精华内容
下载资源
问答
  • 数值与计算方法第六章向量范数和矩阵范数试题.ppt
    2020-12-22 11:07:22

    在很多实际问题中,我们需要对向量和矩阵的大小引进度量,这些度量便是向量与矩阵范数的概念。 6.6.1 向量范数 约定:用 表示所有 n 维实的列向量 的实线性空间。 在 上引入向量范数的定义如下: 定义6.2: 上的向量范数是定义在 的某个实值函数 ,它满足如下的三个条件: 6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0,||x||=0当且仅当x=0,(非负性) (2)对任意实数 ? ,|| ? x||=| ? | ||x||,(齐次性) (3)对任意向量 y?Rn,||x+y||?||x||+||y||,(三角不等性)。 称满足上述三个条件的函数 ||x|| 为向量 x 的范数。 例如,下面的函数就是向量的一种范数: 这里称上述定义的范数为向量 x 的 p- 范数。 常用的范数是: 按上述定义,常用范数: 例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 , , 。 解: 范数的两个常用性质: 此性质也称为向量范数的等价关系,可以证明三种常用范数 是相互等价的。 定义6.4 (向量序列收敛): 定理6.4 (向量序列收敛的必要充分条件): 6.6.2 矩阵范数 约定 记 表示所有 n 阶实矩阵 A=(aij) 的实线性空间。 定义6.4: 上的一个矩阵范数是定义在 上的某个实值函数 ,对所有的 A, B ,它满足以下四个条件: 矩阵 A 的F-范数: 矩阵 A 的算子范数(定义6.5): 算子范数与其相应的向量范数满足的关系式 是一种矩阵范数 依赖于向量范数的含义 是一种矩阵 范数 相容性条件: 用于误差估计 常用矩阵范数有下面三种情形: 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 使用最广泛 性质较好 矩阵 A 的谱半径(定义6.6): 定理6.5 矩阵范数与谱半径的关系 证明: 定理6.6(矩阵范数的等价关系) 定义6.6 (矩阵序列收敛): 定理6.7 (矩阵序列收敛的等价条件)下列命题等价: 6.7.1 方程组的条件数 1、定义(条件数) 6.7 误差分析 2、条件数的性质 3、方程组右端摄动 4、方程组系数矩阵摄动 5、结论: 设 * * * * * * * * * * * * * * * * * *

    更多相关内容
  • 将向量x视为列矩阵,再用第二节中的相容性定理,但是矩阵范数和向量范数还是存在差异的。 证明证明证明: 说明:算子范数是相容的矩阵范数。 证明向量范数是自相容的。 证明证明证明:...

    第一节

    向量的范数

    在这里插入图片描述
    证明:在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    那么在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述

    第二节

    矩阵范数

    在这里插入图片描述
    证明:

    这个证明很重要!考过

    在这里插入图片描述
    矩阵二范数酉不变性证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述

    第三节

    算子范数

    将向量x视为列矩阵,再用第二节中的相容性定理,但是矩阵范数和向量范数还是存在差异的。
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    说明:算子范数是相容的矩阵范数。
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    向量范数是自相容的。
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述

    考例4 的可能性较大!!!

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    证明:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明(1):
    在这里插入图片描述
    证明(2):
    在这里插入图片描述
    证明(3):
    在这里插入图片描述
    提示:
    谱范数的性质证明多依赖于谱半径自身的计算性质。
    在这里插入图片描述
    证明(1):
    在这里插入图片描述
    证明(2):
    在这里插入图片描述
    相容的矩阵范数的一个重要性质见课本P64
    (2)证明见课本P68
    算子范数是相容的矩阵范数

    谱半径与矩阵范数

    在这里插入图片描述
    证明:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    非奇异线性方程组的扰动分析
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    定理4很重要!!考博也考过

    证明:见课本P76
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    证明:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 数值分析基础:向量范数

    千次阅读 2020-07-17 14:35:35
    范数的概念 向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都...我们下面给出向量范数的一些性质: 我们对于第四条性质给出证明。该性质我们可以理解为两边之差小于第三

    范数的概念

    向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为 [公式] ,衡量它们大小的量记为 [公式] (我们用单竖线表示绝对值,双竖线表示范数),显然它们满足以下三条性质:
    在这里插入图片描述
    随着以后的学习我们可以知道,长度是范数的一个特例。事实上,二范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时,就是把这三条性质作为公理来定义内积的。

