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  • 【线性代数(12)】线性方程组方程组解结构
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    2020-11-11 16:42:14


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    1 线性方程组

    最熟悉的鸡兔同笼的问题,假使鸡兔共八只,腿共20条,请问有多少鸡和兔子?

    古人思路:
    1)抬脚法:兔子抬起两只脚,那么鸡兔共16条腿,剩下4腿就是兔子的,所以兔子2只,鸡6只
    2)落脚法:假使鸡有四条腿,都落下来,鸡兔共32条腿,多的12条腿就是鸡的,所以鸡6只,兔子2只

    如果使用现代的方程组的思路就是:设鸡有 x x x只,兔子 y y y只,方程组为: { x + y = 8 2 x + 4 y = 20 ⇒ { x = 6 y = 2 \begin{cases} x+y =8 \\ 2x + 4y=20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=6 \\ y=2 \end{cases} {x+y=82x+4y=20{x=6y=2

    方程的运算(消元法)基本步骤:
    1)交换两方程
    2)用非零数乘其方程
    3)某方程的 l l l倍加到另一方程
    可以发现消元法解方程就对应着三种初等行变换,因此上面的方程组形式就可以简化一下使用矩阵进行表示,比如计算过程如下
    ( 1 1 8 2 4 20 ) ⇒ ( 1 1 8 0 1 2 ) ⇒ ( 1 0 6 0 1 2 ) \left(\begin{matrix} 1&1&8\\2&4&20\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&1&8\\0&1&2\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&6\\0&1&2\end{matrix}\right) (1214820)(101182)(100162)

    2 方程组有解的判定

    2.1 方程组的向量和矩阵表示

    假使方程组如下,可以转化为向量的表示形式
    { x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 − x 2 − x 3 = − 3 2 x 1 + 9 x 2 + 10 x 3 = 11 ⇒ x 1 ( 1 1 2 ) + x 2 ( 1 − 1 9 ) + x 3 ( 1 − 1 10 ) = ( 1 − 3 11 ) ⇒ x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = β \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3} =1 \\ x_{1}-x_{2}-x_{3} =-3\\ 2x_{1}+9x_{2}+10x_{3} = 11 \end{cases} \Rightarrow x_{1}\left(\begin{matrix} 1\\1\\2\end{matrix}\right)+x_{2}\left(\begin{matrix} 1\\-1\\9\end{matrix}\right)+x_{3}\left(\begin{matrix} 1\\-1\\10\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1\\-3\\11\end{matrix}\right)\Rightarrow x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}=\beta x1+x2+x3=1x1x2x3=32x1+9x2+10x3=11x1112+x2119+x31110=1311x1α1+x2α2+x3α3=β矩阵表示形式:系数矩阵就为方程组变量的所有系数构成的矩阵,记作 A A A,增广矩阵就是在系数矩阵的基础上添加常数项,记作 A ‾ \overline{\text{A}} A
    A = ( 1 1 1 1 − 1 − 1 2 9 10 )    A ‾ = ( 1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 3 2 9 10 11 ) A = \left(\begin{matrix} 1&1&1\\1&-1&-1\\2&9&10\end{matrix}\right)\space \space \overline{\text{A}}= \left(\begin{matrix} 1&1&1&1\\1&-1&-1&-3\\2&9&10&11\end{matrix}\right) A=1121191110  A=11211911101311使用消元法进行方程组的求解,实际上就是对增广矩阵进行初等变换

