP(x)=maxα,β:αi0L(x,α,β)
    显然满足约束时函数等于 f ( x ) f(x) f(x),不满足约束时函数等于正无穷,容易得到 Θ P ( x ) = { f ( x ) , x  satisfy constraints  + ∞ ,  others  } \Theta_{P}(x)=\left\{\begin{array}{c}f(x), x \text { satisfy constraints } \\ +\infty, \text { others }\end{array}\right\} ΘP(x)={f(x),x satisfy constraints +, others }
    极小化该函数得到的 min ⁡ x Θ P ( x ) = min ⁡ x max ⁡ α , β : α i ⩾ 0 L ( x , α , β ) \min _{x} \Theta_{P}(x)=\min _{x} \max _{\alpha, \beta: \alpha_{i} \geqslant 0} L(x, \alpha, \beta) minxΘP(x)=minxmaxα,β:αi0L(x,α,β)
    和原始的优化问题是等价。
    同时,我们定义原始问题的最优值为 p ∗ = min ⁡ x Θ P ( x ) p^{*}=\min _{x} \Theta_{P}(x) p=minxΘP(x)

    对偶问题
    考虑函数 Θ D ( α , β ) = min ⁡ x L ( x , α , β ) \Theta_{D}(\alpha, \beta)=\min _{x} L(x, \alpha, \beta) ΘD(α,β)=minxL(x,α,β)
    极大化该函数得到: max ⁡ α , β : α i ⩾ 0 Θ D ( α , β ) = max ⁡ α , β : α i ⩾ 0 min ⁡ x L ( x , α , β ) \max _{\alpha, \beta: \alpha_{i} \geqslant 0} \Theta_{D}(\alpha, \beta)=\max _{\alpha, \beta: \alpha_{i} \geqslant 0} \min _{x} L(x, \alpha, \beta) maxα,β:αi0ΘD(α,β)=maxα,β:αi0minxL(x,α,β)
    我们把这个极大化问题视为对偶问题。
    同时,我们定义对偶问题的最优值为 d ∗ = max ⁡ α , β : α i ⩾ 0 Θ D ( α , β ) d^{*}=\max _{\alpha, \beta: \alpha_{i} \geqslant 0} \Theta_{D}(\alpha, \beta) d=maxα,β:αi0ΘD(α,β)

    原始问题和对偶问题的关系
    可以得知 d ∗ ≤ p ∗ d^∗\le p^∗ dp,因为 p p p是先求最大的一块区域然后在这块区域求最小, d d d是先求最小的一块区域然后在这块区域求最大,最大里面的最小,总会比最小里面的最大要大(或等于)。
    如果 d ∗ ≤ p ∗ d^∗\le p^∗ dp,称为弱对偶,对于所有优化问题都成立,这个时候我们可以得到原始问题的一个下界。
    如果 d ∗ = p ∗ d^∗= p^∗ d=p,称为强对偶,满足某些条件才成立,这时可以用解对偶问题替代原始问题。那么满足什么样的条件可以得到强对偶呢

    如果原问题是一个凸优化,并且不等式约束 g ( x ) g(x) g(x)是严格可行的,即存在 x x x对所有 i i i g i ( x ) < 0 g_i(x)<0 gi(x)<0,那么强对偶成立。这里需要注意的是,这里的条件只是强对偶成立的一种情况,对于非凸的问题也有可能是强对偶。
    强对偶成立时,将拉格朗日函数分别对原变量 x x x和对偶变量 α α α β β β分别求导,令导数等于零(还需要满足KKT条件),即可求解对偶问题的解,也就求得了原问题的解。

    对偶求解和拉格朗日乘子法求解
    对于拉格朗日乘子法求解,当原问题是凸优化的时候,考虑满足KKT的条件,对于拉格朗日函数求导等于0即可得到解。
    对于对偶问题求解,转换为对偶函数求解,为了得到原始问题的解,要求强对偶,而在强对偶(不一定满足原问题凸优化)的情况下,考虑满足KKT的条件,对于拉格朗日函数求导等于0即可得到解。
    当原问题是凸优化的时候,强对偶和KKT条件是互为充要条件的。

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  • kkt条件例题(kkt条件例题求解)

    千次阅读 2021-02-05 06:24:21
    kkt条件例题(kkt条件例题求解)2020-05-08 10:54:39共10个回答要看目标函数的斜率,不能单凭横坐标或纵坐标确定追问能举例说明吗回答一般线性规划的图像解法是通过平移一条直线,观察与可行域的焦点来求极值的这个还是...

    kkt条件例题(kkt条件例题求解)

    2020-05-08 10:54:39

    共10个回答

    要看目标函数的斜率,不能单凭横坐标或纵坐标确定追问能举例说明吗回答一般线性规划的图像解法是通过平移一条直线,观察与可行域的焦点来求极值的这个还是线性规划里比较基础的问题.建议你找一本线性规划的书或者是在网上查一些资料,实际的做几道题就会体会了

