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  • python求函数极限
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    2018-04-12 13:43:00

     

    #coding:utf-8
    '''
    函数极限
    '''
    import sympy
    sympy.init_printing()
    from sympy import I, pi, oo
    import numpy as np
    
    x = sympy.Symbol('x')
    expr = sympy.sin(x) / x
    result = sympy.limit(expr,x,0)
    print('limit:',result)
    
    f = sympy.Function('f')
    x, h = sympy.symbols("x, h")
    diff_limit = (f(x + h) - f(x))/h
    result = sympy.limit(diff_limit.subs(f, sympy.cos), h, 0)
    print('limit:',result)
    result = sympy.limit(diff_limit.subs(f, sympy.sin), h, 0)
    print('limit:',result)
    
    expr = (x**2 - 3*x) / (2*x - 2)
    p = sympy.limit(expr/x, x, sympy.oo)
    q = sympy.limit(expr - p*x, x, sympy.oo)
    print('result:p,q = ',p,q)
    
    # 求和
    n = sympy.symbols("n", integer=True)
    s = sympy.Sum(1/(n**2), (n, 1, oo))
    print('sum:',s)
    print('sum:',s.doit())
    
    # 求积
    p = sympy.Product(n, (n, 1, 7))
    print('product:',p)
    print('product:',p.doit())
    
    expr = sympy.Sum((x)**n/(sympy.factorial(n)), (n, 1, oo)).doit().simplify()
    print('expr:',expr)

     

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  • # 使用sympy第三方库计算出函数sin(x)/x在自变量x趋于无穷大时的极限值。 x = sympy.Symbol('x') f = sympy.sin(x)/x a = sympy.limit(f,x,oo) print(a) # 通过上面的代码可以计算出极限值为:0 # 然后通过第三方库...

    代码如下: 

    
    import sympy
    from sympy import oo
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    # 使用sympy第三方库计算出函数sin(x)/x在自变量x趋于无穷大时的极限值。
    x = sympy.Symbol('x')
    f = sympy.sin(x)/x
    a = sympy.limit(f,x,oo)
    print(a)
    # 通过上面的代码可以计算出极限值为:0
    
    # 然后通过第三方库numpy和matplotlib来将函数sin(x)/x图形绘制出来进行可视化
    x = np.linspace(-1000,1000)
    y = np.sin(x)/x
    
    plt.style.use(['seaborn-notebook'])
    plt.plot(x,y,linewidth=1, color ='b',linestyle=':', marker='.',markerfacecolor='b',markersize=8)
    plt.xlabel('xlable',fontsize = 16)           # x轴标题
    plt.ylabel('ylable',fontsize = 16)           # y轴标题
    plt.title('Matplotlib Figure',fontsize = 30) # 图形标题
    plt.show()
    # 通过函数图形可以清楚看到函数sin(x)/x在区间[0->OO]上无限趋于0,所以极限为0
    
    

    函数图形如下:

    展开全文
  • python, 符号计算(symbolic)怎么转换到数值计算(nupython, 符号计算(symbolic)怎么转换到数值计算(numerical)?比如说小编有#。/usr/bin/env python# -*- coding: utf-8 -*-# File name: test2# Project name: ...

    python, 符号计算(symbolic)怎么转换到数值计算(nupython, 符号计算(symbolic)怎么转换到数值计算(numerical)?比如说小编有#。/usr/bin/env python# -*- coding: utf-8 -*-# File name: test2# Project name: equation""".. moduleauthor::.. Module.. name test2 of procjet equation """from sympy import *def _checkNumerical(inputvalue, description='inputvalue'今年夏天,最好不过一张录取通知书,最美不过校门前的一声好巧。

