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  • 2020-12-19 21:36:06

    题目

    给定n对正整数ai,bi,对于每对数,求出一组xi,y,使其满足ai∗xi+bi∗yi=gcd(ai,bi)。

    输入格式

    第一行包含整数n。

    接下来n行,每行包含两个整数ai,bi。

    输出格式

    输出共n行,对于每组ai,bi,求出一组满足条件的xi,yi,每组结果占一行。

    本题答案不唯一,输出任意满足条件的xi,yi均可。

    数据范围

    1≤n≤10^5
    1≤ai,bi≤2∗10^9

    输入样例:

    2
    4 6
    8 18
    

    输出样例:

    -1 1
    -2 1

    代码

    n = int(input())
    x, y = 1, 0
    
    def exgcd(a, b):
        global x, y
        if b == 0: 
            x, y = 1, 0
            return a
        d = exgcd(b, a % b)
        x, y = y, x
        y -= (a // b) * x
        return d
        
    for _ in range(n):
        a, b = map(int,input().split())
        exgcd(a, b)
        print(x, y)
        

     

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  • 扩展欧几里得算法

    2018-04-17 15:03:00
    在编写扩展欧几里得算法的前提下,计算了两个数的最大公因数,判断两数是否互素。
  • 此为扩展欧几里得算法求乘法逆元的完整程序,图形界面,使用 vc6.0 完成,完全标准正式的格式,绝对值10积分,有完整的代码,请使用 vc6.0 打开 DSW 工程文件,然后就可完全执行。
  • 1. 整除与取模 先普及一下整除符号“|” 对于整数a,b(a≠0),若存在整数k,使b=ka,则称a整除b,或b能被a整除,记为a∣b。 然后是取模运算 取模运算不用说,大家都懂,不过有几条性质希望大家也都...2. 欧几里得算法 gcd

    1. 整除与取模

    先普及一下整除符号“|”
    对于整数a,b(a≠0),若存在整数k,使b=ka,则称a整除b,或b能被a整除,记为a∣b

    然后是取模运算

    取模运算不用说,大家都懂,不过有几条性质希望大家也都明白。

    (a+b)%m = (a%m + b%m ) %m;

    (a-b)%m = (a%m - b%m ) %m;

    (a*b)%m = (a%m * b%m ) %m;

    除法在这里是不成立的:(a/b)%m = (a%m / b%m ) %m; 这是错误的

    2. 欧几里得算法

    g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b)=gcd(b,a\% b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

    若a<b,则gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(b,a% b),命题成立。

    若a>=b,不妨设a=q*b+r,其中0≤r<b。显然r=a%b。 对于a,b的任意公约数d, 因为d|a,
    d|(qb),故d|(a-qb), 即d| r, 因此d也是b,r的公约数。 对于b,r的任意公约数k, 因为k|b, k|(a-qb)
    [r=a-qb], 故k|a,因此k也是a,b的公约数 故a,b的公约数集合与b,a%b的公约数集合相同。于是它们的最大公约数自然也相等。

    如果觉得不自然,请再往下看。

    假设(a,b)>(b,a%b),令d等于a,b的最大公约数,即d=(a,b))
    根据上面的推导可知:d同时也是b,r的公约数,而b,r的最大公约数一定大于等于d,假设不成立
    假设(a,b)<(b,a%b),和上面一样的道理,假设不成立。 (a,b)既不大于也不小于(b,a%b),两者相等。

    3. 最大公约数、最小公倍数

    int gcd(int a,int b)//最大公约数
    {
    	if(b==0) return a;
        return gcd(b,a%b);
    }
    //gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=====>>>>>>gcd(a,0)=a;
    //(16,24)=(24,16%24)==>(24,8)=(8,24%8)=(8,0)=0;
    int lcm(int a,int b)//最小公倍数  = a*b/gcd(a,b)
    {
        return a/gcd(a,b)*b;
    }
    

    4. 扩展欧几里得算法

    满足ax+by=(a,b) 时,可以用扩展欧几里得算法求出一组特解 ( x0 , y0 )

    int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {
    	if(b==0){
    		x=1,y=0;
    		return a;
    	}
    	int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
        
    	int t=x;
        x=y;
        y=t-(a/b)*y;
        
        return d;
    }
    
    

    ax+by = bx+(a%b)y = ay + ( x -a/b*y)b

    于是我们可以不断递归至b=0,使得 ax+by=(a,0)=a,x=1,y=0;

