• 关于最短距离算法最多莫...书上讲的Dijkstra算法看的不太懂，大致的意思是扩散求值的算法，即从源节点一步一步求最短路径的方法。即先找到源节点到其子节点的最短距离，然后再找源节点到其二级孙级点最短距离。如此...

关于最短距离算法最多莫过于Dijkstra算法。能找到例子不多。书上能看到的代码大多数伪代码。
而在网上看到多代码大多是C或者C++版本，而且大多没有提供完整的代码。C#的版本也找不到，故偶自己写了些代码(权值无负值).
书上讲的Dijkstra算法看的不太懂，大致的意思是扩散求值的算法，即从源节点一步一步求最短路径的方法。即先找到源节点到其子节点的最短距离，然后再找源节点到其二级孙级点最短距离。如此一步一步直到扩散到目标节点为止。
先看下我构造的节点图，如下，一开始我是想求A－K的最短路径

以下我构造的一些类和方法
节点类：
///
/// 节点类
///
class GNode
{
public string Name ;
public List LD;
public int Rank;
public int MinDist = 0;
public string Path = "";
public bool BFind = false;
public GNode(string name) {
this.Name = name;
LD = new List();
Rank = -1;
}
///
/// 设置节点级别
///
///
public void SetRank(GNode parentNode)
{
if (Rank == -1)
{
if (parentNode != null)
Rank = parentNode.Rank + 1;
else
Rank = 0;
}
}
public int GetRank()
{
return Rank;
}
}
边类
///
/// 边类，此处为没有标明边的方向。
///
class DNode
{
string Name;
public int Distance;
public GNode CurrNode;
public DNode(string name,int dist) {
this.Name = name;
Distance = dist;
CurrNode = ht[name] as GNode;
}
}
初始化节点,以上代码中的ht为节点的Hashtable集合，节点信息都存放在Hashtable中
private void InitNodes()
{
///初始化
///
ht= new Hashtable();
GNode dnTemp = new GNode("A");
dnTemp = new GNode("B");
dnTemp = new GNode("C");
dnTemp = new GNode("D");
dnTemp = new GNode("E");
dnTemp = new GNode("F");
dnTemp = new GNode("G");
dnTemp = new GNode("H");
dnTemp = new GNode("I");
dnTemp = new GNode("J");
dnTemp = new GNode("K");
dnTemp = new GNode("L");
dnTemp = ht["A"] as GNode;
dnTemp = ht["B"] as GNode;
dnTemp = ht["C"] as GNode;
dnTemp = ht["D"] as GNode;
dnTemp = ht["E"] as GNode;
dnTemp = ht["F"] as GNode;
dnTemp = ht["G"] as GNode;
dnTemp = ht["H"] as GNode;
dnTemp = ht["I"] as GNode;
dnTemp = ht["J"] as GNode;
dnTemp = ht["K"] as GNode;
dnTemp = ht["L"] as GNode;
}
初始化各节点的相对于源节点的级别
///
/// 初始化点阵的Rank
///
///
private void InitRank(List srcs)
{
List nextNode=new List();
foreach (GNode src in srcs)
{
foreach (DNode dn in src.LD)
{
dn.CurrNode.SetRank(src);
if (dn.CurrNode.Rank == (src.Rank + 1) && !nextNode.Contains(dn.CurrNode))
}
}
if (nextNode.Count > 0)
InitRank(nextNode);
}
单点的最短路径递归方法
///
/// 寻找起始节点到目标节点的最小路径，此处采用递归查找。目标节点固定，起始节点递归。
///
/// 起始节点，为临时递归节点
/// 查找路径中的目标节点
/// 当前查找最小路径值，此值在递归中共享
/// 当前节点以src节点的距离
/// 源节点src的级别
/// 查找中经过的路径
///
private string FindMinx(GNode src,GNode dest,ref int minx,int startDist,int srcRank,string path)
{
// string[] paths=
int sRank = src.Rank;// dest.GetRank();
int tmpLength,tmpRank;
string tmpPath=null;
string goalPath="";
string tmpPath1,tmpPath2,tmpNodeName;
tmpPath1=","+path+",";
