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  • 矢量代数课件

    2013-06-22 07:01:31
    学习理论力学的先行知识,理论理论学中力偶的合成,简化等需要应用矢量代数的计算。
  • 表示:两个矢量的标积是一个标量,其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第一个矢量上的投影。Q是指这两个适量的夹角 (1) (2)反之也成立。 (3)两个矢量平行、反平行时,标积最大、最小。 由此可以...

    鉴于我已经1个半月没有听过物理课了(准确来说,没有听过一节物理课),我要开始补课了,哈哈哈~

    下节一定好好听 ^_^

    标积或点积

    表示:两个矢量的标积是一个标量,其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第一个矢量上的投影。Q是指这两个适量的夹角

    (1)

    (2)反之也成立。

    (3)两个矢量平行、反平行时,标积最大、最小。

    由此可以知道:

    矢量的矢积或叉乘 

    (1)两个矢量的矢积是一个矢量

    (2)大小:两个矢量的大小与两矢量夹角的正弦值的乘积

    (3)方向:右手螺旋定则确定。

    由上式,可以得到:

      利用行列式可以写成:

    举例(叉乘):

                 

     

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  • 当然,在Heaviside之前就已经有了矢量代数的部分内容了,至少点乘、叉乘已经有了。Heaviside的贡献是引入了算子这个概念。 简介:[2] 向量分析是数学的分支,关注向量场的微分和积分,主要在3维欧几里得空间 中。...

    场的一些数学基础(向量分析基础):

    这里我不得不提及Oliver Heaviside(自学成才的怪杰,也是向量分析的创始人之一)。

    1、Logic can be patient for it is eternal.
    2、Mathematics is of two kinds, Rigorous and Physical. The former is Narrow: the latter Bold and Broad. To have to stop to formulate rigorous demonstrations would put a stop to most physico-mathematical inquiries. Am I to refuse to eat because I do not fully understand the mechanism of digestion? [1]
    • 向量分析是在物理学中叫法,在数学里面古典微分几何包括了向量分析的内容。
    • 当然,在Heaviside之前就已经有了矢量代数的部分内容了,至少点乘、叉乘已经有了。Heaviside的贡献是引入了算子这个概念。

    简介:[2]

    向量分析是数学的分支,关注向量场的微分和积分,主要在3维欧几里得空间
    中。向量分析有时用作多元微积分的代名词,其中包括向量分析,以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中,特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。

    向量分析从 四元数分析发展而来,由约西亚·吉布斯和奥利弗·黑维塞于19世纪末提出,大多数符号和术语由吉布斯和Edwin Bidwell Wilson在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积,不能推广到更高维度,而另一种代数几何的方法,它利用可以推广的外积。

    向量基础:

    向量分析中的基本代数(非微分)运算被称为矢量代数。

    如果学过线性代数的话,你会认为我在下文中提到的因果关系是很粗糙的,连向量空间的概念都没有就引出了基向量的概念,连基向量都没有说清楚就提到了正交的概念。但是,我总不可能直接跟初学者说这些概念吧,所以我先用直观一点的说法来解释吧。

    更严格的说明我以后有时间再看看能不能另开一篇文章吧。

    简介:(不严格)

    在高中我们知道的向量是有长度、方向的量(高考应该不会特别强调基向量的概念吧),但是这种符合直观的解释视角很狭窄。很难把眼光放到更高的维度上,即使是在三维的情况中,也会对接受向量形式的物理公式有很大阻碍。 所以这里我们采用基向量的方式理解。
    首先,定义向量先要要选取坐标系,这里以直角坐标系为例进行说明。 然后,引入基向量的概念,比如

    ,再用基向量与分量来定义一般情况中的向量。

    比如,在三维情形可以取分量为
    是用来做区分一般的向量,表明这是单位向量,这里代表基向量是特殊情况。与之相对的,
    表示任意长度的向量。


    由于直角坐标系的基向量是正交的(可以认为是垂直的推广),所以可以约定:

    伪矢量;二重向量:

    标量是零维的几何量,向量是一维的有向几何量,类似的,有二维的有向几何量。几何代数中的外代数(exterior algebra)采用了这个一般化的观点定义了 二重向量(bivector)。二重向量即为二维的有向几何量:令 ab 为向量,它们的外积 ab 即为一个二重向量,代表由 ab 围成的平行四边形面积(有向面积),其方向为 ab 的时针方向。所以,外积是反对称的, ab 的方向恰与 ba 相反。另外, aa 是一个“零二重向量”。
    德国数学家赫尔曼·格拉斯曼于1844年的《线性外代数》论文中,将二重向量以二向量外积的方式介绍出来。同时期,爱尔兰数学家威廉·哈密顿于1843年发表了四元数。1888年,英国数学家威廉·金顿·克利福德结合二者并发表了克利福德代数,二重向量才被完整的了解,而成为今日的面貌。

