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  • 基础 | Python下的矩阵定义 (下)

    千次阅读 2021-01-13 08:12:27
    关键词:线性代数 / 矩阵 / 基本定义矩阵对于算法就如同人对于食物般的关系,已经到了密不可分的状态了,在神经网络里,矩阵代表了每层神经元之间的链接,在集成算法里,矩阵记录了每次分类器更新的残差,在马可夫链...

    关键词:线性代数 / 矩阵 / 基本定义

    矩阵对于算法就如同人对于食物般的关系,已经到了密不可分的状态了,在神经网络里,矩阵代表了每层神经元之间的链接,在集成算法里,矩阵记录了每次分类器更新的残差,在马可夫链里,矩阵表示了不同状态下的条件转移概率,矩阵的重要性已经是不言自明了。除了上集说到的方阵,子矩阵,对角矩阵,与单位矩阵之外,接着要进一步介绍一些常用且方便的矩阵,包含了以下几种矩阵类型:纯量矩阵

    三角矩阵

    共轭矩阵

    对称矩阵

    正交矩阵

    当然矩阵的类型远不止如此,而这几种矩阵在了解的时候不需要太多先验知识,因此才能在一开始率先登场!

    矩阵基本定义

    这篇文章里的范例也都将沿用上篇文章中的定义,下面就来回顾一下标记符号的各种含义。

    中的

    称为矩阵的元素,可以是数字,函数,实数,复数。在 python 代码中的numpy模块几乎可以说是数值计算的唯一选择。

    import numpy as np

    A = np.random.randint(0, 10, 72)

    A = A.reshape(9, 8)

    print(A)

    输出:

    [[5 4 5 8 5 7 0 7]

    [5 6 4 0 9 8 6 5]

    [1 2 9 6 7 7 3 5]

    [3 4 7 8 4 6 9 2]

    [4 8 1 3 5 4 8 4]

    [5 1 5 7 3 9 9 8]

    [0 8 4 1 6 9 3 2]

    [4 3 0 3 6 4 5 9]

    [2 8 6 3 5 5 3 4]]

    如果还没安装过numpy,可以使用下面指令在终端快速安装。

    pip install numpy

    11. 纯量矩阵 - Scalar matrix

    在对角矩阵中,主对角线上的元素皆为某一常数 C 时,则称之为纯量矩阵。

    c = 5

    print(np.diag([c, c, c]))

    输出:

    [[5, 0, 0],

    [0, 5, 0],

    [0, 0, 5]]

    12. 上三角矩阵 - Upper triangular matrix

    在方阵的前提下,主对角线以下元素皆为 0 时,则称之为上三角矩阵。

    print(np.triu(A))

    输出:

    [[5, 4, 5, 8, 5, 7, 0, 7],

    [0, 6, 4, 0, 9, 8, 6, 5],

    [0, 0, 9, 6, 7, 7, 3, 5],

    [0, 0, 0, 8, 4, 6, 9, 2],

    [0, 0, 0, 0, 5, 4, 8, 4],

    [0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 8],

    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 2],

    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9],

    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]

    p.s. 即便一个矩阵不是方阵,同样可以取上下三角矩阵。

    13. 下三角矩阵 - Lower triangular matrix

    在方阵的前提下,主对角线以上元素皆为 0 时,则称之为下三角矩阵。

    print(np.tril(A))

    输出:

    [[5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

    [5, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

    [1, 2, 9, 0, 0, 0, 0, 0],

    [3, 4, 7, 8, 0, 0, 0, 0],

    [4, 8, 1, 3, 5, 0, 0, 0],

    [5, 1, 5, 7, 3, 9, 0, 0],

    [0, 8, 4, 1, 6, 9, 3, 0],

    [4, 3, 0, 3, 6, 4, 5, 9],

    [2, 8, 6, 3, 5, 5, 3, 4]]

