验证伯努利大数定律以及相对应的强大数定律、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

• 代码如下：

//编程环境：Xcode
//编程语言：C语言
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define N 100
#define pai 3.1415926
//试用仿真试验方法，验证伯努利场合下，伯努利大数定律以及相对应的强大数定律、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
//设事件A表示N个数中满足a>N/2，即P=1/2
int main ()
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    double a[N];
    double p=0.5;
    double u=0,sum=0;
    double e1,e2,e3,n0=1,n1=1,n2=1;
    double b0,b1,b2,b3,b4,P_u,x_u;
    int i;
    for(i=0;i<N;i++)
    {
    a[i]=rand()%N;
    }
//伯努利大数定律
    for(i=0;i<N;i++){
        if (a[i]>N/2)
        {
        u++;
        }
    }
    e1=fabs(u/N-p);
//伯努利大数定律对应的强大数定律__切比雪夫大数定律
    for(i=0;i<N;i++){
       sum+=a[i];
    }
    e2=fabs(sum/N-N*p);
//棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
for(i=1;i<=N;i++){n0*=i;}//表示n的阶层
for(i=1;i<=u;i++){n1=n1*i;}//n1表示U的阶层
for(i=1;i<=(N-u);i++){n2=n2*i;}//n2表示n-u的阶层
P_u=n0/(n1*n2)/pow(2,N);
x_u=u-N*p/pow(N/4,0.5);
//计算正太分布表达式
b0=x_u;
b1=b0*b0*(-0.5);
b2=exp(b1);
b3=1/(pow(2*pai,0.5));
b4=b2*b3;
//正太分布公式
    e3=fabs(P_u-b4/pow(N/4,0.5));
printf("伯努利大数定理，切比雪夫大数定理，和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的误差分别e1=%lf,e2=%lf,e3=%lf",e1,e2,e3);
    return 0;
}

• 结果：

伯努利大数定理，切比雪夫大数定理，和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的误差分别为
e1=0.040000,
e2=1.080000,
e3=0.057958

       在概率的公理化体系中， 定义了概率， 而且， 在这个定义中， 概率和可能行（频率）没有任何毛关系。那概率怎么就经常和生活中的可能性（频率）就扯上了关系呢？ 概率的公理化定义可没揭示这个原理。

       揭示概率与频率关系的是伯努利大数定律， 从此，概率与可能性就扯上了关系了，从而也说明了古典概率的定义是合乎逻辑的， 来看看伯努利大数定理：

       可证。

大数定律

一个随机变量序列$X_1、X_2...X_n...$，a为常数，若对任意正数$\epsilon$有 lim ⁡ n → ∞ P { ∣ X n − a ∣ < ε } = 1 \lim_{n \to \infty} P\left \{ |X_{n}-a|<\varepsilon \right \} = 1 limn→∞​P{∣Xn​−a∣<ε}=1 。则称序列$X_1、X_2...X_n...$依概率收敛与a, 记作$X_n⟶a(n\to \infty )$

对任意的$\epsilon$>0, 当n充分大时，"$X_n$与a的偏差大于等于$\epsilon$”
这一事件发生的概率很小（即概率意义上收敛于0）

伯努利大数定律

设$n_A$是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，则对任意正数$\epsilon$，有$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{|\frac{n_A}{n}-p|<\epsilon \right\}=1$$，由切比雪夫不等式很容易证明，参见上篇关于切比雪夫文章。

一个事件A在独立重复实验发生的频率$\frac{n_A}{n}$依概率收敛与事件A发生的概率p,
以严格的数学形式表达了频率的稳定性。在实际应用中，当实验次数n很大时，便可李勇事件A发生的频率去近似代替事件A发生的概率。

辛钦大数定律

一个随机变量序列$X_1、X_2...X_n...$，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 E($X_i)=\mu$, i = 1, 2, 3…, 则对任意正数$\epsilon$, 有$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu |<\epsilon \right\}=1$$

随着样本数量n增大，样本均值几乎必然等于总体真实的均值，从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据
例如，要估计某地区的平均亩产量，可收割有代表性的地块 n块，计算其平均亩产量，则当 n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计

中心极限定律

中心极限定理告诉我们，任何独立、 同分布的大量随机变量序列和的均值也近似服从正态分布，只要样本容量够大，样本估计值就趋于正态分布，所以我们可以按 正态分布进行推断