    我们下面给出向量范数的一些性质:
    在这里插入图片描述
    我们对于第四条性质给出证明。该性质我们可以理解为两边之差小于第三边。
    在这里插入图片描述
    我们下面具体考虑一个范数证明的题:
    在这里插入图片描述
    我们下面就二范数进行证明。

    虽然前两个性质貌似是显然的,但是我们并不能这么说,我们现在用数学语言来描述一下。
    在这里插入图片描述
    关于三角不等式的证明需要用到柯西不等式,我们先来讲解一下柯西不等式。柯西不等式说的就是
    在这里插入图片描述
    这样就把向量的内积和范数联系起来了。
    我们在课本24页定义向量的长度的时候是这样定义的: 在这里插入图片描述
    现在我们知道,这实际上是二范数的一种表示方式。我们下面给出柯西不等式的证明:
    在这里插入图片描述
    下面结合柯西不等式我们给出三角不等式的证明:
    在这里插入图片描述

    P范数的定义及证明

    我们下面来引入更一般的范数定义:
    在这里插入图片描述
    我们要证明他的确是范数需要做诸多的准备工作。在证明过程中就用到了Young不等式和Holder不等式。虽然我们还没有证明,不过我们先引入这个概念和这种记法,因为在接下来的证明过程中会反复的用到。希望大家在看后面的证明过程中不要忘了开头提到的这一点。(就是P范数的定义形式)

    我们下面来介绍一下Young不等式,这个不等式的介绍为Holder不等式的证明提供了一个快捷的途径。
    在这里插入图片描述
    该引理(Young不等式)证明如下,其思路就是矩形面积uv不会超过两个曲边梯形面积之和。注意这里会用到了变积分限。对u是在x轴上积分。对v就变成了y轴。

    这里我们的曲线公式完全可以写成 在这里插入图片描述
    ,我们应当注意到,积分与符号无关这一点,因此可以写成下图这种形式。
    在这里插入图片描述
    我们有了Young不等式之后,下面来证明Holder不等式。我们首先给出Holder不等式的定义:
    在这里插入图片描述
    下面正面该结论成立:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里提醒大家一下,不要忘了开头P范数的定义,因此这里会有: 在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我们给出课本上一道例题:
    在这里插入图片描述
    我们之前只对1范数,2范数和无穷范数进行过证明。我们现在要证明的是如果一个运算,只要满足这个性质。那么它就是一个范数。

    下面我们给出证明过程,注意这个证明过程少了正定性和齐次性的证明,只证明了三角不等式。关于正定性和齐次性的证明可以参考之前的证明。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    是不是大家已经看晕了,一坨又一坨。接下来的证明写的不是很详细,我写一个更详细的版本。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    向量的范数

    为了实现在n维空间中的度量,我们必须 将向量的概念和范数进行结合。直接上定理:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    实际上这个定理想表达这样一种思想:m维空间中的范数通过矩阵A映射到了n维空间上。有的时候一个空间中的范数我们不好度量,这时候我们可以在另外一个n维空间中进行度量,只需要找到这样的映射矩阵就可以了。

    我们下面给出向量序列收敛的定义:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我们下面介绍一下向量范数等价:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我们给出一个定理来具体说明一下:

    在这里插入图片描述
    再给出一个例题:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    通过这个例题我们可以看到通过范数来证明收敛的优越性所在,这也是为什么我们有了长度之和还要定义长度的一个原因。

    审稿大人辛苦了,这篇文章有点长。

    展开全文
  • 第八课:向量范数

    千次阅读 2020-12-31 03:17:27
    范数的概念向量范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为 ,衡量它们大小的量记为 (我们用单竖线表示绝对值,双竖线...

