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  • 关于最短距离算法最多莫...书上讲的Dijkstra算法看的不太懂,大致的意思是扩散求值的算法,即从源节点一步一步求最短路径的方法。即先找到源节点到其子节点的最短距离,然后再找源节点到其二级孙级点最短距离。如此...

    关于最短距离算法最多莫过于Dijkstra算法。能找到例子不多。书上能看到的代码大多数伪代码。

    而在网上看到多代码大多是C或者C++版本,而且大多没有提供完整的代码。C#的版本也找不到,故偶自己写了些代码(权值无负值).

    书上讲的Dijkstra算法看的不太懂,大致的意思是扩散求值的算法,即从源节点一步一步求最短路径的方法。即先找到源节点到其子节点的最短距离,然后再找源节点到其二级孙级点最短距离。如此一步一步直到扩散到目标节点为止。

    先看下我构造的节点图,如下,一开始我是想求A-K的最短路径

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    以下我构造的一些类和方法

    节点类:

    ///

    /// 节点类

    ///

    class GNode

    {

    public string Name ;

    public List LD;

    public int Rank;

    public int MinDist = 0;

    public string Path = "";

    public bool BFind = false;

    public GNode(string name) {

    this.Name = name;

    LD = new List();

    Rank = -1;

    }

    ///

    /// 设置节点级别

    ///

    ///

    public void SetRank(GNode parentNode)

    {

    if (Rank == -1)

    {

    if (parentNode != null)

    Rank = parentNode.Rank + 1;

    else

    Rank = 0;

    }

    }

    public int GetRank()

    {

    return Rank;

    }

    }

    边类

    ///

    /// 边类,此处为没有标明边的方向。

    ///

    class DNode

    {

    string Name;

    public int Distance;

    public GNode CurrNode;

    public DNode(string name,int dist) {

    this.Name = name;

    Distance = dist;

    CurrNode = ht[name] as GNode;

    }

    }

    初始化节点,以上代码中的ht为节点的Hashtable集合,节点信息都存放在Hashtable中

    private void InitNodes()

    {

    ///初始化

    ///

    ht= new Hashtable();

    GNode dnTemp = new GNode("A");

    ht.Add("A", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("B");

    ht.Add("B", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("C");

    ht.Add("C", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("D");

    ht.Add("D", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("E");

    ht.Add("E", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("F");

    ht.Add("F", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("G");

    ht.Add("G", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("H");

    ht.Add("H", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("I");

    ht.Add("I", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("J");

    ht.Add("J", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("K");

    ht.Add("K", dnTemp);

    dnTemp = new GNode("L");

    ht.Add("L", dnTemp);

    dnTemp = ht["A"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("B", 3));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("C", 5));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("D", 2));

    dnTemp = ht["B"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("A", 3));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("C", 4));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("E", 10));

    dnTemp = ht["C"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("A", 5));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("B", 4));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("D", 2));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("G", 6));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("F", 1));

    dnTemp = ht["D"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("A", 2));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("C", 2));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("H", 3));

    dnTemp = ht["E"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("B", 10));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("F", 4));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("I", 2));

    dnTemp = ht["F"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("C", 1));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("E", 4));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("K", 8));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("L", 2));

    dnTemp = ht["G"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("H", 8));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("C", 6));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("L", 2));

    dnTemp = ht["H"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("G", 8));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("D", 3));

    dnTemp = ht["I"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("J", 1));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("E", 2));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("K", 6));

    dnTemp = ht["J"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("I", 1));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("K", 9));

    dnTemp = ht["K"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("F", 8));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("I", 6));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("J", 9));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("L", 5));

    dnTemp = ht["L"] as GNode;

    dnTemp.LD.Add(new DNode("G", 2));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("F", 2));

    dnTemp.LD.Add(new DNode("K", 5));

    }

    初始化各节点的相对于源节点的级别

    ///

    /// 初始化点阵的Rank

    ///

    ///

    private void InitRank(List srcs)

    {

    List nextNode=new List();

    foreach (GNode src in srcs)

    {

    foreach (DNode dn in src.LD)

    {

    dn.CurrNode.SetRank(src);

    if (dn.CurrNode.Rank == (src.Rank + 1) && !nextNode.Contains(dn.CurrNode))

    nextNode.Add(dn.CurrNode);

    }

    }

    if (nextNode.Count > 0)

    InitRank(nextNode);

