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  • 1,线性空间的定义与性质 2,线性变换 重难点

    1,线性空间的定义与性质

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    2,线性变换

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    重难点

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  • 1.线性空间 2.线性变换与矩阵 3.线性子空间


    1.线性空间

    1.1 线性空间的定义

    设非空集合VV,一个数域KKx,y,zVx,y,z \in Vk,lKk,l\in K,如果VV满足加法封闭和数乘封闭,则称VV为线性空间。

    1. 加法封闭: 加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。
    2. 数乘封闭: 数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。

    1.2 线性空间的性质

    1. 零元素唯一
    2. 任一元素的负元素唯一
    3. 设 数k,0,1Kk,0,1\in K,向量x,0,xVx, 0, -x \in V,有:
      • 0x=00x=0
      • (1)x=x(-1)x=-x
      • k0=0k0=0
      • kx=0kx=0, 则 k=0k=0x=0x=0

    1.3 线性空间的维数

    线性空间VV线性无关向量组所含向量最大个数nn,称为VV的维数,记作 dimV=ndimV = n

    nn 维线性空间记作VnV^n

    1.4 线性空间的基

    nn维线性空间中,任意nn个线性无关的向量 x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n,构成该空间的一组。这n个线性无关的向量称作基向量

    空间中任意一个向量 xx 可由这组基唯一表示,即 x=a1x1+a2x2+...+anxnx=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n
    此时,称 a1,a2,...,ana_1, a_2, ..., a_nxx 在该基下的坐标,记为[a1,a2,...,an]T[a_1, a_2, ..., a_n]^T

    向量xx在基 x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n 下的矩阵表示为
    x=[x1x2...xn][a1a2...an] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}

    1.5 基变换与坐标变换

    1.5.1 基变换:

    x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n 是 空间VnV^n 的旧基,y1,y2,...,yny_1,y_2,...,y_n 是新基。新基可以用旧基表示为
    [y1y2...yn]=[x1x2...xnliangge]Cn×n\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n}
    其中,矩阵Cn×nC_{n×n}为 (旧基到新基的) 过渡矩阵

    1.5.2 坐标变换:

    向量xx在旧基 x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n下的矩阵表示:
    (1)x=[x1x2...xn][a1a2...an] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1}
    其中 ,[a1,a2,...,an]T[a_1, a_2, ..., a_n]^Txx 在基 x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n下的坐标。

    向量xx在新基y1,y2,...,yny_1,y_2,...,y_n下的矩阵表示:
    (2)x=[y1y2...yn][b1b2...bn] x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2}
    其中 ,[b1,b2,...,bn]T[b_1, b_2, ..., b_n]^Txx 在基 y1,y2,...,yny_1,y_2,...,y_n下的坐标。
    由式(1)=式(2),得
    [b1b2...bn]=C1[a1a2...an]\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}
    称作 向量xx在基变换C下的坐标变换公式

    个人理解

    1. 对线性空间作变换,也就是对线性空间的基做变换。(这是因为,线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示,即一组基可决定一个空间。但是,一个空间可对应不同的多组基)
    2. 线性空间中的一个向量本身是不变的,但对基作变换后,基改变,从而基下的坐标改变,称为坐标变换,即,同一向量在不同基下的表示是不同的。

    2. 线性子空间

    2.1 定义

    V1V_1是线性空间VV的非空子集和,V1V_1中满足数乘封闭和加法封闭,则称V1V_1VV线性子空间子空间

    个人理解:三维空间中的一个过原点的二维平面,或一条过原点的直线,都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

    2.2 性质

    • 线性子空间也是线性空间。(定义中满足数乘、加法封闭,即线性子空间首先要是线性的
    • 非零线性空间的平凡子空间:线性空间自身以及零空间he。
    • 一个线性空间的子空间,其维数小于等于线性空间的维数(显然)。

    延伸:n元齐次线性方程组的解空间 WWnn维向量空间 VnV^n 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。

    2.3 子空间的运算

    2.3.1 和空间

    V1+V2={x1+x2  x1V1,x2V2}V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \}

    2.3.2 交空间

    V1V2={a  aV1aV2}V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \}


    3. 矩阵的值域、核空间

    3.1 向量张成的空间

    x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n张成的空间,记为
    V1=L(x1,x2,...,xn)={k1x1+k2x2+...+knxn}V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \}其中kik_i为常数。

    个人理解:类似以向量组为基所生成的空间。

    3.2 矩阵的值域

    矩阵 ACm×nA\in C^{m×n}nn 个列向量为 a1,a2,...,ana_1, a_2, ..., a_n,则矩阵A的值域为R(A)=L(a1,a2,...,an)={y  y=Ax}R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \}

    个人理解:矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间
    若把 AA 看作一种线性变换,那么矩阵的值域 y=Axy=Ax 为线性空间中的原向量 xx 经线性变换后所得到的象。

    3.3 矩阵的核空间

    N(A)={x  Ax=0}N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \}
    核空间也叫零空间,零空间的维数为零度,记作 n(A)n(A)

    个人理解:使 Ax=0Ax=0 成立的 xx
    若把 AA 看作一种线性变换, 那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量(原象)。

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  • 空间滤波:非线性空间滤波

    千次阅读 2019-06-07 22:52:59
    线性空间滤波也基于邻域操作,与线性空间滤波相同,可通过定义一个大小为m x n 的邻域,以其中心点滑过一幅图像的方式进行操作。 线性空间滤波基于计算乘积之和,而非线性空间滤波基于非线性操作。例如:令每个...

