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  • 2018-01-15 13:57:24

    为什么二进制乘除法可以转换成移位运算呢?
    如:
    a=5;
    a=a*9;
    可以转换成a=(a<<3)+a; 这样就转换成了移位运算和加法运算
    a=a*7
    可以转换成a=(a<<3)-a;
    a=a/12;
    可以转换成 a=(a>>4)-(a<<2) 这样就转换成了移位运算和减法运算

    因为乘除和减法都能转换成移位和加法运算,所以cpu中只需要一个加法器便能完成所有运算。

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    一、定点数一位乘法

    1.定点原码一位乘法

    ➢ 乘积的符号为相乘两数符号的异或值,数值则为两数绝对值之积
    ➢人工计算特点
    ◆ 乘积位数是乘数的二倍
    ◆ 相加数逐次向左偏移一位
    ◆ 前一部分积的最低位不再参与运算
    在这里插入图片描述
    机器计算需要解决哪些问题?
    ◆ 如何解决多个数据同时相加?
    ◆ 如何保存2N位乘积结果?

    解决方法(1) ◆ 设置寄存器
    ➢ A寄存器:部分积
    ➢ B寄存器:被乘数
    ➢ C寄存器:乘数
    解决方法(2) ◆ 每求得一个相加数,就与上次部分积相加
    ◆ 利用N位加法器实现两个N位数相乘。
    ➢ 在求本次部分积时,前一次部分积的最低位不再参与运算,因此可将其右移一位。
    ➢ 乘数最低位用完也没有用处了。乘数寄存器同时右移一位。
    ◆ A寄存器中保存乘积的高位部分,C寄存器中保存乘积的低位部分。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    得出结果:
    在这里插入图片描述
    原码乘法是先取操作数绝对值相乘,符号位单独处理。

    2.定点补码一位乘

    在这里插入图片描述

    定点补码一位乘法的规则
    设被乘数 [X]补 = X0. X1X2… Xn
    ◆ 乘数 [Y]补 = Y0. Y1Y2… Yn
    则 [X . Y]补 = [X]补(0. Y1Y2… Yn) - [X]补. Y0

    例1: [X . Y]补 = [X]补(0. Y1Y2… Yn) - [X]补. Y0(其中Y0=0)
    在这里插入图片描述
    答案为:[X . Y]补 = 1.01110001 X . Y = -0.10001111
    例2: [X . Y]补 = [X]补(0. Y1Y2… Yn) - [X]补. Y0(其中Y0=1)
    在这里插入图片描述
    答案为:[X . Y]补 = 0.10001111
    例3:
    在这里插入图片描述
    根据补码一位乘公式 [X . Y]补 = [X]补(0. Y1Y2… Yn) - [X]补. Y0可知,当Y0=0时,需要进行n次加法运算;Y0=1时,需要进行n+1次加法运算。故最多需要n+1次。(n以乘数y的位数为准)

    3.布斯公式

    在这里插入图片描述
    需要在乘数最后一位增加一位“0”,Y0也参加运算。
    在这里插入图片描述

    二、定点数二位乘法

    1.原码两位乘法

    左移一位相当于乘2,右移一位相当于除2。(此处需要结合例题反复理解)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例:
    在这里插入图片描述
    如果最后一次操作欠下+4X,则最后一次右移两位后还需补充+X操作,+X后不再移位。

    2.补码两位乘法

    根据前述的布斯算法,将两步合并成一步,可推导出补码两位乘的公式。
    需要在乘数最后一位增加一位“0”,Y0也参加运算。

    符号位参与运算,部分积与被乘数采用三符号位;乘数Y数值的位数为偶数设两个符号位;为奇数设一个符号位。
    根据Yn-1 , Yn ,Yn+1判断
    Yn-1 Yn Yn+1 组合
    0 0 0 0 部分积+0,右移两位
    0 0 1 1 部分积+[X]补,右移两位
    0 1 0 1 部分积+[X]补,右移两位
    0 1 1 2 部分积+2[X]补,右移两位
    1 0 0 -2 部分积+2[-X]补,右移两位
    1 0 1 -1 部分积+[-X]补,右移两位
    1 1 0 -1 部分积+[-X]补,右移两位
    1 1 1 0 部分积+0,右移两位
    详情参考文章:补码两位乘法

    例(同上布斯公式例3.34)用补码两位乘法处理
    在这里插入图片描述

    三、阵列乘法器

    在这里插入图片描述
    了解详情可参考文章:阵列乘法器


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  • 计算机中二进制移位运算

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    移位运算符:

    高位左移后溢出,舍弃:

    如:

        <<:左移    左移是将一个二进制操作数对象按指定的移动位数向左移,左边溢出的位数被丢弃,右边的空位用0补充。左移相当于乘以2的幂次。∫将一个运算对象的各二进制位,全部左移若干位(左边的二进制丢弃,右边补0)

                例如:左移1位

    >>:有符号右移    右移是将一个二进制操作数对象按指定的移动位数向右移,右边溢出的位数被丢弃,正数时左边的空位用0补充,负数时则左边的空位用1补充。右移相当于除以2的幂次。将一个运算对象的各二进制位全部右移若干位,正数左补0,负数左补1.

    例如:又移1位

    高位左移后溢出,舍弃。

    左移一位相当于该数乘以2,左移2位相当于该数乘以2^2=4。上面举的例子15<< 2=60,即乘了4。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。

    例如,假设以一个字节(8位)存一个整数,若a为无符号整型变量,则a=64,即二进制数01000000时,左移一位时溢出的是0。而左移2位时,溢出的高位中包含1,则不符合上述结论。

    由下表可以看出,若a的值为64,在左移一位后相当于乘2,左移2位后,值等于256(100000000 是9位,255是:11111111 8位)。

    这时候:

    1. <<1左移一位相当于 64*2 =128没有超出255 ,所以此时 直接右边直接补0即可
    2. <<2左移2位就相当于64*2*2 = 256 超出了255的范围,所以此时超出255的就采取左边的二进制丢弃,右边补0

    a的值

    a的二进制形式

    a<<1

    a<<2

    64

    01000000

    10000000

    00000001,00000000

    127

    01111111

    11111110

    00000001,11111100

     

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    在计算机中 如何计算十进制25 * 10?

    预备知识: 4(十进制) * 2 = 100(二进制) * 2 =  100(二进制) << 1(左移一位) = 1000(二进制) = 8 (十进制)

    可以自行演示4(十进制)* 4 ; 得到的结论为 左移 1 位,即乘以2,左移两位,即乘以4,依次类推。右移即除。

    25 * 10 

    = 25 * 8 + 25 * 2

    = 转二进制 = 11001 * 2^3 + 11001 * 2^1 

    = 11001 << 3 + 11001 << 1 

    = 11001000 + 110010 

    = 11111010 = 250 

    由此,可见计算机的乘法可以转发为加法和位移运算的组合,其实减法和除法也可以转化为加法和位移运算,这样,计算机只要计算加法和位移运算即可。运行效率大大提高。

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空空如也

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二进制乘法移位运算