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  • 2021-04-22 20:32:32

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    1、从积分和式到求积公式 插值型求积公式 求积公式的代数精度 复合梯形公式 MATLAB求积分命令,第五章 数值积分与数值微分,椭圆周长计算:,x =a cos t y =b sin t,0 t 2,椭圆积分,x = a sin cos y = b sin sin z = c cos ,D= (,) |0 2, 0 ,思考题: 椭球面的面积计算,椭球面积的积分表达式? 对二重积分的计算问题? 三维体积的离散数据计算?,积分和式的计算: f (x)Ca, b单增, 令 h = (b a)/n, xk = a + kh, (k = 0,1,2,n),近似计算,4.8612e+004 4.8660e+0。

    2、04 4.8683e+004 4.8695e+004 4.8701e+004 4.8704e+004 4.8706e+004 4.8707e+004 4.8707e+004,4.8803e+004 4.8755e+004 4.8731e+004 4.8719e+004 4.8713e+004 4.8710e+004 4.8709e+004 4.8708e+004 4.8708e+004 4.8708e+004,a=7782.5 c=972.5,P.170人造卫星的轨道长度计算,数值求积公式的一般形式(机械求积公式),Rf 为数值求积公式余项, x0, x1, , xn为求积 结点; A0, A。

    3、1, , An为求积系数.,矩形公式: 取A0 =(b a ),特别地, 时分别称为左矩公式,中矩公式,右矩公式。,梯形公式: 取A0 =A1 =(b a )/2,Simpson 公式 取A0 = A3 =(b a )/6, A1 =2(b a )/3,,插值型求积公式: 在 a,b上取 a x0 x1 x2 xnb 作Lagrange插值,令,插值求积法,插值型求积公式的余项,例2 梯形公式的误差余项,即,例3取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b a ),A0= (b-a)/6 A1=2(b-a)/3 A2= (b-a)/6,著名的 Simpson。

    4、 公式,定义: 若一个求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,m)能精确成立,但对f(x)= xm+1不精确成立,则称该公式具有m次代数精度。 令机械求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,n)精确成立,那么得线性方程组 当节点xk (k=0,1,.,n)给定且互异时,系数Ak可由上式确定。,定理:(n+1)个节点的求积公式为插值型的充要条件是该公式至少有n次代数精度.,类似有: Simpson公式具有3阶代数精度,例. 矩形公式 代数精度为0,解: 取f(x)= 1, x, x2 令求积公式准确成立,容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立. 因此这一公式只具有2次。

    5、代数精度,取等距结点xj = a + jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度。,Newton-Cotes公式代数精度至少为n,复合梯形求积公式,将积分区间a,b n 等分.令h=(b-a)/n . xj=a+jh,取,递推,得,给定允许误差界0,当,时,结束计算并以T2n作为定积分的近似值.,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); t=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2); n=1;h=pi/2;e=1;k=0; while e。

    6、0.01 s=0.5*(t+h*sum(f(.5*h:h:pi/2); e=abs(s-t);t=s; n=2*n;h=h/2;k=k+1 end 4*t,ans=4.8707e+004, (循环次数k= 2),复合梯形公式计算,将程序第二行改为t=0.5*pi*f(pi/2)用积分部分和式计算,循环次数k=13,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); T=4*quad(f, 0, pi/2) Ans=4.8707e+004,MATLAB求定积分命令quad(fun, a, b),高阶求积分命令q = quad8(fun,a,b) 重积分计算命令dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax。

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    1. 用1阶至4阶Newton-Cotes公式计算积分

    程序:

    function I = NewtonCotes(f,a,b,type)

    %

    syms t;

    t=findsym(sym(f));

    I=0;

    switch type

    case 1,

    I=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));

    case 2,

    I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...

    subs(sym(f),t,b));

    case 3,

    I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),t,a)+3*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...

    3*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+subs(sym(f),t,b));

    case 4,

    I=((b-a)/90)*(7*subs(sym(f),t,a)+...

    32*subs(sym(f),t,(3*a+b)/4)+...

    12*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...

    32*subs(sym(f),t,(a+3*b)/4)+7*subs(sym(f),t,b));

    case 5,

    I=((b-a)/288)*(19*subs(sym(f),t,a)+...

    75*subs(sym(f),t,(4*a+b)/5)+...

    50*subs(sym(f),t,(3*a+2*b)/5)+...

    50*subs(sym(f),t,(2*a+3*b)/5)+...

    75*subs(sym(f),t,(a+4*b)/5)+19*subs(sym(f),t,b));

    case 6,

    I=((b-a)/840)*(41*subs(sym(f),t,a)+...

    216*subs(sym(f),t,(5*a+b)/6)+...

    27*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...

    272*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...

    27*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+...

    216*subs(sym(f),t,(a+5*b)/6)+...

    41*subs(sym(f),t,b));

    case 7,

    I=((b-a)/17280)*(751*subs(sym(f),t,a)+...

    3577*subs(sym(f),t,(6*a+b)/7)+...

    1323*subs(sym(f),t,(5*a+2*b)/7)+...

    2989*subs(sym(f),t,(4*a+3*b)/7)+...

