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  • 多目标优化模型
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    2019-10-23 15:19:02

    一、成都电子科技大学

    问题

    A题 太阳影子定位

    如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
    1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
    2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
    3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
    4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
    如果拍摄日期未知,你能否根据视频确定出拍摄地点与日期?

    分许

    1摘要

    首先总结所用的算法、模型与主要知识点。简述解题思路。

    2、问题重述

    通过简单的对题目的描述,分类概括我们需要解决的所有问题。(本篇文章直接把论文的问题复制粘贴到问题重述)

    3、问题分析

    (1)、首先对题目中提到的技术进行了简单的描写(名称、作用),提出问题的难点所在(及我们需要解决的问题“根据所得到的目标数据计算出视频拍摄的地点以及时间”)。
    (2)、本篇文章建立的两个数学模型
    ①不同位置下,物体影长变化规律的数学模型。
    ②不同时刻下,物体影长变化规律的数学模型。
    (3)、然后对所有问题分开分析
    ①叙述自己对问题的分析。
    ②给出自己的解题步骤。

    4、模型建立

    (1)影子长度变化的结构方程模型

    求影子长度首先要求出太阳高度角→赤纬角的计算公式→太阳高度角→得出影长的最终计算公式

    (2)影子长度关于参数的变化规律

    由第一问得到的三个公式可知,影子长度 L 与纬度、日数 N、时间t0 三个参数至今有关系,(由于经度影响时区的确定,进而影响当地时刻的确定,故文章把经度对影子长度的影响可转化为区时对影子的影响)所以我们把问题分成三个方向
    ①纬度与日数 N一定,影子长度 L随时间t0 的变化规律
    ②纬度与时间t0 一定,影子长度 L随日数 N的变化规律
    ③日数 N与时间t0 一定,影子长度 L随纬度的变化规律

    对每一个模型,总共进行三部:①首先仔细叙述公式得到的过程。②得到公式并带入数据,用matlab或者python画出图形。③对图形的得到的结果进行仔细的分析,并得出结论。

    (3)根据影子顶点坐标确定直杆位置的多目标优化模型的建立

    函数1的确定:利用附件1(即问题一所用数据),计算出全球任何一点第i个时刻与影长之间的关系。(提前设定好杆儿的高度)
    函数2的确定:确定影子顶点坐标与影长的关系式。
    联立函数1和函数2,最后确定影子顶点坐标和影长之间的关系。
    模型的求解:通过给定限定条件,不断缩小范围。
    第一次先打氛围搜索,步长较长。然后缩小范围,降低步长,得到更精准的结果。通过函数方程的求解,得出数据,画出赶场和经纬度之间的关系。得到的多组数据,计算出平均值。
    结果验证:对于根据直杆影子顶点坐标数据所得到的其所处可能位置点(经纬度坐标), 我们对结果的可靠性进行了验证。通过比较影子方向夹角的实验值和真实值之间的大小关系,得出最后的结论。

    (4)基于曲线拟合的视频拍摄地点确定的优化模型

    对于视频中的杆长,作者使用ps软件,得到视频中直杆底端到顶端的横纵坐标像素值及各个时刻直杆影子顶点的横纵坐标像素值。忽视角度问题,通过摄影机坐标变换,得到杆长的实际值。
    曲线拟合:首先利用曲线拟合得到的北京时刻和直杆影长之间的关系,有第二问得到的结果可是,影长最短在当地时间中午12点,在曲线最低点时北京时刻为12点多,利用时间差,通过地区和时间差之间的关系,得出拍摄点的经度值。最后利用题目三得到的结论,带入数值,即可求得纬度值。

    优点:文章建立的多目标优化模型可以解出题目中没有给出的得直杆长度,消除了直杆长度不确定对模型结果的影响。同时还通过输入不同杆长,得到更多的数据,求取平均值,使得到的结果更具有真实性。

    盲区:不懂他们如何使用matlab实现循环搜索。

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    千次阅读 2022-04-13 15:47:43
    一、多目标优化的概念 单目标优化的情况下,只有一个目标,任何两解都可以依据单一目标比较...在这个情况下,一般可以把多目标优化问题写成以下数学模型: 没有转化为单目标问题的帕累托模型:优化的结果是...

