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  • 在这种情况下,还要一种折中的办法,就是选择弹性网络回归(Elastic Net Regression)。1. lasso回归与岭回归的异同如下,如果已知模型中的很多变量为无关变量,如astrological offset和airspe...

    c36ae339dfb8120397a6a3ad86246e54.png引言:在前面一小节中我们指出,在含有多个参数的模型中,如何做出对模型的优化。岭回归更好?还是lasso回归更优?参考:正则化(2):与岭回归相似的 Lasso 回归。在这种情况下,还要一种折中的办法,就是选择弹性网络回归(Elastic Net Regression)。

    1. lasso回归与岭回归的异同如下,如果已知模型中的很多变量为无关变量,如astrological offset和airspeed scalar等,我们倾向于选择lasso回归,从而使得拟合模型更加简洁和便于解读。

    Size = y-intercept + slope x Weight + diet differece x Hight Fat Diet+

    + astrological offset x Sign + airspeed scalar x Airspeed of Swallow如下,如果模型中有非常多的变量,我们无法知道其是否是无关变量,如基于10000个基因的表达预测小鼠体积。在这种情况下,我们应该选择lasso回归,还是岭回归呢?

    答案是弹性网络回归(Elastic Net Regression)。听名字非常炫酷,有弹性的回归,意味着它非常灵活能适应多用场景。简单来说,弹性网络回归是lasso回归和岭回归的结合版本。

    2. 弹性网络回归是lasso回归和岭回归的结合版

    0df4bf915198d53dd6a0f7ded0fe8d6d.png公式解读:弹性网络回归包含lasso回归和岭回归非惩罚项,两种惩罚项的λ系数不同(lasso回归λ1,岭回归λ2)。基于使用多个不同λ1和λ2的交叉验证,以寻找最佳λ1和λ2的取值。839e187dc21ca59d3a7ee11f5845f0e5.png当λ1 = 0,λ2 = 0时,弹性网络回归与最初的最小二乘法线性回归拟合的模型一致。

    当λ1 = 0,λ2 > 0时,弹性网络回归与lasso回归拟合的模型一致。

    当λ1>0,λ2 = 0时,弹性网络回归与岭回归拟合的模型一致。

    当λ1>0,λ2>0时,弹性网络回归为岭回归和lasso回归的结合版本。

    3. 弹性网络回归具有lasso回归与岭回归的优点

    弹性网络回归善于解决含有相关性参数的模型:lasso回归筛选出相关的参数,并缩减其他无关参数;同时岭回归缩减所有相关性的参数。

    通过二者的结合,弹性网络回归可以筛选和缩减具有相关性的参数,将他们保留在模型中或者从模型中移除。在处理具有相关性的参数时,弹性网络回归能够表现出良好的性能。

    47e3d36b6311a80a1c21f69ea03e02de.png

    参考视频:

    1.岭回归。

    https://www.youtube.com/watch?v=Q81RR3yKn30&list=PLblh5JKOoLUICTaGLRoHQDuF_7q2GfuJF&index=19

    2.lasso回归。

    https://www.youtube.com/watch?v=NGf0voTMlcs&list=PLblh5JKOoLUICTaGLRoHQDuF_7q2GfuJF&index=20

    3.弹性网络回归。

    https://www.youtube.com/watch?v=1dKRdX9bfIo&list=PLblh5JKOoLUICTaGLRoHQDuF_7q2GfuJF&index=22

    编辑:吕琼

    校审:罗鹏

    展开全文
  • 在一定条件下,它可以恢复一组非零权重的精确集 弹性网络 1、弹性网络 是一种使用 L1, L2 范数作为先验正则项训练的线性回归模型。 2、这种组合允许学习到一个只有少量参数是非零稀疏的模型,就像 Lasso 一样,...