    一、基本概念

    非线性空间滤波也基于邻域操作,与线性空间滤波相同,可通过定义一个大小为 m x n 的邻域,以其中心点滑过一幅图像的方式进行操作。
    线性空间滤波基于计算乘积之和,而非线性空间滤波基于非线性操作。例如:令每个中心点处的响应等于其邻域内的最大像素值的操作即为非线性滤波。
    在非线性滤波中,“滤波器”应看作是一个基于邻域像素操作的非线性函数,其响应组成了在邻域的中心像素处操作的响应。

    二、函数 colfilt

    工具箱提供了两个执行非线性滤波的函数:函数nlfilter和函数colfilt(由于速度的优势,使用的更多)

    给定一个大小为 M X N 的图像 f 和一个大小为 m x n 的邻域,函数 colfilt 生成一个最大尺寸为 mn x MN 的矩阵A,在该矩阵中,每一列对应于其中心位于图像内某个位置的邻域所包围的像素。

    函数 colfilt 语法g = colfilt(f,[m,n],'sliding',@fun),其中m 和 n 表示滤波区域的维数,‘sliding’ 表示处理过程是在输入图像 f 中逐个像素地滑动该 m x n 区域,fun是一个函数句柄
    基于矩阵A的组织形式,函数fun必须对矩阵的每一列操作,并返回一个包含所有列结果的行向量v。v的第k个元素表示的是对A中的第k列进行fun操作后的结果。因而,A中可以有 MN 列,v 的最大维数为 1 x MN。

    线性滤波中,需要对图像进行填充来处理空间滤波中固有的边界问题。但在使用colfilt时,滤波前必须经过填充
    由此引入函数 padarryfp = padarray(f,[r,c],method,direction)
    其中,f 为输入图像,fp 为填充后的图像,[r,c]用于给出填充 f 的行数和列数
    method 和 direction 如表:
    在这里插入图片描述

    >> f = [1 2;3 4]
    
    f =
         1     2
         3     4
    % 如果参数中不包含direction,则默认值为'both'
    >> fp = padarray(f,[3 2],'replicate','post')	
    % 在每一维的最后一个元素之后填充 32 列
    fp =
         1     2     2     2
         3     4     4     4
         3     4     4     4
         3     4     4     4
         3     4     4     4
    

    函数colfilt示例

    实现一个非线性滤波器,该滤波器在任何点的响应都是以该点为中心点的邻域中的像素灰度值的几何平均

    大小为 mxn 的邻域中的几何平均是邻域内亮度值的乘积的 1/mn 次幂。
    使用匿名函数句柄: gmean = @(A)prod(A,1)^(1/size(A,1))
    这里的 A 代表的是 colfilt 生成的一个 mn x MN 的矩阵
    其中:
    函数prod

    >> a = [1 2; 3 4]
    a =
    
         1     2
         3     4
    % 若 a 是一个向量返回元素的乘积,若 A 是一个矩阵则 prod(A)将列作为向量处理,并返回每列的积
    >> b = prod(a)
    b =
         3     8
    % prod(a,dim) 计算A中有dim指定方向的乘积,dim为1 代表返回行计算列
    >> b = prod(a,1)
    
    b =
    
         3     8
    %  dim 为 2 代表返回列,计算行
    >> b = prod(a,2)
    
    b =
    
         2
        12
    

    函数size

    >> a = [1 2;3 4;5 6]
    a =
         1     2
         3     4
         5     6
     % size(a) 返回一个行向量,包括每一维的长度
    >> size(a)
    ans =
    
         3     2
    % size(a,dim) dim为1 返回有多少行,dim 为 2 返回有多少列
    >> size(a,1)
    ans =
         3
    >> size(a,2)
    ans =
         2
    

    为了消减边界效应,使用padarray中的’replicate’选项来填充输入图像:

    f = padarray(f,[m n],'replicate')
    

    调用 colfilt:

    g = colfilt(f,[m n],'sliding',@gmean)
    

    注意
    尽管矩阵 A 是函数gmean 中的一个参量,但它未包括在函数colfilt的参数中,这个矩阵可通过函数colfilt 中使用函数句柄自动传递给gmean。
    同时矩阵 A 总有mn行,但是列数是可变的,因此函数colfilt 每调用该参量一次,就要计算一次A的大小,这种情况下,滤波的过程就是计算邻域内所有像素的乘积的1/mn 次幂。

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  • 空间滤波:线性空间滤波

    千次阅读 2019-06-07 22:49:08
    邻域处理的步骤: (1) 选取中心点(x,y) (2) 仅对预先定义的关于点(x,...若对邻域中像素的计算为线性运算时,则此运算称为线性空间滤波 (也称为空间卷积) 否则,称此运算为非线性空间滤波 文章目录一、 一、 ...

