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  • 矩阵对角化python
    2020-12-03 11:18:38

    我使用scipy中的linalg来得到155X156矩阵的e值和特征向量。然而,与矩阵相比,特征值的阶数似乎是随机的。我希望第一个特征值对应于矩阵中的第一个数。请看下面我的例行程序。我首先读取的是一个包含所有浮点数的文件(1u1o.dat)2533297.650278 -2373859.531153

    37695.845843 425449.129032

    然后我把它们当作数组来读

    ^{pr2}$

    然后重塑成156X156矩阵。我想把所有的特征值和相应的特征向量按矩阵读取的顺序打印出来。我知道最后我的特征值(156个数字)应该从小到高列出,而不是像现在的程序那样随机。当然,对应特征向量的阶数也是一样的。有人能帮我吗?在

    谢谢。在from scipy import linalg

    from scipy.linalg import *

    file2 = open('1_1f.dat', 'w')

    with open('1_1o.dat', 'rU') as file:

    File = file.readlines()

    nums2 = np.array(File)

    nums2 = [float(i.rstrip('\n')) for i in nums2[0].split()]

    nums2 = np.reshape(nums2, (156, 156))

    print eig(nums2)

    print >> file2, eig(nums2)

    file2.close()

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    1.矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix)

    笔记参考来源:Visualizing Diagonalization & Eigenbases

    1.1 对角矩阵的优点

    对角矩阵优点1:

    我们观察到对角矩阵只是对标准基进行了缩放,而没有进行旋转(这里的性质和特征向量有些类似!!!)这大大提高了线性变换的确定性(尤其对于高维空间中的线性变换),同时也大大简化了计算量



    对角矩阵优点2:

    特别容易求出对角矩阵的逆矩阵

    1.2 求解一般矩阵的特征值和特征向量

    我们将一般矩阵化为对角矩阵


    我们观察到一般矩阵相较于对角矩阵,后者的线性变换较为复杂


    我们求出上述矩阵的特征向量和特征值

    求解矩阵的特征向量、特征值
    方法一:
    A = [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ]   A x ⃗ = λ x ⃗   ( A − λ I ) x ⃗ = 0 ⃗   A − λ I = [ 5 / 4 − λ 3 / 4 3 / 4 5 / 4 − λ ]   d e t ( A − λ I ) = 0   d e t ( A − λ I ) = ( 5 4 − λ ) 2 − ( 3 4 ) 2 = 0   λ 1 = 1 2 、 λ 2 = 2   A x ⃗ 1 = 1 2 x ⃗ 1 、 A x ⃗ 2 = 2 x ⃗ 2   [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 1 a 2 ] = 1 2 [ a 1 a 2 ] 、 [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 3 a 4 ] = 2 [ a 3 a 4 ]   a 1 = − a 2 、 a 3 = a 4   W e   t a k e   a 1 = − 1 、 a 2 = 1 、 a 3 = 1 、 a 4 = 1   x ⃗ 1 = [ 1 1 ] 、 x ⃗ 2 = [ − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4\end{bmatrix}\\ ~\\ A\vec{x}=\lambda \vec{x}\\ ~\\ (A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}\\ ~\\ A-\lambda I=\begin{bmatrix}5/4-\lambda & 3/4\\ 3/4 & 5/4-\lambda\end{bmatrix}\\ ~\\ det(A-\lambda I)=0\\ ~\\ det(A-\lambda I)=(\frac{5}{4}-\lambda)^2-(\frac{3}{4})^2=0\\ ~\\ \lambda_1=\frac{1}{2}、\lambda_2=2\\ ~\\ A\vec{x}_1=\frac{1}{2}\vec{x}_1、A\vec{x}_2=2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}、 \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2、a_3=a_4\\ ~\\ We\ take\ a_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1\\ ~\\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}、 \vec{x}_2= \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} A=[5/43/43/45/4] Ax =λx  (AλI)x =0  AλI=[5/4λ3/43/45/4λ] det(AλI)=0 det(AλI)=(45λ)2(43)2=0 λ1=21λ2=2 Ax 1=21x 1Ax 2=2x 2 [5/43/43/45/4][a1a2]=21[a1a2][5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4] a1=a2a3=a4 We take a1=1a2=1a3=1a4=1 x 1=[11]x 2=[11]
    方法二:
    A = [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ]   d e t   A = ( 5 4 ) 2 − ( 3 4 ) 2 = 1 = λ 1 λ 2   t r   A = 5 4 + 3 4 = 5 2 = λ 1 + λ 2   { λ 1 λ 2 = 1 λ 1 + λ 2 = 5 2   λ 1 = 1 2 、 λ 2 = 2   A x ⃗ 1 = 1 2 x ⃗ 1 、 A x ⃗ 2 = 2 x ⃗ 2   [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 1 a 2 ] = 1 2 [ a 1 a 2 ] 、 [ 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 ] [ a 3 a 4 ] = 2 [ a 3 a 4 ]   a 1 = − a 2 、 a 3 = a 4   W e   t a k e   a 1 = − 1 、 a 2 = 1 、 a 3 = 1 、 a 4 = 1   x ⃗ 1 = [ 1 1 ] 、 x ⃗ 2 = [ − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4\end{bmatrix}\\ ~\\ det\ A=(\frac{5}{4})^2-(\frac{3}{4})^2=1=\lambda_1\lambda_2\\ ~\\ tr\ A=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{2}=\lambda_1+\lambda_2\\ ~\\ \begin{cases} \lambda_1\lambda_2=1\\ \lambda_1+\lambda_2=\frac{5}{2} \end{cases}\\ ~\\ \lambda_1=\frac{1}{2}、\lambda_2=2\\ ~\\ A\vec{x}_1=\frac{1}{2}\vec{x}_1、A\vec{x}_2=2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}、 \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2、a_3=a_4\\ ~\\ We\ take\ a_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1\\ ~\\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}、 \vec{x}_2= \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} A=[5/43/43/45/4] det A=(45)2(43)2=1=λ1λ2 tr A=45+43=25=λ1+λ2 {λ1λ2=1λ1+λ2=25 λ1=21λ2=2 Ax 1=21x 1Ax 2=2x 2 [5/43/43/45/4][a1a2]=21[a1a2][5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4] a1=a2a3=a4 We take a1=1a2=1a3=1a4=1 x 1=[11]x 2=[11]

