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  • matlab下有用的函数
  • 有关 多维正态随机变量的条件概率密度函数推导过程以及 条件期望和条件方差的表达式。

    1、结论

    条件概率密度、条件期望、条件方差的表达式如下:

    2、推导

    可以把目的描述成下面的样子:

    分块矩阵求逆及矩阵反演公式由来:https://blog.csdn.net/Gou_Hailong/article/details/121062002



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  • 概率密度函数估计

    万次阅读 2017-06-03 17:58:39
    最常用的就是比较后验概率的大小,进行类别决策。(也就是基于最小错误率的分类器,还有其他的比如基于最小风险,NP决策等)。  如何理解呢,说一个例子,比如一个班里面的男女比例为2:1,那么也就是说男生占2/3...

            首先来看贝叶斯决策,贝叶斯分类器就是根据如下贝叶斯公式来设计的。最常用的就是比较后验概率的大小,进行类别决策。(也就是基于最小错误率的分类器,还有其他的比如基于最小风险,NP决策等)。


            如何理解呢,说一个例子,比如一个班里面的男女比例为2:1,那么也就是说男生占2/3,女生占1/3。这个呢就叫做类别的先验概率(类别就是男生、女生),对应公式上的p(w)。接着假设这个班上男生翘课的概率为3/4,女生翘课的概率为1/4,那么这个就叫做类条件概率,也就是类别约束(男生或者女生)下,事件(翘课)的概率,对应上面公式的p(x|w)。需要注意:先验概率满足总和为1的约束,类条件概率不满足总和为1的约束。这也很好理解,因为所有的类别都是固定的,那么一个个体总是属于某个类别中的一个,而类条件概率,比如男生缺课和女生缺课是相互独立的事件,则缺课的概率p(x)=2/3 * 3/4 + 1/3*1/4=7/12。因为不存在约束关系,所以也就不满足总和为1的约束。


            上面的例子,现在假设有一个人缺课了,但是不知道是男生还是女生,怎么判断?基于最小错误率的贝叶斯分类器就是利用贝叶斯公式,由先验概率和类条件概率计算后验概率,比较大小,然后进行决策。缺课条件下是男生的概率为(2/3 * 3/4)/ 7/12 = 6/7;缺课条件下是女生的概率为(1/3 * 1/4)/ 7/12 = 1/7。也就是说一个人缺课了,它是男生的概率较大。


            但是在实际问题中并不都是这样幸运的,我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据,而先验概率和类条件概率都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时,一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计,然后再套用贝叶斯分类器。


            先验概率的估计较简单,1、每个样本所属的自然状态都是已知的(有监督学习);2、依靠经验;3、用训练样本中各类出现的频率估计。

            类条件概率的估计(非常难),原因包括:1、概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息;2、概率密度函数可以是满足下面条件的任何函数;3、在很多情况下,已有的训练样本数总是太少;4、当用于表示特征的向量x的维数较大时,就会产生严重的计算复杂度问题(算法的执行时间,系统资源开销等)。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。


            于是就出现了概率密度函数的估计问题,这了讨论的主要是对类条件概率的估计。估计的方法分为两大类:

            参数估计(parametric):

            参数估计法,样本所属的类别和类条件概率密度函数形式已知,而表征概率密度函数的某些参数是未知的。要求由已知类别的训练数据样本集,对概率密度的某些参数进行统计估计。如:

            最大似然估计

            Bayesian估计


            非参数估计(non-parametric):

            已知样本所属类别,但未知概率密度函数的形式,要求不用模型,而只利用训练数据本身对概率密度做估计。              Parzen窗方法

             Kn近邻估计



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  • 通过Matlab实现了FSO链路的负指数分布、K分布、Gamma-Gamma分布模型的概率密度函数,可以对比分析三种分布的概率密度函数,并可以根据画出不同湍流强度条件下的pdf。
  • 概率密度函数解释

    2021-01-14 19:42:56
    概率密度函数f(x),表示随机变量x出现在某个确定点的概率。 结合图像来理解,用最常见的正态分布图为例吧。 图中f(9)约=0.19,表示随机变量x在9这个值的出现概率为0.19,比如一堆小孩子,x表示小孩子的年龄,9岁的...
    • 这一部分属于概率论的知识,学过却有些生疏了,但是单纯为了了解这个再重新读一遍概率论有些奢侈,就用到什么知识就百度什么知识了,然后记录在博客里以防忘记。
    • 概率密度函数f(x),表示随机变量x出现在某个确定点的概率
    • 结合图像来理解,用最常见的正态分布图为例吧。
      在这里插入图片描述
      图中f(9)约=0.19,表示随机变量x在9这个值的出现概率为0.19,比如一堆小孩子,x表示小孩子的年龄,9岁的小孩子大约占0.19(19%)。所以这个函数f(x)就是概率密度函数。
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  • 概率密度函数的估计

    千次阅读 2018-10-09 20:33:20
    之前的博客中已经提到,贝叶斯决策的基础是概率密度函数的估计,即根据一定的训练样本来估计统计决策中用到的先验概率P(wi)P(w_i)P(wi​)和类条件概率密度p(x∣wi)p(x|w_i)p(x∣wi​)。 概率密度函数的估计分为参数...