    5. ax+by=n

    5.1 有解条件

    当 且 仅 当 n 是 g c d ( a , b ) 的 倍 数 时 , 才 有 整 数 解 。 当且仅当n是gcd(a,b)的倍数时,才有整数解。 ngcd(a,b)

    5.2 求解步骤

    1. 判 断 a x + b y = n 是 否 有 整 数 解 , 有 解 的 条 件 是 g c d ( a , b ) ∣ n 2. 求 a x + b y = d = ( a , b ) 的 一 个 解 ( x 0 , y 0 ) 3. 在 得 到 的 a x 0 + b y 0 = d 两 边 同 时 乘 n / d 得 到    a x 0 ∗ n / d + b y 0 ∗ n / d = n 4. 对 照 a x + b y = n 得 到 它 的 一 个 解 x = x 0 ∗ n / d ,    y = y 0 ∗ n / d 5. 它 的 通 解 表 达 式 为   x = x + b / d      y = y − a / d 1.判断ax+by=n 是否有整数解,有解的条件是 gcd(a,b)|n\\ 2.求ax+by= d=(a,b) 的一个解 (x_0, y_0) \\ 3.在得到的 ax_0+by_0 = d 两边同时乘 n/d 得到 \ \ ax_0 *n/d+by_0 *n/d = n\\ 4.对照 ax+by=n 得到它的一个解 x = x_0 *n/d,\ \ y = y_0 *n/d \\ 5.它的通解表达式为 \ x=x+b/d\ \ \ \ y=y-a/d\\ 1.ax+by=ngcd(a,b)n2.ax+by=d=(a,b)(x0,y0)3.ax0+by0=dn/d  ax0n/d+by0n/d=n4.ax+by=nx=x0n/d,  y=y0n/d5. x=x+b/d    y=ya/d

    如果要求x的最小正整数解,令t=b/d ,x=(x%t+t)%t; 求y同理

    5.3 代码

    int solve(int a,int b,int n)  //ax+by=n
    {
    	int x,y;
    	int d=exgcd(a,b,x,y);//x',y'
    	if(n%d!=0) return -1;
        
    	x=x*n/d;
    	int t=b/d;//t<0
    	if(t<0) t=-t;
    	return (x%t+t)%t;  //x和y不一定同时到最小值
    }
    

    6. 同余方程

    1.同余

    两个整数a、b和正整数m ,如果a除以m所得的余数和b除以m所得的余数相等,即a %m=b%m.

    称a和b对于m同余.m称为同余的模。同余的概念也可以这样理解: m l(a-b)。即a-b是m的整数倍。

    例如 6|(16-4)16和4对6同余。同余的符号记为
    a ≡ b ( m o d m ) a \equiv b(mod \quad m) ab(modm)

    2.同余方程

    a x ≡ b ( m o d m ) ax \equiv b(mod \quad m) axb(modm)

    a x − b 是 m 的 整 数 倍 , 即 满 足 a x − b = m y    其 中 y 可 以 是 负 数 于 是 可 以 改 写 为 a x + m y = b ax-b 是m的整数倍,即满足ax-b=my \ \ 其中y可以是负数\\ 于是可以改写为 ax+my=b axbmaxb=my  yax+my=b

    于是解同余方程就变成了求解二元一次不定方程,用扩展欧几里得算法,有解条件是gcd(a,m)能整除b

    7. 逆元

    什么是逆元?百度百科:逆元

    这里只讨论我们需要的乘法逆元:
    满 足 a x ≡ 1 ( m o d   m ) 的 x , 称 为 a 在 模 m 下 的 逆 元 , 即 a x 模 m 等 于 1 满足ax \equiv 1(mod \ m)的x,称为a在模m下的逆元,即ax模m等于1 ax1(mod m)xamaxm1

    ax+my=1
    ax+by=n=1
    int slove(int a,int m)
    {
    	int x,y;
    	exgcd(a,m,x,y);
    	return (x%m+m)%m;
    }
    

    除法取模

    逆元有什么用?