    分享函数极限的方法有几种?具体怎么分享?狗友不值得你为他怀疑友谊,人渣不值得你为他怀疑爱情,

    利用函数的连续性分享函数的极限(直接带入即可) 如果是初等函数,且点在的定义区间内,那么,因此计算当时的极限,只要计算对应的函数值就可以了。

    Python定义函数实现分享m~n和,并调用函数计算200~100用Python不要那么相信回忆,里面的那个人,不一定同样想你。

    按照你的要分享编写的定义函数分享m~n和的Python语言程序如下 def summary(m,n): s=0 for i in range(m,n+1): s=s+i return s print(summary(200,1000)) print(summary(550,10000)) 源代码(注意源代码的缩进)小编们终此一生,就是要摆脱他人的期待,找到真正的自己。

    用Python写一个,两个数的加,减,乘,除的函数,小编课程中的部分代码(除没写): def f_add(a,b): return a+bdef f_mul(a,b): return a*bdef f_sub(a,b): return a-b def g1(f,a,b): return f(a,b)a,b,c,d = 1,2,3,4print g1(f_sub, g1(f_mul, g1(f_add,a,b), c), d), g1(f_mul, g1(f_add,a,b)小编学不来你的洒脱,所以小编终究逃不过你给的伤痛。

    python如何实现分享函数的在一个连续区间的最值?如y=x^2在[-1,0]上最大值程序人生有许多的错过,就像雨水与花,匆匆流过,匆匆错过,你错过似水温柔的小编,正如小编错过似花美丽的你。

    如果函数是确定的,可以用导数的方法进行计算,但是如果函数是不确定的,就需要用优化的方法来处理了,比如常用的梯度上升法,模拟退火等,希望可以帮到你。

    Math:分享函数极限的几种方法

    利用柯西准则来分享. 柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于 任意的自然数m有|xn-每次出门必戴耳机,然后不停地把手机打开关上打开关上,就为了让自己看起来有人陪

    很多 1.极限定义 2.洛比达 3.泰勒公式 4.定积分定义 5.等价无穷小代换 6.极限的运算法则 7.夹逼准则 8.数列极限法则(单调有界) 9.函数连续性 10逢场作戏”小编们曾打着爱情名义,逢过多少人的场?又作过多少人的戏?

    python:用递归的方法编写一个函数gys(x,y),计算python:用递归的方法编写一个函数gys(x,y),计算两个数字的最大公约数def gys(x,y): a,b=max(x,y),min(x,y) c=a%b if c==0: return b else: return gys(b,c)不知道行不行 你试试无数个瞬间小编都在想如果你在就好了,结果还是小编一个人熬过了所有的这些时刻。

    已定义符号函数y,分享x→0的极限的命令是什么有一种感情叫发小”,再没什么能比它纯净美好。

    这个好像是matlab编程,小编的matlab书不在,好久没用了,实在帮不上梧桐黄叶月满天,秋桂残烛夜难眠。遥想昔日堂前望,万事皆古叹流年。

    怎么用python实现 已知四分之派=1-1/3+1/5-1/7+..

    以上就是四十五资源网为大家整理的Python符号计算之实现函数极限的方法内容,如果觉得本站更新的资源对您有帮助 不要忘记分享给您身边的朋友哦!

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  • Sympy笔记一

    2021-01-30 01:29:47
    from IPython.display import displayfrom sympy import *前置知识理解这份笔记的内容需,读者需要具备基础的python知识并且对函数,微积分和矩阵有一定的基础。辅助函数由于后面的笔记中, 我们会大量将一个Sympy ...