    1.3 矩阵对角化

    特征向量矩阵 X X X
    X = [ x ⃗ 1 x ⃗ 2 ] = [ 1 − 1 1 1 ] X=[\vec{x}_1\quad\vec{x}_2]= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} X=[x 1x 2]=[1111]

    特征值矩阵 Λ \Lambda Λ
    Λ = [ λ 1 0 0 λ 2 ] = [ 2 0 0 1 / 2 ] \Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} Λ=[λ100λ2]=[2001/2]
    特征向量矩阵的逆矩阵 X − 1 X^{-1} X1

    X − 1 = 1 d e t   X [ 1 1 − 1 1 ] = 1 2 [ 1 1 − 1 1 ] = [ 1 / 2 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 ] X^{-1}=\frac{1}{det\ X} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} X1=det X1[1111]=21[1111]=[1/21/21/21/2]

    将矩阵 A A A 进行分解
    A = X Λ X − 1 = [ 1 − 1 1 1 ] [ 2 0 0 1 / 2 ] [ 1 / 2 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 ] A=X\Lambda X^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} A=XΛX1=[1111][2001/2][1/21/21/21/2]

    其中 X X X 是由矩阵的各个特征向量组成的矩阵、 Λ \Lambda Λ 是由矩阵的各个特征值组成的


    对矩阵 X 、 Λ 、 X − 1 X、\Lambda、X^{-1} XΛX1 对应的线性变换过程的可视化


    矩阵 X − 1 X^{-1} X1 将特征向量转换到了标准基的位置(我们将此时的特征向量称其为特征基



    矩阵 Λ \Lambda Λ特征基缩放了特征值大小


    矩阵 X X X 将缩放后的特征基转换到特征向量的原本位置(原标准基的坐标系下)

    1.4 计算 A k A^k Ak



    例子:

    1.5 矩阵对角化的注意事项





    可逆性与可对角化性无关!!!

    展开全文
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    1矩阵对角化方法摘要:本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向量,接着再判断矩阵是否可对角化。关键词:矩阵特征根特征向量对角化...