    一、多目标优化的概念

            单目标优化的情况下,只有一个目标,任何两解都可以依据单一目标比较其好坏,可以得出没有争议的最优解。

            多目标化与传统的单目标优化相对。多目标优化的概念是在某个情景中在需要达到多个目标时,由于容易存在目标间的内在冲突,一个目标的优化是以其他目标劣化为代价,因此很难出现唯一最优解,取而代之的是在他们中间做出协调和折衷处理,使总体的目标尽可能的达到最优。

            在这个情况下,一般可以把多目标优化问题写成以下数学模型:

    \begin{array}{cc} \min _{x} & F(x)=\left[f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{K}(x)\right] \\ & \text { s.t. } g_{i}(x) \geq 0, i \in[1, M] \\ & h_{j}(x)=0, j \in[1, L] \end{array}

            没有转化为单目标问题的帕累托模型:优化的结果是帕累托前沿上 (Pareto Front)取得一个最优解的集合,并选择所需要的解来优化资源配置。由于大部分社会行动都存在一系列不同的目标,多目标优化的思路目前广泛应用在工程设计,基因工程,互联网推送等等领域。

    二、常用模型

    1、线性加权法

            线性加权法是多目标优化中使用比较广泛的方法,根据的重要程度,设定权重进行线性加权,将多个目标表示成:

    \begin{gathered} \min _{x} \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k} f_{k}(x) \\ \text { s.t. } g_{i}(x) \geq 0, i \in[1, M] \\ \quad h_{j}(x)=0, j \in[1, L] \end{gathered}

            从而转换为单目标的优化问题。

            线性加权模型,其优点在于实现简单,仅用缩放后的值来代表原目标,求解也相对比较容易。其缺陷在于刻画目标和解不够精细,例如响应时间和开销,这两个目标的单位分别是时间和金钱,用先缩放再加权的方法把它们直接相加,对原始目标的信息有一定的丢失和遗漏。 另外,缩放过程需要提前知道目标的信息,如最大值、最小值或者平均值,而这些信息往往很难确定。而制定权重过程需要依据的用户、供应商对不同目标的偏好程度也很难提前获知。即使在已了解偏好程度的情况下,如何准确地制定权重仍然是棘手的问题。例如,将响应时间的权重设为0.2还是0.21,对于用户来说可能没有大的区别,但是对最优解有不可忽略的影响。因此,采用线性加权模型虽然简便,但解的优劣程度难以保证。

    2、主要目标法 

            除了上面介绍的线性加权法,主要目标法(也称\varepsilon-约束方法), 是一个应用广泛的算法。

    \begin{gathered} \min _{x} f_{p}(x) \\ \text { s.t. } f_{k}(x) \leq \epsilon_{k}, k=1, \ldots, K, \text { 且 } k \neq p \\ g_{i}(x) \geq 0, i \in[1, M] \\ h_{j}(x)=0, j \in[1, L] \end{gathered}

            \varepsilon-约束方法从K个目标中选择最重要的子目标作为优化目标,其余的子目标作为约束条件。每个子目标,通过上界\epsilon_{k}来约束,设上述约束条件得到的可行域为\hat{D}。将原多目标优化问题转换成单目标优化问题,之后即可用单目标优化的方法来求解该问题。

            一般情况下,界限值可以取子目标函数的上界值:

    \min \left\{f_{k} \mid f_{k}(x), k=1, \ldots, K \text {, and } k \neq p\right\} \leq \epsilon_{k}

            其优点是简单易行,保证在其他子目标取值允许的条件下,求出主要目标尽可能好的目标值。缺点是如果\epsilon_{k}给的不合适的话,新的可行域\hat{D}可能为空集。

     3、逼近目标法

            逼近目标法是让决策者提出一个目标值f^{0}=\left(f_{1}^{0}, f_{2}^{0}, \ldots, f_{K}^{0}\right),使得每个目标函数f_{k}(x)都尽可能的逼近对应的目标值:

    \begin{array}{rlr} L\left(f(x), f^{0}\right) & =\quad\left\|f(x)-f^{0}\right\|_{2}^{\lambda} \\ & =\sum_{k=1}^{K} \lambda_{k}\left(f_{k}(x)-f_{k}^{0}\right)^{2}, \lambda \in \Lambda^{++} \end{array}

            逼近目标法和机器学习中的损失函数类似,是一个单目标优化问题,可以通过经典的方法进行求解。这里求解的最优解和有效解及弱有效解没有直接的联系,逼近目标法反映了决策者希望的目标值。 