    普通最小二乘法

    理论:

    42d606ef7b178ec316da7569b506692b.png

    损失函数:

    f527bfc2e18e48b5458de74b46a1df87.png

    权重计算:

    276c4785bf70c309f085c1298f55d6d9.png

    1、对于普通最小二乘的系数估计问题,其依赖于模型各项的相互独立性。

    2、当各项是相关的,且设计矩阵 X的各列近似线性相关,那么,设计矩阵会趋向于奇异矩阵,这会导致最小二乘估计对于随机误差非常敏感,产生很大的方差。

    例如,在没有实验设计的情况下收集到的数据,这种多重共线性(multicollinearity)的情况可能真的会出现。

    使用:

    from sklearn import datasets, linear_model

    regr = linear_model.LinearRegression()

    reg.fit(X_train, y_train)

    岭回归

    理论:

    损失函数:

    bb60fab8c6101b3057b48e02b7b7d541.png

    其中阿尔法大于0,它的值越大,收缩量越大,这样系数对公线性的鲁棒性也更强

    当X矩阵不存在广义逆(即奇异性),最小二乘法将不再适用。可以使用岭回归

    X矩阵不存在广义逆(即奇异性)的情况:

    1)X本身存在线性相关关系(即多重共线性),即非满秩矩阵。

    当采样值误差造成本身线性相关的样本矩阵仍然可以求出逆阵时,此时的逆阵非常不稳定,所求的解也没有什么意义。

    2)当变量比样本多,即p>n时.

    岭迹图:

    岭迹图作用:

    1)观察λ较佳取值;

    2)观察变量是否有多重共线性;

    在λ很小时,W很大,且不稳定,当λ增大到一定程度时,W系数迅速缩小,趋于稳定。

    λ的选择:一般通过观察,选取喇叭口附近的值

    岭参数的一般选择原则

    选择λ值,使到

    1)各回归系数的岭估计基本稳定;

    2)用最小二乘估计时符号不合理的回归系数,其岭估计的符号变得合理;

    3)回归系数没有不合乎实际意义的值;

    4)残差平方和增大不太多。 一般λ越大,系数β会出现稳定的假象,但是残差平方和也会更大

    岭回归选择变量的原则(仅供参考)

    1)在岭回归中设计矩阵X已经中心化和标准化了,这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且值很小的自变量。

    2)随着λ的增加,回归系数不稳定,震动趋于零的自变量也可以剔除。

    3)如果依照上述去掉变量的原则,有若干个回归系数不稳定,究竟去掉几个,去掉哪几个,这无一般原则可循,这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。

    使用:

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    from sklearn import linear_model

    # X is the 10x10 Hilbert matrix

    X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])

    y = np.ones(10)

    # #############################################################################

    # Compute paths

    n_alphas = 200

    alphas = np.logspace(-10, -2, n_alphas)

    coefs = []

    for a in alphas:

    ridge = linear_model.Ridge(alpha=a, fit_intercept=False)

    ridge.fit(X, y)

    coefs.append(ridge.coef_)

    # #############################################################################

    # Display results

    ax = plt.gca()

    ax.plot(alphas, coefs)

    d4b444980896da758d37c95a7b0a82b9.png

    Lasso回归

    理论:

    维数灾难:

    何谓高维数据?高维数据指数据的维度很高,甚至远大于样本量的个数。高维数据的明显的表现是:在空间中数据是非常稀疏的,与空间的维数相比样本量总是显得非常少。

    在分析高维数据过程中碰到最大的问题就是维数的膨胀,也就是通常所说的“维数灾难”问题。研究表明,随着维数的增长,分析所需的空间样本数会呈指数增长。

    如下所示,当数据空间维度由1增加为3,最明显的变化是其所需样本增加;换言之,当样本量确定时,样本密度将会降低,从而样本呈稀疏状态。假设样本量n=12,单个维度宽度为3,那在一维空间下,样本密度为12/3=4,在二维空间下,样本分布空间大小为3*3,则样本密度为12/9=1.33,在三维空间下样本密度为12/27=0.44。

    设想一下,当数据空间为更高维时,X=[x1x1,x2x2,….,xnxn]会怎么样?