    2.2 方程组解的判定

    假使最后化简的增广矩阵的式子如下
    ( 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 ) ⇒ { x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 ⇒ 方 程 组 有 唯 一 解 , r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 = 未 知 数 个 数 \left(\begin{matrix} 1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{matrix}\right) \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=1 \\ x_{2} =2\\ x_{3} = 3 \end{cases} \Rightarrow 方程组有唯一解,r(A)=r(\overline{\text{A}})=3=未知数个数 100010001123x1=1x2=2x3=3r(A)=r(A)=3=
    ( 1 0 1 5 0 1 1 9 0 0 0 0 ) ⇒ { x 1 = 5 − x 3 x 2 = 9 − x 3 ⇒ 方 程 组 无 穷 多 解 , r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 < 未 知 数 个 数 \left(\begin{matrix} 1&0&1&5\\0&1&1&9\\0&0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=5-x_{3} \\ x_{2} =9-x_{3}\\ \end{cases} \Rightarrow 方程组无穷多解,r(A)=r(\overline{\text{A}})=2<未知数个数 100010110590{x1=5x3x2=9x3r(A)=r(A)=2<
    ( 1 0 1 5 0 1 1 9 0 0 0 1 ) ⇒ { x 1 = 5 − x 3 x 2 = 9 − x 3 0 = 1 ⇒ 方 程 组 无 解 , r ( A ) < r ( A ‾ ) \left(\begin{matrix} 1&0&1&5\\0&1&1&9\\0&0&0&1\end{matrix}\right) \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=5-x_{3} \\ x_{2} =9-x_{3}\\ 0 =1 \end{cases} \Rightarrow 方程组无解,r(A)<r(\overline{\text{A}}) 100010110591x1=5x3x2=9x30=1r(A)<r(A)

    结论:
    1)当 r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{\text{A}}) r(A)=r(A),方程组有解 { r ( A ) = r ( A ‾ ) = n , 唯 一 解 r ( A ) = r ( A ‾ ) < n , 无 穷 多 解 \begin{cases} r(A)=r(\overline{\text{A}})=n,唯一解\\ r(A)=r(\overline{\text{A}})<n,无穷多解\\ \end{cases} {r(A)=r(A)=n,r(A)=r(A)<n,
    2)当 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A)\not=r(\overline{\text{A}}) r(A)=r(A),方程组无解

    ★★★★★关于方程组中的 m , n m,n m,n,其中 m m m是指方程的个数, n n n是指未知数的个数

    解题步骤:

    1)写出增广矩阵 A ‾ \overline{\text{A}} A

    2)只做初等行变换,化为阶梯型矩阵

    3)对比 r ( A ) , r ( A ‾ ) r(A),r(\overline{\text{A}}) r(A),r(A)值,阶梯型中虚线左边非零行行数与右边的非零行行数的对比

    4)化为行最简阶梯型,不管零行,非零行的首非零元留在左边,其余变量挪到右边得到一般解(要变号)

    例题,经过转化后的增广矩阵和求解过程如下
    A ‾ = ( 1 2 3 1 2 0 3 7 − 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ ( 1 0 − 5 3 5 3 0 0 1 7 3 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ { x 1 = 5 3 x 3 − 5 3 x 4 x 2 = 1 − 7 3 x 3 + 1 3 x 4 \overline{\text{A}} = \left(\begin{matrix} 1&2&3&1&2\\0&3&7&-1&3\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&-\frac{5}{3}&\frac{5}{3}&0\\0&1&\frac{7}{3}&\frac{1}{3}&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right)\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \frac{5}{3}x_{3}-\frac{5}{3}x_{4}\\ x_{2} = 1-\frac{7}{3}x_{3} +\frac{1}{3}x_{4}\\ \end{cases} A=10002300370011002300100001003537003531000100{x1=35x335x4x2=137x3+31x4

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    4.4非齐次线性方程组解的结构

    导出组

    首先

    Ax = b是一个非齐次线性方程组,若Ax = 0,则叫这个齐次方程组为导出组

    性质

    1. 若a1,a2是Ax = b的解,则a1 - a2 是Ax = 0的解,即非齐次方程组的解相减得到齐次方程组的解
    2. 非齐次线性方程组的解与导出组的解相加以后,还是非齐次方程组的解

    在这里插入图片描述

    非齐次线性方程组解的结构

    非齐次线性方程组的解:等于一个Ax = b的一个特解 + Ax = 0的基本线性组合
    在这里插入图片描述
    求非齐次线性方程组的解就转换为:非齐次方程组的特解和Ax = 0的基础解析

    求齐次方程组的基础解系

    系数矩阵化为行最简形,非零元为1写在等号左边,剩下移项写在右边,带入单位向量得到的结果再与单位向量接长即可

    如何求非齐次方程组的特解?