    求(a/b)%m时,当a,b是很大的数时,作除法会损失精度

    使用逆元可以避免除法:设k是b的逆元,则bk%m=1
    ( a b % m ) = ( a b % m ) ∗ b k % m = a k % m (\frac{a}{b}\% m)=(\frac{a}{b}\% m)*bk\%m=ak\%m (ba%m)=(ba%m)bk%m=ak%m
    于是a/b就变成了ak,是不是很nice

    展开全文
  • 欧几里得欧几里得算法扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法的应用求解不定方程求解模线性方程(线性同余方程)求模的逆元经典例题:[RSA解密技术](http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1456) 感谢博主,文章参考该...


    感谢博主,文章参考该博文写的,里面还有一些详细的证明,此文已省https://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
    https://blog.csdn.net/azx59285/article/details/101093214

    欧几里得算法

    欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

    基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
    实现方法:

    int gcd(int a,int b)
     {
         if(b==0)
             return a;
         return 
             gcd(b,a%b);
     }
    

    扩展欧几里得算法

    基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by
    求解x、y:

    1. 显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
    2. ab!=0 时
      设 ax1+by1=gcd(a,b);
      bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
      根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
      则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
      即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
      根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
      这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
      上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
      递归实现代码:(基于欧几里得代码写)

    只求x和y:

    void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {
        if(b==0)
        {
            x=1;
            y=0;
            return;
        }
        int x1,y1;
        exgcd(b,a%b,x1,y1);
        x=y1;
        y=x1-(a/b)*y1;
    }
    

    求x和y,并且求gcd(a,b):

    int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
     {
         if(b==0)  //递归结束跟欧几里得算法一样
         {
             x=1;
             y=0;
             return a;
         }
        int r=exgcd(b,a%b,x,y); //计算上一层的结果,得到上一层的x和y
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
        return r;
    }
    

    扩展欧几里得算法的应用

    (1)求解不定方程;

    (2)求解模线性方程(线性同余方程);

    (3)求解模的逆元;

    求解不定方程

    对于不定整数方程a * x+b * y = c,若c mod Gcd(a,b) =0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解

    1. 先求x * a+y * b = Gcd(a, b)的解
      上面已经列出找一个整数解的方法,在找到x * a+y * b = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,x * a+y * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足:
      x = x0 + b/Gcd(a, b) * t
      y = y0 - a/Gcd(a, b) * t (其中t为任意整数)
    2. 再求a * x+b * y = c的解
      只需将x * a+y * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可
      在找到x * a+y * b = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,应该是得到x * a+y * b = c的一组解x1 = x0*(c/Gcd(a,b)) , y1 = y0*(c/Gcd(a,b))
      x * a+y * b = c的其他整数解满足:
      x = x1 + b/Gcd(a, b) * t
      y = y1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
      x 、y就是x * a+y * b = c的所有整数解.

    相关证明可参考:http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

    用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
    代码如下:

    bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
    {
    	int gcd=exgcd(a,b,x,y);
    	if(c%gcd)  //c不能被gcd(a,b)整除,方程无解 
    	return false;
    	int k=c/gcd;
    	x*=k;y*=k;   //求得的只是其中一组解,其他的解通过列举t得到
    	return true; //表示方程有解 
    }
    

    套用exgcd模板求得的是一组特殊解,但其实这一个方程式是有一个解系,在很多问题中是要你求得最小整数解

    方法一、exgcd求得x和y后
    x=(x%b+b)%b;(求出的就是最小正整数解)
    方法二、可以说这是求最小正整数的模板

    LL e_gcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y)
    {
    	if(b==0)
    	{
    		x=1;
    		y=0;
    		return a;
    	}
    	int r=e_gcd(b,a%b,x,y);
    	LL t=x;
    	x=y;
    	y=t-a/b*y;
    	return r;
    }
    LL cal(LL a,LL b,LL c)
    {
    	LL x,y;
    	LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
    	if(c%gcd) return -1;
    	x*=c/gcd;  //转化为x*a+y*b=c的解 
    	y*=c/gcd; 
    	b/=gcd;    //约去c后原来的b就变成了b/gcd;
    	if(b<0) b=-b; //如果b为负数就去绝对值
    	LL ans=x%b;
    	if(ans<0) ans+=b;  //求最小正整数解 
    	return ans; 
    }
    

    这两种本质上没啥区别,只是在一些问题中a,b等系数可能为负,第一种需要预处理,而第二种则可以直接用

    求解模线性方程(线性同余方程)

    同余方程 ax≡b (mod n) 对于未知数x有解,当且仅当gcd(a,n) | b.且方程有解时,方程有gcd(a,n)个解
    求解方程ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ny=b (x,y为整数)

    1. 由上述解方程ax+ny=b的方法,我们可以得到
      ax≡b (mod n) 的最小整数解为:(ans%b+b)%b
    2. 接下来求其所有的解集
      首先看一个简单的例子:5x=4(mod3)
      解得x = 2,5,8,11,14…
      由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.
      那么这个解的间隔是怎么决定的呢?

