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  • 一、机械振动 机械振动的定义:物体或质点 在其平衡位置附近 所作有规律的 往复运动 机械振动包括简谐运动、单摆、外力作用下的振动等,简谐运动是最基本最简单的机械振动振动图像(质点位移-时间)是正弦曲线...

    一、机械振动

    机械振动的定义:物体或质点 在其平衡位置附近 所作有规律的 往复运动

    机械振动包括简谐运动、单摆、外力作用下的振动等,简谐运动是最基本最简单的机械振动。

    振动图像(质点位移-时间)是正弦曲线的振动称为简谐运动。F=-kx和简谐运动是充要条件。摆角小于10度的单摆可看作简谐运动(此时运动轨迹近似一条直线,可推导出F=-kx)。F=-kx不能看作是胡克定律因为胡克定律是弹性理论里面的。

    外力作用下的振动有阻尼振动、受迫振动、共振等。

    根据定义,阻尼是指任何振动系统在振动中,由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性,以及此一特性的量化表征。阻尼振动即具有该特性及表征的振动。

    受迫振动是指一个振动物体受到了外界周期性变化的驱动力下的振动。该物体原有频率称为固有频率,然而振动稳定之后的频率等于驱动力频率。共振曲线(振幅-驱动力频率)反映受迫振动物体振幅与驱动力频率的关系,驱动力频率等于固有频率时物体振幅最大,此时称为共振。

     

    二、波

    波的定义:振动的传播。例如电磁振动的传播为电磁波。

    波包括机械波、电磁波、物质波。

    机械波的定义:机械振动在介质中的传播(即须同时存在振源和传输介质)。这里的传播指的运动形式及能量的传播,振动质点并没有随波迁移,只是在沿波的传播方向上依次开始做受迫振动。也因此,传输介质须为弹性介质。

    电磁波在电磁学部分阐述,物质波暂略。

    声波、水波、地震波等属于机械波,光波属于电磁波(属不属于物质波似乎有争议)。

    类似于用振动图像来描绘机械振动,可以用波动图像来描绘波。对于某一时刻的波动图像,横坐标表示介质中各质点的平衡位置,纵坐标对应该质点偏离平衡位置的位移。

     

    三、振动与波相关概念

    1、机械振动

    ①振幅:振动物体偏离平衡位置的最大距离,反映振动的强弱,标量。

    ②周期、频率:完成一次全振动所需时间即周期,频率即单位时间完成全振动的次数。

                   对于阻尼振动来说,虽然振幅不断减小,但是周期和频率也是固定不变的,但并不是等于其固有周期及频率。

    ③相位:为表示振动在某一时刻所处状态而引入的概念,以角度为单位,循环一个周期即360°。

    ④振荡:同振动。

    2、波(以下仅针对电磁波、机械波而言)

    ①波长:邻近两个同相位质点间的距离。

    ②波速:波的传播速度。波速与传播介质、温度、湿度等环境因素有关,与波源无关。

    ③周期、频率:波的频率等于波源振动的频率(即上面机械振动的频率概念)。这个就与波速有区别了波速与波源无关。

                   所以我们可以看出波长取决于波速和频率:λ=vT=v/f,同时由波源与传播环境决定。

    ④横波、纵波:

    质点的振动方向与波的传播方向垂直的波称为横波、方向在一条直线上的波称为纵波。

    电磁波是横波(所以光波也是横波)。不过由于电磁波的传播不需要介质,它是没有质点这个概念的,这里的垂直是指电磁波的波函数振动方向与能量传播方向垂直。

    机械波则横波和纵波都有。水波是横波,声波是纵波(百度百科提到声波也有可能有横波),地震波则两者都有。

    横波有着波峰波谷,纵波有着密部疏部。

    对于波动图像,横波的波动图像可以看成是这一时刻各个质点所处位置的一种图像,而纵波的则不能这么看了。

    ⑤波面、波前、波线:

    振动相位始终相同的各质点组成的面称为包络/包络面/波阵面/等相面/波面。由此也能看出波面是有无穷多个的,走在最前面的波面称为波前。

    波面不一定是个平面,像水波的波面就是一个个圆。而空间一点发出的波则是一个个球面,这种波则是球面波,而波面是平面的波则是平面波,类似还有柱面波。对于声波这三种情况都有可能(当然这都是理想特殊的情形下的)。

