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  • 利用python函数求导数的方法:首先python运行环境,导入微分的模块包;然后定义符号变量和函数;接着求导【diff = diff(f,x)】;**后输入diff就显示其变量值了。fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.comfuG少儿编程网...

    利用python函数求导数的方法:首先python运行环境,导入微分的模块包;然后定义符号变量和函数;接着求导【diff = diff(f,x)】;**后输入diff就显示其变量值了。fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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    本教程操作环境:windows7系统、python3.9版,DELL G3电脑。fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

    利用python函数求导数的方法:fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

    1、打开python运行环境fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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    2、导入微分的模块包from sympy import *fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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    3、定义符号变量x = symbols('x')fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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    4、定义一个函数f = x**9fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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    5、diff = diff(f,x)求导fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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    6、**后输入diff就显示其变量值了fuG少儿编程网-https://www.pxcodes.com

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  • #求函数导数 import os import numpy as np #定义一个函数y=x**2 def y(x): return x**2 def derivative(x0,deltaX):#x0为所求点横坐标,deltaX为偏移量 return (y(x0+deltaX)-y(x0))/deltaX

    求自定义函数的导数

    今天我们来讲一下,使用python求自定义函数求倒数的程序
    对于这个程序,我们的原理来自于导数的计算公式如下:
    在这里插入图片描述

    那么根据如上公式,我们得到代码如下:

    #求函数的导数
    import os
    import numpy as np
    #定义一个函数y=x**2
    
    def  y(x):
        return x**2
    
    def  derivative(x0,deltaX):#x0为所求点横坐标,deltaX为偏移量
          return (y(x0+deltaX)-y(x0))/deltaX
    der=derivative(2,0.1**10)
    print("对于y=x**2 在 2处的导数为:", der)
    os.system("pause")
    

    最后,我们可以自行修改y()函数,来定义我们想要求解函数的导数
    注:该结果求解的导数是近似解

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  • 当然,在另一个答案中给出的subs选项可用于计算某个数的导数,但如果要绘制导数,则不起作用。有一种方法可以解决这个问题:lambdify,如下所述。使用lambdify将所有sympy函数(可以区分但不能计算)转换为它们的...

    这个问题的答案很简单。当然,在另一个答案中给出的subs选项可用于计算某个数的导数,但如果要绘制导数,则不起作用。有一种方法可以解决这个问题:lambdify,如下所述。

    使用lambdify将所有sympy函数(可以区分但不能计算)转换为它们的numpy对应函数(可以计算、绘制等,但不能区分)。例如,sym.sin(x)将替换为np.sin(x)。其思想是:使用symphy函数定义函数,根据需要进行区分,然后定义一个新的函数,它是原始函数的lambdified版本。

    在下面的代码中,sym.lambdify接受以下输入:

    sym.lambdify(variable, function(variable), "numpy")

    第三个输入“numpy”是用numpy对应函数替换sympy函数的内容。例如:def f(x):

    return sym.cos(x)

    def fprime(x):

    return sym.diff(f(x),x)

    fprimeLambdified = sym.lambdify(x,f(x),"numpy")

    然后函数fprime(x)返回-sym.sin(x),函数fprimeLambdified(x)返回-np.sin(x)。我们现在可以在特定的输入值处“调用”或“求值”,而不能“调用”或“求值”,因为前者由numpy表达式和后者的sympy表达式组成。换句话说,输入fprimelambdified(math.pi)是有意义的,这将返回一个输出,而fprime(math.pi)将返回一个错误。

    下面是在多个变量中使用sym.lambdify的示例。import sympy as sym

    import math

    def f(x,y):

    return x**2 + x*y**2

    x, y = sym.symbols('x y')

    def fprime(x,y):

    return sym.diff(f(x,y),x)

    print(fprime(x,y)) #This works.

    DerivativeOfF = sym.lambdify((x,y),fprime(x,y),"numpy")

    print(DerivativeOfF(1,1))

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  • 前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们不在相切,则必定相交.而...

    【思考题】

    equation?tex=f%28x%29%3De%5Ex-ax%5E2-x有极值,则
    equation?tex=a的取值范围为_________________.

    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,

    我们接着研究这道题,

    【解析】函数有极值,则导数

    equation?tex=f%27%28x%29%3De%5Ex-2ax-1 有变号零点.