    from IPython.display import display

    from sympy import *

    前置知识

    理解这份笔记的内容需,读者需要具备基础的python知识并且对函数,微积分和矩阵有一定的基础。

    辅助函数

    由于后面的笔记中, 我们会大量将一个Sympy object和应用某个函数之后,调用某个方法之后, 或是和执行计算之后的结果比较。 为了减少代码的重复,我编写了helper.py帮忙做这事。

    from helper import comparator_factory

    func_comparator = comparator_factory('应用函数{}前:','使用后:')

    comparator_factory返回的comparator是一个函数, 他否则使用的语法是comparator(target, func, *args, *kwargs)。 target是待处理的Sympy对象, func是希望应用的Sympy函数,args,kwargs是传给func的额外位置参数和关键字参数。

    from helper import comparator_method_factory

    method_comparator = comparator_method_factory('Before calling {}:','After:')

    comparator_method_factory返回的使用的语法是comparator(target, method_name, *args, *kwargs)。 target是待处理的Sympy对象, method_name是希望调用的方法的名字,args,kwargs是传给调用方法的额外位置参数和关键字参数。

    from helper import comparator_eval_factory

    eval_comparator = comparator_eval_factory('计算前:','计算后')

    comparator_eval_factory返回的comparator使用的语法是comparator(uneval)。 uneval是未执行计算的Sympy object。

    符号计算是什么?

    Sympy能以符号形式进行数学计算。数学表达式中未经计算的变量可以以符号的形式存在。我们看下面的例子。首先,我们用python的内置函数计算开方,我们可能会这么做。

    from math import sqrt

    sqrt(8)

    2.8284271247461903

    这个结果并不能精确的表达$\sqrt{8}$而且我们也很难从这一大串float数值推出原来的表达式是什么。这就是为什么我们需要符号计算。在像Sympy这样的符号计算系统中,不能准确表达的开发运算会保留未经计算的符号形态。

    from sympy import sqrt

    sqrt(8)

    2*sqrt(2)

    更好的显示效果

    上面的例子中,结果很棒。但是在Jupyter中的显示效果看起来并不怎么样。如果我们要更好的显示效果,可以调用sympy.init_printing()方法

    from sympy import init_printing

    init_printing()

    sqrt(8)

    $2 \sqrt{2}$

    看上去棒极了!!

    对变量进行符号计算

    Sympy能够对包含符号变量的表达式进行计算。下面是个例子。

    from sympy import symbols

    x, y = symbols('x y')

    expr = x + 2*y

    expr

    $x + 2 y$

    Sympy能自动应用一些明显的化简。 所以下面的例子里,我们得到的结果是$y$而不是$x+2y-x-y$

    expr-x-y

    $$y$$

    如果没有像Sympy这样的符号计算系统的帮助,我们是实现不了这样的效果的。因为大部分情况下,编程语言都没法去处理一个没有赋上具体值的变量。

    Sympy的效果演示

    为了满足你的好奇心,下面挑了一小部分例子,演示Sympy在符号计算的威力。 先创建一写符号变量。

    x, t, z, nu = symbols('x t z nu')

    求微分

    计算$\sin{(x)}e^x$的微分

    s = Derivative(sin(x)*exp(x),x)

    eval_comparator(s)

    计算前:

    $$\frac{d}{d x}\left(e^{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$

    计算后

    $$e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

    求积分

    计算$\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx$

    s = Integral(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x))

    eval_comparator(s)

    计算前:

    $$\int e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

    计算后

    $$e^{x} \sin{\left (x \right )}$$

    计算$\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$

    s = Integral(sin(x**2),(x,-oo,oo))

    eval_comparator(s)

    计算前:

    $$\int_{-\infty}^{\infty} \sin{\left (x^{2} \right )}\, dx$$

    计算后

    $$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$

    计算$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{x}$

    求极限

    s = Limit(sin(x)/x, x, 0)

    eval_comparator(s)

    计算前:

    $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$

    计算后

    $$1$$

    求解 $x^2 - 2 = 0$

    求解等式

    s = Eq(x**2 - 2, 0)

    func_comparator(s, solve, x)

    应用函数solve()前:

    $$x^{2} - 2 = 0$$

    使用后:

    $$\left [ - \sqrt{2}, \quad \sqrt{2}\right ]$$

    求微分方程

    计算微分方程$y'' - y = e^t$

    y = Function('y')

    s = Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t))

    func_comparator(s, dsolve, y(t))