    写在前面的话:

    很高兴能够认识饭卡里还有好多钱这位土豪大佬。向大佬学习,为成为一名真正的段子手+逗比而奋斗。

    范数的概念

    向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为

    ,衡量它们大小的量记为

    (我们用单竖线表示绝对值,双竖线表示范数),显然它们满足以下三条性质:

    这也是范数的定义,满足上述三条性质的映射我们称之为范数。显然,范数是函数的一种特例。关于三角不等式我们可以通过三角形两边之和大于第三边来理解。

    随着以后的学习我们可以知道,长度是范数的一个特例。事实上,二范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时,就是把这三条性质作为公理来定义内积的。

    我们下面给出向量范数的一些性质:

    我们对于第四条性质给出证明。该性质我们可以理解为两边之差小于第三边。

    我们下面具体考虑一个范数证明的题:

    我们下面就二范数进行证明。

    虽然前两个性质貌似是显然的,但是我们并不能这么说,我们现在用数学语言来描述一下。

    关于三角不等式的证明需要用到柯西不等式,我们先来讲解一下柯西不等式。柯西不等式说的就是

    ,这样就把向量的内积和范数联系起来了。

    我们在课本24页定义向量的长度的时候是这样定义的:

    。现在我们知道,这实际上是二范数的一种表示方式。我们下面给出柯西不等式的证明:

    下面结合柯西不等式我们给出三角不等式的证明:

    P范数的定义及证明

    我们下面来引入更一般的范数定义:

    我们要证明他的确是范数需要做诸多的准备工作。在证明过程中就用到了Young不等式和Holder不等式。虽然我们还没有证明,不过我们先引入这个概念和这种记法,因为在接下来的证明过程中会反复的用到。希望大家在看后面的证明过程中不要忘了开头提到的这一点。(就是P范数的定义形式)

    我们下面来介绍一下Young不等式,这个不等式的介绍为Holder不等式的证明提供了一个快捷的途径。

    该引理(Young不等式)证明如下,其思路就是矩形面积uv不会超过两个曲边梯形面积之和。注意这里会用到了变积分限。对u是在x轴上积分。对v就变成了y轴。

    这里我们的曲线公式完全可以写成

    ,我们应当注意到,积分与符号无关这一点,因此可以写成下图这种形式。

    我们有了Young不等式之后,下面来证明Holder不等式。我们首先给出Holder不等式的定义:

    下面正面该结论成立:

    在这里提醒大家一下,不要忘了开头P范数的定义,因此这里会有:

    还记得我们前面说的柯西不等式吗?通过观察Holder不等式其实可以发现,柯西不等式是Holder不等式的一个特例。

    (当p和q取2时,结合和的模小于等于模的和所得的结论)

    我们给出课本上一道例题:

    我们之前只对1范数,2范数和无穷范数进行过证明。我们现在要证明的是如果一个运算,只要满足这个性质。那么它就是一个范数。

    下面我们给出证明过程,注意这个证明过程少了正定性和齐次性的证明,只证明了三角不等式。关于正定性和齐次性的证明可以参考之前的证明。

    是不是大家已经看晕了,一坨又一坨。接下来的证明写的不是很详细,我写一个更详细的版本。

    如果忘了,请再次回顾一下P范数的定义。这里特别要注意开P次幂的位置,一定要在中括号的外面。

    好了,至此,P范数的证明就全部结束了。好像整个证明过程略微有点长。通过这个证明,P可以取得任意正整数,大大丰富了我们对于如何度量长度的手段,可能有人会问,那P能不能取分数呢?我们现在来说一下:

    答案是不行的,只需要举一个反例:

    P取1/2,我们知道x+y的P范数是4。而x和y 的P范数都是1。不满足三角不等式,所以不成立。

    我们之所以引入范数,为的就是能够在线性空间中进行度量。为了实现这一点,我们有必要引入一个新的概念,这也是这一节啰啰嗦嗦说了半天,想要表达的核心内容。

    向量的范数

    为了实现在n维空间中的度量,我们必须 将向量的概念和范数进行结合。直接上定理:

    这里的

    是m维向量范数。A是n维空间中的m×n矩阵。

    是n维向量。

    证明如下(范数的三条定义):

    实际上这个定理想表达这样一种思想:m维空间中的范数通过矩阵A映射到了n维空间上。有的时候一个空间中的范数我们不好度量,这时候我们可以在另外一个n维空间中进行度量,只需要找到这样的映射矩阵就可以了。

    我们下面给出向量序列收敛的定义:

    同数列一样,向量也是有好多元素组合而成的,我们将之称为向量序列

    。还记得在《高等数学》中我们在定义极限的概念的时候就是从数列极限开始的。类似的,我们这里是从向量序列处定义极限。通过向量序列的收敛性分析我们就从范数的角度给出了极限的定义。