    转化为方程

    equation?tex=e%5Ex%3D2ax%2B1 有解问题,

    观察函数

    equation?tex=y%3De%5Ex
    equation?tex=y%3D2ax%2B1 有交点,

    由直线

    equation?tex=y%3D2ax%2B1
    equation?tex=y%3De%5Ex 都过定点
    equation?tex=%280%2C1%29

    只要他们不在

    equation?tex=%280%2C1%29相切,则必定相交.

    而相切时,

    equation?tex=k%3De%5E%7B0%7D%3D1

    equation?tex=2a%5Cne+1%5CRightarrow+a%5Cne%5Cfrac12 .

    equation?tex=a%5Cin%28-%5Cinfty%2C%5Cfrac12%29%5Ccup%28%5Cfrac12%2C%5Cinfty%29 .

    【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).

    1、极值与二阶导数的关系

    【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数

    equation?tex=f%28x%29%3Dsinx-ln%281%2Bx%29%2Cf%27%28x%29
    equation?tex=f%28x%29 的导数,证明:
    equation?tex=f%27%28x%29 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 存在唯一极大值点.

    【分析】解答题,求导数变号零点;

    【解析】设

    equation?tex=g%28x%29%3Df%27%28x%29%3Dcosx-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D ,则有
    equation?tex=g%27%28x%29%3D-sinx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D ,

    由于

    equation?tex=y%3D-sinx%2Cy%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 上单调递减,

    所以

    equation?tex=g%27%28x%29 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 上单调递增,而
    equation?tex=g%28-%5Cfrac12%29%3Dsin%5Cfrac12%2B%5Cfrac49%3E0 ,
    equation?tex=g%27%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%3C-1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%281%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%3C0

    所以

    equation?tex=g%27%28x%29 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 存在唯一零点
    equation?tex=x_0 .

    且在

    equation?tex=%28-1%2Cx_0%29
    equation?tex=g%27%28x%29%3E0%2Cg%28x%29 单调递增,在
    equation?tex=%28x_0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29
    equation?tex=g%27%28x%29%3C0%2Cg%28x%29 单调递减,所以在
    equation?tex=x%3Dx_0 处取得唯一极大值.

    【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数

    equation?tex=f%28x%29%3D%282%2Bx%2Bax%5E2%29ln%281%2Bx%29-2x ,若
    equation?tex=x%3D0
    equation?tex=f%28x%29 的极大值点,求
    equation?tex=a .

    【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数

    equation?tex=f%28x%29 的增加性.

    【解析】求导

    equation?tex=f%27%28x%29%3D%281%2B2ax%29ln%281%2Bx%29-2%2B%5Cfrac%7B2%2Bx%2Bax%5E2%7D%7B1%2Bx%7D
    equation?tex=%3D%5Cfrac%7Bax%5E2-x%2B%281%2B2ax%29%281%2Bx%29ln%28x%2B1%29%7D%7B1%2Bx%7D%28x%3E-1%29 .

    equation?tex=f%27%280%29%3D0 ,这是必要条件,我们来研究充分性.

    如图:

    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=h%28x%29 )示意图,在这种情形下,
    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D0 有极大值.

    41f4e9cc865332a0124db396ff95cf85.png

    equation?tex=h%28x%29%3Dax%5E2-x%2B%281%2B2ax%29%281%2Bx%29ln%28x%2B1%29 ,则
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=h%28x%29 同正负区间.

    equation?tex=h%27%28x%29%3D4ax%2B%284ax%2B2a%2B1%29ln%281%2Bx%29 ,
    equation?tex=h%27%280%29%3D0

    需要满足

    equation?tex=h%27%28x%29
    equation?tex=x%3D0 附近先增后减(如下图),所以
    equation?tex=h%27%28x%29
    equation?tex=x%3D0 左侧附近递增,右侧附近递减.则
    equation?tex=h%27%28x%29 的导数
    equation?tex=h%27%27%28x%29
    equation?tex=x%3D0 附近,左正右负,

    ca4deeca52ee737c49bed12a91bb8603.png

    equation?tex=h%27%27%28x%29%3D8a%2B4aln%281%2Bx%29%2B%5Cfrac%7B1-2a%7D%7B1%2Bx%7D 不间断函数,由零点存在定理,则
    equation?tex=h%27%27%280%29%3D6a%2B1%3D0 ,有
    equation?tex=a%3D-%5Cfrac16 .