    表示波传播方向的线叫波线。波在同种均匀介质、同样的温度湿度下是按直线传播的,穿过非均匀介质时会发生下文提及的折射现象这一段的波线就不是直线了。波线是一定垂直于波面的(没有去探究是怎么证明的)。

    ⑥体元:

    振动介质中质点的别称。应该是针对机械振动而言,电磁波的传播没有质点的概念。

    ⑦简谐波:

    波在平面传播时,若介质中体元均按正弦或余弦规律运动,该波称为平面简谐波,简称简谐波,是最基本的波动形式。这个定义应该也是针对机械振动而言。

    简谐波传播介质中的体元并非是简谐运动,而是受迫振动,上文有提及。

    ⑧基波、谐波:

    任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,这种特殊的三角级数称为傅里叶级数(根据欧拉公式三角函数能化成指数形式,所以傅立叶级数也是一种指数级数)。对复杂的周期性振荡(这里所谓的复杂是指该振荡形成的波不是简谐波)用傅氏级数分解,第一项称为均值或直流分量,该项与时间无关,第二项称为基波或基本振动或一次谐波,第三项称为二次谐波,第四项称为三次谐波,以此类推,即复杂的周期性振荡形成的波包含基波和谐波。

    基波的频率称为该振荡的基本频率,其它非基波的正弦波分量的频率都是基本频率的整数倍,这个倍数称为谐波次数。谐波次数大于等于2的谐波统称为高次谐波,通常意义上的谐波指的都是高次谐波。在高次谐波里谐波次数是奇数的谐波称为奇次谐波(如三次谐波、五次谐波、七次谐波等),偶数的称为偶次谐波。一般来说电路中的谐波以奇次谐波为主,引起的危害比偶次谐波大(原因未去深究)。

    网上找到一个比较好的图:

     

    四、波的现象

    1、惠更斯原理

    波面上的一点可以看作发射子波的波源,该点的振动与波源想必除了时间上有延时之外并无其它不同。此后各个子波的包络为新的波前,介质中任一处的波动状态是由各处的波动决定的,网上找到一个比较好的图:

    2、波的独立传播原理

    介质中同时存在几列波时,每列波保持各自的传播规律而不互相干扰。

    3、波的叠加原理

    介质中同时存在几列波时,在波的重叠区域里各点的振动的物理量等于各列波在该点引起的物理量的矢量和。

    4、多普勒效应

    发生在波源与观察者有相对运动时。在运动的波源前面,单位时间内观察者接收到的完全波的个数增多,故接收到的频率增大;在运动的波源后面,单位时间内观察者接收到的完全波的个数减少,故接收到的频率减小。

    5、折射

    波从一种介质射入另一种介质时,传播方向发生改变,改变程度与该波在两种介质下的波速之比有关,用折射率描述,遵从折射定律,第二种介质对第一种介质的折射率为:\frac{\sin \Theta1 }{\sin \Theta2 } = n = \frac{v1}{v2}

    6、反射

    波遇到障碍物之后,会返回来继续传播。所以,波从一种介质射入另一种介质时,一部分会发生折射进入另一种介质,一部分会发生反射回到原来的介质。波的反射遵从反射定律:反射波和入射波的传播方向分居反射面的法线两侧且反射角等于入射角,反射波传播方向、入射波传播方向、反射面的法线三者在同一平面上。反射面平滑的反射称为镜面反射,反之称为漫反射。

    7、衍射

    波遇到小孔小缝、或是圆盘之类的障碍物,波会偏离原来直线传播穿过他们并发生不同程度的弯散传播,比如著名的泊松光斑。衍射总是存在,但是得小孔小缝(或障碍物)的尺寸和波长差不多或比波长小的时候衍射现象才明显,可见光波长380~780纳米本身就小,所以一般情况留意不到什么衍射。

    8、干涉

    频率相同的两列波叠加,使某些区域的振动加强,某些区域的振动减弱,而且振动加强的区域和振动减弱的区域相互隔开。能产生干涉的两列波称为相干波,相干波形成的图样称为干涉图样。两列波是相干波的条件是频率相同、有恒定相位差、在叠加处质点的振动方向相同。