    1、需要更多的样本,样本随着数据维度的增加呈指数型增长;

    2、数据变得更稀疏,导致数据灾难;

    3、在高维数据空间,预测将变得不再容易;

    4、导致模型过拟合。

    数据降维:

    对于高维数据,维数灾难所带来的过拟合问题,其解决思路是:1)增加样本量;2)减少样本特征,而对于现实情况,会存在所能获取到的样本数据量有限的情况,甚至远小于数据维度,即:d>>n。如证券市场交易数据、多媒体图形图像视频数据、航天航空采集数据、生物特征数据等。

    主成分分析作为一种数据降维方法,其出发点是通过整合原本的单一变量来得到一组新的综合变量,综合变量所代表的意义丰富且变量间互不相关,综合变量包含了原变量大部分的信息,这些综合变量称为主成分。主成分分析是在保留所有原变量的基础上,通过原变量的线性组合得到主成分,选取少数主成分就可保留原变量的绝大部分信息,这样就可用这几个主成分来代替原变量,从而达到降维的目的。

    但是,主成分分析法只适用于数据空间维度小于样本量的情况,当数据空间维度很高时,将不再适用。

    Lasso是另一种数据降维方法,该方法不仅适用于线性情况,也适用于非线性情况。Lasso是基于惩罚方法对样本数据进行变量选择,通过对原本的系数进行压缩,将原本很小的系数直接压缩至0,从而将这部分系数所对应的变量视为非显著性变量,将不显著的变量直接舍弃。

    目标函数:

    79b9e7a1a5470a5ed4444d0f1b68013c.png

    1、Lasso 是估计稀疏系数的线性模型。

    2、它在一些情况下是有用的,因为它倾向于使用具有较少参数值的情况,有效地减少给定解决方案所依赖变量的数量。 因此,Lasso 及其变体是压缩感知领域的基础。 在一定条件下,它可以恢复一组非零权重的精确集

    弹性网络

    1、弹性网络 是一种使用 L1, L2 范数作为先验正则项训练的线性回归模型。

    2、这种组合允许学习到一个只有少量参数是非零稀疏的模型,就像 Lasso 一样,但是它仍然保持 一些像 Ridge 的正则性质。我们可利用 l1_ratio 参数控制 L1 和 L2 的凸组合。

    3、弹性网络在很多特征互相联系的情况下是非常有用的。Lasso 很可能只随机考虑这些特征中的一个,而弹性网络更倾向于选择两个。

    4、在实践中,Lasso 和 Ridge 之间权衡的一个优势是它允许在循环过程(Under rotate)中继承 Ridge 的稳定性。

    损失函数:

    4ce8717aeb265046f05cfe42793fbd81.png

    使用:

    from sklearn.linear_model import ElasticNet

    enet = ElasticNet(alpha=0.2, l1_ratio=0.7)    #alpha=α   l1_ratio=ρ

    展开全文
  • Lasso(alpha =0.0005, random_state=1)) score = rmsle_cv(lasso) print("\nLasso score: {:.4f} ({:.4f})\n".format(score.mean(), score.std())) # 弹性网络回归(Elastic Net Regression) Lasso score: 0.1100 (0...

    LASSO回归

    LASSO是由1996年Robert Tibshirani首次提出,该方法是一种压缩估计。与岭回归类似,LASSO也是通过构造一个惩罚函数得到一个性能更好的模型。相比于岭回归,LASSO更极端。它通过惩罚函数压缩回归系数,使得这些回归系数绝对值之和小于某个固定值,甚至将一些重复的没必要的参数直接缩减为0。因此LASSO保留了子集收缩的优点,达到提取有用特征的作用,是一种处理具有复共线性数据的有偏估计。

    LASSO回归与岭回归的模型的区别在于岭回归使用的是L2正则,而LASSO回归使用的是L1正则,其目标函数:
    f ( w ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ ( y i − x i T w ) 2 + λ ∑ j = 1 n ∣ w j ∣ ] f(w) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}[(y_{i}-x_{i}^{T}w)^{2}+\lambda \sum_{j=1}^{n}\left |w_{j} \right |] f(w)=2m1i=1m[(yixiTw)2+λj=1nwj]