    应用函数dsolve()前:

    $$- y{\left (t \right )} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left (t \right )} = e^{t}$$

    使用后:

    $$y{\left (t \right )} = C_{2} e^{- t} + \left(C_{1} + \frac{t}{2}\right) e^{t}$$

    矩阵计算

    计算$\left[\begin{smallmatrix}1 & 2\2 & 2\end{smallmatrix}\right]$的engenvalue

    Matrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()

    $$\left { \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} : 1, \quad - \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{3}{2} : 1\right }$$

    用spherical Bessel function jν(z)改写Bessel function Jν(z)

    作图

    画函数图像

    expr_1 = x**2

    range_1 = (x,-2,2)

    expr_2 = x

    range_2 = (x,-1,1)

    p = plot(

    (expr_1,range_1),

    (expr_2,range_2),

    show = False,

    legend = True

    );

    p[0].line_color = 'r'

    p[1].line_color = 'b'

    p[0].label = 'Line 1'

    p[1].label = 'Line 2'

    p.show()

    画3D平面

    from sympy.plotting import plot3d

    x,y = symbols('x y')

    plot3d(

    (x**2 + y**2, (x, -5, 5), (y, -5, 5)),

    (x*y, (x, -3, 3), (y, -3, 3))

    );

    定义符号

    定义变量符号

    可以用symbols()去一次性定义多个符号变量。将想要的符号用空格隔开,以字符串的方式传入函数。

    from sympy import symbols

    x,y,z = symbols('x y z')

    expr = (x+y)**z/(x+1-y/5)

    expr

    $$\frac{\left(x + y\right)^{z}}{x - \frac{y}{5} + 1}$$

    除了用字母,也可以用单词作为符号名称。

    speed,time = symbols('speed time')

    display(speed, time)

    $$speed$$

    $$time$$

    有些字符串是保留字,用于定义诸如$\lambda, \nu$等特殊的符号。

    lamda, n = symbols('lamda nu')

    display(lamda, n)

    $$\lambda$$

    $$\nu$$

    Python变量名不一定要和符号名保持一致。

    y, x = symbols('x y')

    display(x, y)

    $$y$$

    $$x$$

    但是为了避免一些不必要的混乱,建议还是让Python变量名和符号名保持一致比较好。

    定义函数符号

    传入cls = Function定义函数符号。

    f, g = symbols('f g', cls=Function)

    display(f(x))

    display(g(x,y))

    $$f{\left (y \right )}$$

    $$g{\left (y,x \right )}$$

    定义数字

    可以使用Integer, Float, Rational去定义Sympy中的整数,浮点数和有理数。

    from sympy import Integer, Float, Rational

    i = Integer(1)

    i

    $$1$$

    f = Float(2.31)

    f

    $$2.31$$

    r = Rational(2,7)

    r

    $$\frac{2}{7}$$

    定义表达式

    基本表达式

    基本的数学表达式用符号变量和python的运算符就够构造。

    x,y,z = symbols('x y z')

    expr = (x+y)**z/(x+1-y/5)

    expr

    $$\frac{\left(x + y\right)^{z}}{x - \frac{y}{5} + 1}$$

    当Python的objects和Sympy的objects相遇的时候,Python objects会被自动转化成Sympy objects.所以大部分使用我们直接使用python内置的数。

    但是,遇到两个python数值相除的时候,Python会先完成除法运算,将有理数转变成浮点数。

    expr = x+1/2

    expr

    $$x + 0.5$$

    所以如果我们需要使用有理数,需要显示的去进行定义。

    expr = x+Rational(1,2)

    expr

    $$x + \frac{1}{2}$$

    更复杂的表达式例如微积分需要借助Sympy的函数来实现。这部分内容会在后面的教程中介绍。

    定义等式

    可以用Eq来定义等式。

    x,y = symbols('x,y')

    eq = Eq(x**2-x,0)

    print('等式n:')

    display(eq)

