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  • 如果有大一大二的新生看到这篇博文,如果你此时正在翘《概率论数理统计》这门课,无论你以后想打算从事算法岗位,还是做金融量化,或者想走科研的道路,成为大佬,那么就请现在好好学习这门课,因为这也是为了不...

    写在前面

    如果有大一大二的新生看到这篇博文,如果你此时正在翘《概率论与数理统计》这门课,无论你以后想打算从事算法岗位,还是做金融量化,或者想走科研的道路,成为大佬,那么就请现在好好学习这门课,因为这也是为了不耽误你们以后撩妹、打游戏的宝贵时间,而又可以系统性学习这门课程的最好时间。

    由于最近的研究和学习涉及的理论基础知识越来越多,很多知识点容易混淆,同时也为了可以在今后的论文或者研究中用专业的术语和论证来尽情的表(zhuang)达(bi),因此最近打算重新学一遍《概率论与数理统计(陈希孺编著)》。

    当乍一看到概率函数、概率分布函数、概率密度函数以及累积概率函数这一堆术语时,像我这种概率论学习不扎实的必然会头疼,所以打好基础还是很重要的。在学习《概率论》时,引用陈希孺老师的一句话:研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何,这样就可以把握住核心了,上面这堆术语都是用来描述随机变量的概率的。既然是用来描述随机变量的概率,那下面就先说一下随机变量。

    离散型随机变量与连续型随机变量

    离散型随机变量(Discrete random variable)与连续型随机变量(Continuous random variable)的区别也很好划分,只要看一下随机变量的取值能否一一列举出来就可以。如掷骰子、扔硬币、性别等,取值都是可以直接列举出来的,这样就是离散型随机变量。而像天气的温度,器件的寿命、测量误差等,这样的取值不能全部列举出来,只能通过一个区间来表示,这样的就是连续型随机变量。

    离散型随机变量的概率函数与概率分布函数

    离散型随机变量的概率函数也就是用函数的形式来表示随机变量取值的概率
    X X X是离散型随机变量,其全部可能取值是 a 1 , a 2 , . . . , a n {a_{1},a_{2},...,a_{n}} a1,a2,...,an,则它的概率函数表示为:
    p i = P ( X = a i ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) p_{i} = P(X = a_{i}) \quad (i=1,2,...,n) pi=P(X=ai)(i=1,2,...,n)
    离散型随机变量的概率函数的自变量是离散型随机变量 X X X的取值,因变量是对应取值的概率,它给出了将全部概率1在其所有可能值上的分配情况,由于离散型随机变量的有限性,所以也常以列表的形式展示离散型随机变量的概率分布:

    知道了离散型随机变量的概率分布后,那么就来说一下离散型随机变量的概率分布函数,在介绍离散型随机变量的概率分布函数之前,先看一下概率分布函数的定义,注意这里没有区分是离散型还是连续型随机变量
    X X X为随机变量,则随机变量的概率分布函数为:
    P ( X ≤ x ) = F ( x ) ( − ∞ &lt; x &lt; ∞ ) P(X \leq x) = F(x) \quad (- \infty &lt;x&lt; \infty) P(Xx)=F(x)(<x<)
    那么,当 X X X是离散型随机变量时,它的概率分布函数为:
    F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ { i ∣ a i ≤ x } p i F(x) = P(X \leq x) = \sum_{\{i|a_{i}\leq x\}}p_{i} F(x)=P(Xx)={iaix}pi
    从上面的形式可以看出概率分布函数就是概率函数取值的累加,所以它又叫做累积概率函数(Cumulative Distribution Function)

    连续型随机变量的概率密度函数与概率分布函数

    说完了离散型随机变量的概率函数和概率分布函数,下面来说一下连续型随机变量的概率密度函数和概率分布函数。
    为什么到了连续型随机变量这里,概率函数就没有了,反而多了一个概率密度函数呢?其实连续型随机变量的概率密度函数就相当于是离散型随机变量的概率函数。试想一下,在离散型随机变量的概率函数表示每个离散值对应的概率的函数,但是连续型随机变量有无穷个数值,单单描述其中一个数值的概率是不可能的,所以就通过了一个区间内的概率密度来表示数据的集中分布程度。
    引用陈希孺老师教程中的定义:设连续型随机变量 X X X有概率分布函数 F ( x ) F(x) F(x),则 F ( x ) F(x) F(x)的导数 f ( x ) = F ′ ( x ) f(x) = F&#x27;(x) f(x)=F(x)称为 X X X的概率密度函数。
    可以设想一根极细的无穷长的金属杆,总的质量为1,概率密度相当于各个点的质量密度。
    连续型随机变量 X X X的密度函数具有以下三条基本性质:
    1、 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)0
    2、 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1 f(x)dx=1
    3、对于任何常数 a &lt; b a&lt;b a<b,有 P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a\leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx P(aXb)=F(b)F(a)=abf(x)dx
    加深一下印象,看一下连续型随机变量最常见的一种分布,正态分布的概率分布函数和概率密度函数:

