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2021-04-22 20:32:32
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1、从积分和式到求积公式 插值型求积公式 求积公式的代数精度 复合梯形公式 MATLAB求积分命令,第五章 数值积分与数值微分,椭圆周长计算:,x =a cos t y =b sin t,0 t 2,椭圆积分,x = a sin cos y = b sin sin z = c cos ,D= (，) |0 2, 0 ,思考题: 椭球面的面积计算,椭球面积的积分表达式？ 对二重积分的计算问题？ 三维体积的离散数据计算？,积分和式的计算: f (x)Ca, b单增, 令 h = (b a)/n, xk = a + kh, (k = 0,1,2,n),近似计算,4.8612e+004 4.8660e+0。
2、04 4.8683e+004 4.8695e+004 4.8701e+004 4.8704e+004 4.8706e+004 4.8707e+004 4.8707e+004,4.8803e+004 4.8755e+004 4.8731e+004 4.8719e+004 4.8713e+004 4.8710e+004 4.8709e+004 4.8708e+004 4.8708e+004 4.8708e+004,a=7782.5 c=972.5,P.170人造卫星的轨道长度计算,数值求积公式的一般形式(机械求积公式),Rf 为数值求积公式余项, x0, x1, , xn为求积 结点; A0, A。
3、1, , An为求积系数.,矩形公式: 取A0 =(b a ),特别地， 时分别称为左矩公式，中矩公式，右矩公式。,梯形公式: 取A0 =A1 =(b a )/2,Simpson 公式 取A0 = A3 =(b a )/6， A1 =2(b a )/3，,插值型求积公式: 在 a，b上取 a x0 x1 x2 xnb 作Lagrange插值,令,插值求积法,插值型求积公式的余项,例2 梯形公式的误差余项,即,例3取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b a ),A0= (b-a)/6 A1=2(b-a)/3 A2= (b-a)/6,著名的 Simpson。
4、 公式,定义: 若一个求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,m)能精确成立，但对f(x)= xm+1不精确成立，则称该公式具有m次代数精度。 令机械求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,n)精确成立，那么得线性方程组 当节点xk (k=0,1,.,n)给定且互异时，系数Ak可由上式确定。,定理：(n+1)个节点的求积公式为插值型的充要条件是该公式至少有n次代数精度.,类似有: Simpson公式具有3阶代数精度,例. 矩形公式 代数精度为0,解: 取f(x)= 1, x, x2 令求积公式准确成立,容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立. 因此这一公式只具有2次。
5、代数精度,取等距结点xj = a + jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度。,Newton-Cotes公式代数精度至少为n,复合梯形求积公式,将积分区间a,b n 等分.令h=(b-a)/n . xj=a+jh,取,递推，得,给定允许误差界0,当,时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值.,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); t=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2); n=1;h=pi/2;e=1;k=0; while e。
6、0.01 s=0.5*(t+h*sum(f(.5*h:h:pi/2); e=abs(s-t);t=s; n=2*n;h=h/2;k=k+1 end 4*t,ans=4.8707e+004, (循环次数k= 2),复合梯形公式计算,将程序第二行改为t=0.5*pi*f(pi/2)用积分部分和式计算,循环次数k=13,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); T=4*quad(f, 0, pi/2) Ans=4.8707e+004,MATLAB求定积分命令quad(fun, a, b),高阶求积分命令q = quad8(fun,a,b) 重积分计算命令dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax。
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程序：
function I = NewtonCotes(f,a,b,type)
%
syms t;
t=findsym(sym(f));
I=0;
switch type
case 1,
I=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));
case 2,
I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...
subs(sym(f),t,b));
case 3,
I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),t,a)+3*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...
3*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+subs(sym(f),t,b));
case 4,
I=((b-a)/90)*(7*subs(sym(f),t,a)+...
32*subs(sym(f),t,(3*a+b)/4)+...
12*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...
32*subs(sym(f),t,(a+3*b)/4)+7*subs(sym(f),t,b));
case 5,
I=((b-a)/288)*(19*subs(sym(f),t,a)+...
75*subs(sym(f),t,(4*a+b)/5)+...
50*subs(sym(f),t,(3*a+2*b)/5)+...
50*subs(sym(f),t,(2*a+3*b)/5)+...