    邻域处理的步骤
    (1) 选取中心点(x,y)
    (2) 仅对预先定义的关于点(x,y) 的邻域内的像素执行操作
    (3) 令运算结果为该点处处理的响应
    (4) 对图像中的每一点重复此步骤。
    这个过程中,移动中心点会产生新的邻域,而每个邻域对应于输入图像上的一个像素。

    若对邻域中像素的计算为线性运算时,则此运算称为线性空间滤波 (也称为空间卷积);否则,称此运算为非线性空间滤波

    一、基本概念

    本章所关注的线性运算包括将邻域中每个像素与相应的系数相乘,然后将结果进行累加,从而得到点(x,y)处的响应。
    若邻域的大小为 m x n ,则总共需要 mn 个系数。这些系数排列为一个矩阵,称其为滤波器、滤波模板或模板等术语

    相关:如图,模板w按照图示方式在图像移动的过程
    卷积:从技术上讲,卷积是相同的过程,只是在图像 f 中移动 w 前,要将w旋转180度
    在这里插入图片描述

    一维相关和卷积操作示例
    ALT

    二、函数imfilter

    工具箱使用函数 imfilter 来实现线性空间滤波
    函数语法g = imfilter(f,w,filtering_mode,boundary_options,size_options)
    其中,f 是输入图像,w 为滤波模板,g 为滤波过滤后的结果,其他参数如下表
    函数imfilter的选项
    在这里插入图片描述

    函数imfilter的最常见语法g = imfilter(f,w,'replicate'),当在工具箱中实现标准的线性空间滤波时,使用这一语法。

    在使用预先旋转的滤波器或对称的滤波器时,希望进行卷积计算,有两种方法:
    (1)使用语法: g = imfilter(f,w,'conv','replicate')
    (2)使用 函数rot90(w,2) 将w旋转180度,然后使用 g = imfilter(f,w,,'replicate'),也可以合二为一: g = imfilter(f,rot90(w,2),'replicate') ,结果将是一幅大小和输入相同的图像 g (即‘same’模式)

    rot90(f,k):将 w 旋转 k*90度,其中 k 是一个整数

    函数 imfilter 的应用

    >> f = imread('imfilter.tif');
    % 为了达到更高的精度,使用imfilter之前,使用函数 im2double() 将f转换为浮点型
    >> fd = im2double(f);
    % 得到一个 31 x 31 的滤波器
    >> w = ones(31);
    % 如果滤波器关于中心对称,相关和卷积完成滤波产生相同的结果
    >> gd = imfilter(fd,w);
    >> imshow(fd),figure,imshow(gd,[])
    

    结果图:
    在这里插入图片描述
    这里使用默认的边界选项,即用黑色(0)对图像边界进行填充。结果滤波后图像中黑白边缘被模糊化了,但是只出现在图像较亮的部分与边界之间的边缘上,原因在于填充的边界是黑色的。

    使用replicate选项解决这个问题:

    % 使用选项 replicate ,图像的大小通过复制图像边界外的值来扩展
    >> gr = imfilter(fd,w,'replicate');
    >> figure,imshow(gr,[])
    
    % 使用选项 'symmetric' 达到同样的效果
    >> gs = imfilter(fd,w,'symmetric');
    >> figure,imshow(gs,[])
    

    在这里插入图片描述

    使用选项 ‘circular’ 显示的结果,与零填充一样,因为周期性的使用可使得图像的黑暗部分邻近明亮区域

    >> gc = imfilter(fd,w,'circular');
    >> figure,imshow(gc,[])
    

    在这里插入图片描述

    最后说明 imfilter 产生于输入相同类的结果,

    >> f8 = im2uint8(f);
    >> g8r = imfilter(f8,w,'replicate');
    >> figure,imshow(g8r,[])
    

    在这里插入图片描述
    由图可看到,但输出通过 imfilter 转换为输入相同的类(uint8)时,裁剪会引起数据丢失。
    原因是模板的系数不在范围[0,1]内求和,从而引起滤波后的结果超出范围[0,255]。
    为了避免这个问题,有一个归一化系数地选项,该选项可使系数的和限定在范围[0,1]内,或者输入single或double格式的数据。

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