    14. 共轭矩阵 - Conjugate matrix

    把 A 矩阵的元素皆取共轭复数后,该新的矩阵为 A 矩阵的共轭矩阵,以

    表示。

    B = np.array([[1+1.j, 2-1.j],

    [3-2.j, 4+5.j]])

    print(np.conj(B))

    输出:

    [[1.-1.j, 2.+1.j],

    [3.+2.j, 4.-5.j]]

    15. 转置矩阵 - Transpose matrix

    把 A 矩阵中的行列编号互换,元素不变,只变位置后的结果称为 A 矩阵的转置矩阵,以

    表示。

    print(A.T)

    输出:

    [[5, 5, 1, 3, 4, 5, 0, 4, 2],

    [4, 6, 2, 4, 8, 1, 8, 3, 8],

    [5, 4, 9, 7, 1, 5, 4, 0, 6],

    [8, 0, 6, 8, 3, 7, 1, 3, 3],

    [5, 9, 7, 4, 5, 3, 6, 6, 5],

    [7, 8, 7, 6, 4, 9, 9, 4, 5],

    [0, 6, 3, 9, 8, 9, 3, 5, 3],

    [7, 5, 5, 2, 4, 8, 2, 9, 4]]

    16. 共轭转置矩阵 - Conjugate transpose matrix

    把 A 矩阵的元素皆取共轭复数后,再取转置;或将 A 矩阵的元素先取转置后,再取共轭复数,所得到的新矩阵即为共轭转置矩阵,以

    表示。

    print(np.matrix(B).H)

    输出:

    matrix([[1.-1.j, 3.+2.j],

    [2.+1.j, 4.-5.j]])

    print(np.conj(B).T)

    输出:

    [[1.-1.j, 3.+2.j],

    [2.+1.j, 4.-5.j]]

    17. 对称矩阵 - Symmetrix matrix

    在方阵的前提下,如果矩阵 A 的转置等于 A 本身,称之为对称矩阵。

    def symmetrixIO(mat):

    return np.sum(mat != mat.T) == 0

    print(symmetrixIO(C))

    输出:

    False

    18. 反对称矩阵 - Skew symmetrix matrix

    在方阵的前提下,如果矩阵 A 的转置矩阵恰为 A 的相反矩阵 -A,则称之为反对称矩阵。

    def skew_symmetrixIO(mat):

    return np.sum(-mat != mat.T) == 0

    print(skew_symmetrixIO(

    np.array([[ 0, 2, 5],

    [-2, 0, -7],

    [-5, 7, 0]])

    ))

    输出:

    True

    19. 厄米特矩阵 - Hermitian matrix

    在方阵的前提下,矩阵 A 的共轭转置矩阵恰好等于原矩阵 A,则称之为厄米特矩阵。

    def hermitianIO(mat):

    return np.sum(mat != np.conj(mat).T) == 0

    print(hermitianIO(

    np.array([[ 1, 1+1.j, 5],

    [1-1.j, 2, 1.j],

    [ 5, -1.j, 7]])

    ))

    输出:

    True

    20. 正交矩阵 - Orthogonal matrix

    正交的意思就是指两个向量彼此互相垂直,而正交矩阵则进一步把垂直的概念拓展到矩阵中,矩阵里的每一个行和列向量必须彼此互相垂直,而且向量长度是1的情况下,才称之为正交矩阵。总结矩阵的规则后,我们得到在方阵的前提下,满足以下条件则称之为正交矩阵:

    因此很明显的,一个正交矩阵必定是个方阵,而这一系列的条件判断同样可以被写成一个函数用来检测矩阵是否正交。

    from Code.linalg import *

    def orthogonalIO(mat, decimal=4):