    一种典型的现象便是驻波,两列波频率相同、传播方向相反、质点的振动方向相同(振幅未必相同,相位值也不一定正好相反),则会出现驻波现象,其中的一个波一般是另一个波的反射波。驻波的波节(波节的幅值未必是0)和波腹的位置始终不变,宏观上看上去“驻立不动”。在小提琴、吉他等固定长度的弦上会发生驻波现象。

     

     

     

    参考资料:  相关术语的百度百科

                       https://wenku.baidu.com/view/746942abfbb069dc5022aaea998fcc22bcd14309.html?from=search

                       http://k.sina.com.cn/article_6200133661_1718e881d001001ubz.html

                       https://wenku.baidu.com/view/b9dc208f6529647d272852d8.html

                       https://www.zybang.com/question/677d9bafec7df56169daa8dce6a18f30.html

                       https://www.docin.com/p-1456158210.html

                       https://wenku.baidu.com/view/9770068477a20029bd64783e0912a21615797f16.html?from=search

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    目录译文(一)

    译者:穆瑞林-天津科技大学

    前言

    第一章 机械设计开发•设计者对振动•噪声技术入门所需必要基础技术详细分类介绍

    1-1 振动和声波存在相同的放射特性,但物理表征上的区别是什么?

    1-2 相同的波动特性,声波和振动处理时的频率上限为何不同?

    1-3 持续时间在 200ms 以下声音人类好像无法感知?

    1-4 低频噪声听觉上不喧嚣?

    1-5 噪声可大致分为固体传播声与空气传播声,两种噪声的解决方法也截然不同。(制定噪声解决方案时首要问题是明确固体声与空气传播声,而振动产生的声音的声放射功率又是什么?)

    1-6 物体分为质点、刚体、连续体三类(物体的力学模型由此而定,这一点很重要。而这三类物体又都是什么样的呢?)

    1-7 振动物体模型化方法(质量,刚度,阻尼)

    茶歇时间 线性单自由度振动方程中的线性是什么?

    茶歇时间 建模时自由度如何选择?

    1-8 基于达朗伯原理的振动数学方程表达式

    静力学中力学平衡时物体处于静止状态, 因此通过等式可得力学平衡方程。对于振动领域,虽然物体在运动, 仍可利用力学平衡方程列出振动的表达式。这是为什么呢?

    1-9 力学可大致分为静力学和动力学。静力学和动力学又有什么区别呢?

    1-10 静刚度和动刚度有什么区别呢?

    1-11 虽然总言之都是物体的质量,但质量又分为静质量和动质量(等价质量)。它们又有什么区别呢?

    1-12 比例粘性阻尼力为什么和物体的振动速度成比例关系呢?

    1-13 什么是无阻尼固有频率和有阻尼固有频率?固有频率又是什么呢?

    茶歇时间 无阻尼固有频率、有阻尼固有频率、共振频率

    1-14 振动的振型是什么?它又和有阻尼固有频率有什么关系呢?

    茶歇时间 时不变、集中参数(理想质量、理想弹簧系数) 系统中思考一下自由度数和固有频率数之间的关系。

    1-15 通过克拉尼图形和频闪观测器可知简单形状物体的固有频率和振型。

    1-16 世间的物体并不是单自由度振动,但振动技术专业书里对线性单自由度振动理论大篇幅讲解是为何?

    1-17 扭矩是什么?这在扭转振动中很重要,看看它具体的样子吧。

    1-18 利用直线运动的牛顿运动方程(第二定律)可以导出扭转运动方程。如何进行推导的呢?

    1-19 动量矩和角动量的关系?

    1-20 直线运动与扭转运动,工程师应该怎么理解怎么处理好呢?

    1-21 极惯性矩(截面二次极矩)与转动惯性的区别。

    1-22 旋转不平衡质量引起的振动与危险速度。

    1-23 扭转振动固有频率求法。

    1-24 机械和装置等的有阻尼固有频率测量理论。

    茶歇时间 时域信号(傅里叶逆变化) 和频域信号(傅里叶正变化)的区别?频响函数又是什么?

    茶歇时间 快速傅里叶变换(FFT)时测量者必须掌握的知识。

    茶歇时间 各种频响函数的叫法(名词解释)。

    详解 从加速度频响曲线向位移、 速度频响曲线变换时的积分特性。

    详解 实测加速度频响曲线中固有频率的验证。

    详解 测定时过载指示器(保持线性)经常查看了吗?

