原码乘法,原码乘法原理详解

1.人工算法与机器算法的同异性

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是:乘积的符号位由两数的符号位按异或运算得到，而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。

设n位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用)

被乘数 　　[ｘ]原=ｘf .ｘn-1…ｘ1ｘ0

乘数 　  　[ｙ]原=ｙf .ｙn-1…ｙ1ｙ0

则乘积

[z]原=(ｘf⊕ｙf)＋(0.ｘn-1…ｘ1ｘ0)(0.ｙn-1…ｙ1ｙ0)    (2.26)

式中，ｘf为被乘数符号，ｙf为乘数符号。

乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于被乘数和乘数和符号组合只有四种情况(ｘfｙf=00，01，10，11)，因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。

数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法类似，不过对于用二进制表达式的数来说，其乘法规则更为简单一些。

设ｘ=0.1101，ｙ=0.1011.让我们先用习惯方法求其乘积，其过程如下:

运算的过程与十进制乘法相似:从乘数ｙ的最低位开始，若这一位为“1”，则将被乘数ｘ写下；若这一位为“0”，则写下全0。然后在对乘数ｙ的最高为进行乘法运算，其规则同上，不过这一位乘数的权与最低位乘数的权不一样，因此被乘数ｘ要左移一位。以此类推，直到乘数个位乘完为止，最后将它们统统加起来，变得到最后乘积ｚ。

如果被乘数和乘数用定点整数表示，我们也会得到同样的结果。

人们习惯的算法对机器并不完全适用。原因之一，机器通常只有n位长，两个n位数相乘，乘积可能为2n位。原因之二，只有两个操作数相加的加法器难以胜任将各n位积一次相加起来的运算。早期计算机中为了简化硬件结构，采用串行的1位乘法方案，即多次执行“加法—移位”操作来实现。这种方法并不需要很多器件。然而串行方法毕竟太慢，自从大规模集成电路问世以来，出现了各种形式的流水式阵列乘法器，它们属于并行乘法器。

图2.4 m×n位不带符号的阵列乘法器逻辑图

2.不带符号的阵列乘法器

设有两个不带符号的二进制整数：

A=am-1…a1a0

B=bn-1…b1b0

它们的数值分别为a和b，即

在二进制乘法中，被乘数A与乘数B相乘，产生m＋n位乘积P：

P=pm+n-1…p1p0

乘积P 的数值为

　　实现这个乘法过程所需要的操作和人们的习惯方法非常类似：

上述过程说明了在m位乘n位不带符号整数的阵列乘法中，“加法—移位”操作的被加数矩阵。每一个部分乘积项(位积)aibj叫做一个被加数。

这m×n个被加数{aibj|0≤i≤m-1和0≤j≤n-1}

可以用m×n个“与”门并行地产生。显然，设计高速并行乘法器的基本问题，就在于缩短被加数矩阵中每列所包含的1的加法时间。

这种乘法器要实现n位×n位时，需要n(n-1)个全加器和n2个“与”门。该乘法器的总的乘法时间可以估算如下：

令Ta为“与门”的传输延迟时间，Tf为全加器(FA)的进位传输延迟时间，假定用2级“与非”逻辑来实现FA的进位链功能，那么我们就有：

Ta = Tf = 2T

从演示中可知，最坏情况下延迟途径，即是沿着矩阵P4垂直线和最下面的一行。因而得n位×n位不带符号的阵列乘法器总的乘法时间为：

tm=Ta+(n-1)×6T＋(n-1)×Tf

=2T＋(n-1)×6T＋(n-1)×2T=(8n-6)T　　　　　(2.27)

[例16] 已知两个不带符号的二进制整数A=11011，B=10101，求每一部分乘积项aibj的值与p9p8……p0的值。

[解:]

a4b0=1 a3b0=1 a2b0=0 a1b0=1 a0b0=1　　

a4b1=0 a3b1=0 a2b1=0 a1b1=0 a0b1=0

a4b2=1 a3b2=1 a2b2=0 a1b2=1 a0b2=0

a4b3=0 a3b3=0 a2b3=0 a1b3=0 a0b3=0

a4b4=1 a3b4=1 a2b4=0 a1b4=1 a0b4=1

P=p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0=1000110111(56710)

