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  • 从两数中的最小数开始递减,找到令两数都取余为0的数为最大公因数最小公倍数即为两数相乘除以最大公因数,解释:两数相乘开拆开最大公因数^2因子因子,除掉一个最大公因子即为最小公倍数。(//表示整除,取整数...

    从两数中的最小数开始递减,找到令两数都取余为0的数为最大公因数,最小公倍数即为两数相乘除以最大公因数,解释:两数相乘开拆开最大公因数^2因子因子,除掉一个最大公因子即为最小公倍数。(//表示整除,取整数部分)

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  • 众所周知,最大公因数和最小公倍数有着广泛的应用,特别是在分数四则运算中,更是不可缺失。所以求最大公因数和最小公倍数是小学高年级数学教学的重点,也是难点。下面列举两个数的最大公因数和最小公倍数...

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    随着课程改革的不断推进,老师们逐渐认识到,教材仅仅是课程的一种重要载体,而不是课程的全部。任何课程实施,都需要和开发大量的课程资源。下面就和大家谈一谈除了教材资源,怎样用“数学眼光”来搜索教学资源的。

    众所周知,最大公因数和最小公倍数有着广泛的应用,特别是在分数四则运算中,更是不可缺失。所以求最大公因数和最小公倍数是小学高年级数学教学的重点,也是难点。下面列举两个数的最大公因数和最小公倍数的几种求法,供大家分享,不全面,仅供参考。

    1. 直接观察法两个数成倍数关系的:    如果较大的数是较小的数的倍数,那么较大的数就是这两个数的最小公倍数,较小的数就是这两个数的最大公因数

    例:4816的倍数,484816的最小公倍数16则是4816的最大公因数两个数是互质关系的:    如果两个数是互质数,那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的积,这两个数的最大公因数就是1

    例:711的最小公倍数是 7×11=77711的最大公因数则是1

    2.列举法。

    “列举法”就是先分别列举两个数的因数,再从中找出最大公因数。“列举法”适用于求任意两个正整数的最大公因数,这种方法和最大公因数概念联系紧密,简单易懂,也便于应用,只是过程比较麻烦,碰到数据较大时,就更麻烦了。(公倍数的教学也是同样的道理)  

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       列举法又叫枚举法,还有第二种形式,也叫“单列举法。”就是把其中一个数的因数先列举完,再从所有的因数中找出另一数的因数,这两个数公有的因数中找出最大的因数,就是它们的最大公因数。如图:

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    (找最小公倍数方法和找最大公因数方法相同)

    3.分解质因数法。

    “分解质因数法”就是先把两个数分别分解质因数,再把公有的质因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数。“分解质因数法”避开了所有的“非质因数”。在“列举”和“找公有”时,都要比“列举法”简单。“分解质因数法”需要“分解质因数”作为基础,还要理解“为什么公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数”。更为难理解的是“共有的质因数乘独有的质因数就是最小公倍数!

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    4.短除法。

    “短除法”和 “分解质因数法”有着密切的联系,是“分解质因数法”的“升级版”。以求2436的最大公因数为例:

    24=2×2×3×236=2×2×3×3,共有的质因数是2232×2×3=12,所以2436的最大公因数就是12

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       求最小公倍数也是同样方法。“短除法”时,要用(1830)=2×3=6两个数的公有质因数去除,除到两个商是互质数为止,在实际操作时要比“分解质因数法”难一些。

    执教过“老教材”的教师一定还有印象,“短除法”这块内容不好教,特别是求三个或三个以上的数的最大公因数与最小公倍数,学生掌握起来十分吃力。到了学习“分数四则计算”时,却发现大多数时候不需要用“短除法”,随着计算的熟练,学生用“短除法”次数也会越来越少!

    5.辗转相除法。

    “辗转相除法”又名“欧几里德算法”,做法是这样的:

    先用小数除大数得第一个余数

    再用第一个余数除小数得第二个余数

    又用第二个余数除第一个余数得第三个余数

    这样逐次用后一个数去除前一个余数直到余数是0为止那么最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1那么原来的两个数是互质数)

     例如求1515600的最大公约数

    第一次:60015152315

    第二次:3156001285

    第三次:285315130

    第四次:30285915

    第五次:153020

    1515600的最大公约数是15

     “辗转相除法”适用于求任意两个正整数的最大公因数,很多时候操作起来比“短除法”还要简单快捷,数据特别大时,更是具有其它方法没有的优势。也有老师把这种方法叫做作差的方法,也就是这个“欧几里德算法”的简化版!