    4、帕累托最优

            帕累托(Pareto)是多目标优化中经典的模型,并且它完全基于原始数据,没有将问题转化成单 目标问题分析。帕累托模型由于不需要对目标进行缩放和归一化,也不需要设定或者引入新的参数、变量(如权重、界限值),直接基于原始目标函数和值进行操作,可以适用于任何目标、任何函数。它不会丢失目标函数和解的信息,解的优劣可以较好保证。但帕累托模型的最优解是一个集合,其中包含不止一个最优解,因此要穷尽并求出所有的帕累托最优解有一定的难度。

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    多目标最优化模型及其算法应用

    一.大纲
    1. 多目标最优化模型概论
    2. 传统最优化解决方法
    3. 现代最优化算法
    4. 样例示范
    二.多目标最优化模型概论

    1.对于多余一个的目标函数在给定区域内的最优化问题称为多目标优化问题。

    ​ 例如:在给定条件下,设计一款汽车,既要满足安全(重量大),又要满足经济(耗油量小)即为多目标最优化问题。

    ​ 该模型通常可总述为:
    在这里插入图片描述


    ​ 其中x=(x1,x2,x3…xn)所在的空间Ω称为决策空间(可行解空间),向量F(x)所在的空间为目标空间

    ​ 不同于单目标优化,在多目标优化中,各目标函数之间是相互冲突的。导致不一定存在在所有目标函数上都是最优解,某个解可能在一个目标函数中是最优的,但在另一个目标函数中是最差(判断多目标优化问题的关键)

    ​ 因此,多目标最优化问题得到的通常是一个解集,他们之间不能简单地比较优劣,这样的被称为非支配解(有效解),Pareto最优解

    2.多目标优化相关概念:
    • 定义一

      向量支配对于最小化问题,一个向量u=(u1,u2…un)支配另一个向量v=(v1,v2…vn),当且仅当

      ui≤vi

    • 定义二

      如果Ω中没有支配(优于)x的解,则称x是该问题的一个Pareto最优解(非劣解,有效解,非支配解)

      Pareto最优解的全体组成的集合称为Pareto最优解集,Pareto最优解集在目标函数空间的像集称为Pareto Front(Pareto 前沿)

      在这里插入图片描述

      ​ 如上图所示,A,B两点中是一个最优解,他们相应的自变量向量没有被其他任何的自变量向量所支配,也就意味着在任何一个目标上他们都不能被其他个体所支配。这样的解就是Pareto最优解。

      ​ 由定义一和定义二可知C点优于D点,C点优于F点,C点优于E点

    三.传统最优化解决方法(点到点优化)
    1.传统的处理多目标优化问题方法主要分为
    • 主要目标法
    • 分层序列法
    • 加权法
    • 约束法
    • 极小极大法
    • 理想点法

    其共同特点都是通过各种方式将多目标优化问题转化为单目标优化问题,然后应用单目标优化方法进行求解

    ①主要目标法

    从m个目标中,确定一个为主要目标,其余目标作为次要目标,根据实际情况确定适当的界限值,把次要目标转化为约束条件来处理。可总述为下列模型在这里插入图片描述

    ②分层序列法

    把m个目标,按照重要程度排一个次序。不妨重要程度次序为f1(x),f2(x)…fn(x),在这里插入图片描述

    先求问题1:

    得到最优解为x(1),以及最优值为f1*

    再求问题2:

    在这里插入图片描述

    得到最优解为x(2),以及最优值为f2*

    再求问题3:

    得到最优解为x(3),以及最优值为f3*

    以此类推直至求出问题m,所得到的解[x1,x2…]记为最优解
    在这里插入图片描述

    ③加权法

    对m个目标,按照重要程度给予适当的权系数ωi≥0,且满足∑ωi=1,即可将多优化问题转化为单一目标优化问题

    在这里插入图片描述

    所得到的解[x1,x2…]记为最优解

    ④理想点法

    分别先求解m个单目标问题,令

    在这里插入图片描述

    即可转化为单目标问题

    在这里插入图片描述

    其中权系数ωi≥0,且满足∑ωi=1,所得到的解[x1,x2…]记为最优解

    四.现代最优化算法(基于精英策略的快速非支配排序遗传算法)

