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  • python二次函数
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    2021-01-14 03:16:27

    二次函数知识点总汇

    教学目标

    介绍一些些能加快速度的计算公式

    教学内容

    3

    求抛物线的顶点、对称轴的方法(

    1

    )公式法:

    a

    b

    ac

    a

    b

    x

    a

    c

    bx

    ax

    y

    4

    4

    2

    2

    2

    2

    ,∴顶点是

    )

    (

    a

    b

    ac

    a

    b

    4

    4

    2

    2

    对称轴是直线

    a

    b

    x

    2

    .

    (

    2

    )配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为

    k

    h

    x

    a

    y

    2

    的形式,得到顶点为

    (

    h

    ,

    k

    )

    ,对称轴是直线

    h

    x

    .

    (

    3

    )运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与

    抛物线的交点是顶点

    .

    用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失

    .

    9.

    抛物线

    c

    bx

    ax

    y

    2

    中,

    c

    b

    a

    ,

    ,

    的作用

    (

    1

    )

    a

    决定开口方向及开口大小,这与

    2

    ax

    y

    中的

    a

    完全一样

    .

    (

    2

    )

    b

    a

    共同决定抛物线对称轴的位置

    .

    由于抛物线

    c

    bx

    ax

    y

    2

    的对称轴是直线

    a

    b

    x

    2

    ,故:①

    0

    b

    时,对称轴为

    y

    轴;②

    0

    a

    b

    (即

    a

    b

    同号)时,对称轴在

    y

    轴左侧;③

    0

    a

    b

    (即

    a

    b

    号)时,对称轴在

    y

    轴右侧

    .

    (

    3

    )

    c

    的大小决定抛物线

    c

    bx

    ax

    y

    2

    y

    轴交点的位置

    .

    0

    x

    时,

    c

    y

    ,∴抛物线

    c

    bx

    ax

    y

    2

    y

    轴有且只有一个交点(

    0

    c

    )

    0

    c

    ,抛物线经过原点

    ;

    0

    c

    ,

    y

    轴交于正半轴;③

    0

    c

    ,

    y

    轴交于负半轴

    .

    以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立

    .

    如抛物线的对称轴在

    y

    轴右侧,则

    0

    a

    b

    .

    11.

    用待定系数法求二次函数的解析式

    (

    1

    )一般式:

    c

    bx

    ax

    y

    2

    .

    已知图像上三点或三对

    x

    y

    的值,通常选择一般式

    .

    (

    2

    )顶点式:

    k

    h

    x

    a

    y

    2

    .

    已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式

    .

    (

    3

    )交点式:已知图像与

    x

    轴的交点坐标

    1

    x

    2

    x

    ,通常选用交点式:

    

    2

    1

    x

    x

    x

    x

    a

    y

    .

    12.

    直线与抛物线的交点

    (

    1

    )

    y

    轴与抛物线

    c

    bx

    ax

    y

    2

    得交点为

    (0,

    c

    ).

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    引入

    在实际项目中,往往有这样的需求:对采集到的数据进行数据处理(曲线拟合),再计算出一些想要的参数,比如峰值/dip值/周期等等。

    核心即曲线拟合。不同的曲线形式,就灵活选择不同的拟合函数。

    其中一种常见的形式为:二次函数拟合。

    方法

    获取实验数据x, y

    利用np.polyfit(x, y, 2)进行二次拟合

    得到拟合出的系数,进行后续的数据处理

    实例

    已知一组二次曲线型数据,要求拟合出该曲线,并且返回最大点/对称点的坐标。

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    # 模拟生成一组实验数据

    x = np.arange(0,10,0.2)

    y = -(x-3.5)**2+4.7

    noise = np.random.uniform(-3,3,len(x))

    y += noise

    fig, ax = plt.subplots()

    ax.plot(x, y, 'b--')

    ax.set_xlabel('x')

    ax.set_ylabel('y')

    # 二次拟合

    coef = np.polyfit(x, y, 2)

    y_fit = np.polyval(coef, x)

    ax.plot(x, y_fit, 'g')

    # 找出其中的峰值/对称点

    if coef[0] != 0:

    x0 = -0.5 * coef[1] / coef[0]

    x0 = round(x0, 2)

    ax.plot([x0]*5, np.linspace(min(y),max(y),5),'r--')

    print(x0)

    else:

    raise ValueError('Fail to fit.')

    plt.show()

    结果

    本文地址:https://blog.csdn.net/kaever/article/details/109647871

    如您对本文有疑问或者有任何想说的,请点击进行留言回复,万千网友为您解惑!

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  • 2.3.2例子二次函数绘制方法把二次函数图像变成点存储于list中画直线的时候我们画了三个点,我们还可以画更多的点。点越多图像就越是一条直线,运用的思想是微积分的思想。如何生成很多点呢?python本身自带range()...