    2989*subs(sym(f),t,(3*a+4*b)/7)+...

    1323*subs(sym(f),t,(2*a+5*b)/7)+...

    3577*subs(sym(f),t,(a+6*b)/7)+751*subs(sym(f),t,b));

    end

    syms x

    f=exp(-x).*sin(x);

    a=0;b=2*pi;

    I = NewtonCotes(f,a,b,1)

    N=1:

    I =

    0

    N=2:

    I =

    0

    N=3:

    I =

    (pi*((3*3^(1/2)*exp(-(2*pi)/3))/2 - (3*3^(1/2)*exp(-(4*pi)/3))/2))/4

    N=4:

    I =

    (pi*(32*exp(-pi/2) - 32*exp(-(3*pi)/2)))/45

    2. 已知,因此可以通过数值积分计算的近似值。

    (1)分别取和,利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算的近似值;

    程序:

    function Y= CombineTraprl(f,a,b,h)

    %用复合梯形公式计算积分

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    n=(b-a)/h;

    I1= subs(sym(f),t,a);

    l=0;

    for k=1:n-1

    xk=a+h*k;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xk);

    end

    Y=(h/2)*(I1+l+subs(sym(f),t,b));

    syms x

    f=4/(1+x^2);

    a=0;b=1;

    y= CombineTraprl(f,a,b,0.1);

    vpa(y,6)

    h=0.1:

    ans =

    3.13993

    H=0.2:

    ans =

    1.04498

    复合辛普森:

    function Y= CombineSimpson(f,a,b,h)

    %用复合辛普森公式计算积分

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    n=(b-a)/h;

    I1= subs(sym(f),t,a);

    l=0;

    for k=1:n-1

    xk=a+h*k;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xk);

    end

    l2=0;

    for k=1:n-1

    xk2=a+h*(k+1)/2;

    l2=l2+4*subs(sym(f),t,xk2);

    end

    Y=(h/6)*(I1+l+l2+subs(sym(f),t,b));

    H=0.1:

    ans =

    3.22605

    H=0.2:

    ans =

    2.93353

    (2)把区间[0,1] 等分,利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算的近似值,若要求误差不超过,问需要把区间[0,1]划分成多少等份;

    function n=trap(f,a,b)

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    I=zeros(1,500);

    I(1)=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));

    I(2)=((b-a)/4)*(subs(sym(f),t,a)+2*subs(sym(f),t,(b-a)/2)+subs(sym(f),t,b));

    k=3;

    while((I(k-1)-I(k-2))>1/2*10^(-6))

    l=0;

    for i=1:k-1

    xi=a+(b-a)/k*i;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xi);

    end

    I(k)=((b-a)/(2*k))*(subs(sym(f),t,a)+l+subs(sym(f),t,b));

    k=k+1;

    end

    n=k-1;

    syms x;

    f=4./(1+x.^2);

    a=0;b=1;

    n=trap(f,a,b)

    n =

    88

    复合辛普森公式:

    function n=Simpson(f,a,b)

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    I=zeros(1,500);

    I(1)=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(b-a)/2)+subs(sym(f),t,b));

    I(2)=((b-a)/12)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(b-a)/4)+4*subs(sym(f),t,3*(b-a)/4)+2*subs(sym(f),t,(b-a)/2)+subs(sym(f),t,b));

    k=3;

    while((I(k-1)-I(k-2))>1/2*10^(-6))

    l=0;

    m=4*subs(sum(f),t,(a+((a+b)/(2*k))));

    for i=1:k-1

    xi=a+(b-a)/k*i;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xi);

    end

    for j=1:k-1

    xj=a+(b-a)/(k*2)+(b-a)/k*j;

    m=m+4*subs(sym(f),t,xj);

    end

    I(k)=((b-a)/(2*k))*(subs(sym(f),t,a)+l+m+subs(sym(f),t,b));

    k=k+1;

    end

    n=k-1;

    n =

    5

    (3)选择不同的,对两种复合求积公式,试将误差描述为的函数,并比较两种方法的精度。

    复合求积公式:

    function y=traprls(f,a,b,h)

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    n=(b-a)/h;

    l=0;

    for k=1:n-1

    xk=a+h*k;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xk);

    end

    I1=(h/2)*(subs(sym(f),t,a)+l+subs(sym(f),t,b));

    h=(b-a)/(n-1);

    n=(b-a)/h;

    l=0;

    for k=1:n-1

    xk=a+h*k;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xk);

    end

    I2=(h/2)*(subs(sym(f),t,a)+l+subs(sym(f),t,b));

    y=I2-I1;

    y=abs(y);

    y=vpa(y,8);

    syms x;

    f=4./(1+x.^2);

    a=0;b=1;

    h=0.01:0.05:0.5;

    v=zeros(1,10);

    for i=1:10

    v(i)=traprls(f,a,b,h(i))

    end

    v

    plot(h,v,‘r-‘)

    复合辛普森公式:

    function y=Simpsons(f,a,b,h)