    LASSO算法可以达到变量选择的效果,将不显著的变量系数压缩至0。对于经过数据处理后的变量矩阵,其中有的变量是可以忽略,甚至会影响整体模型效果,因此采用LASSO作为集成模型的基模型很适合。

    弹性网络回归

    弹性网络回归ElasticNet是LASSO回归和岭回归的混合体,是一种同时使用L1和L2先验作为正则化矩阵的线性回归模型。ElasticNet回归适用于存在多个不显著变量的数据,同时还能保持正则化属性。当多个变量与某一变量存在相关关系时,ElasticNet回归模型效果就会比较好。它既能像LASSO回归删除无效变量,同时又能保持岭回归的稳定性。
    ElasticNet回归的目标函数同时包含L1和L2正则项:
    f ( w ) = 1 2 m ∑ i = 1 m [ ( y i − x i T w ) 2 + λ 1 ∑ j = 1 n ∣ w j ∣ + λ 2 ∑ j = 1 n w j 2 ] f(w) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}[(y_{i}-x_{i}^{T}w)^{2}+\lambda _{1}\sum_{j=1}^{n}\left |w_{j} \right |+\lambda _{2}\sum_{j=1}^{n}w_{j}^{2}] f(w)=2m1i=1m[(yixiTw)2+λ1j=1nwj+λ2j=1nwj2]

    python代码实现

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import os
    ''' 
    导入数据
    '''
    file = os.path.abspath(os.path.join(os.getcwd(), ".."))  
    data_file = os.path.join(file, 'data/train.csv')  
    train = pd.read_csv(data_file)
    data_file = os.path.join(file, 'data/test.csv')
    test = pd.read_csv(data_file)
    target_variable = train["y"].values
    del train["y"]
    
    
    from sklearn.model_selection import KFold, cross_val_score
    from sklearn.pipeline import make_pipeline
    from sklearn.linear_model import ElasticNet, Lasso
    from sklearn.preprocessing import RobustScaler
    ''' 
    建模
    '''
    # 定义一个交叉评估函数 Validation function
    n_folds = 5
    def rmsle_cv(model):
        kf = KFold(n_folds, shuffle=True, random_state=42).get_n_splits(train.values)
        rmse= np.sqrt(-cross_val_score(model, train.values, target_variable, scoring="neg_mean_squared_error", cv = kf))
        return(rmse)
    
    # LASSO回归(LASSO Regression)             Lasso score: 0.1101 (0.0058)
    lasso = make_pipeline(RobustScaler(), Lasso(alpha =0.0005, random_state=1))
    score = rmsle_cv(lasso)
    print("\nLasso score: {:.4f} ({:.4f})\n".format(score.mean(), score.std()))
    
    # 弹性网络回归(Elastic Net Regression)    Lasso score: 0.1100 (0.0059)
    ENet = make_pipeline(RobustScaler(), ElasticNet(alpha=0.0005, l1_ratio=.9, random_state=3))
    score = rmsle_cv(ENet)
    print("\nLasso score: {:.4f} ({:.4f})\n".format(score.mean(), score.std()))   
    ''' 
    预测
    '''
    y_train = target_variable
    x_train = train.values   
    lasso .fit(x_train,y_train)
    y = lasso .predict(test.values)
    

    引用

    [1]: Tibshirani R . Regression shrinkage and selection via the lasso: a retrospective[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2011, 73(3):267-288.
    [2]: Durbin R , Willshaw D . An analogue approach to the travelling salesman problem using an elastic net method[J]. Nature, 1987, 326(6114):689-691.

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  • 不过借着弹性网络,我正好了解了一下机器学习算法里很常见的“对偶的概念”。 一、简介 我们知道Ridge和Lasso是有弊端的: Ridge虽然很稳定,但是因为对参数(特征)没有进行筛选,所以样本一大,特征一多,模型...