tmpPath2=","+src.Path+",";
foreach (DNode dn in src.LD)
{
tmpPath = path;
dn.CurrNode.SetRank(src);
tmpRank = dn.CurrNode.Rank;
tmpNodeName = "," + dn.CurrNode.Name + ",";
//扩散级别大于等于目标级别并且是未走过的节点。
// had delete tmpRank >= srcRank
//if (tmpRank >＝ srcRank && path.IndexOf(dn.CurrNode.Name) == -1 && src.Path.IndexOf(dn.CurrNode.Name)==-1)
if (tmpRank > srcRank && tmpPath1.IndexOf(tmpNodeName) == -1 && tmpPath2.IndexOf(tmpNodeName) == -1)
{
tmpLength = dn.Distance + startDist;
if (dn.CurrNode.Equals(dest))
{
if (minx > tmpLength)
{
minx = tmpLength;
tmpPath += "," + dn.CurrNode.Name;
goalPath = tmpPath;
}
else if (minx == tmpLength)
{
tmpPath += "," + dn.CurrNode.Name;
goalPath = tmpPath;
}
}
else
{
if (tmpLength < minx)//路程小于最小值，查询下个子节点
{
tmpPath += "," + dn.CurrNode.Name;
tmpPath = FindMinx(dn.CurrNode, dest, ref minx, tmpLength, srcRank, tmpPath);
if (tmpPath != "")
goalPath = tmpPath;
}
}
}
}
return goalPath;
}       查找最短路径(Route)方法，此处同样使用了递归算法，即算出子节点的最短路径后再算子节点的子节点的最短路径
private bool FindMin(List srcs, GNode dest)
{
string tmpPath;
int destRank = dest.GetRank();
int tempDestRank;
int minLen=0;
bool isFind = false;
List nextNodes = new List();
foreach (GNode src in srcs)
{
if (src.Equals(dest)) return false;
foreach (DNode dn in src.LD)
{
tempDestRank = dn.CurrNode.Rank;
if (tempDestRank == (src.Rank + 1))
{
if(!nextNodes.Contains(dn.CurrNode))
{
}
dn.CurrNode.MinDist = src.MinDist + dn.Distance;
if (dn.CurrNode.Equals(dest))
{
minLen = src.MinDist + dn.Distance;
isFind = true;
//break;
}
}
}
}
if (isFind)
{
foreach (GNode src in srcs)
{
tmpPath=FindMinx(src, dest, ref minLen, src.MinDist,src.Rank, "");
if (tmpPath != "")
{
dest.Path = src.Path + tmpPath;
dest.MinDist = minLen;
}
}
}
else
{
foreach (GNode goal in nextNodes)
{
minLen = -1;
foreach (GNode src in srcs)
{
if (minLen == -1) minLen = goal.MinDist;
tmpPath = FindMinx(src, goal, ref minLen, src.MinDist, src.Rank, "");
if (tmpPath != "")
{
//dn.CurrNode.BFind = true;
goal.Path = src.Path + tmpPath;
goal.MinDist = minLen;
}
}
}
FindMin(nextNodes, dest);
}
return isFind;
}
调用与显示结果
InitNodes();
string start, end;
if ((start=tbStart.Text.Trim()) == "") return;
if ((end=tbEnd.Text.Trim()) == "") return;
gnStart = ht[start] as GNode;
gnEnd = ht[end] as GNode;
if (gnStart == null || gnEnd == null)
{
MessageBox.Show("开始节点或结尾节点不正确！");
return;
}
gnStart.SetRank(null);
gnStart.BFind = true;
List arrGN=new List();
InitRank(arrGN);
FindMin(arrGN, gnEnd);
tbContent.Text = gnEnd.MinDist.ToString()+"\r\n"+gnEnd.Path;//在界面显示结果