75*subs(sym(f),t,(a+4*b)/5)+19*subs(sym(f),t,b));
case 6,
I=((b-a)/840)*(41*subs(sym(f),t,a)+...
216*subs(sym(f),t,(5*a+b)/6)+...
27*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...
272*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...
27*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+...
216*subs(sym(f),t,(a+5*b)/6)+...
41*subs(sym(f),t,b));
case 7,
I=((b-a)/17280)*(751*subs(sym(f),t,a)+...
3577*subs(sym(f),t,(6*a+b)/7)+...
1323*subs(sym(f),t,(5*a+2*b)/7)+...
2989*subs(sym(f),t,(4*a+3*b)/7)+...
2989*subs(sym(f),t,(3*a+4*b)/7)+...
1323*subs(sym(f),t,(2*a+5*b)/7)+...
3577*subs(sym(f),t,(a+6*b)/7)+751*subs(sym(f),t,b));
end
syms x
f=exp(-x).*sin(x);
a=0;b=2*pi;
I = NewtonCotes(f,a,b,1)
N=1:
I =
0
N=2:
I =
0
N=3:
I =
(pi*((3*3^(1/2)*exp(-(2*pi)/3))/2 - (3*3^(1/2)*exp(-(4*pi)/3))/2))/4
N=4:
I =
(pi*(32*exp(-pi/2) - 32*exp(-(3*pi)/2)))/45
2. 已知，因此可以通过数值积分计算的近似值。
(1)分别取和，利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算的近似值；
程序：
function Y= CombineTraprl(f,a,b,h)
%用复合梯形公式计算积分
syms t;
t= findsym(sym(f));
n=(b-a)/h;
I1= subs(sym(f),t,a);
l=0;
for k=1:n-1
xk=a+h*k;
l=l+2*subs(sym(f),t,xk);
end
Y=(h/2)*(I1+l+subs(sym(f),t,b));
syms x
f=4/(1+x^2);
a=0;b=1;
y= CombineTraprl(f,a,b,0.1);
vpa(y,6)
h=0.1:
ans =
3.13993
H=0.2:
ans =
1.04498
复合辛普森：
function Y= CombineSimpson(f,a,b,h)
%用复合辛普森公式计算积分
syms t;
t= findsym(sym(f));
n=(b-a)/h;
I1= subs(sym(f),t,a);
l=0;
for k=1:n-1
xk=a+h*k;
l=l+2*subs(sym(f),t,xk);
end
l2=0;
for k=1:n-1
xk2=a+h*(k+1)/2;
l2=l2+4*subs(sym(f),t,xk2);
end
Y=(h/6)*(I1+l+l2+subs(sym(f),t,b));
H=0.1:
ans =
3.22605
H=0.2:
ans =
2.93353
(2)把区间[0,1] 等分，利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算的近似值，若要求误差不超过，问需要把区间[0,1]划分成多少等份；
function n=trap(f,a,b)
syms t;
t= findsym(sym(f));
I=zeros(1,500);
I(1)=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));
I(2)=((b-a)/4)*(subs(sym(f),t,a)+2*subs(sym(f),t,(b-a)/2)+subs(sym(f),t,b));
k=3;
while((I(k-1)-I(k-2))>1/2*10^(-6))
l=0;
for i=1:k-1
xi=a+(b-a)/k*i;
l=l+2*subs(sym(f),t,xi);
end
I(k)=((b-a)/(2*k))*(subs(sym(f),t,a)+l+subs(sym(f),t,b));
k=k+1;
end
n=k-1;
syms x;
f=4./(1+x.^2);
a=0;b=1;
n=trap(f,a,b)
n =
88
复合辛普森公式：
function n=Simpson(f,a,b)
syms t;
t= findsym(sym(f));
I=zeros(1,500);
I(1)=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(b-a)/2)+subs(sym(f),t,b));
