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  • 动态规划求解

    2017-03-23 13:53:50
    动态规划讲解: 教你彻底学会动态规划——入门篇 教你彻底学会动态规划——进阶篇以下为对上面大神内容的总结动规的三种形式1)记忆递归型优点:只经过有用的状态,没有浪费。递推型会查看一些 没用的状态,有浪费...

    参考博客
    动态规划讲解:
    教你彻底学会动态规划——入门篇
    教你彻底学会动态规划——进阶篇

    以下为对上面大神内容的总结

    动规的三种形式

    1)记忆递归型
    
    优点:只经过有用的状态,没有浪费。递推型会查看一些 没用的状态,有浪费。
    
    缺点:可能会因递归层数太深导致栈溢出,函数调用带来额外时间开销。总体来说,比递推型慢。
    
    2) “我为人人”递推型
    
    没有什么明显的优势,有时比较符合思考的习惯。个别特殊题目中会比“人人为我”型节省空间。
    
    3)“人人为我”递推型
    
    在选取最优备选状态的值Fm,Fn,…Fy时, 有可能有好的算法或数据结构可以用来显 著降低时间复杂度。
    

    思路:动态规划
    动规解题的一般思路

    1. 将原问题分解为子问题
      就是确定dp[i][j] 中的i,j代表着什么
      把原问题分解为若干个子问题,子问题和原问题形式相同或类似,只不过规模变小了。子问题都解决,原问题即解决(数字三角形例)。
      子问题的解一旦求出就会被保存,所以每个子问题只需求 解一次。

    2.确定状态
    就是确定dp[i][j]的值代表着什么

    3.确定一些初始状态(边界状态)的值
    就是确定dp[i][j]的一些初始值,一些已知值

    4.确定状态转移方程
    就是确定递推公式
    即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”,求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示,此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

    展开全文
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    import time
    # 初始化备忘录
    F_store = []
    F_store.append(1)
    F_store.append(1)
    # 动态规划求解
    def f(n):
        if n <= 1:
            return F_store[n]
        else:
            if n >= len(F_store):
                F_store.append(f(n-1)+f(n-2))
            return F_store[n]
    
    # 普通递归求解
    def F(n):
        if n <= 1:
            return 1
        else:
            return F(n-1)+F(n-2)
    if __name__=='__main__':
        start = time.time()
        print(f(30))
        end = time.time()
        print(F(30))
        end2 = time.time()
        print((end - start) * 1000)
        print((end2 - end) * 1000)
    

    运算结果:

    121393
    121393
    0.0
    30.916213989257812
    
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    近期事情多,且老师讲动态...判断一个问题是否能用动态规划求解,要看它是否能划分成合适的子问题,然后写出递推关系式。 动态规划得到的解一定是最优解。 01背包问题 (1)问题描述: 现有n件物品,每件都有...

    近期事情多,且老师讲动态规划讲得云里雾里。。于是又没有跟上进度,菜鸡终于要来填坑了。

    动态规划

    动态规划和分治法有些相像,都是把一个问题分成了很多子问题来求解,但是不同的是动态规划会记忆之前解决的子问题的结果,避免了重复计算。判断一个问题是否能用动态规划求解,要看它是否能划分成合适的子问题,然后写出递推关系式。

    动态规划得到的解一定是最优解。

    01背包问题
    (1)问题描述:
    现有n件物品,每件都有对应的重量(w)和价值(v),有一个给定容量(C)的背包,怎么样才能在背包里装入具有最大价值总和的东西?
    具体例子:
    在这里插入图片描述
    (2)问题分析:
    突然想到之前看数模书的时候提到的一种思路——引入0-1变量,化为整数规划问题。
    模型建立:已知n件物品的重量为W1~Wn ,价值为V1 ~Vn,用X1 ~Xn来表示是否选了这件物品放入背包,Xi为0或1。
    决策目标即为:MAX(V1X1+V2X2+…+VnXn)
    约束条件即为:(W1X1+W2X2+…+WnXn) ≦ C
    抖机灵用lingo求了下解。。
    在这里插入图片描述
    好了言归正传。。
    (3)寻找子问题和建立递推关系式
    这里采用自底向上的思路
    定义子问题:在前i个物品里面挑选总重量不大于W(W<=C)的物品,记最优值为M(i, W),则对于第i个物品来说就有两种情况:
    ①Wi>W,装不下了,则M(i, W)=M(i-1, W);
    ②Wi<=W,那么就要选择装不装,则M(i, W)=max{M(i-1, W) , M(i-1, W-Wi)+Vi}
    M(i-1, W-Wi)即为第i个物品装入之前的最优值,结果是装了第i个物品。
    接下来就是初始化的问题了,还是看源代码吧。
    (4)源代码:

    public class FindMax {	
    	public static void main(String[] args){
    		int capacity=11;
    		int item_num=5;
    		int[][] M = new int[item_num+1][capacity+1];
    		int[] w={0,1,2,5,6,7};
    		int[] v={0,1,6,18,22,28};
    		int i,j;
    		for(i=0;i<=capacity;i++){
    			M[0][i]=0;
    		}
    		for(j=0;j<=item_num;j++){
    			M[j][0]=0;
    		}
    		for(i=1;i<=item_num;i++){
    			for(j=1;j<=capacity;j++){
    				if(w[i]>j){
    					M[i][j]=M[i-1][j];
    				}
    				else{
    					M[i][j]=Math.max(M[i-1][j], M[i-1][j-w[i]]+v[i]);
    				}
    			}
    		}
    		for(i=0;i<=item_num;i++){
    			for(j=0;j<=capacity;j++){
    				System.out.print(M[i][j]+ "\t");
    			}
    			System.out.println("");
    		}
    	}
    }
    

    结果截图如下:
    在这里插入图片描述
    最优解为40,那么怎么知道是哪几件物品被选中了呢?我们要从表的右下角往回看,M(5, 11)=M(4, 11)=40且M(4,11)不等于M[3,11],说明选了4号物品;减去4号物品的重量40-22=18,M(3, 5)=18且M(3,5)不等于M(2, 5)且M(3,5)=M(4,5)=M(5,5),说明第三件物品被选择了,减去三号物品的重量40-22-18=0;说明被选中的就是3号和4号。

    今天就写到这里吧。

    展开全文
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    动态规划求解投资问题

    1. 问题

    在这里插入图片描述

    2. 解析

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3. 设计

    	//给F[0][0-m]赋值
           for (j from 0 to m)
           {
                  F[0][j] = f[0][j];//第一个项目上投入0 to m元钱的最大收益等于f[0][0 to m]
           }
           for (遍历n个项目)
           {//项目循环,从1开始,也就是从前2个项目开始算,因为第一个项目已经赋值
                  for (遍历m元钱)
                  {//钱数循环从0开始
                         for (k = 0; k <= j; ++k)
                         {
                               //F[i][x],将x元钱投入到前i个项目上最大的收益
                               tmp_F = F[i - 1][j -k] + f[i][k];
                                if (tmp_F >F[i][j])
                                       F[i][j] = tmp_F;                      
                         }
                  }
           }

    4. 分析

    在这里插入图片描述

    5.源码

    https://github.com/Bacsonlx/Algorithm-analysis

    展开全文
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