    1.算法框图

    img

    Pareto等级:在一组解中,非支配解Pareto等级定义为1,将非支配解从解的集合中删除,剩下解的Pareto等级定义为2,依次类推,可以得到该解集合中所有解的Pareto等级。示意图如图1所示。

    在这里插入图片描述

    对同一等级的点,通过拥挤度进行划分

    拥挤度:

    在这里插入图片描述

    拥挤度示意图

    精英保留策略(根据拥挤选择算子)选择出较优的新的N个点
    拥挤选择算子:

    在NSGA-II中,定义拥挤比较算子,假设i,j分别表示种群P的两个个体。满足下列条件之一

    1).irank<jrank

    2).irank=jrank,且di>dj

    即可称个体i优于个体j

    在这里插入图片描述

    确定算法选项

    % 最优个体系数paretoFraction
    % 种群大小populationsize
    % 最大进化代数generations
    % 停止代数stallGenLimit
    % 适应度函数偏差TolFun
    调用matlab库函数gamultiobj即可求解。
    五.样例示范

    在这里插入图片描述

    建立模型

    在这里插入图片描述

    程序求解

    所得Pareto最优解为

    10932.6429473119 14.6295387130128
    14605.3404613523 18.2262297321479
    12068.3433707838 15.1109915229892
    12429.0573504143 15.4986606722887
    14532.6593388757 18.1842935253039
    11131.9589772932 14.7011627210495

    12231.6101793012 15.3304399641518
    14601.9178238651 18.2252135575028
    12925.9261417602 15.9920094703867

    对应x为

    267.971023073048 51.3565915834627 455.633097995301 125.585979212038
    252.525614499897 239.427658309710 457.418751888526 128.750437678343
    254.389944994419 171.851099214132 358.767031591140 127.301254104520
    254.132868382987 186.732012546206 363.703424720114 127.760522787065
    262.449535283310 233.128879659259 454.068085989463 128.340668641702
    265.164827238227 73.5469917676312 436.961892621559 126.130582721401
    255.486999974281 230.161706396739 363.122909473250 128.882635799297
    256.416538867289 200.269620434745 381.067408667307 128.202939645206
    261.153624157576 113.996154755591 403.634395120644 126.983182335415

    252.260342156546 239.240158309710 457.928750235712 128.526159519777
    253.531045975866 212.059789018681 363.552109061208 127.628185206671

    pateto front 图

    在这里插入图片描述

    源代码:

    %[x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
    
    clear;clc;
    
    fitnessfcn=@fun;
    nvars=4;
    A=[0.015 0.02 0.018 0.011
       13 13.5 14 11.5
       -13 -13.5 -14 -11.5];
    b=[20;14400;-12000];
    Aeq=[];
    beq=[];
    lb=[0 0 150 0];
    ub=[270 240 460 130];
    options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',200,'generations',300,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto);
    [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);
    
    function y=fun(x)
    y(1)=-10.*x(1)+-20.*x(2)+-12.*x(3)+-14.*x(4);
    y(2)=0.015.*x(1)+0.02.*x(2)+0.018.*x(3)+0.011.*x(4);
    end
    

    参考文献:

    1.数学建模算法及其应用(第二版)

    2.博客https://blog.csdn.net/weixin_47102975/article/details/108253584,

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  • 多目标优化问题概述(基本模型和概念)

    千次阅读 多人点赞 2020-05-01 17:36:58
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    多目标优化问题(MOP)概述

    1.数学模型

           求解 MOP 的主要目的是:在给定的决策空间内,尽可能找到一系列满足问题约束条件的最优解集,为解决 MOP 的决策者提供相关数据。以最小化的 MOP 为例,其数学模型为:
    m i n F ( x ) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ f m ( x ) ) T s . t                x ∈ Ω ⊆ R n minF(x)=\left( f_1(x),f_2(x),\cdots f_m(x)\right)^T \\ s.t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\inΩ \subseteq ℛ^n minF(x)=(f1(x),f2(x),fm(x))Ts.txΩRn