        6.小数缩倍法(最大公因数)、大数翻倍法(最小公倍数)。

    “列举法”的“进化版”——“小数缩倍法”。小数缩倍是在需要求最大公因数的两个数中,找一个较小数,用较小的那个数除以它的因数,先除以2,看所得到的数是否是其他几个数的公约数,如果不是,除以3……再按照相同的方法检验,直到求得的数是这些数的公约数为止,从商中找到较大的数的因数,即是他们的最大公因数。大数翻倍,道理相同。

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        为什么用较小数缩倍,而不用较大数字缩倍?其实都是可以的,只是较小数字方便一些。

         如果以上方法全部都教、都要求掌握,无疑增加了学生的负担,估计教学效果也不会好。那么,如何选择合适的方法就不单是令我们一线教师纠结的问题,也是教材编写者需要研究和思考的事情。      

    多数版本教材,都是先通过“列举法”进行概念教学,说明列举法是核心,也是能阐述公因数和公倍数本质的基础方法,所以每一个版本教材都是作为最重要的基础性方法来呈现。列举法很有优势,算理清晰,呈现有序,但它有着局限性,数字若更大些,列举法就不方便了。部分老师强调短除法这种“简单朴素”的方法是有道理的,但是仅仅强调“短除法”就有点偏颇了!在教学时,老师肯定要带着孩子思考,利用好教材中的素材,帮助孩子梳理总结方法!

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    在小学阶段,数据不大,“列举法”是足够用了,作为课堂教学补充,要适当介绍短除法和其他方法,但是要求不宜太高,给一部分同学多一些选择,各种方法本质相通,作为视野拓展也是极好的。

    这几种方法是密切相关的。分解质因数中的公有的质因数,就是短除法中除数,各自独有的质因数就是短除法中的商;而倍数关系中的小数,其实就是公有的质因数的积,大数就是公有的质因数与他们各自独有的质因数的积;小数缩倍就是从最大的因数开始找两个数的公因数的,从而少了弯路,走了捷径。

     教学当有取舍,求最大公因数和最小公倍数这些方法之间有一定的联系和区别,在短短的一节课里面,什么方法应该教,什么方法可以不教,大家结合自己教学特点和学生情况,酌情处理。

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  • 就考了一个最大公因数和最小公倍数的性质以及用欧几里得法求最大公因数,见书P142,然后暴力就完事了 代码: #include<iostream> using namespace std; int x,y,ans; int gcd(int a,int b) { return b?gcd(b,a%b...

    题目:

    见https://www.luogu.com.cn/problem/P1029

    思路:

    就考了一个最大公因数和最小公倍数的性质以及用欧几里得法求最大公因数,见书P142,然后暴力就完事了

    代码:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int x,y,ans;
    int gcd(int a,int b)
    {
        return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    int main()
    {
        cin>>x>>y;
        for(int i=x;i<=y;i+=x)
        for(int j=x;j<=y;j+=x)
        {
            if(i*j==x*y&&gcd(i,j)==x)
            {
                ans++;
            }
            else if(i*j>x*y)//不加这个肯定超时
            break;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    
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  • 众所周知,最大公因数和最小公倍数有着广泛的应用,特别是在分数四则运算中,更是不可缺失。所以求最大公因数和最小公倍数是小学高年级数学教学的重点,也是难点。下面列举两个数的最大公因数和最小公倍数...

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    随着课程改革的不断推进,老师们逐渐认识到,教材仅仅是课程的一种重要载体,而不是课程的全部。任何课程实施,都需要和开发大量的课程资源。下面就和大家谈一谈除了教材资源,怎样用“数学眼光”来搜索教学资源的。

    众所周知,最大公因数和最小公倍数有着广泛的应用,特别是在分数四则运算中,更是不可缺失。所以求最大公因数和最小公倍数是小学高年级数学教学的重点,也是难点。下面列举两个数的最大公因数和最小公倍数的几种求法,供大家分享,不全面,仅供参考。

    1. 直接观察法两个数成倍数关系的:    如果较大的数是较小的数的倍数,那么较大的数就是这两个数的最小公倍数,较小的数就是这两个数的最大公因数

    例:4816的倍数,484816的最小公倍数16则是4816的最大公因数两个数是互质关系的:    如果两个数是互质数,那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的积,这两个数的最大公因数就是1

    例:711的最小公倍数是 7×11=77711的最大公因数则是1

    2.列举法。

    “列举法”就是先分别列举两个数的因数,再从中找出最大公因数。“列举法”适用于求任意两个正整数的最大公因数,这种方法和最大公因数概念联系紧密,简单易懂,也便于应用,只是过程比较麻烦,碰到数据较大时,就更麻烦了。(公倍数的教学也是同样的道理)  

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    6cbee71028c9f9be65a376a9140bf679.png