    }

    单点的最短路径递归方法

    ///

    /// 寻找起始节点到目标节点的最小路径,此处采用递归查找。目标节点固定,起始节点递归。

    ///

    /// 起始节点,为临时递归节点

    /// 查找路径中的目标节点

    /// 当前查找最小路径值,此值在递归中共享

    /// 当前节点以src节点的距离

    /// 源节点src的级别

    /// 查找中经过的路径

    ///

    private string FindMinx(GNode src,GNode dest,ref int minx,int startDist,int srcRank,string path)

    {

    // string[] paths=

    int sRank = src.Rank;// dest.GetRank();

    int tmpLength,tmpRank;

    string tmpPath=null;

    string goalPath="";

    string tmpPath1,tmpPath2,tmpNodeName;

    tmpPath1=","+path+",";

    tmpPath2=","+src.Path+",";

    foreach (DNode dn in src.LD)

    {

    tmpPath = path;

    dn.CurrNode.SetRank(src);

    tmpRank = dn.CurrNode.Rank;

    tmpNodeName = "," + dn.CurrNode.Name + ",";

    //扩散级别大于等于目标级别并且是未走过的节点。

    // had delete tmpRank >= srcRank

    //if (tmpRank >= srcRank && path.IndexOf(dn.CurrNode.Name) == -1 && src.Path.IndexOf(dn.CurrNode.Name)==-1)

    if (tmpRank > srcRank && tmpPath1.IndexOf(tmpNodeName) == -1 && tmpPath2.IndexOf(tmpNodeName) == -1)

    {

    tmpLength = dn.Distance + startDist;

    if (dn.CurrNode.Equals(dest))

    {

    if (minx > tmpLength)

    {

    minx = tmpLength;

    tmpPath += "," + dn.CurrNode.Name;

    goalPath = tmpPath;

    }

    else if (minx == tmpLength)

    {

    tmpPath += "," + dn.CurrNode.Name;

    goalPath = tmpPath;

    }

    }

    else

    {

    if (tmpLength < minx)//路程小于最小值,查询下个子节点

    {

    tmpPath += "," + dn.CurrNode.Name;

    tmpPath = FindMinx(dn.CurrNode, dest, ref minx, tmpLength, srcRank, tmpPath);

    if (tmpPath != "")

    goalPath = tmpPath;

    }

    }

    }

    }

    return goalPath;

    }       查找最短路径(Route)方法,此处同样使用了递归算法,即算出子节点的最短路径后再算子节点的子节点的最短路径

    private bool FindMin(List srcs, GNode dest)

    {

    string tmpPath;

    int destRank = dest.GetRank();

    int tempDestRank;

    int minLen=0;

    bool isFind = false;

    List nextNodes = new List();

    foreach (GNode src in srcs)

    {

    if (src.Equals(dest)) return false;

    foreach (DNode dn in src.LD)

    {

    tempDestRank = dn.CurrNode.Rank;

    if (tempDestRank == (src.Rank + 1))

    {

    if(!nextNodes.Contains(dn.CurrNode))

    {

    nextNodes.Add(dn.CurrNode);

    }

    dn.CurrNode.MinDist = src.MinDist + dn.Distance;

    if (dn.CurrNode.Equals(dest))

    {

    minLen = src.MinDist + dn.Distance;

    isFind = true;

    //break;

    }

    }

    }

    }

    if (isFind)

    {

    foreach (GNode src in srcs)

    {

    tmpPath=FindMinx(src, dest, ref minLen, src.MinDist,src.Rank, "");

    if (tmpPath != "")

    {

    dest.Path = src.Path + tmpPath;

    dest.MinDist = minLen;

    }

    }

    }

    else

    {

    foreach (GNode goal in nextNodes)

    {

    minLen = -1;

    foreach (GNode src in srcs)

    {

    if (minLen == -1) minLen = goal.MinDist;

    tmpPath = FindMinx(src, goal, ref minLen, src.MinDist, src.Rank, "");

    if (tmpPath != "")

    {

    //dn.CurrNode.BFind = true;

    goal.Path = src.Path + tmpPath;

    goal.MinDist = minLen;

    }

    }

    }

    FindMin(nextNodes, dest);

    }

    return isFind;

    }

    调用与显示结果

    InitNodes();

    string start, end;

    if ((start=tbStart.Text.Trim()) == "") return;

    if ((end=tbEnd.Text.Trim()) == "") return;

    gnStart = ht[start] as GNode;

    gnEnd = ht[end] as GNode;

    if (gnStart == null || gnEnd == null)

    {

    MessageBox.Show("开始节点或结尾节点不正确!");

    return;