    # A^T = A^(-1)

    cond1 = np.sum(np.round(mat.T, decimal) !=

    np.round(inverse(mat), decimal)) == 0

    # A^T . A = A . A^T

    cond2 = np.sum(np.round(np.dot(mat.T, mat), decimal) !=

    np.round(np.dot(mat, mat.T), decimal)) == 0

    # |A| = +-1

    cond3 = np.round(np.abs(determinant(mat)), decimal) == 1

    return np.sum([cond1, cond2, cond3]) == 3

    B = np.array([[-0.23939017, 0.58743526, -0.77305379],

    [ 0.81921268, -0.30515101, -0.48556508],

    [-0.52113619, -0.74953498, -0.40818426]])

    print(orthogonalIO(B, decimal=4))

    输出:

    True

    为了更深入了解矩阵的底层运算,行列式值和逆矩阵都用的是我们自定义的函数,如果想看具体实现方法,欢迎持续关注发布的文章!在这个函数中我们首先就遇到了一个很简单的理论与实际代码之间的差异,那就是小数点近似问题。由于任意行列向量必须是单位向量,常常在实际情况是一个近似的结果,因此在检测正交与否的时候也必须采用近似的方式操作。Github源代码​github.com

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  • 基础 | Python下的矩阵定义 (上)

    千次阅读 2021-01-13 08:12:25
    关键词:线性代数 / 矩阵 / 基本定义作者:郭俊麟 | 清华伯克利 数据科学人工智能作为近10年最火的学科之一,背后却有着三大基础学科支持着他的发展,分别是线性代数,微积分,还有概率论,对于各式各样的经典算法,...

    关键词:线性代数 / 矩阵 / 基本定义

    作者:郭俊麟 | 清华伯克利 数据科学

    人工智能作为近10年最火的学科之一,背后却有着三大基础学科支持着他的发展,分别是线性代数,微积分,还有概率论,对于各式各样的经典算法,无一例外的都用到了矩阵来承载来自不同维度的数据,而许多人的一大烦恼就是知道原理却无从下手代码的实践,显然一大原因是对实现算法的编程语言或者函数库不够熟悉,以下小编将从 Python 编程语言的角度来从头回顾线性代数的基本专有名词,揭开人工智能算法的最原始面纱。

    矩阵基本定义

    本节主要介绍不同矩阵名称背后的定义,并直接使用代码来计算我们希望看到的结果。

    在 python 代码中的numpy模块几乎可以说是数值计算的唯一选择。

    import numpy as np

    A = np.random.randint(0, 10, 72)

    A = A.reshape(9, 8)

    print(A)

    输出:

    [[5 4 5 8 5 7 0 7]

    [5 6 4 0 9 8 6 5]

    [1 2 9 6 7 7 3 5]

    [3 4 7 8 4 6 9 2]

    [4 8 1 3 5 4 8 4]

    [5 1 5 7 3 9 9 8]

    [0 8 4 1 6 9 3 2]

    [4 3 0 3 6 4 5 9]

    [2 8 6 3 5 5 3 4]]

    主要的原因就在于不止提供调用的函数丰富之外,矩阵对应不同变量名的内存管理还被极大的优化,简而言之就是效率高,速度快,即便是对比与非常受欢迎的pandas库,其运行速度也是不同量级的存在。如果还没安装过numpy,可以使用下面指令在终端快速安装。

    pip install numpy

    1. 矩阵元素

    中的

    称为矩阵的元素,可以是数字,函数,实数,复数。东西用矩阵包起来的一大好处就是能实现批量处理,减少在脚本语言中循环计算的次数,进而提升代码运行速度,虽然还是不及C语言,但却已经能够和其他脚本语言拉开速度上的差距。

    2. 列 (台) / 行 (内地) - row

    矩阵中由上而下所计算出的数字,即

    表示第一列 (台) / 行 (内地) 的元素。有趣的是两岸在描述矩阵行列的时候是反着来的,因此当台湾大学李宏毅老师讲课的时候需要内心自己转换一下索引的方向。

    print(A[0])

    输出:

