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  • 向量叉乘后再左乘矩阵
    2021-07-22 22:04:04

    R R R是正定矩阵,即 R T = R − 1 R^{T}=R^{-1} RT=R1, ∣ R ∣ = 1 |R|=1 R=1,则下面公式成立:
    R ( a × b ) = ( R a ) × ( R b ) R(a \times b) = (Ra) \times (Rb) R(a×b)=(Ra)×(Rb)
    看一下仿真验证:

    phi   = pi/9; 
    theta = pi/10;
    psi   = pi/8;
    R_phi_T = [1, 0, 0;...
               0, cos(phi), sin(phi);...
               0, -sin(phi),cos(phi)];
    R_theta_T = [cos(theta), 0, -sin(theta);...
                    0,       1,      0;...
                 sin(theta), 0, cos(theta)];
    R_psi_T = [cos(psi),  sin(psi),0;...
               -sin(psi), cos(psi),0;...
               0,         0,       1];   
    R_T = R_phi_T*R_theta_T*R_psi_T;           % 从惯性坐标系转到载体坐标系
    R = (R_T).';    
    det(R)
    a = [65; 4; 23];
    b = [12; 21; 8];
    R * cross(a,b)
    cross(R * a,R * b)
    

    结果如下所示:

    ans =
    
         1
    
    
    ans =
    
       1.0e+03 *
    
        0.1933
       -0.6556
        1.2370
    
    
    ans =
    
       1.0e+03 *
    
        0.1933
       -0.6556
        1.2370
    
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  • 向量叉乘叉乘矩阵

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    本文以三维向量来说明向量的叉乘计算原理以及叉乘矩阵如何求取 1、向量叉乘的计算原理 a、b分别为三维向量: a叉乘b一般定义为:

    本文以三维向量来说明向量的叉乘计算原理以及叉乘矩阵如何求取

    1、向量叉乘的计算原理

                 a、b分别为三维向量:

                                       a=({a_1},{a_2},{a_3})

                                       b=({b_1},{b_2},{b_3})

                 a叉乘b一般定义为:

                                       a{\times}b  或 a{\otimes}b

                 可是这只是一个符号的定义啊,具体怎么得到代数值

                    关键方法就是引入单位坐标向量

                 这里用i j k来表示三维坐标轴,这里只是举例,可以扩展到更多维,只是比较抽象

                    a、通过引入单位向量,向量就可以转化为代数形式:

                                              a{\rm{=}}{a_1}i+{a_2}j+{a_3}k

                                              {\rm{b=}}{​{\rm{b}}_1}i+{b_2}j+{b_3}k

                     b、定义单位向量间的运算规则

                                              i*i=0           j*j=0           k*k=0

                                              i*j=k          j*k=i           k*i=j

                                             j*i=-k       k*j=-i        i*k=-j

                     c、计算叉乘

                                     a{\times}b=({a_1}i+{a_2}j+{a_3}k)*({b_1}i+{b_2}j+{b_3}k)

                                     a{\times}b=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})i+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})j+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})k

    2、计算叉乘矩阵

                  a{\times}b=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})i+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})j+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})k

                  把叉乘结果写成向量的形式:

                                     a{\times}b=\left[\begin{array}{l}
{a_2}{b_3}-{a_3}{b_2}\\
{a_3}{b_1}-{a_1}{b_3}\\
{a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}
\end{array}\right]

                  变换形式得到叉乘矩阵:

                                     a{\times}b={\left[a\right]_\times}b=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
0&{-{a_3}}&{​{a_2}}\\
{​{a_3}}&0&{-{a_1}}\\
{-{a_2}}&{​{a_1}}&0
\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
{​{b_1}}\\
{b{}_2}\\
{​{b_3}}
\end{array}}\right]

                   其中{\left[a\right]_\times}称为a向量的叉乘矩阵。

    3、高维向量求取叉乘矩阵

                       对于三维和三维以下向量的叉乘计算和叉乘矩阵的求取通过定义单位向量间的运算规则可以计算得到。

                   对于高维向量,这种方法显得有些繁琐不易理解且容易出错。

                   下面介绍另外一种方法,先举个二维的例子:

                       假设向量a是一个二维的向量(这里只使用二维是为了让例子容易理解)

                                     a=\left({\begin{array}{*{20}{c}}
{​{a_1}}&{​{a_2}}
\end{array}}\right)

                   这里引入一个反对称(anti-symmetric)矩阵H:

                                     H=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
0&{-1}\\
1&0
\end{array}}\right]

                   通过计算aH{a^T},发现结果为0

                   由叉乘的规则,a叉乘a的结果为0:

                                     a{\times}a={\left[a\right]_\times}a=0

                   通过对比,可以发现 aH 就是a向量的叉乘矩阵,当a为列向量时{a^T}H为a向量的叉乘矩阵。

     

                   如果a为三维向量,那么H为:

                    H=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
{​{H_1}}\\
{​{H_2}}\\
{​{H_3}}
\end{array}}\right]    {H_1}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0\\
0&0&{-1}\\
0&{-1}&0
\end{array}}\right]     {H_2}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1\\
0&0&0\\
{-1}&0&0
\end{array}}\right]     {H_3}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}
0&{-1}&0\\
1&0&0\\
0&0&0
\end{array}}\right]

                   可以发现H就是由一个个反对称矩阵构成。

                   如果向量a的维数为 p ,那 H 就有 \frac{​{p(p-1)}}{2}个子矩阵。

    4、扩展

                   对于向量的点乘、四元数乘法都可以通过定义单位向量 i j k…之间的运算规则来推导。

    注:原文链接http://www.cnblogs.com/monoSLAM/p/5349497.html
    H1 反对称阵有误

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  • 向量点乘叉乘矩阵、OpenGL变化

    千次阅读 2020-12-31 11:23:54
    向量的点乘叉乘:点乘又叫向量的内积,叉乘又叫向量的外积。点乘计算得到的结果是一个标量;叉乘得到的结果是一个垂直于原向量构成平面的向量。点乘:只能存在于2个向量之间的相乘。2个三维单元...