    1

    矩阵对角化方法

    摘要:

    本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向

    量,接着再判断矩阵是否可对角化。

    关键词:

    矩阵

    特征根

    特征向量

    对角化

    The Methods of the Diagonalization of the Matrix

    g

    Abstract:

    In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional

    methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic

    roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

    Key words:

    Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

    1

    、引言

    对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性,

    而矩阵对角化方法

    有很多,

    如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵,

    通过配方法将其化为标

    准形从而实现矩阵的对角化,再如通过求解特征根和特征向量方法,首先求解

    0

    |

    |

    A

    E

    得特征根

    i

    ,然后对每一个

    i

    ,解方程组

    0

    )

    (

    X

    A

    E

    i

    得特征向量,即

    寻找一个可逆矩阵

    T

    ,使得

    AT

    T

    1

    ,

    其中

    为对角阵,于是可得

    1

    T

    T

    A

    ,从而

    1

    T

    T

    A

    n

    n

    ,

    在这个对角化过程中,

    中的元素即为矩阵

    A

    的特征根,

    T

    中每个列向

    量即为矩阵

    A

    的属于每个特征根的特征向量。

    本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵

    对角化方法,

    即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角

    形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量,同时判断矩阵是否可对角化。

    2

    、讨论对于有

    n

    个特征单根的

    n

    阶方阵

    1

    .

    2

    基本原理

    引理

    1

    :设

    A

    是秩为

    r

    n

    m

    阶矩阵,且

    展开全文
  • 矩阵对角化,SVD分解

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    矩阵对角化

    矩阵的相似

    A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B 为两个 n n n阶矩阵,若存在可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P,使得
    P − 1 A P = B \boldsymbol{P}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} P1AP=B
    则称 A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B 相似。特别的,如果 B \boldsymbol{B} B 为对角形矩阵,则称 A \boldsymbol{A} A 可(相似)对角化

    n n n阶矩阵 A A A可对角化的充要条件: A \boldsymbol{A} A n n n个线性无关的特征向量 X 1 , X 2 , . . . X n \boldsymbol{X_{1}},\boldsymbol{X_{2}},...\boldsymbol{X_{n}} X1,X2,...Xn。具体的证明我们不在此展开,只做几点说明:

    1. n n n 阶矩阵 A \boldsymbol{A} A m m m 个不同特征值(方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 \left | \lambda \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A}\right |=0 λEA=0 m m m 个不同实根),则不同特征值对应的特征向量线性无关
    2. 存在 A \boldsymbol{A} A 属于某个特征值的线性无关特征向量
    3. P − 1 A P = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) \boldsymbol{P}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}) P1AP=diag(λ1λ2...λn) 时, d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}) diag(λ1λ2...λn) n n n个主对角元是 A \boldsymbol{A} A n n n个特征值(含重根); A \boldsymbol{A} A 分别属于 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n} λ1λ2...λn 的线性无关特征向量 X 1 , X 2 , . . . X n \boldsymbol{X_{1}},\boldsymbol{X_{2}},...\boldsymbol{X_{n}} X1,X2,...Xn 构成了可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 的列向量

    实对称矩阵的对角化

    考虑实对称矩阵的对角化,有如下结论:

    1. n n n阶实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值都是实数(证明思路:对表达式 A X = λ X \mathbf{AX=\lambda X} AX=λX 左乘复特征向量的共轭转置 X ˉ T \mathbf{\bar{X}^{T}} XˉT,推出 λ \lambda λ 为实数)
    2. 实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 不同特征值对应的特征向量正交(证明思路:列出 A \boldsymbol{A} A 两组不同的特征方程,分别左乘另一个复特征向量的共轭转置,两端取转置后方程相减)
    3. 属于 A \boldsymbol{A} A 的同一个特征值的一组线性无关特征向量不一定正交,但可用施密特正交方法将其正交化
    4. 一定存在正交矩阵 Q \mathbf{Q} Q (满足 Q − 1 = Q T \mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^{T} Q1=QT),使得 Q − 1 A Q \boldsymbol{Q}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} Q1AQ 为对角形矩阵
    5. n n n阶实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 存在 n n n个正交的单位特征向量

    SVD分解

    特征值分解只能用于可逆方阵,奇异值分解(SVD)适用于任意 m × n \mathit{m}\times\mathit{n} m×n 矩阵,定义如下:

    A \boldsymbol{A} A 是一个 m × n \mathit{m}\times\mathit{n} m×n 矩阵,则存在一个分解,使得
    A = U Σ V ∗ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*} A=UΣV
    其中 U \boldsymbol{U} U m × m m\times m m×m 酉矩阵(满足 U − 1 = U ∗ \boldsymbol{U^{-1}}=\boldsymbol{U}^{*} U1=U), Σ \Sigma Σ m × n m\times n m×n 非负实对称矩阵, V ∗ \boldsymbol{V}^{*} V V \boldsymbol{V} V 的共轭转置,是 n × n n\times n n×n 酉矩阵.