    等式n:

    $$x^{2} - x = 0$$

    处理表达式

    多项/有理函数

    simplify()

    Sympy提供了多种函数用于表达式的化简。simplify()是一个通用的函数,它尝试“智能”的应用所有这些函数,让表达式达到一个“最简化”的状态。

    下面是一些例子。

    expr = sin(x)**2 + cos(x)**2

    func_comparator(expr, simplify)

    应用函数simplify()前:

    $$\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$$

    使用后:

    $$1$$

    expr = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)

    func_comparator(expr, simplify)

    应用函数simplify()前:

    $$\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$$

    使用后:

    $$x - 1$$

    expr = gamma(x)/gamma(x - 2)

    func_comparator(expr, simplify)

    应用函数simplify()前:

    $$\frac{\Gamma{\left(x \right)}}{\Gamma{\left(x - 2 \right)}}$$

    使用后:

    $$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$$

    由于很难定义什么是"最简化",所以你可能得不到你想要的结果。

    expr = x**2 + 2*x + 1

    func_comparator(expr, simplify)

    应用函数simplify()前:

    $$x^{2} + 2 x + 1$$

    使用后:

    $$x^{2} + 2 x + 1$$

    在上面的例子里。你可能觉得$(x+1)^2$是最简化的结果但是simplify并不同意。 这种时候,我们就要使用更加具体的化简函数去更好的控制结果。这些函数后面会介绍。

    除此之外,由于simplify()需要把各种各样的化简都尝试一下才能决定哪种方案最好,处理速度会慢。所以如果你已经知道自己想要哪种类型的化简,直接使用特定的函数就好。

    expand()

    如果传入一个多项式, expand()会把它处理成由单项式的和构成的标准型。

    from sympy import expand

    expr = (x + 1)**2

    func_comparator(expr,expand)

    应用函数expand()前:

    $$\left(x + 1\right)^{2}$$

    使用后:

    $$x^{2} + 2 x + 1$$

    expr = (x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x

    func_comparator(expr,expand)

    应用函数expand()前:

    $$- x \left(x - 1\right) + \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$$

    使用后:

    $$-2$$

    factor()

    factor()将表达式在有理数范围内分解成不可约的因子项。

    from sympy import factor

    expr = (x**2)*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z

    func_comparator(expr, factor)

    应用函数factor()前:

    $$x^{2} z + 4 x y z + 4 y^{2} z$$

    使用后:

    $$z \left(x + 2 y\right)^{2}$$

    factor_list()

    factor_list()做和factor()一样的工作,但是返回的结果不可约因子项组成的list。

    from sympy import factor_list

    expr = x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z

    func_comparator(expr, factor_list)

    应用函数factor_list()前:

    $$x^{2} z + 4 x y z + 4 y^{2} z$$

    使用后:

    $$\left ( 1, \quad \left [ \left ( z, \quad 1\right ), \quad \left ( x + 2 y, \quad 2\right )\right ]\right )$$

    collect()

    collect()对表达式进行同类项合并。

    from sympy import collect

    expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3

    func_comparator(expr, collect, x)

    应用函数collect()前:

    $$x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x - 3$$

    使用后:

    $$x^{3} + x^{2} \left(- z + 2\right) + x \left(y + 1\right) - 3$$

    cancel()

    cancel()接受有理函数,然后处理成$p/q$的标准型。做到$p$和$q$是展开的多项式,没有未合并的同类项。

    $p$和$q$的第一个系数不包含分母。

    from sympy import cancel

    expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)

    func_comparator(expr, cancel)

    应用函数cancel()前:

    $$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(x y^{2} - 2 x y z + x z^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2}\right)$$

    使用后:

    $$\frac{1}{x - 1} \left(y^{2} - 2 y z + z^{2}\right)$$

    apart

    apart()对有理函数进行部分分式分解。它将原表达式表示成若干多项式和若干分母较简单的分式的和。

    from sympy import apart

    expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)

    func_comparator(expr, apart)