       列举法又叫枚举法,还有第二种形式,也叫“单列举法。”就是把其中一个数的因数先列举完,再从所有的因数中找出另一数的因数,这两个数公有的因数中找出最大的因数,就是它们的最大公因数。如图:

    55ff650895eb86f981168e772403658c.png

    (找最小公倍数方法和找最大公因数方法相同)

    3.分解质因数法。

    “分解质因数法”就是先把两个数分别分解质因数,再把公有的质因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数。“分解质因数法”避开了所有的“非质因数”。在“列举”和“找公有”时,都要比“列举法”简单。“分解质因数法”需要“分解质因数”作为基础,还要理解“为什么公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数”。更为难理解的是“共有的质因数乘独有的质因数就是最小公倍数!

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    4.短除法。

    “短除法”和 “分解质因数法”有着密切的联系,是“分解质因数法”的“升级版”。以求2436的最大公因数为例:

    24=2×2×3×236=2×2×3×3,共有的质因数是2232×2×3=12,所以2436的最大公因数就是12

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       求最小公倍数也是同样方法。“短除法”时,要用(1830)=2×3=6两个数的公有质因数去除,除到两个商是互质数为止,在实际操作时要比“分解质因数法”难一些。

    执教过“老教材”的教师一定还有印象,“短除法”这块内容不好教,特别是求三个或三个以上的数的最大公因数与最小公倍数,学生掌握起来十分吃力。到了学习“分数四则计算”时,却发现大多数时候不需要用“短除法”,随着计算的熟练,学生用“短除法”次数也会越来越少!

    5.辗转相除法。

    “辗转相除法”又名“欧几里德算法”,做法是这样的:

    先用小数除大数得第一个余数

    再用第一个余数除小数得第二个余数

    又用第二个余数除第一个余数得第三个余数

    这样逐次用后一个数去除前一个余数直到余数是0为止那么最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1那么原来的两个数是互质数)

     例如求1515600的最大公约数

    第一次:60015152315

    第二次:3156001285

    第三次:285315130

    第四次:30285915

    第五次:153020

    1515600的最大公约数是15

     “辗转相除法”适用于求任意两个正整数的最大公因数,很多时候操作起来比“短除法”还要简单快捷,数据特别大时,更是具有其它方法没有的优势。也有老师把这种方法叫做作差的方法,也就是这个“欧几里德算法”的简化版!

        6.小数缩倍法(最大公因数)、大数翻倍法(最小公倍数)。

    “列举法”的“进化版”——“小数缩倍法”。小数缩倍是在需要求最大公因数的两个数中,找一个较小数,用较小的那个数除以它的因数,先除以2,看所得到的数是否是其他几个数的公约数,如果不是,除以3……再按照相同的方法检验,直到求得的数是这些数的公约数为止,从商中找到较大的数的因数,即是他们的最大公因数。大数翻倍,道理相同。

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        为什么用较小数缩倍,而不用较大数字缩倍?其实都是可以的,只是较小数字方便一些。

         如果以上方法全部都教、都要求掌握,无疑增加了学生的负担,估计教学效果也不会好。那么,如何选择合适的方法就不单是令我们一线教师纠结的问题,也是教材编写者需要研究和思考的事情。      

    多数版本教材,都是先通过“列举法”进行概念教学,说明列举法是核心,也是能阐述公因数和公倍数本质的基础方法,所以每一个版本教材都是作为最重要的基础性方法来呈现。列举法很有优势,算理清晰,呈现有序,但它有着局限性,数字若更大些,列举法就不方便了。部分老师强调短除法这种“简单朴素”的方法是有道理的,但是仅仅强调“短除法”就有点偏颇了!在教学时,老师肯定要带着孩子思考,利用好教材中的素材,帮助孩子梳理总结方法!

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    在小学阶段,数据不大,“列举法”是足够用了,作为课堂教学补充,要适当介绍短除法和其他方法,但是要求不宜太高,给一部分同学多一些选择,各种方法本质相通,作为视野拓展也是极好的。

    这几种方法是密切相关的。分解质因数中的公有的质因数,就是短除法中除数,各自独有的质因数就是短除法中的商;而倍数关系中的小数,其实就是公有的质因数的积,大数就是公有的质因数与他们各自独有的质因数的积;小数缩倍就是从最大的因数开始找两个数的公因数的,从而少了弯路,走了捷径。

     教学当有取舍,求最大公因数和最小公倍数这些方法之间有一定的联系和区别,在短短的一节课里面,什么方法应该教,什么方法可以不教,大家结合自己教学特点和学生情况,酌情处理。

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空空如也

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最大公因数和最小公倍数