I(2)=((b-a)/12)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(b-a)/4)+4*subs(sym(f),t,3*(b-a)/4)+2*subs(sym(f),t,(b-a)/2)+subs(sym(f),t,b));
k=3;
while((I(k-1)-I(k-2))>1/2*10^(-6))
l=0;
m=4*subs(sum(f),t,(a+((a+b)/(2*k))));
for i=1:k-1
xi=a+(b-a)/k*i;
l=l+2*subs(sym(f),t,xi);
end
for j=1:k-1
xj=a+(b-a)/(k*2)+(b-a)/k*j;
m=m+4*subs(sym(f),t,xj);
end
I(k)=((b-a)/(2*k))*(subs(sym(f),t,a)+l+m+subs(sym(f),t,b));
k=k+1;
end
n=k-1;
n =
5
(3)选择不同的，对两种复合求积公式，试将误差描述为的函数，并比较两种方法的精度。
复合求积公式：
function y=traprls(f,a,b,h)
syms t;
t= findsym(sym(f));
n=(b-a)/h;
l=0;
for k=1:n-1
xk=a+h*k;
l=l+2*subs(sym(f),t,xk);
end
I1=(h/2)*(subs(sym(f),t,a)+l+subs(sym(f),t,b));
h=(b-a)/(n-1);
n=(b-a)/h;
l=0;
for k=1:n-1
xk=a+h*k;
l=l+2*subs(sym(f),t,xk);
end
I2=(h/2)*(subs(sym(f),t,a)+l+subs(sym(f),t,b));
y=I2-I1;
y=abs(y);
y=vpa(y,8);
syms x;
f=4./(1+x.^2);
a=0;b=1;
h=0.01:0.05:0.5;
v=zeros(1,10);
for i=1:10
v(i)=traprls(f,a,b,h(i))
end
v
plot(h,v,‘r-‘)
复合辛普森公式：
function y=Simpsons(f,a,b,h)
syms t;
t= findsym(sym(f));
n=(b-a)/h;
l=0;
m=4*subs(sum(f),t,(a+h/2));
for k=1:n-1
xk=a++h*k;
l=l+2*subs(sym(f),t,xk);
end
for i=1:n-1
xi=a+h/2+h*i;
m=m+4*subs(sym(f),t,xi);
end
I1=(h/6)*(subs(sym(f),t,a)+l+m+subs(sym(f),t,b));
h=(b-a)/(n-1);
n=(b-a)/h;
l=0;
m=4*subs(sum(f),t,(a+h/2));
for k=1:n-1
xk=a++h*k;
l=l+2*subs(sym(f),t,xk);
end
for i=1:n-1
xi=a+h/2+h*i;
m=m+4*subs(sym(f),t,xi);
end
I2=(h/6)*(subs(sym(f),t,a)+l+m+subs(sym(f),t,b));
y=abs(I2-I1);
y=vpa(y,10);
通过图像对比可知，复合辛普森公式精度更高。
(4)是否存在某个值，当小于这个值之后，再继续减小，计算结果不再有改进？为什么？
是
复合求积公式：
syms x;
f=4./(1+x.^2);
a=0;b=1;
h=0.001:0.004:0.2;
v=zeros(1,10);
for i=1:50
v(i)=traprls(f,a,b,h(i));
end
plot(h,v,‘r-‘)
复合辛普森公式：
通过图像可以发现，当h<0.025后，精度不再有显著改变。
3. 分别用三点和五点Gauss-Legendre公式计算积分
程序：
function I = IntGaussLegen(f,a,b,n)
syms t;
t= findsym(sym(f));
ta = (b-a)/2;
tb = (a+b)/2;
switch n
case 0,
I=2*ta*subs(sym(f),t,tb);
case 1,
I=ta*(subs(sym(f),t,ta*0.5773503+tb)+...
subs(sym(f),t,-ta*0.5773503+tb));
case 2,
I=ta*(0.55555556*subs(sym(f),t,ta*0.7745967+tb)+...
0.55555556*subs(sym(f),t,-ta*0.7745967+tb)+...
0.88888889*subs(sym(f),t,tb));
case 3,
I=ta*(0.3478548*subs(sym(f),t,ta*0.8611363+tb)+...
0.3478548*subs(sym(f),t,-ta*0.8611363+tb)+...
0.6521452*subs(sym(f),t,ta*0.3398810+tb) +...
0.6521452*subs(sym(f),t,-ta*0.3398810+tb));
case 4,
I=ta*(0.2369269*subs(sym(f),t,ta*0.9061793+tb)+...
0.2369269*subs(sym(f),t,-ta*0.9061793+tb)+...