    1-25 多自由度(两自由度以上)的线性有阻尼振动的牛顿运动方程的建立方法与矩阵表达式。

    1-26 振动加速度传感器的接触共振频率是什么?

    茶歇时间 振动加速度传感器选择时重量很重要, MEMS(微机电系统)的振动传感器又是什么?

    1-27 重要!振动加速度传感器数据线的使用注意事项。

    1-28 有限元中经常使用的场理论偏微分方程是什么?以声的波动方程为例试着解释场的偏微分方程。

    详解 非定常波动方程到定常(时不变) 波动方程的推导

    详解 流体和电磁场中常用矢量解析数学关键知识点详解

    1-29 近场声能漩涡是什么?(振动辐射声的发生机制分为近场声场和远场声场, 而所有振动能量的辐射声未必都能到达远场)

    茶歇时间 什么是场?近场声场的界限简单判断方法?

    详解 声强是基于什么理论测量的?声强测量的直接法和间接法又是什么?

    1-30 振动、噪声专业里经常使用复数表达式。为什么要使用复数表示呢?

    茶歇时间 任意大小的相位用数学公式表达时?

    1-31 虽然振动加速度快速傅里叶变换后两次积分可得位移,但最好不要使用这个位移数据。

    茶歇时间 振动加速度传感器的纵向灵敏度和横向灵敏度

    1-32 空气的粒子速度是什么?粒子速度和声的传播速度是不同的。

    1-33 有限元对于振动解析方法的种类与概要(机械专业)

    茶歇时间 有限元的简单解释

    第二章 机械开发•设计者必需的振动•噪声控制技术及解决问题的技术

    2-1 卷积积分、频响函数、 相干函数是什么?

    2-2 模态置信度(MAC)是什么?

    2-3 炼钢厂燃烧炉的燃烧噪声控制.

    2-4 高密度电子器件的集成印刷电路板的噪声源探知方法。大副降低噪声的简单方法是什么?

    茶歇时间 常用噪声计能够测量20分贝的噪声吗?

    2-5 振动越大未必辐射噪声就越大。需要考虑振动物体的辐射声功率。(通常细长板辐射声功率要比正方形板小很多)

    2-6 冲击振动(脉冲) 的持续时间越长频带就越窄。

    2-7 振动测量时振动加速度传感器要如何固定?

    2-8 自己测量的数据分析时感觉不正确(数据奇怪、可疑) 的又一案例

    2-9 圆形防振橡胶隔振系统的固有频率计算方法

    茶歇时间 质量-弹簧系统中刚体的固有频率与位移求解公式的推导

    茶歇时间 适用于实际工程的质量-弹簧系统的固有频率求解方法

    2-10 共振无法避免时可增加阻尼降低共振的影响

    2-11 线圈弹簧设计与选型的失误很多。实际应用中避免线圈弹簧共振的设计方法与计算。

    2-12(固有值解析方法可分为正规固有值解析法与一般固有值解析法。)实数固有振型解析时求解的不是绝对值而只是比值的理由?两种固有值解析方法的关系与计算。

    详解 正规固有值解析法与一般固有值解析法相同的理由

    详解 固有值解析中矩阵[A]的求解方法

    茶歇时间 实数固有振型解析时求解的不是绝对值而只是比值的理由

    2-13 为避免共振控制零、 部件固有频率范围的设计计算实例

    2-14 基于有限元的实数固有振型模拟分析机械外壳的问题及解决方案

    2-15 实例分析:实际工程中静刚度和动刚度的区别很大。

    2-16 扭转振动系统转换为直线振动系统的固有频率计算方法。

    2-17 粘滑现象中自激振动的模型化及与相对速度的依存度。

    2-18 实际工程应用中的物理降噪(被动)与主动降噪

    茶歇时间 日本主动降噪技术的历史由来的概述

    茶歇时间 实际工程主动降噪使用窍门

    茶歇时间 各种控制理论简介

    2-19 工厂的低成本降噪方法是什么?降噪施工不再求人!

    2-20 空气吸收引起的衰减与低频噪声解决实例

    2-21(办公区域与厂房内机械的噪声无法正确测量是由于声波反射与驻波所导致的。)驻波引起的噪声问题与解决方案。

    2-22 工程应用中通过简单的测量数据求解转动惯量的方法

    2-23 动力吸振器最合适的设计方法是什么?

