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  • matlab常用函数——矩阵函数
    千次阅读
    2020-05-08 11:20:20

    五、数组和矩阵函数

    1)数组基本函数

    display:显示字符或者数组

    isempty :判断数组是否为空,空返回1,不空返回0

    isequal :判断数组是否相同 (认为NaN不同)

    isequalwithequalnans:判断数组是否相同,把NaN看成相同的数

    isfinite :判断数组元素是否为有限数 

    isfloat :判断数组元素是否为浮点数

    isinf :判断数组元素是否为无限数

    isinteger :判断元素是否为整数

    islogical :判断元素是否为逻辑变量

    isnan :判断元素是否为NaN

    isnumeric :判断数组元素是否为数值

    isscalar :判断输入是不是离散量

    issparse :判断矩阵是否为稀疏矩阵

    isvector :判断输入是否为向量

    length :计算向量的长度

    max :找出向量中的最大元素

    C=max(A) A为一个向量,返回向量最大值,矩阵A,返回每列向量最大值

    C=max(A,B) A、B维数一样,返回对应位置最大元素

    max(A,[],dim)

    [C,I]=max(A)找出最大值和索引

    min :找出向量中的最小元素

    ndims :计算矩阵的维数   ndims同length(size(x)) 一致

    numel:计算数组中元素的个数或者下标数组表达式的个数 

    size :计算数组维数大小  d=size(X) [m,n]=size(X)m行n列 m

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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    通过相似对角化求矩阵函数

    在这里插入图片描述
    本段摘自 程云鹏. 矩阵论(第二版)[M]// 矩阵论(第二版). 西北工业大学出版社, 2000. p158
    在这里插入图片描述

    通过Jordan标准形求矩阵函数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    本段摘自 程云鹏. 矩阵论(第二版)[M]// 矩阵论(第二版). 西北工业大学出版社, 2000. p159

    待定系数法求矩阵函数

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    本段摘自 程云鹏. 矩阵论(第二版)[M]// 矩阵论(第二版). 西北工业大学出版社, 2000. p153
    在这里插入图片描述
    摘自 张绍飞, 赵迪. 矩阵论教程[M]. 机械工业出版社, 2012. 4.4节 矩阵函数

    展开全文
  • MATLAB求解矩阵函数

    千次阅读 2020-11-16 16:29:16
    MATLAB求解矩阵函数0. 说明1. 矩阵函数介绍2. 矩阵函数求解方法2.1 例子介绍2.2 jordan标准型法2.3 最小多项式法2.4 两种方法计算结果相同3. 一般矩阵运算函数不可用4. 矩阵函数求解函数funm()5. 多多点赞关注,多多...

    0. 说明

    这里的 1-2 节涉及到矩阵函数的一般求法。

    第 3 节演示了为什么不能用普通的运算函数求矩阵函数。

    第 4 节介绍了MATLAB内置的矩阵函数求解函数。

    如果赶时间,直接看第 4 节即可!!!

    1. 矩阵函数介绍

    直接查看百度百科吧,我也说不太清楚:矩阵函数

    总的来说,矩阵函数的求解方式和一般的标量方式不一样。

    常用的矩阵函数有:

    1. exp(A)
    2. log(A)
    3. sin(A)
    4. cos(A)
    5. sinh(A)
    6. cosh(A)

    MATLAB内置的求解方案也只能求解这6类矩阵函数

    2. 矩阵函数求解方法

    2.1 例子介绍

    这里以矩阵:在这里插入图片描述

    为例,求解其矩阵函数 sinA。求解方案在百度百科里面有两种。

    2.2 jordan标准型法

    1. 求出A的jordan标准型 J 和伴随矩阵 P
      在这里插入图片描述
      可以看到其特征值 λ1 = λ2 = λ3 = 2;

    2. 计算需要的标量函数值

    我们的函数是 f(z)=sinz。根据jordan矩阵和特征值,我们知道需要 f(2) 和 f‘(2)来构造f(J).

    在这里插入图片描述

    1. 根据公式构造 f(J)
      在这里插入图片描述
    2. 根据 f(J) 和 P 计算矩阵函数
      在这里插入图片描述

    2.3 最小多项式法

    1. 求矩阵的最小多项式
      在这里插入图片描述
      可以看到,最小多项式为 m=x²-4x+4=(x-2)²,有两个相同的特征根。

    2. 计算需要的标量函数值

    我们的函数是 f(z)=sinz,根据定理需要计算 f(2) 和 f’(2),和上面jordan求法相同。
    在这里插入图片描述

    1. 计算构造量C0和C1

    令 g(λ) = C0+C1*λ (根据定理,f 与之相同)

    则,f(2)=g(2)=C0+2C1 f’(2)=g’(2)=C1;

    f(2)和f’(2)上文已经求出,所以由此可以解出C0和C1:
    在这里插入图片描述

    1. 根据定理直接构造 f(A)

    很简单,f(A)=C0I+C1A,如下:
    在这里插入图片描述

    2.4 两种方法计算结果相同

    3. 一般矩阵运算函数不可用

    刚开始我以为MATLAB普通的运算符会直接为我们计算矩阵函数,实际上并不是这样。

    我们的例子是 sin(A),这里试一下:
    在这里插入图片描述
    显然,这里是直接对每个元素求sin,不符合我们的要求。

    4. 矩阵函数求解函数funm()

    步入正题。这里才是MATLAB内置的函数矩阵的求解函数:funm()

    官方文档介绍如下:
    在这里插入图片描述
    意味着可以计算常用函数的矩阵函数,调用形式也比较清楚。

    我们将其应用到我们的例子中,得到了正确结果:
    在这里插入图片描述
    注:求exp和log也有专有的expm和logm函数,效果和funm一样。

    5. 多多点赞关注,多多交流

    展开全文
  • 用MATLAB计算常规矩阵函数 eAt sinA

    千次阅读 2020-12-28 13:06:52
    矩阵指数 计算和比较A的指数和A的矩阵指数。 A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1]; exp(A) ans = 3×3 2.7183 2.7183 1.0000 1.0000 1.0000 7.3891 1.0000 1.0000 0.3679 expm(A) ans = 3×3 2.7183 1.7183 1.0862...