    之前的博客中已经提到,贝叶斯决策的基础是概率密度函数的估计,即根据一定的训练样本来估计统计决策中用到的先验概率 P ( w i ) P(w_i) P(wi)和类条件概率密度 p ( x ∣ w i ) p(x|w_i) p(xwi)
    概率密度函数的估计分为参数估计和非参数估计。

    极大似然估计

    极大似然估计属于一种典型的参数估计法。
    在最大似然估计(maximum likelihood estimation)中,我们做以下基本假设:

    1. 待估计参数 θ \theta θ是确定但未知的量;
    2. 每类中的样本满足独立同分布条件;
    3. 类条件概率密度 p ( x ∣ w i ) p(x|w_i) p(xwi)具有某种确定的函数形式,只是其中的参数未知;
    4. 不同类别的参数是独立的。

    设样本集包含 N N N个样本,即 S = { x 1 , x 2 , . . . , x N } S=\{x_1,x_2,...,x_N\} S={x1,x2,...,xN},由于样本是独立地从 p ( x ∣ θ ) p(x|\theta) p(xθ)中抽取的,所以在概率密度为 p ( x ∣ θ ) p(x|\theta) p(xθ)时获得样本集 S S S的概率即出现 S S S中的各个样本的联合概率是:
    l ( θ ) = p ( S ∣ θ ) = p ( x 1 , x 2 , . . . , x N ∣ θ ) = ∏ i = 1 n p ( x i ∣ θ ) l(\theta)=p(S|\theta)=p(x_1,x_2,...,x_N|\theta)=\prod_{i=1}^np(x_i|\theta) l(θ)=p(Sθ)=p(x1,x2,...,xNθ)=i=1np(xiθ)
    这个概率反映了在概率密度函数的参数是 θ \theta θ时,得到这组样本的概率。上述公式称作参数 θ \theta θ相对于样本集 S S S的似然函数(lielihood function)。
    对于未知参数 θ \theta θ,我们从一次抽样中得到了 N N N个样本,求解所抽取的这组样本来自哪个密度函数( θ \theta θ取什么值)的可能性最大的过程就是最大似然估计。为了方便分析,还可以定义对数似然函数:
    H ( θ ) = ln ⁡ l ( θ ) = ln ⁡ ∏ i = 1 n p ( x i ∣ θ ) = ∑ i = 1 n ln ⁡ p ( x i ∣ θ ) H(\theta)=\ln l(\theta)=\ln \prod_{i=1}^np(x_i|\theta)=\sum_{i=1}^n\ln p(x_i|\theta) H(θ)=lnl(θ)=lni=1np(xiθ)=i=1nlnp(xiθ)
    很显然,使对数似然函数最大的 θ \theta θ值也使似然函数最大。

    最大似然估计的求解
    似然函数的未知量只有 θ \theta θ,在该函数满足连续、可微的条件下,如果 θ \theta θ是一维变量,其最大似然函数估计量就是如下微分方程的解: d l ( θ ) d θ = 0 \frac{dl(\theta)}{d\theta}=0 dθdl(θ)=0。当 θ \theta θ是多维变量时,求解过程需要对 θ \theta θ的每一维分别求偏导,来对似然函数求梯度并令其等于零。在某些情况下,似然函数可能有多个极值,因此可能有多个解,其中使似然函数最大的那个解才是最大似然估计量。
    正态分布下的最大似然估计,有两个参数(均值 μ 和 方 差 σ 2 \mu和方差\sigma^2 μσ2)为未知,分布对两个未知参数求偏导,可以解得:
    在这里插入图片描述
    其实就是各类训练样本的均值和方差。

    贝叶斯估计

    贝叶斯估计是另一类主要的参数估计方法,其结果在很多情况下与最大似然法相同或几乎相同。与极大似然估计相比,贝叶斯估计的优势不但在于使用样本中提供的信息进行估计,而且能够很好地把参数估计的先验知识融合进来,并且能够根据数据量大小和先验知识的确定程度来调和两部分信息的相对贡献,这在很多实际问题中是非常有用的。
    最大似然估计是把待估计的参数当做未知但固定的量,要做的是根据观察数据估计这个量的取值;而贝叶斯估计则把待估计的参数本身也看作是随机变量,要做的是根据观测数据对参数的分布进行估计,除了观测数据外,还可以考虑参数的先验分布。