    求Ax = b的特解,先拿非齐次线性方程组的增广系数矩阵,只做初等行变换化为行最简形得到相关的方程组。然后自由未知数取0带入求得结果再与0接长就是一个特解 (接长的时候需要考虑顺序!!!)

    然后直接写出线性方程组的通解,只需要去掉系数就可以得到解的方程组了,然后按照上一节课讲得做法写出通解再相加就好

    具体情况看图更直观
    在这里插入图片描述
    总结

    1. 写出增广系数矩阵只做行变换,化为行简化
    2. 非零行的首非零元的1留在左边,其余挪到右边,写出非齐次线性方程组,指出谁是自由未知量(不在左边都是自由未知量)
    3. 含自由未知量均取0得到一个特解
    4. 另通解方程组右边常数均为0,等齐次方程组的通解,指出谁是自由未知量,带入单位向量,得到线性方程组的基础解系
    5. 非齐次特解+齐次通解
      在这里插入图片描述
      考研的一道例题

    求通解

    首先4元3秩,显然自由未知量只有一个,则导出组只有一个解,而特解可以用α1

    用两次性质构造等式就能求出线性组合了
    在这里插入图片描述
    略微修改之后也不难
    在这里插入图片描述

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    在这里插入图片描述
    如果线性方程组有解(齐次的存在非零解),则解的结构总结如下:
    齐次方程组: 使用消元法后,分别对每一个自由变量对应的未知数取1,其他自由变量取对应的未知数0,可以获得齐次方程组的线性无关的特解,构成齐次方程组的基础解系。齐次方程组解的线性组合仍然是齐次方程组的解。
    非齐次方程组: 使用消元法后,令所有的自由变量对应的未知数取0,求解主元变量对应的未知数的值,可以获得一个特解。非齐次方程组的通解是特解加上齐次方程组的线性组合。

    3 解的判定

    齐次线性方程组:
    a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
    a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,


    as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
    首先需要说明的是齐次线性方程组的解只有两种情况,只有零解和有非零解。 不存在没有解的情况。
    有非零解的充分必要条件是: 它的系数矩阵的秩 r 小于未知量个数 n . 矩阵中的最大的不相关的向量的个数,就叫
    上面的有非零解的条件有很多等价的条件:

    1. 系数矩阵A是非奇异矩阵。有关奇异矩阵的内容参考博客奇异矩阵与非奇异矩阵
    2. 系数矩阵存在线性相关的列。
    3. 使用消元法之后主元的数目小于未知数的数目。

    非齐次线性方程组:
    a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
    a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,


    as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
    非齐次线性方程组解的情况有三种:无解,唯一解和无穷多解。
    有解的充分必要条件是 : 它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 . 这有解包含了有无穷多解和唯一解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n则存在唯一解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n则存在无穷多解。
    说明几点可以方便我们理解上面解的情况:
    非齐次线性方程组的形式为:
    A x = b Ax=b Ax=b
    上面式子的意思是求系数x,使得A的各列按照系数线性组合获得b。
    系数矩阵与增广矩阵有相同的秩说明b与A的各列线性相关,b可以由A的各列线性表示,所以存在存在解。
    系数矩阵与增广矩阵的秩不同说明b与A的各列线性无关,b不可以由A的各列线性表示,所以不存在存在解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n 说明A是满秩的(列满秩),A的所有的列线性无关,就是不存在自由变量,b可以由A的各列按照唯一的系数表示,所有存在唯一解。
    如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n说明A不是满秩的,就是A的有些列可以用其他列线性表示,就是存在自由变量,自由变量的取值是任意的,所以存在无穷多解。

    参考博客:

    1. 【数学基础】线性方程组解情况整理
    2. 第四节 线性方程组解的结构
    3. 线性方程组 解的判别 与解的结构
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空空如也

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线性方程组解的结构

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