           其中 x = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) T {x=\left(x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},...x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \left) \mathop{{}}\nolimits^{{T}}\right. \right. } x=(x1,x2,...xn)T n n n维决策空间的一个向量, m m m是目标函数的规模, Ω Ω Ω是决策空间( decision space ), f i ( x ) {f\mathop{{}}\nolimits_{{i}} \left( x \right) } fi(x)是多目标优化问题的目标函数。 F ( x ) : Ω → Θ ⊆ R m ( m ≫ 2 ) {F \left( x \left) : \Omega \xrightarrow {} \Theta \subseteq R\mathop{{}}\nolimits^{{m}} \left( m \gg 2 \right) \right. \right. } F(x):Ω ΘRm(m2)是将决策空间 Ω Ω Ω映射到 m m m目标空间(objective space ) Θ \Theta Θ 中的映射函数。
           简单来说一个目标函数 F ( x ) F(x) F(x)包含多个目标子函数 f i ( x ) f_i(x) fi(x),实际求解目标函数是由求各子目标函数体现的,这正是与单目标优化问题的区别之处。


    2. 一些概念介绍

    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200501141327289.png?x-oss-process=im
           说明:

    1. 支配(dominate)也译占优
    2. 非支配解/Pareto最优解/非劣解:无法进行简单相互比较的解,不存在比它更优越解的解,也就是说该解体现了若干 f i ( x ) f_i(x) fi(x)的最优(不是所有 f i ( x ) f_i(x) fi(x)的最优)。
      在单目标优化问题中,通常最优解只有一个,而且能用比较简单和常用的数学方法求出其最优解。然而在多目标优化问题中,各个目标之间相互制约,可能使得一个目标性能的改善往往是以损失其它目标性能为代价,不可能存在一个使所有目标性能都达到最优的解。
    3. Pareto集:一个MOP,对于一组给定的最优解集,如果这个集合中的解是相互非支配的,也即两两不是支配关系,那么则称这个解集为Pareto集(Pareto Set )。
      即各Pareto最优解的集合。
    4. pareto排序:对当前种族非支配个体分配次序,然后移除再对非支配个体分配次序,对剩下的点重复以上定级过程,直到所有点都定级完成,也就是对整个种族进行等级排序。

    3. 求解思想

           在存在多个Pareto最优解的情况下,如果没有关于问题的更多的信息,那么很难选择哪个解更可取,因此所有的Pareto最优解都可以被认为是同等重要的。由此可知,对于多目标优化问题,最重要的任务是找到尽可能多的关于该优化问题的Pareto最优解。因而,在多目标优化中主要完成以下两个任务:

    1. 找到一组尽可能接近Pareto最优域的解。
    2. 找到一组尽可能不同的解。

    第一个要求算法要保证可靠的收敛性,第二个要求算法保证充足的分布性(包括多样性和均匀性)。即要求求得尽可能均匀分布的pareto最优解集,然后根据不同的设计要求和意愿,从中选择最满意的设计结果。多目标优化问题最终获得的解实际是所有有效解中的一个解或确定全部非支配解。

    4. 部分算法介绍

           现有的多目标优化算法种类繁多,这里根据核心思想进行以下分类(选取部分):