    :如无特殊说明,以上大部分内容为摘选自张学工所著《模式识别》。

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  • 联合概率密度函数

    千次阅读 2020-09-25 15:24:46
    条件概率密度函数: 边缘概率密度函数: 随机变量G的条件期望:
  • 理解概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-10-31 16:37:41
    概率密度函数是概率论中的核心概念之一,用于描述连续型随机变量所服从的概率分布。在机器学习中,我们经常对样本向量x的概率分布进行建模,往往是连续型随机变量。很多同学对于概率论中学习的这一抽象概念是模糊的...
  • parzen窗的matlab实现 本文档实现的是用简单的matlab程序实现parzen窗的设计
  • 联合分布概率密度函数

    万次阅读 2020-01-13 14:55:18
    定义: 二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 随机变量X和Y的联合分布函数是设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y,二元...对于离散变量,联合分布概率密度函数: P(AB) = P(A|B)...
  • 概率密度函数的求解

    万次阅读 2018-08-30 14:54:15
    这里我们使用概率密度函数,来解决这个问题,hr给了个限定标准,作为她可以接受的一个计算结果的预期值: 如果计算的结果的概率,在总体点估计量:概率P的[-0.65, +0.65]区间内,就可以接受这个求得的结...
  • 本文为转载。 Original url: http://m.blog.csdn.net/article/details?id=49130173 Original url: ... 一、先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数 ...
  • 随机样本的生成和概率密度函数的绘制——模式识别课程作业,希望能有所帮助
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  • 似然函数与概率密度函数的区别

    万次阅读 2017-06-04 16:52:41
    在统计学中似然函数(Likelihood function)与概率密度函数(Probability density function)都扮演着重要的角色。本文针对的是其在参数估计(Parameter estimation)中的应用。  现代估计理论在许多设计用来提取信息...
  • 概率函数和概率密度函数

    千次阅读 2020-06-09 08:08:45
    概率密度函数只针对连续型随机变量,因为那样更加直观。对于离散随机变量没有必要使用概率密度。图b是连续型概率密度函数,图a是对应的概率函数。正态分布是概率密度函数,可以非常直观的看出,在3σ\sigmaσ内占据...
  • 关于多元正态分布的条件概率密度

    万次阅读 2017-01-10 21:16:23
    原文来自师兄的博客:...多元正态分布的条件密度 多元正态分布多元正态分布的密度函数如下 : fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))f_{x}(x_{1},...x_{n})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{
  • 1.条件概率 条件概率反应的是在给定A的条件下B的概率 由条件概率可得 由此还可以推出全概率公式,在全概率公式里,P(A)是所有P(AB_i)的求和,对应概率图表中A的偏概率 2.贝叶斯公式 贝叶斯公式由条件概率...
  • 常见的连续概率密度函数

    千次阅读 2015-02-04 20:05:14
    根据该类概率密度函数在样本空间上的积分等于1,可知道 对于均匀多维随机变量,以二维为例 显然 密度函数 密度函数可以用于0~1之间的连续随机变量。密度函数定义如下: ,其中阿尔法,白塔是控制概率密度函数...
  • 左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数。 两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示...
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  • 机器学习_概率密度函数和似然函数

    千次阅读 2017-10-30 19:50:32
    所以我们引入概率密度函数,一目了然看出落在x的某一值附近的概率大小(两方面理解:1.连续不说某一值的概率,而是区间。2.概率的大小是积分,而当积分区域无限小,就可以看成一条直线,即y值)
  • 如何简单理解概率分布函数和概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数 2.1概率函数和...
  • 此处坐标系(X,Y) 转化到了(X,n) 用到了雅可比坐标转化行列式 雅可比变换公式的推到 就是要求这个面积系数 类似于这样的变量积分都可以用变量代换算 这个是先证明局部,再证明整体 ...
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  • 大学的时候,我的《概率论和数理...今天我就讲讲应该如何理解概率分布函数和概率密度函数的问题。是不是乍一看特别像,容易迷糊。如果你感到迷糊,恭喜你找到我当年的感觉了。 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起
  • 在学习集成学习时,周志华老师的西瓜书中出现了P(⋅)P(·)P(⋅)和P(⋅∣⋅)P(·|·)P(⋅∣⋅)分别为概率质量函数条件概率质量函数,在此进行扩充。 (注:研究一个随机变量,不只要看它能取什么值,更重要的是更...
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空空如也

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