    以下将一直考虑右手系。

    提前说明:

    之后要提到的算子本身是被我们当成了一种形式向量(场),然后参与微分运算的,目的就是为了简化书写。对,真的只能简化书写,算起来依然很复杂,毕竟最后都是要计算的。

    • 标量三重积与向量三重积:[3]

    • 由此可知,

    1. 显然,
      ;
    2. 为什么一般来说
      ?
    拉格朗日恒等式:(向量模长的联系) [4]

    403fad0f686804c19a303c5040591245.png

    请注意,像定比分点公式、判断共线或共面之类的细枝末节我就不介绍了,即使可能存在高观点的证明方法。

    位置向量(三维):

    为了方便起见,我之后只会在证明或定义一些概念的时候才写出基向量,不然都写作

    这样的形式。还有,虽然我是物理系的,我还是更喜欢说向量,而不是矢量。
    1. 关于基向量为什么写成
      ,可能跟赫尔曼·格拉斯曼的写法有关,也可能是因为之后的张量需要i、j这样的角标,我没有明确的答案,只能猜一下了;(若知道答案,欢迎在评论区指正)
    2. 一般位置矢量的正方向是从场点指向源点的,也就是场点一般是起点,源点一般是终点;

    无限小位移向量:

    刚刚的位置向量实际上是将矢量起点选为原点才行的,如果起点不是原点,那就要考虑两个具有不同位置矢量的点的距离关系。

    这就引出了间距向量


    下接:力学与电磁学基础(力场&算子);

    接下来都是私货(拓展):

    拓展:

    四元数简介:

    挖坑中。。。

    张量简介:

    在引入张量指标后,我们可以直接用这个证明


    我们在三维情况中使用的外积是不能够推广到更高的维度上的。对此,有着名为几何代数的领域在研究这个问题(当然也不止这个问题)。

    科普文章:

    转载:原文章链接:关于几何代数(Geometric Algebra); 几何代数:目前看来物理学最好的数学语言
    对于经典几何,有一类以统一模式生成的协变量代数,称为几何代数,它有四大基本成分:表示几何体的格拉斯曼结构;表示几何关系的克利福德乘法;表示几何变换的旋量或张量;表示几何量的括号。
    数学不只是物理学的工具:尽管现有任何学科的理论都不同程度地也必然地依赖于实验,但是可以通过其中物理量内禀的数学性质,深入发掘其中物理量之间的数学关系,使现有理论尽可能地降低对实验的依赖程度。这就是狄拉克、杨振宁早就强调的理论的“数学美”。这样的“数学美”毫不抽象,毫不违背物理学家朴素的唯物主义观点。只不过,我们过去老是把“数学看成物理学的工具”,忽视物理量内禀的数学性质及其相互的数学联系,没有看到这样的数学联系本质上也是物理联系,把数学排斥在“背靠大自然”这一物理学原则之外,更没有把降低现有理论对实验的依赖程度看成是件重要的科学任务。数学美不是简单的美,而是理论达到逻辑上更加简约的程度。这就是我们经常听到理论elegant这个词的重大科学意义。1908年,Caratheodory对热力学第二定律的深化就是一例。

    参考

    1. ^https://www.wanweibaike.com/wiki-%E5%A5%A5%E5%88%A9%E5%BC%97%C2%B7%E8%B5%AB%E7%BB%B4%E8%B5%9B%E5%BE%B7
    2. ^向量分析 https://www.wanweibaike.com/wiki-%E5%90%91%E9%87%8F%E5%88%86%E6%9E%90
    3. ^《电动力学导论》格里菲斯
    4. ^拉格朗日恒等式 https://www.wanweibaike.com/wiki-%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F
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    OpenCASCADE绘制测试线束:简单的向量代数和测量之矢量代数命令