    求解 U \boldsymbol{U} U, Σ \Sigma Σ, V \boldsymbol{V} V 矩阵

    给定一个 A m × n \boldsymbol{A_{m\times n}} Am×n 的奇异值分解,有:
    A ∗ A = V Σ ∗ U ∗ U Σ V ∗ = V ( Σ ∗ Σ ) V ∗ \boldsymbol{A^{*}A}=\boldsymbol{V}\Sigma^{*}\boldsymbol{U}^{*}\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*}=\boldsymbol{V}(\Sigma^{*}\Sigma)\boldsymbol{V}^{*} AA=VΣUUΣV=V(ΣΣ)V
    A A ∗ = U Σ V ∗ V Σ ∗ U ∗ = U ( Σ Σ ∗ ) U ∗ \boldsymbol{AA^{*}}=\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*}\boldsymbol{V}\Sigma^{*}\boldsymbol{U}^{*}=\boldsymbol{U}(\Sigma\Sigma^{*})\boldsymbol{U}^{*} AA=UΣVVΣU=U(ΣΣ)U
    关系式右边描述了关系式左边的特征值分解,于是:

    • A ∗ A \boldsymbol{A^{*}A} AA n n n个特征向量(右奇异向量)组成了 V \boldsymbol{V} V 的列向量
    • A A ∗ \boldsymbol{AA^{*}} AA m m m个特征向量(左奇异值向量)组成了 U \boldsymbol{U} U 的列向量
    • Σ \Sigma Σ 的非零对角元(非零奇异值)是 A ∗ A \boldsymbol{A^{*}A} AA A A ∗ \boldsymbol{AA^{*}} AA 的非零特征值(为啥相同?)的平方根,即 Σ = [ σ 1 0 0 0 0 σ 2 ⋯ 0 0 0 ⋱ σ r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] m × n \Sigma=\begin{bmatrix} \sigma_{1}& 0& 0& 0 \\ 0& \sigma_{2}& \cdots& 0 \\ 0& 0& \ddots& \sigma_{r} \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \end{bmatrix}_{m\times n} Σ=σ1000σ20000σrm×n,其中 r = r a n k ( A ) r=rank(\boldsymbol{A}) r=rank(A)(思考为什么?)且 m > r \mathit{m}>\mathit{r} m>r σ i = λ i ( i = 1 , 2 ⋯ r ) \sigma _{i}=\sqrt{\lambda _{i}}(i=1,2\cdots r) σi=λi (i=1,2r)

    补充1: A A T \boldsymbol{AA^{T}} AAT 性质

    • 对称性: ( A T A ) T = A A T (\boldsymbol{A^{T}A})^{T}=\boldsymbol{AA^{T}} (ATA)T=AAT
    • 半正定性:对任意非零向量 x n × 1 x_{n\times1} xn×1 ,有 x T ( A T A ) x = ( A x ) T ( A x ) ⩾ 0 \boldsymbol{x^{T}}(\boldsymbol{A^{T}A})\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{Ax})^{T}(\boldsymbol{Ax})\geqslant 0 xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)0

    补充2:奇异值分解 Vs.特征值分解
    SVD_EigenDecomposition

    补充3:正定和半正定矩阵的性质

    • 正定矩阵的行列式恒为正;
    • 实对称矩阵 A A A正定当且仅当 A A A与单位矩阵合同;
    • 对于 n n n阶实对称矩阵 A A A,下列条件是等价的:正定矩阵=一切主子式均为正=一切顺序主子式均为正=特征值均为正;
    • 对于 n n n阶实对称矩阵 A A A,下列条件是等价的:半正定矩阵=所有的主子式非负(顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的)

    SVD分解的应用
    SVD-application

    参考链接

    1. 中文维基 奇异值分解
    2. 中文维基 可对角化矩阵
    3. 博客园 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
    4. 知乎 矩阵对角化与奇异值分解
    5. Markdown语言教程
      Markdown 插入链接
      Markdown 编辑器语法指南
      MarkDown 插入数学公式实验大集合
      如何在Markdown中写公式
    展开全文
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空空如也

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矩阵的对角化

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