    [5, 4, 5, 8, 5, 7, 0, 7]

    由于矩阵中仅为一列 (台) / 行 (内地),又可以称之为 列 (台) / 行 (内地) 向量 (row vector)。

    3. 行 (台) / 列 (内地) - column

    矩阵中由左而右所计算出的数字,即

    表示第二行 (台) / 列 (内地) 的元素。

    print(A[:, 1:2])

    输出:

    [[4],

    [6],

    [2],

    [4],

    [8],

    [1],

    [8],

    [3],

    [8]])

    由于矩阵中仅为一行 (台) / 列 (内地),又可以称之为 行 (台) / 列 (内地)向量 (column vector)。

    4. 矩阵阶数 - order

    以 总列数x总行数 的方式表示,一般皆置于矩阵的右下角,例如

    print(A.shape)

    输出:

    (9, 8)

    5. 复数矩阵

    矩阵中的函数如果有复数形式的值,则归类其为复数矩阵。

    B = np.array([[1+1.j, 2-1.j],

    [3-2.j, 4+5.j]])

    print(B.dtype)

    输出:

    dtype('complex128')

    6. 方阵

    矩阵中的行列数相等时,该矩阵称为方阵,令 行数=n 时,则称该矩阵为 n 阶方阵。

    C = np.random.randint(0, 10, 9)

    C = reshape(3, 3)

    print(C)

    输出:

    [[6 4 9]

    [8 4 5]

    [8 9 3]]

    7. 子矩阵 - submatrix

    在 n 阶方阵的前提下,取方阵中的元素构成低于 n 阶的矩阵。

    print(C[0:2, 0:2])

    输出:

    [[6, 4],

    [8, 4]]

    print(C[::2, 0:2])

    输出:

    [[6, 4],

    [8, 9]]

    print(C[0:2, 0:])

    输出:

    [[6, 4, 9],

    [8, 4, 5]]

    print(C[0:, 0:2])

    输出:

    [[6, 4],

    [8, 4],

    [8, 9]]

    print(C[2, 1])

    输出:

    9

    8. 主子矩阵 - Principle submatrix

    如果所取的子矩阵中对角元素恰为矩阵对角线元素,称该子矩阵为主子矩阵。

    print(C[::2, ::2])

    输出:

    [[6, 9],

    [8, 3]]

    print(C[:2, :2])

    输出:

    [[6, 4],

    [8, 4]]

    print(C[1:3, 1:3])

    输出:

    [[4, 5],

    [9, 3]]

    9. 对角矩阵 - Diagonal matrix

    在方阵的前提下,如果对角线上的元素不全为 0,而其他元素皆为 0 时,该矩阵为对角矩阵。

    print(np.diag(C))

    输出:

    [6, 4, 3]

    print(np.diag(np.diag(C)))

    输出:

    [[6, 0, 0],

    [0, 4, 0],

    [0, 0, 3]]

    10. 单位矩阵 - Unit matrix / Identity matrix

    在对角矩阵中,如果对角线上的元素皆为 1,则称之单位矩阵。

    print(np.diag(np.ones(C.shape[0])))

    输出:

    [[1., 0., 0.],

    [0., 1., 0.],

    [0., 0., 1.]]

    这一个个简单的矩阵操作拆解开来都是直观的存在,而快速理解复杂操作的首要前提,恰巧正是对简单操作的熟练掌握,因此这些代码基本功格外重要!Github源代码​github.com

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  • 一、向量与矩阵的形式 1. 所有矩阵和向量都是Matrix模板类的对象 Matrix的模板参数是Matrix<typename Scalar,int RowAtCompileTime,int ColsAtCompileTime> 分别是标量类型 如(int、 float ),行数,列...

    一、向量与矩阵的形式

    1.