    如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.
    我们设解之间的间隔为dx.
    那么有
    ax = b(mod n);
    a
    (x+dx) = b(mod n);
    两式子相减,得到:a* dx (mod n) =0;
    也就是说adx是a的倍数,同时也是n的倍数,即adx是a和n的公倍数,为了求出dx,我们应该求出a和n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的
    设a和n的最大公约数为gcd,那么a和n的最小公倍数为(a*n)/gcd
    即a *dx =a *n/gcd
    所以dx = n/gcd;
    因此解之间的间隔就求出来了,也就得到ax≡b (mod n)的解集了

    代码实现:

    bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
      {
          int x,y,x0,i;
          int d=exgcd(a,n,x,y);
          if(b%d)
              return false; //不存在解x
          x0=x*(b/d)%n;   //得到一个特解(最小整数解)
          for(i=1;i<d;i++) //按照间隔输出所有的解
              printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
         return true;
     }
    

    求模的逆元

    1. 首先引入逆元的概念:
      逆元是模运算的一个概念,我们通常说A是B模C的逆元,实际上是指A * B ≡ 1 (mod C) ,也就是说A与B的乘积模C的余数为1。可表示为A= B^(-1) mod C.
      通常用来求A或者B,将其中一个变量看做a,进而另一个变量就能转化为上述的x,求解x
      打个比方,7 模 11 的逆元,即:7^(-1) mod 11 = 8,这是因为 7 × 8 = 5 × 11 + 1,所以说 7 模 11 的逆元是 8

    2. 同余方程ax≡ b(mod n) ,如果gcd(a,n) = 1,即a和n互质,则方程只有唯一解。
      在这种情况下,如果b==1,同余方程就是ax = 1(mod n),gcd(a,n)=1;这时求出的x位a的对模n乘法的逆元
      对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
      ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

    经典例题:RSA解密技术

    该题核心代码:
    求pq两个质数直接循环即可

    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
    {
    	if(b==0)
    	{
    		x=1;
    		y=0;
    		return ;
    	}
    	LL x1,y1;
    	exgcd(b,a%b,x1,y1);
    	x=y1;
    	y=x1-a/b*y1;
    }
    //快速乘
    LL quickMul(LL a,LL b,LL p)
    {
    	LL ans=0;
    	while(b)
    	{
    		if(b&1) ans=(ans+a)%p;
    		a=(a+a)%p;
    		b>>=1;
    	}
    	return ans%p;	
    } 
    //快速幂 
    LL quickPower(LL a,LL b,LL p)
    {
    	LL ans=1;
    	while(b)
    	{
    		if(b&1) 
    		{
    			ans=quickMul(ans,a,p)%p;
    		}
    		a=quickMul(a,a,p)%p;
    		b>>=1;
    	}
    	return ans%p;
    }
    int main()
    {
    	LL n=1001733993063167141;
    	LL p,q,e,y;
    	LL d=212353;
    	LL c=20190324;
    	p=891234941;
    	q=1123984201;
    	LL ji=(p-1)*(q-1);
    	//d*e=1(mod ji) 
    	//题目转化为方程d*e-ji*y=1;
    	//即d*e+ji*y=1; 求e
    	exgcd(d,ji,e,y);
    	e=(e%ji+ji)%ji; //因为e可能为负数,所以需要处理 
    	//cout<<e<<endl; //823816093931522017
    	
    	LL ans=quickPower(c,e,n);
    	cout<<ans<<endl;
    	return 0;
    } 
    

    竞赛解题方式:巧用python大数解题
    https://blog.csdn.net/weixin_43914593/article/details/112979612

    完结,在知识的海洋中遨游~加油吧

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  • 包含两个功能。 one 函数计算两个多项式 a(x) 和 b(x) 在 GF(2^m) 上... 另一个函数执行扩展欧几里德算法,其中除了 a(x) 和 b(x) 的 gcd 之外,还计算了两个多项式 u(x) 和 v(x),使得 gcd = u(x)a(x) + v(x)b(x)。
  • 扩展欧几里得算法详解