    向量存在的充要条件就是n个数列极限存在。

    我们下面介绍一下向量范数等价:

    向量范数等价是为了解决这样一个问题:我们知道范数有无穷多种(1范数,2范数。。。),同一向量按不同的规定算出的范数一般是不相等的。那么到底按照哪种规则呢?这不就乱了。

    范数等价保证了向量序列的收敛性与范数选取无关。无穷范数收敛,其他范数一定收敛。其他范数收敛,无穷范数一定收敛。

    我们给出一个定理来具体说明一下:

    再给出一个例题:

    通过这个例题我们可以看到通过范数来证明收敛的优越性所在,这也是为什么我们有了长度之和还要定义长度的一个原因。

    审稿大人辛苦了,这篇文章有点长。

    展开全文
  • 利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件谭畅,马淑芳【摘要】基于线性代数中向量范数的相关理论,给出二元函数极值的充分性定理的一个新的证明,此方法形式简明且便于理解。【期刊名称】林区教学【年(卷),期】...
  • 2范数(求矩阵的二范数例题)

    万次阅读 2021-01-16 07:14:54
    矩阵的二范数一般怎么计算??所有元素的平方和开根号1-范数:是指向量(矩阵)里面非零元素的个数。类似于求棋盘上复两个点间的沿方格边缘的距离。...向量范数:向量x的2范数是x中各个元素平方之和.解出...
  • 【矩阵论笔记】诱导范数

    千次阅读 2020-05-09 12:35:06
    从矩阵范数的定义中,多了一个相容性。因为抽象空间中的向量是不能乘的,但是矩阵是可以乘的。直接定义满足这四个条件的范数很难,直接定义非常麻烦。 为了定义相容的矩阵范数,引出一个方法:诱导范数。 诱导范数的...
  • 范数概念以及相关推导

    千次阅读 2020-05-16 19:46:40
    向量范数 常见范数 p范数(p = 1, 2, ∞\infty∞, ⋯\cdots⋯): ∣∣x∣∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1p||x||_p = (\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}∣∣x∣∣p​=(i=1∑n​∣xi​∣p)p1​ 0范数:向量中非0分量...
  • 一道数值分析证明题
  • 向量范数三.矩阵的范数1.法方程法(1)正规方程组(2)缺点2.正交变换法(1)正交变换(2)QR分解(3)Householder分解四.条件数四.总结 前言 一.什么是范数 二.向量范数 三.矩阵的范数 1.法方程法 (1)正规...
  • 【矩阵论】范数和矩阵函数(1)

    千次阅读 2020-11-10 12:18:44
    说明了常见的向量范数和矩阵范数的定义与性质,结合例题给出了一些常用结论。
  • 可以证明:① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数;任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数(如从属范数).② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容(如矩阵1m 范数与向量p -范数相容);多种矩阵范数...
  • 范数的简单总结

    千次阅读 多人点赞 2019-09-22 18:29:39
    在数学上,范数包括向量范数和矩阵范数,向量范数表征向量空间中向量的大小,矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是,对应向量范数,向量空间中的向量都是有大小的,这个大小如何度量,就是用范数...
  • 首先既然要证明余弦定理,就要了解余弦定理到底是个什么东西。我们先来看一下三角形。我们在初中已经了解关于三角形全等的知识,我将它在这里理解为,给定一个全等的条件,就得到了一个唯一确定的三角形。至于它是...
  • 矩阵论(1)三种常见的矩阵范数

    万次阅读 多人点赞 2016-09-27 09:23:54
    总结了三种矩阵范数:1-范数,2-范数以及∞-范数
  • 怎么求解矩阵的范数最小的问题

    千次阅读 2020-06-11 11:44:20
    求解如下问题: Φ=argminΦ∣∣G−ΨTΦTΦΨ∣∣F2\Phi=argmin_{\Phi}||G-\Psi^{T}\Phi^{T}\Phi\Psi||_F^2Φ=argminΦ​∣∣G−ΨTΦTΦΨ∣∣F2​ 求解方法: 1、使用QR分解的方法求解上式 2、使用梯度下降法,...
  • 线性代数常见面试

    2021-04-26 16:58:50
    特征值、特征根、秩、计算行列式、线性相关性、矩阵的相似、你可以想到有几种方法证明一个矩阵满秩、奇异值分解、线性相关与线性无关、什么叫矩阵的迹、正定是什么意思、什么是线性方程组有解/无解/有唯一解的条件、...
  • 关于凸集、凸函数的一些证明