    所有矩阵和向量都是Matrix模板类的对象

    Matrix的模板参数是Matrix<typename Scalar,int RowAtCompileTime,int ColsAtCompileTime>  分别是标量类型 如(int、 float

    ),行数,列数

    同时可以用typedef覆盖

    如 typedef Matrix <float ,4,4> Matrix4f;

    2.向量 是矩阵的一种特殊情况 一行或一列

    typedef MAtrix <float ,3,3> Vector 3f;

    3.行数列数可以未知 即动态定义

    tydef Matrix<double,Dynamic,Dynamic>  MatrixXd;

    二、定义向量和矩阵

    Matrix3f a;    //3x3的矩阵 未初始化

    MatrixXf b;   //动态大小的矩阵 当前为0x0 未分配系数

    三、初始化矩阵,向量

    1.

    //矩阵

    MatrixXd m(2,2);

    m(0,0)=3;

    m(1,0)=2.5;

    m(0,1)=-1;

    m(1,1)=m(1,0)+m(0,1);

    //向量

    VectorXd v(2);

    v(0)=4;

    v(1)=v(0)-1

    2.逗号初始化

    Matrix3f m;

    m<<1,2,3,4,5,6,7,8,9;

    四、调整大小

    m.rows()  返回行数 

    m.cols() 返回列数

    m.size()返回系数的个数

    m.resize()  调整动态大小

    五。分配和调整大小

    分配是使用将矩阵复制到另一个矩阵中的操作operator=

    MatrixXf a(2,2);

    MatrixXf b(3,3);

    a=b;       //自动调整左侧矩阵的大小,使其与右侧的大小的矩阵大小匹配

     

     

    六、矩阵的加减法

    #include <iostream>
    #include <Eigen/Dense>
    using namespace Eigen;
    Matrix2d a;
    a<< 1,2,3,4;
    MatrixXd b(2,2);
    b<<2,3,1,4;
    cout<<a+b;
    cout<<a-b;
    cout<< "Doing a+=b"
    a+=b;
    cout<< a;
    Vector3d v(1,2,3);
    Vector3d w(1,0,0);
    cout<<-v+w-v;

    七。点乘(内积)和叉乘(外积)

    点积dot()             叉积cross()

    参考一个点乘和叉乘 的算法和几何意义

     

    Vectorsd v(1,2,3);
    Vector3d w(0,1,2);
    cout<<v.dot(w);
    double dp=v.adjoint()*w;     //将内积自动转换为标量
    cout<<dp;
    cout<<v.cross(w);

    点乘与叉乘的推导 几何意义

    八。转置与共轭

    转置:行列互换

    共轭:

     

     

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    千次阅读 2020-10-13 09:13:39
    1.正定矩阵和半正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零...根据正定矩阵定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法: 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A...

    1.正定矩阵和半正定矩阵

    若所有特征值均大于零,则称为正定。

    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    2.半正定矩阵

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
    展开全文
  • C语言中矩阵定义问题

    千次阅读 2017-07-17 21:43:28
    C语言在进行矩阵运算的时候可以按照下边来定义 typedef struct Matrix {  double **p;  int rows;  int cols; } Matrix; 向量可以定义成下式 typedef struct Vector {  double *p;  int len; } ...
  • C语言中矩阵定义问题(续)

    千次阅读 2017-07-24 17:42:54
    使用二级指针定义矩阵,方便了矩阵运算,但是如果使用malloc函数进行初始化,空间没有得到及时释放的话,很容易报错,内存访问冲突。解决这个问题的方法就是,不用malloc函数初始化,定义一个指针数组和一个二维数组...
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    给出协方差矩阵定义: 这个定义还是很容易理解的,我们可以举一个简单的三维的例子,假设数据集有 三个维度,则协方差矩阵为 可见,协方差矩阵是一个对称的矩阵,而且对...
  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    定义:AA是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx> 0,其中xTx^T 表示xx的转置,就称AA正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定...
  • Hermite矩阵与正交矩阵-定义及应用