    应用函数apart()前:

    $$\frac{4 x^{3} + 21 x^{2} + 10 x + 12}{x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}$$

    使用后:

    $$\frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}$$

    三角函数

    trigsimp

    要根据三角恒等式对三角函数进行化简的话,可以用trigsimp()。和simplify()很像,trigsimp()尝试使用各种三角恒等式去处理接受的表达式,然后根据“直觉”找到最好的选择。

    from sympy import trigsimp

    expr = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4

    func_comparator(expr, trigsimp)

    应用函数trigsimp()前:

    $$\sin^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$$

    使用后:

    $$\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$$

    trigsimp()也能用在双曲函数上。

    expr = cosh(x)**2 + sinh(x)**2

    func_comparator(expr, trigsimp)

    应用函数trigsimp()前:

    $$\sinh^{2}{\left (x \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )}$$

    使用后:

    $$\cosh{\left (2 x \right )}$$

    expand_trig

    如果想展开三角函数,例如,想利用和角公式和倍角公式的话,可以用expand_trig()。

    from sympy import expand_trig

    expr = sin(x + y)

    func_comparator(expr,expand_trig)

    应用函数expand_trig()前:

    $$\sin{\left (x + y \right )}$$

    使用后:

    $$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}$$

    幂函数

    假设

    介绍针对指数函数的化简函数之前,得先讨论一下和指数有关的几个等式。

    我们有三个等式。$x^ax^b = x^{a + b}$

    $x^ay^a = (xy)^a$

    $(x^a)^b = x^{ab}$

    等式1总是成立。

    等式2不总是成立。我们可以举一个针对等式2的反例。

    如果$x=y=−1$ and $a=1/2$, 那么$x^ay^a = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1$, 可是$x^ay^a = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1$.

    等式3也不是一直成立。例如, 如果$x=−1$, $a=2$, and $b=1/2$, 那么$(x^a)^b = {\left ((-1)^2\right )}^{1/2} = \sqrt{1} = 1$且有$x^{ab} = (-1)^{2\cdot1/2} = (-1)^1 = -1$

    记得这些很重要,因为默认情况下,Sympy并不会利用并不总是成立的等式用于化简操作。

    但是我们可以添加额外的假设条件,让等式2和等式3在这些假设条件下做到衡成立。

    一套让等式2满足的条件是,$x, y \geq 0$ and $a \in \mathbb{R};一套让等式3满足的条件是$b \in \mathbb{Z}$

    为了让Sympy利用这些只有在特定假设下才成立的等式进行化简,我们需要给符号添加假设(默认假设是它们都是复数)。

    我们后面会对假设系统进行更细致的探讨。下面先举一个简单的用法的例子。这个例子里,我们假设$x,y$值为正且$a,b$是实数。

    x, y = symbols('x y', positive=True)

    a, b = symbols('a b', real=True)

    另一个强制进行化简,无视假设的方法是传入force = True。这个用法我们后面会遇到。

    powsimp

    powsimp()会从左到右应用等式1和2.

    from sympy import powsimp

    expr = x**a*x**b

    func_comparator(expr, powsimp)

    应用函数powsimp()前:

    $$x^{a} x^{b}$$

    使用后:

    $$x^{a + b}$$

    from sympy import powsimp

    expr = x**a*y**a

    func_comparator(expr, powsimp)

    应用函数powsimp()前:

    $$x^{a} y^{a}$$

    使用后:

    $$\left(x y\right)^{a}$$

    如果没有相应的假设让等式2成立,化简不会发生。

    x, y = symbols('x y')

    a, b = symbols('a b')

    from sympy import powsimp

    expr = x**a*y**a

    func_comparator(expr, powsimp)