    2-24 简便的等效质量法!工程中应用等效质量法进行动力吸振器的设计方法是什么?

    2-25 悬臂梁结构产品的固有频率计算方法

    2-26 简述用实测频响函数的模态识别解析

    2-27 线性单自由度有阻尼振动的仿真建模(可通过 Matlab Simulink 快速建模)

    2-28 实际工程应用中的被动振动控制技术与主动振动控制技术

    2-29 振动传感器的网络化方法

    2-30 基于机器学习的振动故障诊断方法

    2-31 应用 MBD 技术对多物理场现象进行先行研究、开发与设计。培养发现物理现象本质并用数学公式表达出来的能力。

    结束语

    目录译文(二)

    译者:王斌-沈阳建筑大学

    前言

    1部分 按项目解说机械的开发·设计者为了理解振动·噪音技术所必要的基础技术

    1-1振动和声音都是波动现象,那么作为物理现象有什么区别呢?

    1-2虽是同样的波的现象(波动现象),用声音和振动处理的上限频率不同是为什么呢?

    1-3声音持续时间在200msec以下的话,人好像没有注意到声音的存在!

    1-4频率低的噪音更不会让人觉得吵!

    1-5噪音大致可以分为固体声和空气声。不同噪音有完全不同的噪音对策。(因此,重中之重是明确成为问题的噪音,究竟是固体声,还是空气声。另外,振动产生的声音的声学辐射效率是?)

    1-6其实物体有三种。它们是质点、刚体、连续体。(这是出乎意料重要的事情。由此不断构筑了关于各种物体的力学。这三个种类分别是什么样的物体呢?)

    1-7振动体的建模方法(质量,刚度,衰减)

     线形1自由度振动方程中的线形是什么?

     用什么自由度建模?

    1-8根据达朗贝尔原理,振动可以用方程式来表示!

    在静力学中,当力量平衡时,物体是静止的。可以使用等号来创建平衡的等式。振动的物体尽管在运动,我们也建立了一个平衡力的公式,用公式来表示振动。为什么呢?

    1-9力学大致可分为静力学和动力学。静力学和动力学,差异是什么?

    1-10静刚性和动刚性,有什么区别呢?

    1-11一句话描述物体的质量,有静态质量和动态质量(等效质量)。有什么不同呢?

    1-12比例粘性衰减力,为什么与物体的振动速度成正比呢?

    1-13非衰减固有振动频率、衰减固有振动频率是指什么?固有的振动频率是什么?

     非衰减固有振动数、衰减固有振动数、共振振动数

    1-14振动模式是?与灭衰固有振动数的关系是?

     试着考虑在集中常数系统中的自由度和固有振动数的总和吧!

    1-15简单形状的物体的固有振动频率和振动模式可以通过克拉德尼图形和闪光灯来得到。

    1-16世界上的物体在1自由度系统中不振动,为什么在振动的技术专著中,线型1自由度系统的振动理论用多页去解说呢?

    1-17什么是旋转力矩?这对于考虑旋转振动是很重要的,所以我们尝试具像化吧。

    1-18从直线的牛顿运动方程式,可以导出旋转的运动方法程式。方法是?

    1-19旋转的强度和角动量有什么关系?

    1-20直线运动和旋转运动,作为工程师如何思考和使用才好呢?

    1-21截面2次力矩和惯性力矩,有何不同?

    1-22转轴的摆动和危险速度

    1-23扭力振动的固有振动数的求法

    1-24测量机器或装置等物体衰减的固有振动频率的理论是?

     傅立叶频谱和功率谱之间的差异是?频率响应读数

     FFT(快速傅立叶变换)的使用中,操作者必须决定的事

     各种频率响应数的叫法

     再深入些:FFT中函数→移动性→屈从变换的积分特性

     再深入些:从实际频率响应函数的测量数据检查是否为谐振频率!

     再深入些:你在测量的时候经常监视超负荷指示符(超载指示符)?

    1-25多自由度(2自由度以上)线性衰减振荡的牛顿运动方程式及其矩阵的表示方法

    1-26振动加速度拾取器的接触谐振频率是?

     选择振动加速度拾音器时重量很重要,MEMS的振动传感器是指?