    核心思想算法
    基于Pareto支配关系NSGA,NSGAⅡ,GrEA,SDR
    基于维持算法多样性DMI,SDE,DIR
    基于聚合函数MOEA/D,DBEA-eps,NSGAⅢ
    基于指标(Indicator)Hypervolume,HypE,R2
    基于参考集TAA,Two-Arch2,TC-SEA
    • 进化算法(EA),遗传算法(GA)
             该算法源自于解决单目标优化问题,也是后来解决多目标问题算法的发展基础了。在单目标优化问题中,传统的优化算法,如最速下降法、拟牛顿法、牛顿法、共轭梯度法等,通常需要函数的导数信息。然而在实际生活中,很多问题无法求出导数,因此,传统的优化方法就难以求出问题的全局最优解甚至是无法求出解。在这个背景下,进化算法(Evolutionary Algorithm)被提出,EA 是一种基于种群搜索的启发式算法,通过模仿生物进化来寻找最优解集。
             GA是进化算法的一个分类,两者之间非常相似。它们的思想都是借鉴于生物学家达尔文所著《进化论》中的基本观点:适者生存、优胜劣汰的自然选择生物机理。其主要特点是以种群为基础,利用种群中个体之间的信息交流和特定自适应搜索策略寻找更适应环境的个体,非常适合处理极其复杂的非线性问题。
             进化算法主要是对种群内的个体进行编码,然后利用繁殖机制产生后代模拟自然界中的生物进化,它不受问题本身的约束,不要求问题本身是否连续、可导、单峰还是多峰,也不要求问题本身是否离散还是连续(这就是启发式算法的魅力~)。进化算法能从 NP-Hard 问题中以概率的找到全局最优解。除此之外,由于种群中有多个个体,所以进化算法也可以设计成大规模并行算法。过程如下:
      在这里插入图片描述
    • NSGAⅡ算法
             在众多多目标优化的遗传算法中,NSGAⅡ(Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm)算法是影响最大和应用范围最广的一种多目标遗传算法。该算法主要优点如下三点:
              ① 提出了快速非支配的排序算法,降低了计算非支配序的复杂度,使得优化算法的复杂度由原来的 m N 3 mN^3 mN3降为 m N 2 mN^2 mN2
              ②引入了精英策略,扩大了采样空间。将父代种群与其产生的子代种群组合在一起,共同通过竞争来产生下一代种群,这有利于是父代中的优良个体得以保持,保证那些优良的个体在进化过程中不被丢弃,从而提高优化结果的准确度。并且通过对种群所有个体分层存放,使得最佳个体不会丢失,能够迅速提高种群水平。
              ③引入拥挤度和拥挤度比较算子,这不但克服了NSGA算法中需要人为指定共享参数的缺陷,而且将拥挤度作为种群中个体之间的比较准则,使得准Pareto域中的种群个体能均匀扩展到整个Pareto域,从而保证了种群的多样性。
             流程如下:
      在这里插入图片描述

           所谓基于Pareto支配关系,就是对当前获取点的优劣排序,以用于接下来 的淘汰和进化,不同的支配算法对此制定的规则不同,NSGAⅡ 是通过快速非支配排序算子对解集进行排序,然后利用个体拥挤度距离算子和精英策略选择算子进行进化。GrEA 算法基于网格,通过边界支配和边界差异增大算法的选择压力(选择压力影响点的进化方向,即影响最后的Pareto解),SDR是一种增强的支配关系,它在每一个定制的领域中保持一个收敛性最好的个体,平衡了算法的收敛性和多样性。

    • DMI算法,SDE算法,DIR算法
             在研究多目标优化刚开始的时候,主要针对研究种群的收敛性,而很少考虑维持种群多样性(多样性很重要!!),所以产生了一些针对多样性的算法。DMI 机制根据种群的分布性决定是否激活维持种群多样性的策略。上文说的GrEA算法也引入网格排序、网格拥挤度和网格坐标距离等机制,以此来维持解的均匀性。SDE 算法通过比较邻居解与当前解的分布以及收敛的信息,决定如何移动其它解的位置,这个算法可以整合到NSGAⅡ框架中来形成完整的求解算法,DIR是一种指标,可以用来评估解集的多样性。

    • MOEA/D算法,DBEA-eps算法,NSGAⅢ算法
             MOEA/D算法的思想就是“分解”,分解就是把多目标问题分成多个单目标子问题进行求解,那么怎么分呢?就要用到聚合函数,顾名思义,将多个单目标子指标聚合成一个大指标来衡量多目标问题。MOEA/D算法提出了3种聚合函数:权重求和(Weighted Sum)函数、切比雪夫(Tchebycheff )函数、边界交叉惩罚(penalty-based boundary intersection)函数。每一个子问题都会根据自己权重向量划分邻居,提高了邻居解的信息共享性,并且由于显而易见地降低了计算复杂性(把复杂多目标转成简单单目标,必须简单了啊)。值得一提,权重求和的考虑在多目标优化问题研究的开始就有提出(毕竟直觉上就可以这样处理),像RWGA,VEGA都是基于线性加权的多目标遗传算法,VEGA也算是开启多目标遗传算法研究的大门了。权重设置现如今有三种:固定权重,随机权重和适应性权方法,后两者方法用来更全面利用遗传算法的搜索功能。
             在MEDA/D的框架上,又有很多改进算法被提出。DBEA-eps采用系统采样法产生参考向量,并且用 ε { \varepsilon } ε维持收敛性和多样性的平衡。NSGAⅢ基于参考点和非支配排序,首先将种群内个体的进行非支配排序,然后借助参考点集和归一化函数从最后一层非支配层选取个体进入下一代。NSGAⅢ 算法采用非支配排序策略增大算法的选择压力,通过参考点集将目标空间划分来维持种群的多样性。