    3471cb1f96f7c093046e533e2c882007.png

    原发布者:郑航居士深入理解拉格朗日乘子法(LagrangeMultiplier)和KKT条件在求取有约束条件的优化问题时,拉格朗日乘子法(LagrangeMultiplier)和KKT条件是非

    1dbec768a7d810f8ec0acd9d22df2f52.png

    各个分量的偏导数为0,这是一个必要条件.充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的.如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式.如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的,那么这时不是极值点.以二元函数为例,设函数z=f(x,y)在点(x.,y.)的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x.,y.),fy(x.,y.)=0,令fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.)=B,fyy=(x.,y.)=C则f(x,y)在(x.,y.)处是否取得极值的条件是(1)AC-B*B>0时有极值(2)AC-B*B

    c51477f545040eca5ac1c412912e2007.png

    在求取有约束条件的优化问题时,拉格朗日乘子法(LagrangeMultiplier)和KKT条件是非常重要的两个求取方法,对于等式约束的优化问题,可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值;如果含有不等式约束,可以应用KKT条件去求龋当然,这两个方法求得的结.

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    解:依题意得:(1)2x+3y=12,那么有:y=(12-2x)/3;(2)U=xy将y=(12-2x)/3代入U=xy得:U=x(12-2x)/3=(-2x^2+12x)/3=-2(x^2-6x+9-9)/3=【-2(x-3)^2】/3+6根据一元二次函数性质可得:当x=3时,函数最大值为6,即此时效用最大.将x=3代入2x+3y=12得:y=2所以答案是x=3;y=2

    f3bc7fdb4e2a6cf01003f80b03ea9308.png

    我不太懂你的FS和SF的含义,但我能解释这道题.首先,由条件123,我们可以知道C成功和N成功不是独立的,他们之间有互相影响,所以不能独立计算,可以算出你说的P(双方成功)=5/12,P(仅C成功)=1/4,P(仅N成功)=1/12,P(双方失败)=1/4但上述4个概率互斥,因此,只有一个团队完成任务的总概率是(1/4+1/12),而其中N完成的概率是1/12,因此直接用后者除以前者,得到结果就行了

    c2722a84c6eddfb5359aca4778c45173.png

    matlab自带svmtrain,进去看help,照着例子做就懂了

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    1、充分条件:如果A能推出B,那么A就是B的充分条件.其中A为B的子集,即属于A的一定属于B,而属于B的不一定属于A,具体的说若存在元素属于B的不属于A,则A

    1c7540066a0c45ffb7e773c458ec5acb.png

    8.已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分而不必要条件,求正实数a的取值范围.解不等式x2-8x-20>0得:p:A={x|x>10或x0得q:B={x|x>1+a或x评论000

    0f238d594ba27e2943a98b1b223d7d42.png

    对约束方程一式引入松弛变量X4,对二式引入剩余变量X5,对三式引入松弛变量X6,如果用原始单纯形法,必须在二式中加入人工变量X7,变为典式,初始基变量为(X4,X7,X6).(引入人工变量的原则是使约束矩阵A中出现单位阵1,0,00,1,00,0,1也即使变为LP问题的典则形式.)

    60bf94cbabdcd4dc97ce795210a058b2.png

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  • 约束优化问题的KKT条件-附件资源
  • 直观理解KKT条件

    千次阅读 2021-01-15 21:28:16
    KKT最优化条件是Karush[1939],以及Kuhn和Tucker[1951]先后独立发表出來的。这组最优化条件在Kuhn和Tucker发表之后才逐渐受到重视,因此许多情况下只记载成库恩塔克条件(Kuhn-Tucker conditions)库恩塔克条件(Kuhn-...

    KKT最优化条件是Karush[1939],以及Kuhn和Tucker[1951]先后独立发表出來的。这组最优化条件在Kuhn和Tucker发表之后才逐渐受到重视,因此许多情况下只记载成库恩塔克条件(Kuhn-Tucker conditions)

    库恩塔克条件(Kuhn-Tucker conditions)是非线性规划领域里最重要的理论成果之一,是确定某点为极值点的必要条件。如果所讨论的规划是凸规划,那么库恩-塔克条件也是充分条件。

    本文不对数学公式进行详细推导,而是从直观上对KKT条件进行理解。当然KKT条件与拉格朗日乘子是相关联的,看完本文后,可以参阅相关资料。

    无约束优化问题的极值(函数的最大值/最小值)通常发生在斜率为零的点上。

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    因此,为了找到极值,我们只需要搜索斜率为零的点。 我们可以用很好的数学形式表达这个属性。

    如果 x* 是无约束优化问题的极值, 那么

    ▽f(x*)=0

    等式约束的优化问题

    如果x*是等式约束的优化问题的极值, 那么

    ▽f(x*)=λ×▽g(x*)

    g(x*)=0

    不等式约束的优化问题

    如果x*是不等式约束的优化问题的极值, 那么,

    KKT条件:

    原可行性:g(x*)≤0对偶可行性: α≥0互补松弛条件:αg(x*)=0拉格朗日平稳性: ▽f(x*)=α×▽g(x*)为了找到具有不等式约束的优化问题的极值,我们需要搜索必须满足所有KKT条件的点(x*)