    1-27要注意!振动加速度拾音器的电缆处理要领

    1-28有限元素法等使用的“场的支配方程式”是怎样的东西?

    作为场的支配方程式的例子,仔细考虑一下声音的波动方程式吧!

     再深入些:从非定常的波动方程式导出波动方程式

     再深入些:在流体和电磁场中也经常使用的向量解析的数学要点解说

    1-29(振动辐射声的产生机制包括近声场和远声场。从现在开始,并不是所有的振动能量所发出的声音都能到达远声场。)近声场中的声能漩涡是什么?

     场是?如何简单地确认到哪里是近声场?

     再深入些:声响随机城市是基于怎样的理论来测量的呢?声响随机城市测量的直接法和间接法是?

    1-30振动·噪音领域,复数很普通地被使用。为什么要使用复数呢?

     如何用数学公式来表示任意大小的相位?

    1-31振动加速度在FFT中积分2次就会变位,最好不要使用变位数据。

     振动加速度拾取器的纵向灵敏度和横向灵敏度

    1-32空气的粒子速度是?粒子速度和声音的传播速度是不一样的!

    1-33有限要素法的振动分析的种类和概要(机械领域)

     有限元件法用简短的语言单刀直入地说明

    2部分 机器的开发·设计者需要的振动·噪音的降低技术和问题解决技术

    2-1卷积,频率响应函数,相干函数是?

    2-2模式可靠性评价标准(MAC)?

    2-3钢铁厂燃烧炉的燃烧声音的降低

    2-4在高密度安装电子部件的印刷电路板上,找到哪些部件是噪音源的方法?在这种情况下,求最大降低值的简单方法是?

     用通常使用的噪音计能测定20db (A)大小的噪音吗?

    2-5大的振动会发出大的噪音,这是错误的。必须考虑振动体的声学辐射效率。(另外,如果将正方板和细长板进行比较,细长板的声学辐射效率通常会降低。)

    2-6冲击振动,随着时间跨度的增大,频率范围的缩小会!

    2-7在测量振动时,用怎样的方法来提升振动加速度?

    2-8对于自己实测的测量数据,测量的瞬间感到不协调(这个数据很奇怪)的另一个例子 

    2-9用圆形防震橡胶进行防震支撑的系统整体的固有振动数的计算方法

     试着导出帕内玛斯刚体固有振动数求导式和位移求导式吧

     为了在实务工程中活用帕内玛斯刚体固有振动数求导式,请试着变形!

    2-10在不能避免谐振的时候,可以通过倾销(衰减)来减弱谐振的程度!

    2-11意外地多的螺旋弹簧的设计·选定失败!实务中的不连续螺旋弹簧的设计方法和计算例题!

    2-12(固有值解析分为“标准的固有值解析”和“一般的固有值解析”。) 在根据固有值分析的振动模式中,不能求绝对值而只能求相似比的原因是? 这两个固有值分析的关系和计算例子

     再深入些:“一般的固有值问题”和“标准的固有值问题”等价的理由

     再深入些:固有值解析的矩阵[A] 计算方法

     在根据固有值分析的振动模式中,不能求绝对值而只能求相似比的原因

    2-13部件或单元的固有振动频率值限定在一定范围内,以避免谐振的设计计算方法案例

    2-14根据有限要素法的实固有值分析的,机械盖的问题点的提取,及其对策

    2-15用实例来考虑吧!实际的机械设计静刚性和动刚性这么不同!

    2-16将扭力振动系统置换为直线振动系统,计算固有振动数的方法

    2-17棒状打滑时的自励振动建模,以及相对速度依存性

    2-18从实务工程的观点来看被动消音和主动消音

     日本ANC的历史概况

     实务中的有效噪声控制方法

     关于各种控制理论

    2-19工厂的隔音对策比较经济的方法是?隔音工程不需要找隔音工程公司,自己就够了!

    2-20空气中声音的吸音率,和超低频声音对策的实际例子

    2-21(在正常的办公室和工厂里无法准确测量机械噪音。因为会产生声学反射和驻波。)根据驻波实际发生的噪音问题,及其解决方法!

    2-22根据实务中马上就能使用的实验数据,来求惯性力矩的方法是?

    2-23动吸振动器的最佳设计理论是?

    2-24 等价质量同定法非常方便!使用等价质量同定法的动吸振器的实务设计法是?