    检验,当

    equation?tex=a%3D-%5Cfrac16 时,
    equation?tex=h%27%27%28x%29%3D-%5Cfrac43-%5Cfrac23ln%28x%2B1%29%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac23%7D%7B1%2Bx%7D
    equation?tex=%28-1%2C%2B%5Cinfty%29 上单调递减.而
    equation?tex=h%27%27%280%29%3D0 ,所以:

    equation?tex=h%27%28x%29%3D-%5Cfrac23x%2B%28-%5Cfrac23x%2B%5Cfrac23%29ln%281%2Bx%29 ,

    equation?tex=-1%3Cx%3C0 时,
    equation?tex=h%27%27%28x%29%3E0%5CRightarrow+h%27%28x%29 单调递增;

    equation?tex=x%3E0 时,
    equation?tex=h%27%27%28x%29%3C0%5CRightarrow+h%27%28x%29 单调递减;

    equation?tex=h%27%280%29%3D0 ,所以
    equation?tex=h%27%28x%29%5Cleq0 ,且仅有
    equation?tex=x%3D0 时取等号.

    所以

    equation?tex=h%28x%29 单调递减,且由于
    equation?tex=h%280%29%3D0
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=h%28x%29 同符号.

    所以有:

    equation?tex=-1%3Cx%3C0 时,
    equation?tex=h%28x%29%3E0%5CRightarrow+f%28x%29 单调递增;

    equation?tex=x%3E0 时,
    equation?tex=h%28x%29%3C0%5CRightarrow+f%28x%29 单调递减;

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D0 处取得极大值.

    【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系

    equation?tex=f%28x%29 若在
    equation?tex=x%3Dx_0 处取得极大(小)值,则
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3Dx_0 处有变号零点,
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3Dx_0 处单调递减(增).

    【例2】(2016山东卷文数20-2)设

    equation?tex=f%28x%29%3Dxlnx-ax%5E2%2B%282a-1%29x%2Ca%5Cin+R .已知
    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D1 处取得极大值,求正实数
    equation?tex=a 的取值范围.

    【分析】

    equation?tex=f%28x%29 是可导函数,则
    equation?tex=x%3D1 处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.

    【解析】

    equation?tex=f%27%28x%29%3Dlnx-2a%28x-1%29%28x%3E0%2Ca%3E0%29 .

    如图:

    92171233aaea2539ee4a808823f9c039.png

    因为

    equation?tex=f%27%281%29%3D0 ,要在
    equation?tex=x%3D1 处取得极值,则在
    equation?tex=x%3D1 附近,
    equation?tex=f%28x%29 左侧递增,右侧递减;对应
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3D1 附近左正右负.即
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3D1 附近单调递减.

    所以

    equation?tex=f%27%27%28x%29
    equation?tex=x%3D1 附近,满足
    equation?tex=f%27%27%28x%29%5Cleq0 .

    所有

    equation?tex=f%27%27%281%29%3D1-2a%5Cleq0%5CRightarrow+a%5Cgeq%5Cfrac12 .

    检验,

    equation?tex=a%3D%5Cfrac12 时,
    equation?tex=f%27%28x%29%3Dlnx-x%2B1 ,易证明:
    equation?tex=f%27%28x%29%5Cleq0
    equation?tex=%280%2C%2B%5Cinfty%29 上恒成立,则
    equation?tex=f%28x%29 单调递减,无极值,不满足.

    equation?tex=a%3E%5Cfrac12 时,有
    equation?tex=f%27%27%28x%29%3D%5Cfrac1x-2a%28x%3E0%29 .

    由于

    equation?tex=f%27%27%28x%29 单调递减,且
    equation?tex=f%27%27%281%29%3D1-2a%3C0 ,

    所以在

    equation?tex=%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%EF%BC%8C%2B%5Cinfty%29%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%3C1%29 上,
    equation?tex=f%27%27%28x%29%3C0%5CRightarrow
    equation?tex=f%27%28x%29 单调递减,且
    equation?tex=f%27%281%29%3D0 ,

    所以易判断

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D1 处取得极大值.

    综上,

    equation?tex=a%5Cin%28%5Cfrac12%2C%2B%5Cinfty%29 .

    【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.

    1de3da9cc76814ba95d7349d77ba31d4.png
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