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• package com.ids.globalPath.logic; import com.alibaba.fastjson.JSONObject; import lombok.Getter; import lombok.Setter; import java.util.*; /** * 有向 */ public class Graph { ... //的顶点集...

package com.hnu.globalPath;

import java.util.*;

public class DijSuccess {
public static int INFINITY = 99999;
public static Map<String, Vertex> vertexMap = new HashMap<String, Vertex>();

//边距
public static class Edge {
public Vertex dest;
public double cost;

public Edge(Vertex d, double c) {
this.dest = d;
this.cost = c;
}

}

//静态类：Vertex
public static class Vertex implements Comparable<Vertex> {
public String name;
public double dist;
public Vertex prev;
public int scratch;
public boolean visited;

public Vertex(String nm) {
this.name = nm;
adj = new ArrayList<Edge>();
reset();
}

public void reset() {
visited = false;
dist = DijSuccess.INFINITY;
}

@Override
public int compareTo(Vertex o) {
double c = o.dist;

return dist < c ? -1 : dist > c ? 1 : 0;
}

}

//dijkstra算法实现:找到从startName点出发，到其他所有点的最短路径:选取自己定义的终点
public static List<String> dijkstra(String startName, String endName) {
List<String> resList = new ArrayList<>();
PriorityQueue<Vertex> pq = new PriorityQueue<Vertex>();//该队列以权值升序排列，因为Vertex实现Comparable接口
Vertex start = vertexMap.get(startName);
start.dist = 0;
for (Vertex v : vertexMap.values())
int seenNum = 0;
while (!pq.isEmpty() && seenNum < vertexMap.size()) {
Vertex v = pq.remove();
if (v.name.equals(endName)) {   //恰好是自己要找的那个点
System.out.println(startName + "---->" + v.name+"距离:"+v.dist);
String res = getPreNames(v);
System.out.println(res);
resList = Arrays.asList(res.split(","));
break;
}
if (v.scratch != 0)
continue;
v.scratch = 1;
seenNum++;

for (Edge e : v.adj) {
Vertex w = e.dest;
double v_to_w = e.cost;
if (w.dist > v.dist + v_to_w) {
w.dist = v.dist + v_to_w;
w.prev = v;
pq.remove(w);//出队

}
}
}
while (pq.peek() != null) {
pq.poll();
}
return resList;
}

/**
* 得到最短路径所经历的路线
* seven
*
* @param v
* @return
*/
public static String getPreNames(Vertex v) {
String routeEndName = v.name;
StringBuilder sb = new StringBuilder();
while (v.prev != null) {
sb.append(v.prev.name + ",");
v = v.prev;
}
String reverseRoute = routeEndName + "," + sb.toString();
String[] reverseArray = reverseRoute.split(",");
StringBuilder route = new StringBuilder();

for (int i = 0; i < reverseArray.length; i++) {
route.append(reverseArray[reverseArray.length - 1 - i]);
route.append(",");
}
return route.substring(0, route.length() - 1);
}

public DijSuccess(){

}

public DijSuccess(Map<String, Vertex> vertexMap){
this.vertexMap=vertexMap;
}

public static void main(String[] args) {
Vertex v1 = new Vertex("1");
Vertex v2 = new Vertex("2");
Vertex v3 = new Vertex("3");
Vertex v4 = new Vertex("4");
Vertex v5 = new Vertex("5");
Vertex v6 = new Vertex("6");
Vertex v7 = new Vertex("7");
Vertex v8 = new Vertex("8");
Vertex v9 = new Vertex("9");
Vertex v10 = new Vertex("10");

vertexMap.put("1", v1);
vertexMap.put("2", v2);
vertexMap.put("3", v3);
vertexMap.put("4", v4);
vertexMap.put("5", v5);
vertexMap.put("6", v6);
vertexMap.put("7", v7);
vertexMap.put("8", v8);
vertexMap.put("9", v9);
vertexMap.put("10", v10);