    1.1.5. Elastic-Net

    相对于之前的几章,弹性网络显得相对简单的多。不过借着弹性网络,我正好了解了一下机器学习算法里很常见的“对偶的概念”。

    一、简介

    在这里插入图片描述

    我们知道Ridge和Lasso是有弊端的:

    • Ridge虽然很稳定,但是因为对参数(特征)没有进行筛选,所以样本一大,特征一多,模型复杂度就直线上升
    • Lasso依靠嵌入式特征选择,拥有相当优秀的抗过拟合的能力。不过也是因为它的稀疏性,它不太稳定。毕竟特征一少,遇到样本远多于特征的情况时,模型很容易就崩了

    所以,遇到这样的问题,我们和容易想到将Ridge和Lasso,即带有 l 1 l_1 l1 l 2 l_2 l2范数的模型,做一个结合。

    在这里插入图片描述

    我们可以看出,弹性网络不仅具备Lasso的稀疏性,也同时具备Ridge的稳定性,效果十分突出。

    二、目标函数

    min ⁡ w 1 2 n s a m p l e ∥ X w − y ∥ 2 2 + α ρ ∥ ω ∥ 1 + α ( 1 − ρ ) 2 ∥ ω ∥ 2 \min\limits_{w} \frac{1}{2n_{sample}}\parallel\mathit{Xw} -\mathit{y}\parallel_2^2+\alpha\rho\parallel\omega\parallel_1+\frac{\alpha(1-\rho)}{2}\parallel\omega\parallel_2 wmin2nsample1Xwy22+αρω1+2α(1ρ)ω2

    哎呦我去,打这一行公式可不容易,没把我累死。

    介绍一下这几个参数是啥意思

    1. α \alpha α:学习率,没啥好说的,对两个正则项都一样,是控制正则化程度的
    2. ρ \rho ρ:这个大家就不用想太多,它代表的是 l 1 l_1 l1范数与 l 2 l_2 l2范数的比值。所以 l 1 l_1 l1范数前面乘上了系数 ρ \rho ρ l 2 l_2 l2范数前面乘上了系数 1 − ρ 1-\rho 1ρ
    3. l 2 l_2 l2范数前面的系数多了个 1 2 \frac{1}{2} 21,其用处和ridge那一章讲的一样,是为了便于计算,没有什么特殊的意义。

    三、对偶间隙

    想到要了解这个是因为sklearn里的一句话

    在这里插入图片描述

    这里简单介绍一下对偶的思想(事实上,我也没太整明白)
    这个可以参照知乎的这个问题,感觉它讲的蛮清楚的。

    1. 目的:求B条件下A的最小值(我们有A的点集,想找点满足B的A当中最小的那个)
    2. 我们找到一个跟A高度相关,但是有跟B有关系的变量C,我们参照拉格朗日数乘求条件极值的形式把它写成C = kB+A。
    3. 我们通过这个C,从下往上(从小到大)去逼近A的点集(方程代表),目的是找到唯一满足条件的A使得C最大(几何意义表现为相切)。
    4. C最大,意思是在花费很小的条件满足B的情况下,找到最小的A(因为逼近与相切)
    5. 这种情况下,找到的A即为对偶关系的解。

    通常来说,如果A的点集是凸的,我们找到的A就是最小值;但是很多时候,因为逼近点集时,我们会受到其它不符合条件,但值又很小的点的干扰,所以我们所求的解和最优解之间会存在间隙(即duality gap对偶间隙)

    如果对偶间隙太大,但我们要求的间隙(这里可近似理解为误差)要尽可能小,所以模型有时会不收敛。所以我们要权衡一下“收敛”和“间隙”的关系。

    1.1.6. Multi-task Elastic-Net

    在这里插入图片描述

    Multi-task Elastic-Net是弹性网络在多任务学习领域的推广

    有关多任务学习的介绍具体可参照Multi-task Lasso一章。

    展开全文
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空空如也

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