    矩阵指数

    计算和比较 A 的指数和 A 的矩阵指数。

    A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
    exp(A)
    ans = 3×3
    
        2.7183    2.7183    1.0000
        1.0000    1.0000    7.3891
        1.0000    1.0000    0.3679
    
    expm(A)
    ans = 3×3
    
        2.7183    1.7183    1.0862
             0    1.0000    1.2642
             0         0    0.3679
    

    请注意,两种结果的对角线元素相等,这对于任何三角矩阵都是如此。非对角线元素(包括对角线下方的元素)则不相同。

    funm

    计算常规矩阵函数

    语法

    F = funm(A,fun)
    F = funm(A,fun,options)
    F = funm(A,fun,options,p1,p2,...)
    [F,exitflag] = funm(...)
    [F,exitflag,output] = funm(...)

    说明

    F = funm(A,fun) 计算在方阵参数为 A 时用户定义的函数 funF = fun(x,k) 必须接受向量 x 和整数 k,返回大小相同的 x 的向量 f,其中 f(i) 是在 x(i) 条件下计算的函数 fun 的第 k 个导数。fun 表示的函数必须包含具有无限收敛半径的泰勒级数,被视为特殊情况的 fun = @log 除外。

    您也可以使用 funm 计算下表中列出的特殊函数在 A 处的值。

    函数

    计算矩阵 A 处的函数的语法

    exp

    funm(A, @exp)

    log

    funm(A, @log)

    sin

    funm(A, @sin)

    cos

    funm(A, @cos)

    sinh

    funm(A, @sinh)

    cosh

    funm(A, @cosh)

    对于方阵根,请改用 sqrtm(A)。对于矩阵指数,expm(A) 和 funm(A, @exp) 哪一个更准确取决于矩阵 A

    fun 表示的函数必须包含具有无限收敛半径的泰勒级数。例外是被视为特殊情况的 @log参数化函数 解释如何在必要情况下向函数 fun 提供其他参数。

    F = funm(A,fun,options) 将算法的参数设置为结构体 options 中的值。

    下表列出了 options 的字段。

    字段

    说明

    options.Display

    显示级别

    'off'(默认值)、'on''verbose'

    options.TolBlk

    阻止 Schur 表的容差

    正标量。默认值为 0.1

    options.TolTay

    计算对角线块的泰勒级数的终止容差

    正标量。默认值为 eps

    options.MaxTerms

    泰勒级数项的最大数目

    正整数。默认值为 250

    options.MaxSqrt

    计算对数时,逆缩放和二乘法中计算的最大平方根数。

    正整数。默认值为 100

    options.Ord

    指定 Schur 表 T 的排序方式。

    长度为 length(A) 的向量。options.Ord(i) 是 T(i,i) 所放置到的块的索引。默认值为 []

    F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) 向函数传递额外的输入 p1,p2,...

    [F,exitflag] = funm(...) 返回用于描述 funm 的退出条件的 exitflagexitflag 可以具有下列值:

    • 0 - 算法成功。

    • 1 - 一次或多次泰勒级数计算未收敛,在使用对数的情况下,需要的平方根太多。但是,F 的计算值可能仍然正确。

    [F,exitflag,output] = funm(...) 返回包含以下字段的结构体 output

    字段

    说明

    output.terms

    一个向量,其中 output.terms(i) 是在计算第 i 个块时所使用的泰勒级数的项数,或者在使用对数的情况下,维度大于 2 的矩阵的平方根数。

    output.ind

    重新排序的 Schur 因子 T 的 (i,j) 块为 T(output.ind{i}, output.ind{j}) 的元胞数组。

    output.ord

    传递到 ordschur 时对 Schur 表排序

    output.T

    重新排序的 Schur 表

    如果 Schur 表为对角线,则 output = struct('terms',ones(n,1),'ind',{1:n})

    示例

    示例 1

    以下命令计算 3×3 幻方矩阵的矩阵正弦值。

    F=funm(magic(3), @sin)
    
    F =
    
       -0.3850    1.0191    0.0162
        0.6179    0.2168   -0.1844
        0.4173   -0.5856    0.8185

    示例 2

    以下语句

    S = funm(X,@sin);
    C = funm(X,@cos);

    在舍入误差内生成与下面相同的结果

    E = expm(i*X);
    C = real(E);
    S = imag(E);
    

    在任一情况下,结果都满足 S*S+C*C = I,其中 I = eye(size(X))

    示例 3

    要使用一个对 funm 的调用计算函数 exp(x) + cos(x) 在 A 处的值,请使用

    F = funm(A,@fun_expcos)
    

    其中 fun_expcos 是以下函数。

    function f = fun_expcos(x, k)
    % Return kth derivative of exp + cos at X.
            g = mod(ceil(k/2),2);
            if mod(k,2)
               f = exp(x) + sin(x)*(-1)^g;
            else
               f = exp(x) + cos(x)*(-1)^g;
            end	

     A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2&1 & -1\\ 1& 3 &-1 \\ 1& 2& 0 \end{smallmatrix}\bigr)_e{At},_e{A},sin{A}

    A=[2 1 -1
        1 3 -1
        1 2 0];
    A = sym(A);
    syms t;
    expm(A.*t)
    expm(A)
    funm(A, @exp)

     

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