    总结

    1、离散型随机变量的概率函数和连续型随机变量的概率密度函数都用来描述随机变量如何在所有取值处分配总的概率1。离散型随机变量的概率函数可以直接得到离散型变量对应的概率值,连续型随机变量则是通过一个区间内概率密度函数的面积来表示概率值。
    2、无论是离散型还是连续型概率分布函数,可以按照它的另一个叫法累积概率函数来理解,既然是累积概率,那么得到的公式是一个求和的形式,得到的图像是一个递增的过程。
    3、由于概率分布的研究多是侧重于连续型随机变量,毕竟连续型随机变量的概率分布函数和概率密度函数作为连续函数,还有很多可以研究的点,所以后期会再整理一些常见的连续型随机变量的概率分布函数和概率密度函数。

    REF

    《概率论与数理统计(陈希孺编著)》
    https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

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  • 【数学】1.分布函数与概率密度函数

    千次阅读 2019-05-18 10:46:18
    随机变量分为离散型(discrete)、连续型(continuous);变量的取值来自一个集合,可以是有限集,...随机变量是取值有多种可能并且取每个值都有一个概率的变量。离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个(整数...

    学习链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/48140593

    随机变量分为离散型(discrete)、连续型(continuous);变量的取值来自一个集合,可以是有限集,也可以是无限集。对于无限集,可以是离散的,也可以是连续的,前者对应于整数集,后者对应于实数集。

    随机变量是取值有多种可能并且取每个值都有一个概率的变量。离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个(整数集是典型的无限可列),连续型随机变量的取值为无限不可列个(实数集是典型的无限不可列)。

    1.离散型随机变量的概率怎么表示?

    描述离散型随机变量的概率分布的工具是概率分布表,它由随机变量取每个值的概率p(x = xi )= pi依次排列组成。

    它满足:

    下面是一个概率分布表的例子:

    表2.2 一个随机变量的概率分布表

    2.连续型随机变量的概率怎么表示?

    把分布表推广到无限情况,就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。此时,随机变量取每个具体的值的概率为0,但在落在每一点处的概率是有相对大小的,描述这个概念的,就是概率密度函数。你可以把这个想象成一个实心物体,在每一点处质量为0,但是有密度,即有相对质量大小。

    一个函数如果满足如下条件,则可以称为概率密度函数:

    这可以看做是离散型随机变量的推广,积分值为1对应于取各个值的概率之和为1。分布函数是概率密度函数的变上限积分,它定义为:

    显然这个函数是增函数,而且其最大值为1。分布函数的意义是随机变量的概率。注意,连续型随机变量取某一个值的概率为0,但是其取值落在某一个区间的值可以不为0:

    虽然连续型随机变量取一个值的概率为0,但取各个不通过的值的概率还是有相对大小的,这个相对大小就是概率密度函数。这就好比一个物体,在任意一点处的质量为0,但在这一点有密度值,密度值衡量了在各点处的质量的相对大小。

    3.总结

    分布函数:它的意义是随机变量的概率;

    概率密度函数:随机变量取每个具体的值的概率为0,但在落在每一点处的概率是有相对大小的,描述这个概念的,就是概率密度函数。

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  • 概率分布函数概率密度函数

    千次阅读 2021-03-12 09:48:13
    如果随机变量的值可以都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。 如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。 通俗解释:能够用日常使用的量词度量的取值,如次数,个数,...概率函数,就是用函数的形式来...

    如果随机变量的值可以都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。

    如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

    通俗解释:能够用日常使用的量词度量的取值,如次数,个数,块数等都是离散型随机变量。

                      无法用这些量词度量,且取值可以取到小数点2位,3位甚至无限多位的时候,那么就是连续型随机变量

    如果微积分是研究变量的数学,那么概率论与数理统计是研究随机变量的数学。

    研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何

    概率函数,就是用函数的形式来表达概率--》

    在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量(pi)是取值的概率。这是用数学语言来表示自然现象。

    它代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。

    从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。

    比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

    概率分布如下:

    这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来

    F(x)就代表概率分布函数啦。F(x)的右边是一个很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了大于等于号的公式。后面是一个概率函数的累加!