List<String> list = dijkstra("6", "8");
System.out.println(list);
}

}


package com.ids.pojo;

import com.baomidou.mybatisplus.annotation.IdType;
import com.baomidou.mybatisplus.annotation.TableId;
import lombok.AllArgsConstructor;
import lombok.Data;
import lombok.NoArgsConstructor;

/**
* @author ：yuanhx
* @date ：Created in 17:09 2020/9/29
* @description：有向图属性
*/
@Data
@AllArgsConstructor
@NoArgsConstructor
public class Digrapph {
@TableId(type = IdType.AUTO)
//主键ID 参考路径id
private Integer id;
//有向图编码
private String digraphCode;
//从哪个区域来 对应区域area表id，指定从那个区域来
private Integer fromAreaId;
//标记/当前区域id 对应区域area表id，指定当前是哪个边界点id
private Integer markedAreaId;
//区域距离 两个区域间的跨度距离
private Double totleLenth;
}


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• 算法 单源 带权 时间复杂度 DFS 单源 带权 O(V2) (V为顶点个数) BFS 单源 无权 O(V) (V为顶点个数) Dijkstra 单源 带权 O(ElogV ) (E为边数量，V为顶点个数) Floyd 多源 带权 O(n3)
算法单源带权时间复杂度DFS单源带权O(V2) (V为顶点个数)BFS单源无权O(V) (V为顶点个数)Dijkstra单源带权O(ElogV ) (E为边数量，V为顶点个数)Floyd多源带权O(n3)
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• title: 最短路径算法 date: 2019-02-12 19:33:29 文章目录0. 前言1. 迪杰斯特拉 Dijkstra2. 弗洛伊德 Floyd3. 贝尔曼-福特 Bellman-Ford4. 参考 0. 前言 本文将介绍求解最短路径的三个经典算法：迪杰斯特拉 ...

title: 图的最短路径算法 date: 2019-02-12 19:33:29

文章目录
0. 前言1. 迪杰斯特拉 Dijkstra2. 弗洛伊德 Floyd3. 贝尔曼-福特 Bellman-Ford4. 参考

0. 前言
本文将介绍求解图最短路径的三个经典算法：迪杰斯特拉 Dijkstra、弗洛伊德 Floyd、贝尔曼-福特 Bellman-Ford。

1. 迪杰斯特拉 Dijkstra
迪杰斯特拉算法，用于解决 “给定起始点到其余点的最短路径” 问题，即单源最短路径算法。时间复杂度为

O

(

n

2

)

O(n^2)

。其本质是贪心。
算法步骤为：
用 G[n][n] 二维数组记录图数据；定义 dis[n] 一维数组记录起始点到各点的最短路径，初始化为 INF（可以是 int 的最大值）；visited[n] 一维数组记录该点是否给访问过（“访问过”表示已找到最短路径），初始化为 false。选择起始点 s ，令 dis[s] == 0。进行 n 次循环：
先从 dis[n] 数组的所有未访问结点中，找出最小值，并记录对应下标 p ，令 visited[p] = true。更新 p 所有邻接点在 dis[n] 数组中的值，更新规则为：dis[i] = min{dis[i], dis[p]+G[p][i]}
示例及图解：

核心伪代码如下：
int dis[n];
bool visited[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dis[i] = INF;
visited[i] = false;
}

dis[s] = 0;
for (int j = 0; j < n; j++) {
// 找 dis 数组中的最小值
int p = -1, min = INF;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (visited[i] == false && dis[i] < min) {
p = i;
min = dis[i];
}
}
visited[p] = true;

// 更新最小值所有邻接点的值
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (G[p][i] == INF || visited[i]) continue;
if (dis[i] > dis[p]+G[p][i]) {
dis[i] = dis[p] + G[p][i];
}
}
}

2. 弗洛伊德 Floyd
弗洛伊德是求解图中任意两点间最短路径的算法。时间复杂度为

O

(

n

3

)

O(n^3)