    KKT条件直观理解

    1.拉格朗日平稳性:下面显示了具有等式约束的优化问题的等高线图(它是通过绘制2D格式上的目标函数值的常量切片来表示3D表面的图)。 分析结束后,你会意识到为什么我选择了一个等式约束来解释拉格朗日平稳性条件。

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    从等高线图中,我们可以推断出上述问题只发生了两种可行点:1、切点2、交点。切点是水平曲线(等高线)和约束线彼此相切的点。 交点是水平曲线和约束线相交的点。

    在等高线图中,如果从交叉点(沿约束线)向左移动,则目标函数值会增加。 它表明该问题在这方面有改进的余地。 同样,如果从交叉点向右移动,我们的目标函数值会减小。 但是,对于上图中的切线点,从切线点向右或向左移动只会降低目标函数值。这意味着约束优化问题的极值总是落在切点上。

    结论1:约束优化问题的极值总是发生在切点上。

    我们知道函数的梯度指向函数增加最大的方向。在下面的等高线图中,从一个水平曲线移动到另一个水平曲线的最短路径是垂直方向,水平曲线与函数中没有立即变化的方向相切。 这意味着任何点处函数的梯度都垂直于该点的函数水平曲线。

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    结论2:函数的梯度和函数的水平曲线的相切是正交的

    通过结合结论1和2,我们可以得出结论,约束的梯度(▽g)和目标函数的梯度(▽f)在极值处(切线点)方向是相同或者相反的。 表达如下:

    ▽f(x*)=α×▽g(x*)

    2. 对偶松弛(α≥0)

    α被称为KKT乘子或对偶变量(如果我们将原始问题转换为对偶形式,KKT乘子将成为对偶形式的变量)。在解释KKT乘子只允许非负值的原因之前,让我告诉KKT乘子符号在约束优化问题中的影响是什么.

    如果α≥0, 那么 ▽f 和 ▽g 方向是同向的 (▽f(x*)=α×▽g(x*)).

    同样,如果α≤0, 那么▽f 和▽g方向是相反的。

    例如:

    Max 2x22y2 (1)

    s.t. x+y≤1

    上述问题的最优解是4/3 ,

    当x*=2/3 , y*=1/3 and α=4/3。

    正如我们在上文看到的那样,拉格朗日乘子对具有等式约束的优化问题没有任何符号限制。但是,对于具有不等式约束的优化问题,KKT乘子是有符号限制的(α≥0)。 你可能会怀疑我们为什么对不等式约束有这个符号限制。在讲KKT乘子只取非负值的原因之前,咱们先来分析下可行域。

    · g(x,y)=0(x+y1=0):可行域仅是一条直线

    · g(x,y)≥0:直线上方都是可行域。

    · g(x,y)≤0:直线的下方是可行域。

    4e003945a61f4099eecbcaf5fe458685.png

    结论3:约束梯度(▽g)始终指向约束控制的可行区域(g(x,y)≥0,g(x,y)≤0方向分别相反)

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    现在,你可能会理解上述问题中的KKT乘子,只有在可行区域翻转时才会出现负号(i.e.,x+y≥1)。

    如果发生这种情况,约束不会对目标函数产生任何影响。 这就像解决一个无约束的优化问题。

    Max f(x,y)=2x22y2 (2)

    s.t. x+y≥1

    最优解: 在点(0,0),f(x,y) 取得最优解2。

    这意味着如果约束是活跃状态(下文),极值发生在▽f和▽g平行的点(α≥0)。 如果它们在极值上不平行,则意味着约束处于非活动状态。

    3. 互补松弛条件

    α×g(x*)=0

    这个条件是说,KKT乘子(对偶变量)或不等式约束(g(x*)≤0)在极值处为零。 我们可以将任何不等式约束分为两类:1、活跃约束2、非活跃约束。

    1)活跃约束:极值发生在约束的限制区域(边界)上。 例如:问题1(见式1)最优解在

    (x*=22,y*=13) ,约束 g(x*,y*)1=0。

    2)非活跃约束:极值发生在可行区域内(不在限制区域的边界上)。例如:问题2(见式2)最优解在

    (x*=0,y*=0) ,约束g(x*,y*)1≥0。

    从例1中可以看出▽f和▽g平行,α取正值。 在示例2中,我们看到α取负值的情况,导致约束变为非活跃状态。 这意味着

    Max f(x)+αg(x)=Max f(x)

    只有当α取值为零时,上述情况才有可能。

    所以g(x)≠0在极值点处,约束处于非活跃状态

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    千次阅读 2019-12-02 18:24:24
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  • 问题遇到的现象和发生背景 Mathematica求解使用Solve函数求KKT条件,但是输出结果等于根本没计算,算其他的例子可以正常输出 问题相关代码,请勿粘贴截图 Solve[D[π,m]==0&&D[π,θ1]==0&&D[π,r]==0&&D[π,θ2]==0...

空空如也

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kkt条件