    • Hypervolume,HypE,R2
             指标可以用来评价一个多目标进化算法的好坏,主要从算法的收敛性能以及算法取得的最优解集在目标空间分布是否均匀两个方面来度量。比如反转世代距离(IGD)指标
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              I G D IGD IGD指标其实就是计算算法求得最优Patero解集 P P P,与真实Patero解集 P t r u e P_{true} Ptrue的平均最小欧式距离( ∣ P t r u e ∣ |P_{true}| Ptrue P t r u e P_{true} Ptrue元素个数)。 P t r u e P_{true} Ptrue也可以看作是从PF上均匀选取的参考点集。显然 I G D IGD IGD需要真实Patero解集,处理实际问题时有局限性。
             那么利用指标,就可以指导点的进化过程。如超体积(Hypervolume)指标:

    在这里插入图片描述
           公式很简单,就是测量算法获得的非支配解集中各个体 i i i与参考点构成的超体体积。超体积 ( H V ) (HV) (HV)可以度量非支配解集所支配区域的尺寸大小,因此超体积越大,对应 I G D IGD IGD指标越小。理论证明,用 H V HV HV指标衡量解集的优劣性,一定能够找到真实 Pareto PF面。那么通过参考点,在保证超体积的同时,就可以完成对点的进化指导 。
            H V HV HV不依赖真实的Pareto解集,适用于实际问题。但计算非常耗时,尤其是高维情况下。多目标超体积估值算法(HypE)就是针对解决这种情况的,利用蒙特卡罗算法来近似计算超体积的值,这样计算的代价要小很多并且也能得到近似值。除此之外,还有其它指标,如R2, Δ p { \Delta _p} Δp指标。另外,整合多种指标算子,将各个算子的优势集整合到一起能够更好的解决超多目标优化问题,如在二元指标算子的基础上引入参考点,使用二元指标算子维持算法的收敛性,使用参考点维持解集的多样性; I S D E + ISDE^+ ISDE+算子,其核心思想是将密度估计策略和目标函数值求和策略相结合。

    • TAA算法,Two-Arch2算法,TC-SEA算法
             参考点/集在算法中经常被使用到,与指标类似,可以用来评估种族的优劣,也可以用来调整种族进化过程。参考点可以是决策空间的,也可以是目标空间的。如真实PF上的取点,算法产生的非支配解,或由问题约束区间的取点等。目的不同,取法不同。双档案(TAA)算法,建立了两种档案:收敛性档案和多样性档案,收敛性档案用来保存每一代的非支配集,以维持算法的收敛性,多样性档案则用来维持算法的分布性。在此基础上改进的Two-Arch2算法,将收敛性档案的解集作为真实的参考集。在进化过程中,不仅可以把真实的 Pareto 解集作为参考集,而且也可以利用真实的参考集通过特定策略生成虚拟参考点集,这就是参考点集的选取。而TC-SEA其中使用的参考集生成策略是一边进化一边生成。

           多目标优化问题研究到如今,提出的算法数不胜数,从不同角度可以有不同的分类。除了研究之初的几个基本算法,大部分算法都有着各种特征,所以单纯的分类其实并无太大意义,将这些特征拿出来揣摩揣摩或许可以更好的帮助理解,以及在纷扰繁多的算法中构建自己的认知体系。


    5. 总结

           以上只是对多目标优化问题及算法的普遍性介绍,随着研究的深入,更多基于此的算法和想法被提出来,如动态多目标优化(DMO),动态多目标优化问题的目标、自变量和参数均会随环境发生变化,因此算法除了需要优化多个彼此冲突的目标外,算法还要快速跟踪到变化了的 Pareto 前沿面(PF)或 Pareto 最优解集( PS)且产生分布性好的解;还有就是基于决策者的偏好的算法研究,这时目标不再是求得大量的非支配解,而是要根据决策者的偏好给出最终解。
           从1967年,Rosenberg建议采用基于进化的搜索来处理多目标优化问题,到如今的各式各类基于进化算法的多目标算法蓬勃发展,实践已经表明了进化算法在处理多目标问题的有效性。因此想要学好多目标算法,首先理解进化算法是必要的。进化算法作为启发式算法,在多目标问题中应用如此之好,是否表明其他启发式算法也有如此好的效果,值得我去思考。

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