0.4786287*subs(sym(f),t,ta*0.5384693+tb) +...
0.4786287*subs(sym(f),t,-ta*0.5384693+tb)+...
0.5688889*subs(sym(f),t,tb));
case 5,
I=ta*(0.1713245*subs(sym(f),t,ta*0.9324695+tb)+...
0.1713245*subs(sym(f),t,-ta*0.9324695+tb)+...
0.3607616*subs(sym(f),t,ta*0.6612094+tb)+...
0.3607616*subs(sym(f),t,-ta*0.6612094+tb)+...
0.4679139*subs(sym(f),t,ta*0.2386292+tb)+...
0.4679139*subs(sym(f),t,-ta*0.2386292+tb));
end
I=simplify(I);
I=vpa(I,6);
三点：
syms x
f=x.*exp(x)./((1+x)^2);
a=0;b=1;
a=IntGaussLegen(f,a,b,2)
a =
0.359187
五点：
a =
0.359141
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可以利用2113matlab的trapz函数命令x=0:0.00001:1;%x用来储存积分点5261y=(x+1).*sin(x);%y用来求解积分点x处的函数值I=trapz(x,y)I = 0.7608663730793 验证该问题的4102解析解syms xy=(x+1)*sin(x);%被积1653函数表达式II=int(y,0,1)II =sin(1) - 2*cos(1) + 1 %II即为该被积函数的解析解II_E=eval(II) II_E = 0.760866373071617 %II的数值解%可以看出梯形求积公式在步长等于0.00001的情况下，数值积分的解与解析解的数值能达到小数点后11位保持一致
有了答案顺便告诉我一声。。
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复化梯形公式-辛普森公式的matlab程序
2021-04-26 12:36:33《复化梯形公式-辛普森公式的matlab程序》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复化梯形公式-辛普森公式的matlab程序(2页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、复化梯形公式与辛普森公式的matlab程序【程序代码】cclc;... -
梯形求积公式 和 复合梯形求积公式 Matlab 实现
2017-11-04 18:22:52梯形求积公式 和 复合梯形求积公式 Matlab 实现梯形求积公式 仅使用区间两点x1,f(x1),x2,f(x2)x_1,f(x_1),x_2,f(x_2) 组成的梯形面积S代替∫x2x1f(x)dx \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx 的近似方法 ∫x2x1f(x)dx≈S=... -
复合梯形和复合辛普森MATLAB程序
2021-04-20 02:07:02《复合梯形和复合辛普森MATLAB程序》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合梯形和复合辛普森MATLAB程序(10页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、实 验 报 告课程名称数值分析实验项目名称数值...复合梯形公式：Tn=... -
数值分析复化梯形公式,复化Simpson公式MATLAB程序
2021-04-22 11:31:12分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算定积分分别验证结果(精确值I=4.006994)。复化梯形公式求定积分:function I=tquad(x,y)%复化梯形求积公式，其中，%x为向量，被积函数自变量的等距结点； %y为向量，被积函数... -
C语言复合梯形公式实现定积分
2021-05-19 19:00:12假设被积函数为fx，...将积分区间n等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，n越大，所得结果越精确。以上就是利用复合... -
二分法、牛顿迭代法、复合梯形公式、复合辛普森公式、改进欧拉公式、四阶龙格库塔公式matlab代码合集 数据...
2019-07-05 19:57:18二分法、牛顿迭代法、复合梯形公式、复合辛普森公式、改进欧拉公式、四阶龙格库塔公式matlab代码合集，带有一份数据分析word文档 -
复化梯形公式积分计算 matlab程序
2011-03-26 13:37:53计算定积分，在函数体中修改函数名和上下限以及误差精度。 matlab程序m文件。 -
MATLAB 复化梯形公式、复化Simpson公式
2021-05-20 10:53:18复化梯形公式 Tn.m文件： function Tn=Tn(n) % n代表区间数 a = -2; % 区间下界 b = 2; % 区间下界 h=(b-a)/n; sum=0; for k=1:n-1 sum=sum+f(a+k.*h); end Tn=(f(a)+2*sum+f(b))*h/2; end 复化Simpson... -
复合梯形matlab代码-numerical_analysis:一些数值分析方法的MATLAB代码
2021-06-12 12:54:50复合梯形matlab代码
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