    }

    gnStart.SetRank(null);

    gnStart.BFind = true;

    List arrGN=new List();

    arrGN.Add(gnStart);

    InitRank(arrGN);

    FindMin(arrGN, gnEnd);

    tbContent.Text = gnEnd.MinDist.ToString()+"\r\n"+gnEnd.Path;//在界面显示结果

    展开全文
  • package com.ids.globalPath.logic; import com.alibaba.fastjson.JSONObject; import lombok.Getter; import lombok.Setter; import java.util.*; /** * 有向 */ public class Graph { ... //的顶点集...

    package com.hnu.globalPath;
    
    import java.util.*;
    
    public class DijSuccess {
        public static int INFINITY = 99999;
        public static Map<String, Vertex> vertexMap = new HashMap<String, Vertex>();
    
        //边距
        public static class Edge {
            public Vertex dest;
            public double cost;
    
            public Edge(Vertex d, double c) {
                this.dest = d;
                this.cost = c;
            }
    
        }
    
        //静态类:Vertex
        public static class Vertex implements Comparable<Vertex> {
            public String name;
            public List<Edge> adj;
            public double dist;
            public Vertex prev;
            public int scratch;
            public boolean visited;
    
            public Vertex(String nm) {
                this.name = nm;
                adj = new ArrayList<Edge>();
                reset();
            }
    
            public void reset() {
                visited = false;
                dist = DijSuccess.INFINITY;
            }
    
            @Override
            public int compareTo(Vertex o) {
                double c = o.dist;
    
                return dist < c ? -1 : dist > c ? 1 : 0;
            }
    
        }
    
        //dijkstra算法实现:找到从startName点出发,到其他所有点的最短路径:选取自己定义的终点
        public static List<String> dijkstra(String startName, String endName) {
            List<String> resList = new ArrayList<>();
            PriorityQueue<Vertex> pq = new PriorityQueue<Vertex>();//该队列以权值升序排列,因为Vertex实现Comparable接口
            Vertex start = vertexMap.get(startName);
            start.dist = 0;
            for (Vertex v : vertexMap.values())
                pq.add(v);
            int seenNum = 0;
            while (!pq.isEmpty() && seenNum < vertexMap.size()) {
                Vertex v = pq.remove();
                if (v.name.equals(endName)) {   //恰好是自己要找的那个点
                    System.out.println(startName + "---->" + v.name+"距离:"+v.dist);
                    String res = getPreNames(v);
                    System.out.println(res);
                    resList = Arrays.asList(res.split(","));
                    break;
                }
                if (v.scratch != 0)
                    continue;
                v.scratch = 1;
                seenNum++;
    
                for (Edge e : v.adj) {
                    Vertex w = e.dest;
                    double v_to_w = e.cost;
                    if (w.dist > v.dist + v_to_w) {
                        w.dist = v.dist + v_to_w;
                        w.prev = v;
                        pq.remove(w);//出队
                        pq.add(w);//按优先级插在队头,先插入的在队头,依次往后
    
                    }
                }
            }
            while (pq.peek() != null) {
                pq.poll();
            }
            return resList;
        }
    
        /**
         * 得到最短路径所经历的路线
         * seven
         *
         * @param v
         * @return
         */
        public static String getPreNames(Vertex v) {
            String routeEndName = v.name;
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            while (v.prev != null) {
                sb.append(v.prev.name + ",");
                v = v.prev;
            }
            String reverseRoute = routeEndName + "," + sb.toString();
            String[] reverseArray = reverseRoute.split(",");
            StringBuilder route = new StringBuilder();
    
            for (int i = 0; i < reverseArray.length; i++) {
                route.append(reverseArray[reverseArray.length - 1 - i]);
                route.append(",");
            }
            return route.substring(0, route.length() - 1);
        }
    
    
        public DijSuccess(){
    
        }
    
        public DijSuccess(Map<String, Vertex> vertexMap){
            this.vertexMap=vertexMap;
        }
    
    
        public static void main(String[] args) {
            Vertex v1 = new Vertex("1");
            Vertex v2 = new Vertex("2");
            Vertex v3 = new Vertex("3");
            Vertex v4 = new Vertex("4");
            Vertex v5 = new Vertex("5");
            Vertex v6 = new Vertex("6");
            Vertex v7 = new Vertex("7");
            Vertex v8 = new Vertex("8");
            Vertex v9 = new Vertex("9");
            Vertex v10 = new Vertex("10");
    
    
            v1.adj.add(new Edge(v2, 103));
    