。其本质是动态规划。
算法步骤为：
任意两点间的最短距离用 d(x,y) 表示，初始值为两点相连边的权重。  遍历所有点 k，若任意两点 i 和 j，满足 d(i,j) > d(i,k) + d(k,j)，则 d(i,j) = d(i,k) + d(k,j)。
代码如下：
for (k = 1; k <= n; k++) {
for (i = 1; i <= n; i++) {
for (j = 1; j <= n; j++) {
if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) {
d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
}
}
}
}

算法分析：Floyd 的核心思想是动态规划。
我们先定义状态：d[k][i][j]，它表示经过前 k 个节点，点 i 到点 j 的最短路径。  d[k][i][j] 可以由 d[k-1][i][j] 转移而来：
假设已经求出，经过前 k-1 个节点，任意两点间的最短路径。那么，d[k][i][j] 就是 经过前 k-1 个节点 i 到 j 最短路径 与 经过第 k 个节点 i 到 j 最短路径 中的最小值。而经过第 k 个节点 i 到 j 最短路径，就是 i 到 k 的最短路径加上 k 到 j 的最短路径。最终，得出状态转移方程为：d[k][i][j] = min{d[k-1][i][j], d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j]}。  由于 d[k][x][x] 的状态仅由 d[k-1][x][x] 转移而来，所以我们可以进行优化：d[i][j] = min{d[i][j], d[i][k] + d[k][j]}。
3. 贝尔曼-福特 Bellman-Ford
贝尔曼-福特算法，也是一个单源最短路径算法，同时它还能处理负权边。算法时间复杂度为

O

(

N

E

)

O(NE)

，

N

N

是点的个数，

E

E

是边的个数。
算法步骤：
令源点为 s ，源点到任意点 x 的最短距离用 d(x) 表示。d(s) 初始值为0，其余初始值为无穷。  进行

N

−

1

N-1

次松弛操作，松弛操作即：遍历所有边，对于每一条边 e(i,j) ，如果存在 d(j) > d(i) + e(i,j) ，则令 d(j) = d(i) + e(i,j)。
代码如下：
for (i = 0; i < n-1; i++) {
for (j = 0; j < E; j++) {
if (d(e[j].to) > d(e[j].from) + e[j]) {
d(e[j].to) = d(e[j].from) + e[j];
}
}
}

算法分析：松弛操作的过程十分神奇，直觉告诉我它肯定是正确的，但具体原因我也是一头雾水。不过，我们可以知道，每次松弛操作后，至少能确定一个点的最短路径。所以，需要进行

N

−

1

N-1

次。
Bellman-Ford 如何解决 Dijkstra 不能解决的负权边问题呢？如下图，源点为 1 。若在 Dijkstra 中，第二次大循环时便会确定源点到点 3 的最短距离为 1 ；而在 Bellman-Ford 中，经过松弛操作便可以确定源点到点 3 的最短距离为 -1 。

Bellman-Ford 算法虽然能解决负权边的问题，但时间复杂度还是偏高，当用于稠密图时，是无法接受的。
因此，有人提出了 Bellman-Ford 的优化算法：SPFA。即第一次松弛操作，只需要对源点的邻接边进行即可；第二次松弛操作，只需要对与这些边相连点的邻接边进行即可；以此类推，直至所有边遍历完。这类似于 BSF 。
4. 参考
【原创】算法系列——四种最短路算法：Floyd，Dijkstra，Bellman-Ford，SPFA
展开全文
• 一，介绍本文实现带权最短路径算法。给定中一个顶点，求解该顶点到中所有其他顶点的最短路径 以及 最短路径的长度。在决定写这篇文章之前，在网上找了很多关于Dijkstra算法实现，但大部分是不带权的。不带权...
• 最短路径算法
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• 最短路径算法

2021-01-03 01:01:44
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• 求K条最短路径的必要性最短路径问题分为：单源最短路径所有顶点对间的最短路径共同的缺陷：这里的最短路径指两点间最短的那一条路径，不包括次短、再次短等路径。这样的最短路径问题比较狭义。在实际情况中，例如：...

...