    2.3.1工具

    python

    matplotlib

    pyplot

    pyplot四Matplotlib中的模块,封装了很多处理graph的方法。绘制表格,修改表格属性都是用它实现的。

    2.3.2例子

    二次函数绘制方法

    把二次函数图像变成点存储于list中

    画直线的时候我们画了三个点,我们还可以画更多的点。点越多图像就越是一条直线,运用的思想是微积分的思想。如何生成很多点呢?python本身自带range()函数, 我们可以使用它来自动生成点的横坐标,但是range()只能自动生成间隔为自然数的数据。我们就需要自己写一个函数自动生成任意间隔的数据。

    def frange(start,final,increment):

    numbers=[]

    while start

    numbers.append(start)

    start = start + increment

    return numbers

    a= frange(1,5,0.2)

    print a

    frange()函数是我们自己写的,用来生成任意间隔的数据。

    在图表中显示出这些点。

    from pylab import plot,show

    这个方法是引用pylab模块,导入pylab模块的方法,然后就可以直接使用这些方法。

    import matplotlib.pyplot as plt

    这个方法是导入模块,然后实例化一个pyplot类对象。然后通过对象直接使用pyplot模块的方法,和上面的方法效果一样。

    plt.style.use('ggplot')#使用"ggplot风格美化图表’

    def create_graph(a,b,c,d,e):#定义图表函数

    x = frange(d,e,0.02)#生成x轴坐标

    y = []#定义y轴坐标数据类型

    for i in x:

    y.append(a*i**2+b*i+c)#y轴坐标数据计算

    plt.plot(x,y)#把x、y轴坐标带入plot()画图。

    plt.xlabel(u'x轴')#显示x轴名词,u是更改字符编码。

    plt.ylabel(u'y')

    plt.title(u'二次函数图像')

    plt.show()#展示出来。

    create_graph(1,2,1,-4,3)

    如果直接在Matplotlib中使用中文会出现

    报错:ValueError: matplotlib display text must have all code points < 128 or use Unicode strings

    中文编码问题的解决方法只需在中文字符串前面加个u即可,表示使用Unicode编码。

    40e5a3218880?from=timeline

    2.3.3有没有现成的生成x轴坐标的python库

    当然有现成的生成x轴坐标的库,numpy就是其中一个。NumPy是Python中科学计算的基础软件包。它是一个提供多了维数组对象,多种派生对象(如:掩码数组、矩阵)以及用于快速操作数组的函数及API,它包括数学、逻辑、数组形状变换、排序、选择、I/O 、离散傅立叶变换、基本线性代数、基本统计运算、随机模拟等等。

    使用方法

    import numpy as np

    x = np.arange(-5, 5, 0.01)#可以自动生成x轴坐标,最小间隔为0.01

    上面程序可以修改为

    #-*- coding:utf-8 -*-

    import matplotlib.pyplot as plt

    import numpy as np

    plt.style.use('ggplot')#使用"ggplot风格美化图表’

    def create_graph(a,b,c,d,e):

    x = np.arange(d,e,0.01)

    y = a*x**2+b*x+c

    plt.plot(x,y)

    plt.xlabel(u"x轴")

    plt.title(u'二次函数')

    plt.show()

    create_graph(1,2,3,-4,4)

    这次函数写的简单多了,而且y值也不需要用for循环来生成,直接使用即可。

    2.3.4 绘制数学函数图像

    numpy功能很强大,可以涵盖很多数学函数,直接拿来使用即可。

    import matplotlib.pyplot as plt

    import numpy as np

    pai =np.pi

    x = np.arange(0,2*pai,0.01)

    y = np.sin(x)

    plt.plot(x,y)

    plt.show()

    例如正弦函数图像

    40e5a3218880?from=timeline

    感想

    以前自己总是纳闷,计算上的函数图像到底是如何生成的,而且纳闷细腻,经过深入了解函数图像的生成过程,才懂得函数图像是一个点一个点绘制出来的,只要x轴数据足够多,加上计算机的强大计算能力,很快就能绘制出函数图像来。事情并不难,难的是没有方式和方法。

    展开全文
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    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

    如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

    二次函数y=ax^2的图像的画法

    用描点法画二次函数y=ax^2的图像时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值,然后计算出对应的y值,这样的对应值选取越密集,描出的图像越准确。

    用描点法画出二次函数y=x^2的图像,它是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线。

    因为抛物线y=x^2关于y轴对称,所以y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线y=x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y=x2有最低点.所以函数y=x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标。

    基本图像

    当a>0时,y=ax^2的图像

    5842405_1

    当a<0时,y=ax^2的图像

    5842405_2

    二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

    解析式

    y=ax^2;

    y=ax^2+K

    y=a(x-h)^2;

    y=a(x-h)^2+k

    y=ax^2+bx+c

    顶点坐标

    (0,0)

    (0,K)

    (h,0)

    (h,k)

    (-b/2a,4ac-b^2/4a)

    对称轴

    x=0

    x=0

    x=h

    x=h

    x=-b/2a

    当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,

    当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象;

    当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象;

    当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;在向上或向下.向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。

    因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

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