1.平面拟合

2.参考文献

[1]安超,赵文政,刘银华.面向车身虚拟匹配的非均匀点云数据配准算法[J].机械设计与研究,2021,37(04):129-134.DOI:10.13952/j.cnki.jofmdr.2021.0151.

3.操作流程

  通过Tools > Fit > Plane菜单访问。该工具在点云上拟合一个平面，并输出各种信息，如拟合均数、平面法线，甚至地质倾角和倾角方向值。

在控制台中，将输出以下信息:

• 平面拟合的RMSE
• 平面法向量(法向方向默认为指向Z坐标轴的正方向)
• 倾角和倾角方向
• 一个能够使拟合平面调整为水平的4x4变换矩阵

注意：

• 拟合出的平面会被添加到DB树中，作为点云的子节点
• 拟合出来的是一种“三角网格”。因此，可以使用Tools > Distances > Cloud/Mesh dist计算它们之间的距离

4.完整操作

5.相关代码

[1] PCL 最小二乘平面拟合(SVD法)
[2] PCL 使用RANSAC拟合平面
[3] PCL RANSAC分割多个平面
[4] PCL 中实现平面模型分割
[5] Open3D 最小二乘拟合平面(SVD法)
[6] Open3D——RANSAC三维点云平面拟合
[7] Open3D 使用RANSAC分割平面
[8] matlab RANSAC拟合平面
[9] matlab 最小二乘拟合平面（SVD法）

一、算法原理

1、概述

  随机抽样一致性算法RANSAC(Random sample consensus)是一种迭代的方法来从一系列包含有离异值的数据中计算数学模型参数的方法。
  RANSAC算法本质上由两步组成，不断进行循环：
  (1)从输入数据中随机选出能组成数学模型的最小数目的元素，使用这些元素计算出相应模型的参数。选出的这些元素数目是能决定模型参数的

     点云法向量估计的主要思路是对K-近邻的N个点进行平面拟合（平面过N点重心），平面法向量即为所求；所以求法向量就是变相的求拟合平面。

下面我们用最小二乘法求k近邻点云的拟合平面：

当 ||x||＝1时，Ax=0的最小二乘解是ATA的最小特征值对应的特征向量等同于：ATA的最小特征值所对应的特征向量可使||Ax||最小。

结论：假设k-近邻点矩阵B，B为k*3的矩阵，则根据B拟合平面的法向量就是BTB对应的最小特征向量；

同理我们可以得出BTB对应的最大特征向量就是拟合平面的方向向量。（这里的前提是：B已经去中心化）

实际上，求一组点的拟合平面的过程，就是求其PCA的过程。因为PCA也是可以通过最小化投影距离推导出来的。即样本点到这个超平面的距离足够近。

PCA的推导:基于最小投影距离

重建：

     上式中的x'其实表示原样本点在新的基下的拉伸程度系数，我们把拉伸系数再乘上对应的基向量（在原坐标系下的方向向量），就相当于求出投影后的样本点在原坐标系下的坐标。以三维坐标为例，将点P（x,y,z）投影到一个平面内，变成二维坐标M（x',y'）,平面使用2个基向量（基向量是3维）表示，（x',y'）再与2个基向量相乘求和，就得到点M在原三维空间的坐标。

即样本点到这个超平面的距离足够近。