    概率分布函数就是概率函数取值的累加结果,又叫累积概率函数。

    概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,只是描述概率的不同手段。

    连续型随机变量也有“概率函数”和“概率分布函数”,只是连续型随机变量的“概率函数”叫“概率密度函数”。

    概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数(如上),定积分在数学中是用来求面积的,而在这里可把概率表示为面积即可。

    a图是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,b图是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像。

    它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数。

    两张图一对比,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大。

    所以在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示就非常好。

     

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  • 如何简单理解概率分布函数概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布分布函数 2.1概率函数和...

    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。

    目录

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    2.1.1 概率分布

    2.2 分布函数

    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    4 参考文献


     

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量,在贾俊平老师的《统计学》教材中,给出了这样的区分:

    如果随机变量的值都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

    进一步解释,离散型随机变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量。例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得。反之,在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值。例如,生产零件的规格尺寸,人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其数值只能用测量或计量的方法取得。

    形象点来解释::

    画一幅画,左边是梯子,右边是斜坡。
    像梯子一样能说出有多少层的,可描述的,是离散型随机变量;
    像斜坡一样不能说出有多少层阶梯,不可描述的,是连续性随机变量。
    需要注意的是,实际操作中梯子的阶高可能很小,看起来很像斜坡,需要放大看。

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    在理解概率分布函数和概率密度函数之前,我们先来看看概率函数和概率分布是咋回事。

    为什么我们花这么大的力气去研究这个概念。因为它实在太重要了,为什么呢?在这里,直接引用陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说的:

    研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何!

    这句是本文的核心内容,本文的所有概念,包括概率密度,概率分布,概率函数,都是在描述概率!

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    概率函数,就是用函数的形式来表达概率。

    pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)

    在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量(pi)是取值的概率。它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

    2.1.1 概率分布

    接下来讲概率分布,顾名思义就是概率的分布,这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时,关键不在于“概率”两个字,而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词,我们来看一张图。

                                                                     离散型随机变量的值和概率的分布列表

    在很多教材中,这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说,它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”,这个名字虽然比“概率分布”长了点,但是肯定好理解了很多。因为这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了!

    举个例子吧,一颗6面的骰子,有1,2,3,4,5,6这6个取值,每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“?

    长得挺像的,上面是取值,下面是概率,这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧!大错特错!少了一个最重要的条件!对于一颗骰子的取值来说,它列出的不是全部的取值,把6漏掉了!

    2.2 分布函数

    说完概率分布,就该说说分布函数了。这个分布函数是个简化版的东西!全名应该叫概率分布函数

    看看下图中的分布律,这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”,完全就是一个东西。但是我知道很多教材就是叫分布律的。

                                                                    概率分布函数就是把概率函数累加

    我们来看看图上的公式,其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了小于等于号的公式。你再往右看看,这是一个一个的概率函数的累加!

    发现概率分布函数的秘密了吗?它其实根本不是个新事物,它就是概率函数取值的累加结果!所以它又叫累积概率函数!

    概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,它们都只是描述概率的不同手段!


    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    连续型随机变量的“概率函数”换了一个名字,叫做“概率密度函数”。

    为啥要这么叫呢?我们还是借用大师的话来告诉你,在陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》这本书中,

    如果这么解析你还是不太懂的话,看看下面的这个公式:

    概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,定积分在数学中是用来求面积的,而在这里,你就把概率表示为面积即可!

    左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数

    两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!所以,我们在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示,是非常好的!

    但是,可能读者会有这样的问题:

    Q:概率密度函数在某一点的值有什么意义?

    A:比较容易理解的意义,某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.

    比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.

    • 某一点的速度, 不能以为是某一点的距离
    • 没意义,因为距离是从XX到XX的概念
    • 所以, 概率也需要有个区间.
    • 这个区间可以是x的邻域(可以无限趋近于0)。对x邻域内的f(x)进行积分,可以求得这个邻域的面积,就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

    4 参考文献

    【1】https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

    【2】https://www.zhihu.com/question/23237834

     


     

     

     

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  • https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb
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