3.带符号的阵列乘法器

(1) 对2求补器电路

我们先来看看算术运算部件设计中经常用到的求补电路。一个具有使能控制的二进制对2求补器电路图，其逻辑表达式如下：

C-1=0，　 Ci=ai+Ci-1

ai*=ai⊕ECi-1，　　　0≤i≤n

在对2求补时，要采用按位扫描技术来执行所需要的求补操作。令A=an…a1a0是给定的(n＋1)为带符号的数，要求确定它的补码形式。进行求补的方法就是从数的最右端a0开始，，由右向左，直到找出第一个“1”，例如ai=1， 0≤i≤n。这样，ai以左的每一个输入位都求反，即1变0，0变1。最右端的起始链式输入C-1必须永远置成“0”。当控制信号线E为“1”时，启动对2求补的操作。当控制信号线E为“0”时，输出将和输入相等。显然，我们可以利用符号位来作为控制信号。

例如，在一个4位的对2求补器中，，如果输入数为1010，那么输出数应是0110，其中从右算起的第2位，就是所遇到的第一个“1”的位置。用这种对2求补器来转换一个(n＋1)为带符号的数，所需的总时间延迟为

tTC=n·2T＋5T=(2n＋5)T　　　　　　(2.28)

其中每个扫描级需2T延迟，而5T则是由于“与”门和“异或”门引起的。

(2) 带符号的阵列乘法器

(n＋1)×(n＋1)位带求补器的阵列乘法器逻辑方框图

通常，把包括这些求补级的乘法器又称为符号求补的阵列乘法器。在这种逻辑结构中，共使用三个求补器。其中两个算前求补器的作用是：将两个操作数A和B在被不带符号的乘法阵列(核心部件)相乘以前，先变成正整数。而算后求补器的作用则是：当两个输入操作数的符号不一致时，把运算结果变成带符号的数。

设A=anan-1…a1a0和B=bnbn-1…b1b0均为用定点表示的(n＋1)位带符号整数。在必要的求补操作以后，A和B的码值输送给n×n位不带符号的阵列乘法器，并由此产生2n位真值乘积:

A·B=P=p2n-1…p1p0

p2n=an⊕bn

其中P2n为符号位。

上面所示的带求补级的阵列乘法器既适用于原码乘法，也适用于间接的补码乘法。不过在原码乘法中，算前求补和算后求补都不需要，因为输入数据都是立即可用的。而间接的补码阵列乘法所需要增加的硬件较多。为了完成所必需的乘法操作，时间大约比原码阵列乘法增加1倍。

[例17] 设ｘ=＋15，ｙ=-13，用带求补器的原码阵列乘法器求出乘积ｘ·ｙ=？

[解:]

设最高位为符号位，则输入数据为

[ｘ]原=01111　　[ｙ]原=11101

符号位单独考虑，算前求补级后 |ｘ|=1111，|ｙ|=1101

算后经求补级输出并加上乘积符号位1，则原码乘积值为111000011。

换算成二进制数真值是

ｘ·ｙ=( -11000011)2=(-195)10

十进制数验证：ｘ×ｙ = 15× (-13) = -195相等。

[例18] 设ｘ=＋15，ｙ=-13，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积ｘ·ｙ=？

[解:]

设最高位为符号位，则输入数据用补码表示为

[ｘ]补=01111　　　 [ｙ]补=10011

符号位单独运算，x0⊕y0=0+1=1

尾数部分算前求补器输出为: |ｘ|=1111，|ｙ|=1101

算后求补器输出为00111101，加符号位1，得

[ｘ·ｙ]补=100111101

补码二进制数真值是

ｘ·ｙ=-1×28+1×25+1×24+1×23+1×22+1×20=(-195)10

十进制数验证：     ｘ×ｙ=(+15)×(-13)=-195相等。