    向量:向量就是在3D笛卡尔坐标中的一个顶点。单位向量就是长度为1的向量、

    标量:标量是一个只有数值大小 没有方向,部分有征服之分。通俗来说标量只有大小没有方向的量。

    向量和标量的区别就是 向量是有方向的。标量是没有方向的。

    向量的点乘叉乘:点乘又叫向量的内积,叉乘又叫向量的外积。点乘计算得到的结果是一个标量;叉乘得到的结果是一个垂直于原向量构成平面的向量。

    点乘:只能存在于2个向量之间的相乘。2个三维单元向量 之间进行点乘得到的是一个标量。 这个标量就表示为这两个向量之间的夹角。在我们开发中我们不需要进行向量之间的相乘。我们只需要去调用math3D库里面提供的点乘的API就可以了。方法有 1.float m3ddDotProduct3(const M3DVector3f u, const M3DVector3f v),这个方法我们得到的是两个向量点乘的结果。如果我们需要获取两个向量之间的角度。还需要对获得的数据进行转化。当然 API还提供了另外一个方法 可以直接获取到两个向量夹角的弧度方法2. float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u , const M3DVector3d v),用这个方法我们可以直接获取到两个向量夹角的弧度。

    叉乘:向量的叉乘获得到是另外一个新的向量。而这个向量是垂直于原来2个向量定义的平面垂直。叉乘和点乘不同。可以使用普通的向量相乘。如图所示

    当然 叉乘API也提供了相应的方法 void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

    矩阵:在空间中有一个点。使用xyz来描述它。如果我们要对这个点进行移动的,我们要知道这个点新的位置。那么我们就需要通过矩阵计算来获取新的位置。矩阵不仅仅3*3或者是4*4 的这种,如果这个矩阵 只有一行或者只有一列 也可以成为矩阵。我们也可以叫他为向量。

    矩阵的叉乘:矩阵的叉乘是有一个规则。这个规则定义了什么样的2个矩阵可以进行叉乘。什么样2个矩阵不能进行叉乘。如图所示:下面的图片中有框框标记的数字如果相等那么这个两个矩阵就可以相乘。如果不相等那么这两个矩阵就不能相乘。

    在我们OPenGL的角度里。因为在OPenGL的约定里更多的是倾向使用一维数组。这样的原因是:OPenGL使用的是Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定,所以在我们获取变化顶点向量的时候 使用的是矩阵左乘。

    OPenGL的几种变换:

    1.视图变换,即指定观察者的位置。视图变换是我们再应用场景中使用的第一种变化。简单来说 就是我们再观察一个物体的时候首先要确定观察的角度和观察的位置。只有先定义了观察者的位置 我们再对物体进行移动的时候才能观察到。

    2.模型变换,就是用来操作物体通过某一种规律将物体移动到某一个位置,来进行旋转 缩放 平移,

    3. 投影变换:分为正投影和透视投影。我们可以通过下面的图来感受一下这两种投影的区别:

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  • 学数值计算还有复变函数了喔,矩阵忘干净了。又看了一遍 蓝棕 的相关的讲解,总结一下。1.向量是什么?从初到末的箭头(物理角度,表示一种运动过程)有序的数字列表(计算机/数学角度)[1,2]加和数乘运算有意义的...

    学数值计算还有复变函数了喔,矩阵忘干净了。又看了一遍 蓝棕 的相关的讲解,总结一下。

    1.向量是什么?从初到末的箭头(物理角度,表示一种运动过程)

    有序的数字列表(计算机/数学角度)[1,2]

    加和数乘运算有意义的anything(抽象意义)

    12两种理解之间的关系就是线性代数的奥秘,即几何角度与数值角度。

    一个向量的坐标由一对数构成,可以理解为从原点到终点的箭头,描述运动过程。

    比如,规定好坐标平面的单位,[1,2],第一个数表示沿x轴走了1个单位;第二个数表示沿y轴走了2个单位。从原点出发的箭头和坐标向量一一对应。

    向量的相加和数乘,从1运动效果的角度来看,十分直观。即总效果等于各个分量上的效果和,所以向量的相加和数乘可以变为坐标运算。

    2.线性组合,张成空间与基

    向量的另一种理解:缩放分量并且相加,它表示一种变换。例如在正交基

    下,[3,2]表示的变化为i伸长为原来的三倍,j伸长为原来的2倍,最后把两者相加。在这种理解下,基向量其实就是用来缩放的对象。

    为基,在

    的拉伸下表示向量

    ,我们把这叫做线性组合,线性的意思即固定其中一个参数,拉伸后的向量始终在一条直线上移动,如图。

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空空如也

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向量叉乘的矩阵表示