    千次阅读 2020-11-11 00:32:41
    欧几里得算法扩展欧几里得算法,欧几里得算法解二元一次方程组,欧几里得算法求乘法逆元。

    说在前面

    先说一下欧几里得算法:

    欧几里得算法是计算两个数的最大公约数,这里不详讲,只给出欧几里得算法的代码实现:

    int gcd(int a,int b)
    {
        if(b == 0)
        {
            return a;
        }
        return gcd(b,a%b);
    }
    

    时间复杂度为:log(n)

    扩展欧几里得算法的描述是:一定存在整数 x, y 满足等式 a * x + b * y = gcd(a,b)

    这里的a,b是已知,gcd(a,b)表示的是a和b的最大公约数,所以扩展欧几里得算法既可以计算出最大公约数gcd(a,b),又可以计算出变量x,y的一组解。如何求解呢?

    计算最大公约数的下一步,带入等式:gcd(b, a % b) = bx1 + (a % b) * y
    即就是:gcd(b, a % b) = bx1 + (a - (a / b) * b) * y1
    gcd(b, a % b) = a * y1 + b * (x1 - (a / b) * y1 )
    在回过头来看看等式 当b不等于0时:gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
    所以,x = y1 ; y = x1 - (a / b) * y1

    所以可以递归的求解x,y。那退出条件是什么呢?
    我们可以看到当b == 0时,求出最大公约数。考虑一下当b == 0时,a * x = gcd(a, 0) = a。
    此时,x == 1,y取0即可计算出一组特解。

    	//数组arr[0]是 x, arr[1]是 y
    	//其实c代码更简单,只需要int &x 和 int &y 就好了
    	//从这就可以看出,c在做简单工程时,即高效又好用。	
    	private static int exGcd(int a,int b,int arr[])
        {
            if(b == 0)
            {
                arr[0] = 1;
                arr[1] = 0;
                return a;
            }
            int ans = exGcd(b,a%b,arr);
            int temp = arr[0];
            arr[0] = arr[1];
            arr[1] = temp - a/b * arr[1];
            return ans;
        }
    

    时间复杂度为:log(n)

    扩展欧几里得算法可以计算二元一次方程组是否存在整数解,并且求出一组解

    欧几里得算法只能用来求整数解(因为最大公约数的缘故)

    二元一次方程:ax + by = c

    1)当a == 0 或 b == 0的时候,方程转为一元一次方程,可直接求得。

    2)当c不是 gcd(a,b)的倍数的时候,方程无解。
    因为a和b都是他因子的倍数,这个毫无疑问,所以ax+by(a, b的线性组合)也是gcd(a, b)的倍数。如果c不是gcd(a, b)的倍数,那么两边不相等,无解。这条结论叫做“裴蜀定理”。

    3)当c是gcd(a, b)的倍数,设g = gcd(a, b),则用ax + by = g求解出的一组解(x0,y0),有ax + by = c 求出的一组解为( x 0 c g \frac{x_0c}{g} gx0c, y 0 c g \frac{y_0c}{g} gy0c

    如果你理解了,可以挑战一下 青蛙的约会 这道题。
    题解:http://blog.csdn.net/SwordHoly/archive/2009/08/07/4423543.aspx可以参考一下

    用扩展欧几里得算法求乘法逆元

    这里先说一下乘法逆元,我们都知道,‘取模%’ 具有加、减、乘法的分配率即:
    1). (a+b) % c = ((a%c) + (b%c))%c
    2). (a-b) % c = ((a%c) - (b%c))%c
    3). (a × \times ×b) % c = ((a%c) × \times × (b%c))%c
    这样的好处就是,如果a+b+…+n计算出来的值太大的话,可以通过分配率来计算出每一步的值在求余。
    除法没有分配率,但是有乘法逆元。就是将除法转化为乘法。

    逆元:设c是b的逆元,则有ax ≡ \equiv 1(mod p);
    (a/b)mod p = (a/b) * 1(mod p) = (a/b)bx (mod p) = a
    x(mod p)

    定理:a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1;(定理的证明在这里就不叙述了)

    对于ax + by = 1,可以看出x是a模b的乘法逆元,y是b模a的乘法逆元。

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