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    n=(b-a)/h;

    l=0;

    m=4*subs(sum(f),t,(a+h/2));

    for k=1:n-1

    xk=a++h*k;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xk);

    end

    for i=1:n-1

    xi=a+h/2+h*i;

    m=m+4*subs(sym(f),t,xi);

    end

    I1=(h/6)*(subs(sym(f),t,a)+l+m+subs(sym(f),t,b));

    h=(b-a)/(n-1);

    n=(b-a)/h;

    l=0;

    m=4*subs(sum(f),t,(a+h/2));

    for k=1:n-1

    xk=a++h*k;

    l=l+2*subs(sym(f),t,xk);

    end

    for i=1:n-1

    xi=a+h/2+h*i;

    m=m+4*subs(sym(f),t,xi);

    end

    I2=(h/6)*(subs(sym(f),t,a)+l+m+subs(sym(f),t,b));

    y=abs(I2-I1);

    y=vpa(y,10);

    通过图像对比可知,复合辛普森公式精度更高。

    (4)是否存在某个值,当小于这个值之后,再继续减小,计算结果不再有改进?为什么?

    复合求积公式:

    syms x;

    f=4./(1+x.^2);

    a=0;b=1;

    h=0.001:0.004:0.2;

    v=zeros(1,10);

    for i=1:50

    v(i)=traprls(f,a,b,h(i));

    end

    plot(h,v,‘r-‘)

    复合辛普森公式:

    通过图像可以发现,当h<0.025后,精度不再有显著改变。

    3. 分别用三点和五点Gauss-Legendre公式计算积分

    程序:

    function I = IntGaussLegen(f,a,b,n)

    syms t;

    t= findsym(sym(f));

    ta = (b-a)/2;

    tb = (a+b)/2;

    switch n

    case 0,

    I=2*ta*subs(sym(f),t,tb);

    case 1,

    I=ta*(subs(sym(f),t,ta*0.5773503+tb)+...

    subs(sym(f),t,-ta*0.5773503+tb));

    case 2,

    I=ta*(0.55555556*subs(sym(f),t,ta*0.7745967+tb)+...

    0.55555556*subs(sym(f),t,-ta*0.7745967+tb)+...

    0.88888889*subs(sym(f),t,tb));

    case 3,

    I=ta*(0.3478548*subs(sym(f),t,ta*0.8611363+tb)+...

    0.3478548*subs(sym(f),t,-ta*0.8611363+tb)+...

    0.6521452*subs(sym(f),t,ta*0.3398810+tb) +...

    0.6521452*subs(sym(f),t,-ta*0.3398810+tb));

    case 4,

    I=ta*(0.2369269*subs(sym(f),t,ta*0.9061793+tb)+...

    0.2369269*subs(sym(f),t,-ta*0.9061793+tb)+...

    0.4786287*subs(sym(f),t,ta*0.5384693+tb) +...

    0.4786287*subs(sym(f),t,-ta*0.5384693+tb)+...

    0.5688889*subs(sym(f),t,tb));

    case 5,

    I=ta*(0.1713245*subs(sym(f),t,ta*0.9324695+tb)+...

    0.1713245*subs(sym(f),t,-ta*0.9324695+tb)+...

    0.3607616*subs(sym(f),t,ta*0.6612094+tb)+...

    0.3607616*subs(sym(f),t,-ta*0.6612094+tb)+...

    0.4679139*subs(sym(f),t,ta*0.2386292+tb)+...

    0.4679139*subs(sym(f),t,-ta*0.2386292+tb));

    end

    I=simplify(I);

    I=vpa(I,6);

    三点:

    syms x

    f=x.*exp(x)./((1+x)^2);

    a=0;b=1;

    a=IntGaussLegen(f,a,b,2)

    a =

    0.359187

    五点:

    a =

    0.359141

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    u=fhtx(a,b,f,e)n=1;h=b-a;T=0.5*h*(f(a)+f(b));m=0;for j=0:n-1m=m+f(a+0.5*h)*j*h;endS=0.5*(T+h*m);while |S-T|>=eT=S;n=2n;h=0.5*h;S=0.5*(T+h*m);endu=T;...可以利用2113matlab的trapz函数...

    u=fhtx(a,b,f,e)n=1;h=b-a;T=0.5*h*(f(a)+f(b));m=0;for j=0:n-1m=m+f(a+0.5*h)*j*h;endS=0.5*(T+h*m);while |S-T|>=eT=S;n=2n;h=0.5*h;S=0.5*(T+h*m);endu=T;end,不懂,通过热www.mh456.com防采集。

    可以利用2113matlab的trapz函数命令x=0:0.00001:1;%x用来储存积分点5261y=(x+1).*sin(x);%y用来求解积分点x处的函数值I=trapz(x,y)I = 0.7608663730793 验证该问题的4102解析解syms xy=(x+1)*sin(x);%被积1653函数表达式II=int(y,0,1)II =sin(1) - 2*cos(1) + 1 %II即为该被积函数的解析解II_E=eval(II) II_E = 0.760866373071617 %II的数值解%可以看出梯形求积公式在步长等于0.00001的情况下,数值积分的解与解析解的数值能达到小数点后11位保持一致

    有了答案顺便告诉我一声。。

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