            v2.adj.add(new Edge(v1, 103));
            v2.adj.add(new Edge(v3, 103));
    
            v3.adj.add(new Edge(v2, 103));
            v3.adj.add(new Edge(v4, 111.50));
            v3.adj.add(new Edge(v5, 53.5));
    
            v4.adj.add(new Edge(v3, 111.5));
            v4.adj.add(new Edge(v8, 111.5));
    
            v5.adj.add(new Edge(v3, 53.5));
            v5.adj.add(new Edge(v6, 53.5));
    
            v6.adj.add(new Edge(v5, 53.5));
            v6.adj.add(new Edge(v7, 45));
    
            v7.adj.add(new Edge(v6, 45));
            v7.adj.add(new Edge(v8, 45));
    
            v8.adj.add(new Edge(v4, 111.50));
            v8.adj.add(new Edge(v7, 45));
            v8.adj.add(new Edge(v9, 54));
    
            v9.adj.add(new Edge(v8, 54));
            v9.adj.add(new Edge(v10, 54));
    
            v10.adj.add(new Edge(v9, 54));
    
    
            vertexMap.put("1", v1);
            vertexMap.put("2", v2);
            vertexMap.put("3", v3);
            vertexMap.put("4", v4);
            vertexMap.put("5", v5);
            vertexMap.put("6", v6);
            vertexMap.put("7", v7);
            vertexMap.put("8", v8);
            vertexMap.put("9", v9);
            vertexMap.put("10", v10);
    
            List<String> list = dijkstra("6", "8");
            System.out.println(list);
        }
    
    }
    
    
    package com.ids.pojo;
    
    import com.baomidou.mybatisplus.annotation.IdType;
    import com.baomidou.mybatisplus.annotation.TableId;
    import lombok.AllArgsConstructor;
    import lombok.Data;
    import lombok.NoArgsConstructor;
    
    /**
     * @author :yuanhx
     * @date :Created in 17:09 2020/9/29
     * @description:有向图属性
     */
    @Data
    @AllArgsConstructor
    @NoArgsConstructor
    public class Digrapph {
        @TableId(type = IdType.AUTO)
        //主键ID 参考路径id
        private Integer id;
        //有向图编码
        private String digraphCode;
        //从哪个区域来 对应区域area表id,指定从那个区域来
        private Integer fromAreaId;
        //标记/当前区域id 对应区域area表id,指定当前是哪个边界点id
        private Integer markedAreaId;
        //区域距离 两个区域间的跨度距离
        private Double totleLenth;
    }
    

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  • 算法 单源 带权 时间复杂度 DFS 单源 带权 O(V2) (V为顶点个数) BFS 单源 无权 O(V) (V为顶点个数) Dijkstra 单源 带权 O(ElogV ) (E为边数量,V为顶点个数) Floyd 多源 带权 O(n3)
    算法单源带权时间复杂度
    DFS单源带权O(V2) (V为顶点个数)
    BFS单源无权O(V) (V为顶点个数)
    Dijkstra单源带权O(ElogV ) (E为边数量,V为顶点个数)
    Floyd多源带权O(n3)
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  • 最短路径算法

    2021-01-30 17:43:43
    title: 最短路径算法 date: 2019-02-12 19:33:29 文章目录0. 前言1. 迪杰斯特拉 Dijkstra2. 弗洛伊德 Floyd3. 贝尔曼-福特 Bellman-Ford4. 参考 0. 前言 本文将介绍求解最短路径的三个经典算法:迪杰斯特拉 ...

    title: 图的最短路径算法
    date: 2019-02-12 19:33:29


    0. 前言

    本文将介绍求解图最短路径的三个经典算法:迪杰斯特拉 Dijkstra、弗洛伊德 Floyd、贝尔曼-福特 Bellman-Ford。

    1. 迪杰斯特拉 Dijkstra

    迪杰斯特拉算法,用于解决 “给定起始点到其余点的最短路径” 问题,即单源最短路径算法。时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。其本质是贪心

    算法步骤为:

    1. G[n][n] 二维数组记录图数据;定义 dis[n] 一维数组记录起始点到各点的最短路径,初始化为 INF(可以是 int 的最大值);visited[n] 一维数组记录该点是否给访问过(“访问过”表示已找到最短路径),初始化为 false
    2. 选择起始点 s ,令 dis[s] == 0
    3. 进行 n 次循环:
      1. 先从 dis[n] 数组的所有未访问结点中,找出最小值,并记录对应下标 p ,令 visited[p] = true
      2. 更新 p 所有邻接点在 dis[n] 数组中的值,更新规则为:dis[i] = min{dis[i], dis[p]+G[p][i]}