    2-25片夹层结构产品的固有振动频率计算方法

    2-26实验模式解析?简单地说

    2-27试着在控制工学的普洛克线图上描绘线型1自由度系衰减振动。(这样表示的话,马上就能画在MATLABSimulink上。)

    2-28从实务工程的角度来看振动的被动控制技术和主动控制技术

    2-29振动传感器的1oT化方法 

    2-30使用机器学习的振动的故障预知诊断的方法

    2-31通过模型·基础·设计(MBD)的前加载,对多种物理现象进行研究、开发、设计。怎样才能洞悉正在发生的物理现象的本质,并掌握将其用数学公式表示的技术?

    结语

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  • 更进一步的问,它振动的振幅和相位施加的驱动力会有怎样的关系?我们就此问题试着来推导一。开门第一件事,先建立运动方程。假定振子一开始静置于平衡位置,从 时刻起施加的驱动力为 ,运动过程中受到的阻力正比...

    00d85b2d-7724-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    这大约是关于振动问题的系列文章的最后一篇了,我打算来解决如下的问题:

    如果一个简谐振子同时受到阻力和一个周期性的驱动力的作用,那么它会做怎样的运动?更进一步的问,它振动的振幅和相位与施加的驱动力会有怎样的关系?

    我们就此问题试着来推导一波。


    开门第一件事,先建立运动方程。

    假定振子一开始静置于平衡位置,从

    时刻起施加的驱动力为
    ,运动过程中受到的阻力正比于速度大小
    ,由此可以写下运动方程:

    式中

    代表简谐振子自身的回复力,其大小正比于位移
    ,方向与
    相反,故带有负号;阻力与运动速度反向,故也带负号。如果我们引入新的参数:
    ,及
    ,则运动方程可以被改写为:

    这是一个二阶常系数的非齐次微分方程。在前几篇关于简谐振子的文章中,我们已经对这类方程的求解方法做过基本介绍。我们可以分别找出齐次方程的通解,并于非齐次方程的特解叠加,最后根据初始条件确定可调的系数,得到问题的唯一解。

    注意到之前解振动方程,我们可以让位移函数

    取复数值,然后通过施加具有物理意义的限定条件,最终得到实数的解。拓展到复数领域后,指数函数有诸多友好的性质可以帮助我们简化计算。为了对付现在的这个问题,我们也采取进入到复数域中去求解的策略。不妨假定我们要求的位移函数
    是某个复数函数
    的实部,然后注意到
    就是
    的实部。所以我们可以试着来求解方程:

    解出

    ,取其实部,就可以得到真正的位移函数
    了。为了方便,下面求解(*)式的过程中,对
    我们不作符号上的区分,只是在最终结果中才特别标注。但大家要记得最后求的(*)式的解,必须要取实部才有物理意义。

    首先处理齐次方程:

    注意到这个方程描述的其实就是一个不受驱动力、但是受到阻力作用的简谐振动,我们在《无阻尼受迫振动》 一文中,对这个方程的求解已经有了很详细的讨论,我们在此仅仅列出大致的推导框架。

    齐次方程的通解仍将具有

    的形式,代入后可以得到关于
    的特征方程:

    如果阻尼不是很强,即欠阻尼振动,此时

    ,特征方程的根将是复数:
    ,其中我们定义
    。于是我们找到齐次方程通解为

    为任意常数,并且可以取复数。

    实部,并重新定义一系列新的常数,可以得到

    的取值都将由振动的初始条件决定。但是注意到式子中的
    项,这告诉我们
    对总位移的贡献会随时间指数衰减。在充分长的时间后,这一项的贡献就可以忽略不计。

    如果阻尼足够强,即过阻尼振动,此时

    ,特征方程的根为
    ,两者皆为复数。于是过阻尼情况下,位移函数随时间作指数衰减:

    所以不论是欠阻尼还是过阻尼,都存在随时间指数衰减的因子,受迫阻尼振动更有意思的物理结果,其实都藏在非齐次方程的特解中


    我们接下来求解非齐次方程:

    可以猜想特解将具有

    的形式,代入上式中,我们得到:

    这要对任何

    都成立,所以必然有:
    。于是特解就是:

    为了提取实部,我们先对分母有理化:

    这一大坨东西的实部为:

    运用三角函数辅助角公式,方括号里的部分可以写成:

    ,其中相位角
    满足
    ,以及
    (关于相位差的问题我们稍后作详细讨论)。将这些结果塞回
    的表达式中,我们得到:


    综合齐次方程的通解和非齐次方程的特解,原运动方程的解将是

    。具体写开,对于欠阻尼和过阻尼这两种情况,位移函数的形式分别为:

    第一项描述振子在自身回复力和阻尼的共同作用下的振动行为,而第二项则是振子在外界驱动力作用下的受迫振动行为。考虑振子的长期行为,即考虑

    的极限,由于阻尼的影响,第一项都终将趋于零,因此受迫振动最终将非常敏感地取决于外力的性质:

    共振频率

    容易看出,施加的驱动力频率不同,振子会有不同的振幅响应。受迫振动的振幅

    是驱动力频率
    的函数:

    为了考察

    的极值,我们可以把它分母上那个根式下面的一大坨拖出来,看看能搞出什么名堂:

    显然,若

    ,则这坨东西在
    时会有最小值,此时振幅
    则将有最大值。也就是说,
    在阻尼并不强时,可以在某个特定驱动力频率下获得最大振幅,对应的共振频率为:

    注意到,共振频率

    ,即
    共振在在驱动力频率略小于简谐振子自然频率时发生,具体的偏差会取决于
    的大小,即
    阻尼的强度会决定共振频率和自然频率的偏差量

    分母上那坨东西会随
    增加而单调递增,也就是说,
    阻尼比较大时,驱动力频率越大,振幅就会越小。由此看到,过阻尼的情形下,振子将不会出现共振的行为

    共振振幅

    当共振发生时,我们可以计算对应的振幅大小:

    不难论证,在可以发生共振的阻尼条件下(

    ),
    阻尼越弱,共振的振幅就越大

    我们可以将不同

    对应的
    曲线绘制在同一张图上。图中可以直观地看到阻尼对共振频率以及振幅的影响。

    07d85b2d-7724-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    受迫振动的相位

    注意到振子的位移有

    ,驱动力则有
    。对比可知,振子的运动将会较驱动力有大小为
    的相位滞后。更精确的讲,相位差
    满足:

    合并以上两式可以得到

    注意

    可取的符号,我们有如下结论:

    ,则
    ,意味着振子的振动稍稍落后于驱动力的变化。

    ,则
    ,意味着振子的振动相比于驱动力的变化会有更大的滞后。

    物理图像也不难想象:对于低频的驱动,振子在自己的回复力作用下其实还期望走得更快一点,可以很容易地就跟上驱动力,紧随其后。对于高频的驱动,振子就跟不上节奏,提着裤子猛追都追不上。

    对于不同

    的取值,即不同阻尼约束下,我们也可以把相位差和驱动力频率的关系绘制在图像上。

    09d85b2d-7724-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    不难看出,

    时,总会有
    的滞后

    另外,在

    时,
    ,极低频的驱动力作用下,振子的振动可以和驱动力几乎完全同步;在
    时,
    ,极高频的驱动力作用下,振子的振动和驱动力几乎完全反相。

    几个特殊极限的讨论

    我们已经知道欠阻尼情形下的共振频率为

    时,有
    ,即趋向零阻尼的理想条件时,共振将会在驱动力频率等于自然频率时发生
    。而对于振子的相位滞后,容易验证,在趋于零阻尼时,有驱动频率低于
    时趋于同相、驱动频率高于
    时反相的结论,这些与我们在上一篇对无阻尼受迫振动推导给出的结果吻合。

    如果我们取

    的极限,可以发现
    。这说明
    在驱动力频率非常大的情况下,相对慢节奏的振子完全迷失了方向,才打算跟着驱动力往正方向迈一步,驱动力转眼就开始反方向作用了,结果就是振子只会原地踏步,不产生位移。

    我们还可以分析

    的极限,此时驱动力
    为一个恒定力
    。代入
    的表达式中,我们得到此时的振幅为
    。对应的物理图像是,
    恒定的外力将振子推到了某个最大位移处,在那里,这个力和振子的回复力达到了平衡,最终达到静态平衡
    。此时振子不作往复运动,阻力不产生作用,因此大家也可以看到,在上面给出的
    图像中,不论阻尼强度
    取值如何,在
    的极限下,它们的振幅都趋于相同的值。
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空空如也

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