    千次阅读 2020-10-22 16:40:17
    根据上述的定义,可以知道Hermite矩阵的共轭转置矩阵等于其本身。 正交基 简单理解就是在向量空间中找出一个坐标系,这个坐标系就是正交基,在向量空间中的所有向量都可以通过正交基来表示。 标准正交基就是向量...
  • 矩阵定义

    千次阅读 2021-04-17 15:03:52
    1.酉矩阵(unitary matrix)若n阶复矩阵A满足 则称A为酉矩阵,记之为 。其中, 是A的共轭转置。 2.性质 如果A是酉矩阵 (1) (2) 也是酉矩阵; (3) det(A)=1; (4)充分条件是它的n个列向量是两两正交的单位向量。 .....
  • 本节知识点 1.矩阵的运算:最重要的是矩阵的乘法 2.逆矩阵定义:AB=I 3.逆矩阵的求解方法 转置伴随矩阵求逆矩阵 初等变换求逆矩阵          ...
  • 最近需要做一个项目需要进行矩阵运算,第一时间想到的就是一个Eigen的库,但是装好以后发现
  • 在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。...
  • 邻接矩阵定义和例子

    万次阅读 多人点赞 2018-04-07 21:41:52
    根据图的定义可知,图的逻辑结构分为两部分:V和E的集合。因此,用一个一维数组存放图中所有顶点数据;用一个二维数组存放顶点间关系(边或弧)的数据,称这个二维数组为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无...
  • python numpy定义矩阵行向量与列向量

    千次阅读 2020-12-11 09:59:43
    # 定义行向量 # Method1(直接定义) x1 = np.array([[-3/4,-1/4,-1/8]]) print(x1) # Method2 a = [[-3/4,-1/4,-1/8]] x2 = np.array(a) print(x2) # 定义列向量 # Method1(直接定义) x3 = np.array([[-3/4],[-1/4]...
  • 正交矩阵定义及证明和性质

    万次阅读 多人点赞 2019-03-21 09:46:33
  • Numpy 定义矩阵的方法

    千次阅读 2018-09-14 08:51:00
    import numpy as np #...a = np.zeros((2,3),dtype=int) a = np.ones((2,3),dtype=int) a = np.eye(3)#3维单位矩阵 a = np.empty([2,3],dtype=int) a = np.rando...
  • 满秩矩阵定义

    千次阅读 2019-10-04 01:33:08
    1.满秩矩阵:秩=阶数的方阵。满秩矩阵也可以被称为可逆矩阵,这实在是太tmd神奇了。 2.初等矩阵是由单位阵E经过初等变换得到的矩阵 怕自己又忘记了,记个笔记。 转载于:...
  • matlab矩阵定义和运算

    万次阅读 2016-04-03 16:55:01
    一、矩阵的表示 在MATLAB中创建矩阵有以下规则: a、矩阵元素必须在”[ ]”内; b、矩阵的同行元素之间用空格或逗号隔开; c、矩阵的行与行之间用”;”(或回车符)隔开; d、矩阵的元素可以是数值、变量、...
  • 1、标量、向量、数组、矩阵的概念: 标量:1*1的矩阵 向量、数组(这两个词在matlab中可认为同义):1*n的矩阵 矩阵矩阵 声明方法: *分号可以表示分行,单引号可以表示矩阵的转置 2、"ones" 命令可以生成...
  • 矩阵操作函数

    2014-04-14 16:17:34
    矩阵的操作,主要关于指针的应用。例如把左下角的所有数全部加到右上角,然后把矩阵输出
  • C++定义一个N*M的矩阵

    万次阅读 2018-12-14 14:00:14
    cout 请输入矩阵的元素,共" *_cols 个:" ; for (int i = 0; i ; i++){ for (int j = 0; j ; j++){ cin >> _p[i][j]; } } } template<class T> void Matrix< T >::Display(){ for (int i = 0; i ...

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