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    我们可以用六维向量pluker坐标来表示一个对偶矢量(dual vector),这个六维的向量可以分成两个部分:原部(real unit)和偶部(dual unit),他们也被称为是原级矢量和次级矢量。原部和偶部每个都包含三个维度,和我们平时的三维空间相对应。普通的对偶矢量我们称为是螺旋量(screw),而如果原部和偶部是相互垂直的,也就是标积为0,我们可以认为偶部是原部的一个线矩,这样这个螺旋量就增加了一个约束,升级成为线矢量(line vector),而如果一个对偶矢量的原部为0的话,我们则把它叫做偶量。我们可以证明任意一个螺旋量可以分解为一个线矢量和一个偶量之和,类似于矢量的正交分解。而这个偶量与原部的比值,是一个可以作为螺旋量特征点的常量,我们称之为节距,通常用h来表示,我们可以通过原部和偶部的点积与原部与原部的点积之商(原偶原方)来计算这个特征,然后求出螺旋量轴线(即线矢量代表的直线)的矢量方程。知道了轴线和节距,我们就知道了螺旋的四要素:轴线位置、螺旋节距、螺旋的大小和方向。
    在这里插入图片描述
    螺旋之间可以进行类似于向量的代数运算,比如求代数和、求标量积、求叉积、互易积等等。
    求代数和时,我们不难发现,两个螺旋的代数和依然是螺旋;而对于带约束的螺旋:线矢量,当两个线矢量不共面的时候,他们的和退化为了普通的螺旋,只有当两个线矢量共面且原部矢量之和不为零的时候,两者之和才保留线矢量的特点,而且他们的和经过两个线矢量的交点。如果两个线矢量平行的话,和的轴线也平行与两周,并且按照等比分点的比例平分两周之间的所有线段。比如定比分为1、-0.5、-2时,我们可以画出如下直线:
    在这里插入图片描述
    分别对应的是内分线段和外分线段,如果定比为0的话,两个矢量之和就是一个偶量了。
    对于叉积和标积,需要把螺旋量通过Clifford标记来分成两个三维的向量分别进行计算,这里需要引入对偶角,这个在相关的论文中可以看到对偶角的特性,主要是Clifford标记的引入会带来一些设定。螺旋的标积是一个对偶数而非向量或者螺旋,而叉积仍然是一个螺旋,这个矢量的叉积和标积非常相似,只不过是将数域拓展到了对偶数域和对偶矢量域中。螺旋的标积满足交换律和分配率,单位螺旋的点积等于他们对偶角的余弦值,单位螺旋的叉积之模数等于他们对偶角的正弦值。如果两个单位螺旋平行,他们的点积等于±1,他们的叉积等于一个公法线方向的偶量(这个在矢量叉积中是没有的);如果垂直相交,两个螺旋的点积为0,叉积则为一个公法线方向的螺旋量。
    从中我们可以看出,矢量的叉积和标积是螺旋叉积和标积的一种特殊的情况。
    互易积是最优意义的一种运算,相当于是两个螺旋的原部和偶部的交叉相乘叠加,如果螺旋量为特殊的线矢量,则互易积就变成了两个线矢量的互矩。
    互易积的计算和原点的选取没有关系,点积的计算和原点的选取也没有关系,但是叉积的计算和原点的选取有关系!

    附绘图的代码:

    import numpy as np
    from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def get_real_dual(Screw):
    	return Screw[:3].copy(),Screw[-3:].copy()
    r_1 = np.array([2,1,1])
    r_2 = np.array([3,1,1])
    S_1 = np.array([1,1,1])
    S_01 = np.cross(r_1,S_1)
    k = -2
    S_2 = k*S_1
    S_02 = np.cross(r_2,S_2)
    Screw_1 = np.hstack((S_1,S_01))
    Screw_2 = np.hstack((S_2,S_02))
    Screw_3 = Screw_1 + Screw_2
    # S_2,S_02 = get_real_dual(Screw_2)
    S_3,S_03 = get_real_dual(Screw_3)
    print(S_1,S_01)
    print(S_2,S_02)
    print(S_3,S_03)
    P_1 = np.cross(S_1,S_01)/np.dot(S_1,S_1)
    P_2 = np.cross(S_2,S_02)/np.dot(S_2,S_2)
    P_3 = np.cross(S_3,S_03)/np.dot(S_3,S_3)
    print(P_1,P_2,P_3) 
    
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    def draw_line_from_screw(P,Screw,color = "r"):
    	# Make the grid
    	x, y, z = np.meshgrid(np.array([P[0]]),
    	                      np.array([P[1]]),
    	                      np.array([P[2]]))   #起点(1, 1, 1)
    
    	# Make the direction data for the arrows
    	u = np.array([Screw[0]])
    	v = np.array([Screw[1]])
    	w = np.array([Screw[2]])    # 方向(2, 4, 5)
    
    	ax.quiver(x, y, z, u, v, w, length=10, normalize=True, color=color,arrow_length_ratio=0) # 模长1
    	ax.set_xlim(-6, 6)
    	ax.set_ylim(-6, 6)
    	ax.set_zlim(-6, 6)
    
    draw_line_from_screw(P_1,Screw_1,color="b")
    draw_line_from_screw(P_2,Screw_2,color="k")
    draw_line_from_screw(P_3,Screw_3)
    plt.show()
    
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