    千次阅读 2020-12-22 14:01:54
    Problem 7: 处存在超平面 与非零向量 ,使得: Proof: 1)因为 ,存在序列,使得 2)因为: 则有: 3) 有解,故存在收敛子序列,使其范数极限为1。 Problem 8: 凸集分离定律: 非空凸集,如果 ,则存在分离超平面...
  • 四、SVD与矩阵近似 弗罗贝尼乌斯范数:是向量L2范数的直接推广,对应机器学习中的平方损失函数 矩阵的外积展开式 若A的秩为n,Ak的秩为k, 且Ak是秩为k的矩阵中在弗罗贝尼乌斯范数意义下A的最优近似矩阵。那么Ak就是A...
  • 凸优化理论基础3——凸集和凸锥重要例子

    多人点赞 热门讨论 2022-05-02 19:38:17
    x c , r ) = { x c + r u ∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } B(x_c,r)=\{x_c+ru \ | \ ||u||_2 \le 1\} B(xc​,r)={xc​+ru ∣ ∣∣u∣∣2​≤1} 球也是凸集,证明如下:【证明用到了二范数的齐次性及三角不等式】 椭球也...
  • \quad设计了一个测试函数,传入原矩阵AAA和其最大秩分解B,D,A=BDB,D,A=BDB,D,A=BD,列向量bbb。函数依次输出以下内容 1、判断当前给出的最大秩分解是否正确 2、给出AAA的M-P广义逆A+A^+A+ 3、判断矩阵是否相容 4、...
  • 这种情况在中学时,无论做多少都不会遇到的, 因为在中学里,学的初等数学方程组都是有唯一解的。而在线性代数中,我们把这种情况成为方程组系数矩阵的秩为1,记为r(A)=1。 当矩阵的秩小于未知数的个数时,方程组...
  • 范数——百度百科:https://baike.baidu.com/item/范数/10856788?fr=aladdin 今天我们聊聊机器学习中出现的非常频繁的问题:过...我们先简单的来理解下常用的L0、L1、L2和核范数规则化。最后聊下规则化项参数的...
  • 凸集的定义: ...定理证明: 下面这个定理比较容易理解:在一个集合D内,若对于任意个集合内的元素,他们的线性组合在集合内且线性组合的值之和为1,那么这个集合D是凸集。 这是理解方法: ...
  • 定义:设向量a(ax,ay),向量b(bx,by)之间的夹角为θ,(0<=θ<=180) 那么a、b的内积a·b=|a|x|b|cosθ=ax * bx+ay * by(横乘横,加上,纵乘纵) 内积中间是点不是x号 我们通过公式可以看出向量内积后得到的是一个数...
  • 线性代数 | (4) n维向量

    千次阅读 2019-10-23 09:37:26
    前面我们学习了行列式和矩阵,主要研究了:行列式的计算,包括:2,3阶行列式的计算,n阶行列式的计算;关于矩阵,主要包括:矩阵的...1. n维向量及其线性运算 2. 向量组的线性相关 3. 相关性判定定理 4. 相关性判...
  • [线性代数]n维向量(秦静老师主讲)

    千次阅读 2020-04-10 11:50:51
    本章主要讲述n维向量的方面知识。n维向量在我们计算机上就是一块数组,在数学里用处就比较大了。本实验取材于秦静老师的《线性代数》
  • 那么说到具体几几范数,其不过是定义不同,一个矩阵范数往往由一个向量范数引出,我们称之为算子范数。 0范数,向量中非零元素的个数。1范数,为绝对值之和。2范数,就是通常意义上的模。 模是范数的一种,即...
  • 文章目录一、支持向量机原理之线性SVM1、什么是SVM?2、线性SVM1)数学建模2)SMO算法3、编程求解线性SVM1)可视化数据集2)简化版SMO算法二、SMO算法优化1、启发选择方式2、完整版SMO算法3、编写代码三、非线性SVM1...
  • 目录 引 正交不变范数 定理1 定理2 例子:谱范数 例子:核范数 算子范数 定理3 定理4 例子 \(\ell_2\) 《Subgr...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,298
精华内容 519
关键字:

向量范数证明例题