    应用函数powsimp()前:

    $$x^{a} y^{a}$$

    使用后:

    $$x^{a} y^{a}$$

    如果你确信希望应用化简,无论假设条件如何,可以传入force=True

    x, y = symbols('x y')

    a, b = symbols('a b')

    from sympy import powsimp

    expr = x**a*y**a

    func_comparator(expr, powsimp,force=True)

    应用函数powsimp()前:

    $$x^{a} y^{a}$$

    使用后:

    $$\left(x y\right)^{a}$$

    expand_power_exp

    expand_power_exp()从右往左应用等式1。

    from sympy import expand_power_exp

    expr = x**(a + b)

    func_comparator(expr, expand_power_exp)

    应用函数expand_power_exp()前:

    $$x^{a + b}$$

    使用后:

    $$x^{a} x^{b}$$

    expand_power_base

    expand_power_base()从左到右应用等式2.

    from sympy import expand_power_base

    expr = (x*y)**a

    func_comparator(expr, expand_power_base)

    应用函数expand_power_base()前:

    $$\left(x y\right)^{a}$$

    使用后:

    $$\left(x y\right)^{a}$$

    powdenest

    powdenest()从左往右应用等式3。

    from sympy import powdenest

    expr = (x**a)**b

    func_comparator(expr, powdenest,force=True)

    应用函数powdenest()前:

    $$\left(x^{a}\right)^{b}$$

    使用后:

    $$x^{a b}$$

    指数函数和对数函数

    对数函数有个主要的等式。$\log{(xy)} = \log{(x)} + \log{(y)}$

    $\log{(x^n)} = n\log{(x)}$

    它们有和幂函数一样的问题。为了让化简时能利用上这些等式,我们需要传入force = True或者添加额外的假设。

    一套充分条件是

    x, y = symbols('x y', positive=True)

    n = symbols('n', real=True)

    expand_log

    expand_log()从左往右应用等式1和2

    from sympy import expand_log

    expr = log(x*y)

    func_comparator(expr,expand_log)

    应用函数expand_log()前:

    $$\log{\left (x y \right )}$$

    使用后:

    $$\log{\left (x \right )} + \log{\left (y \right )}$$

    from sympy import expand_log

    expr = log(x**n)

    func_comparator(expr,expand_log)

    应用函数expand_log()前:

    $$\log{\left (x^{n} \right )}$$

    使用后:

    $$n \log{\left (x \right )}$$

    from sympy import expand_log

    expr = log(x/y)

    func_comparator(expr,expand_log)

    应用函数expand_log()前:

    $$\log{\left (\frac{x}{y} \right )}$$

    使用后:

    $$\log{\left (x \right )} - \log{\left (y \right )}$$

    logcombine

    expand_log()从右往左应用等式1和2

    from sympy import logcombine

    expr = log(x) + log(y)

    func_comparator(expr, logcombine)

    应用函数logcombine()前:

    $$\log{\left (x \right )} + \log{\left (y \right )}$$

    使用后:

    $$\log{\left (x y \right )}$$

    from sympy import logcombine

    expr = n*log(x)

    func_comparator(expr, logcombine)

    应用函数logcombine()前:

    $$n \log{\left (x \right )}$$

    使用后:

    $$\log{\left (x^{n} \right )}$$

    组合函数

    combsimp

    要化简组合函数的话,可以用combsimp()

    from sympy import combsimp

    expr = factorial(n)/factorial(n - 3)

    func_comparator(expr, combsimp)

    应用函数combsimp()前:

    $$\frac{n!}{\left(n - 3\right)!}$$

    使用后:

    $$n \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)$$

    from sympy import combsimp, binomial

    n,k = symbols('n k')

    expr = binomial(n+1, k+1)/binomial(n, k)

    func_comparator(expr, combsimp)

    应用函数combsimp()前:

    $$\frac{1}{{\binom{n}{k}}} {\binom{n + 1}{k + 1}}$$

    使用后:

    $$\frac{n + 1}{k + 1}$$

    参考资料

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