    示例及图解:

    1

    2

    3

    4

    5

    核心伪代码如下:

    int dis[n];
    bool visited[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dis[i] = INF;
        visited[i] = false;
    }
    
    dis[s] = 0;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        // 找 dis 数组中的最小值
        int p = -1, min = INF;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (visited[i] == false && dis[i] < min) {
                p = i;
                min = dis[i];
            }
        }
        visited[p] = true;
    
        // 更新最小值所有邻接点的值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (G[p][i] == INF || visited[i]) continue;
            if (dis[i] > dis[p]+G[p][i]) {
                dis[i] = dis[p] + G[p][i];
            }
        }
    }
    

    2. 弗洛伊德 Floyd

    弗洛伊德是求解图中任意两点间最短路径的算法。时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。其本质是动态规划

    算法步骤为:

    1. 任意两点间的最短距离用 d(x,y) 表示,初始值为两点相连边的权重。

    2. 遍历所有点 k,若任意两点 i 和 j,满足 d(i,j) > d(i,k) + d(k,j),则 d(i,j) = d(i,k) + d(k,j)

    代码如下:

    for (k = 1; k <= n; k++) {
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            for (j = 1; j <= n; j++) {
                if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) {
                    d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
                }
            }
        }
    }
    

    算法分析:Floyd 的核心思想是动态规划。

    1. 我们先定义状态:d[k][i][j],它表示经过前 k 个节点,点 i 到点 j 的最短路径。

    2. d[k][i][j] 可以由 d[k-1][i][j] 转移而来:

      • 假设已经求出,经过前 k-1 个节点,任意两点间的最短路径。
      • 那么,d[k][i][j] 就是 经过前 k-1 个节点 i 到 j 最短路径经过第 k 个节点 i 到 j 最短路径 中的最小值。
      • 而经过第 k 个节点 i 到 j 最短路径,就是 i 到 k 的最短路径加上 k 到 j 的最短路径。
      • 最终,得出状态转移方程为:d[k][i][j] = min{d[k-1][i][j], d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j]}
    3. 由于 d[k][x][x] 的状态仅由 d[k-1][x][x] 转移而来,所以我们可以进行优化:d[i][j] = min{d[i][j], d[i][k] + d[k][j]}

    3. 贝尔曼-福特 Bellman-Ford

    贝尔曼-福特算法,也是一个单源最短路径算法,同时它还能处理负权边。算法时间复杂度为 O ( N E ) O(NE) O(NE) N N N 是点的个数, E E E 是边的个数。

    算法步骤:

    1. 令源点为 s ,源点到任意点 x 的最短距离用 d(x) 表示。d(s) 初始值为0,其余初始值为无穷。

    2. 进行 N − 1 N-1 N1 次松弛操作,松弛操作即:遍历所有边,对于每一条边 e(i,j) ,如果存在 d(j) > d(i) + e(i,j) ,则令 d(j) = d(i) + e(i,j)

    代码如下:

    for (i = 0; i < n-1; i++) {
        for (j = 0; j < E; j++) {
            if (d(e[j].to) > d(e[j].from) + e[j]) {
                d(e[j].to) = d(e[j].from) + e[j];
            }
        }
    }
    

    算法分析:松弛操作的过程十分神奇,直觉告诉我它肯定是正确的,但具体原因我也是一头雾水。不过,我们可以知道,每次松弛操作后,至少能确定一个点的最短路径。所以,需要进行 N − 1 N-1 N1 次。

    Bellman-Ford 如何解决 Dijkstra 不能解决的负权边问题呢?如下图,源点为 1 。若在 Dijkstra 中,第二次大循环时便会确定源点到点 3 的最短距离为 1 ;而在 Bellman-Ford 中,经过松弛操作便可以确定源点到点 3 的最短距离为 -1 。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-WK22BmN2-1611931391795)(图的最短路径算法/6.png)]

    Bellman-Ford 算法虽然能解决负权边的问题,但时间复杂度还是偏高,当用于稠密图时,是无法接受的。

    因此,有人提出了 Bellman-Ford 的优化算法:SPFA。即第一次松弛操作,只需要对源点的邻接边进行即可;第二次松弛操作,只需要对与这些边相连点的邻接边进行即可;以此类推,直至所有边遍历完。这类似于 BSF 。

    4. 参考

    【原创】算法系列——四种最短路算法:Floyd,Dijkstra,Bellman-Ford,SPFA

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