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前言
高斯分布及其相关分布
瑞利分布

前言
本文主要介绍与高斯分布相关的一些通信中用的比较多的分布以及具体含义。
高斯分布及其相关分布
一个均值为 $\mu$，方差为 $\sigma$ 高斯随机变量 $w$ 取实数值，并具有如下概率密度函数 (PDF)：

$f(w)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\sigma^2}} \exp \left(-\frac{(w-\mu)^{2}}{2\sigma^2}\right), \quad w \in \Re$

记为 $w \sim N \left(\mu, \sigma^{2}\right)$。

重要性质 1：独立的高斯分布其线性组合仍为高斯分布。

一个服从标准高斯分布的随机向量 $\bm{w}$ 包含了n个独立服从标准分布的随机变量，具有如下概率密度函数 (PDF)：

$f(\bm{w})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^{n}} \exp \left(-\frac{\|\bm{w}\|^{2}}{2}\right), \quad \bm{w} \in \Re^{n}$

正交变换的标准高斯随机向量也就标准高斯随机向量

对于一般高斯随机向量，即相当于每一个分量都是其他所有分量的线性组合加一个常数：

$\bm{x}=\mathbf{A} \bm{w}+\bm{\mu}$

对于任意 $\bm{c}$，有：

$\bm{c}^{t} \bm{x} \sim \bm{N}\left(\bm{c}^{t} \bm{\mu}, \bm{c}^{t} \bm{A} \bm{A}^{t} \bm{c}\right)$
如果$\bm{A}$可逆，则有：

$f(\bm{x})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^{n} \sqrt{\operatorname{det}\left(\bm{A} \bm{A}^{t}\right)}} \exp \left(-\frac{1}{2}(\bm{x}-\boldsymbol{\mu})^{t}\left(\bm{A} \bm{A}^{t}\right)^{-1}(\bm{x}-\boldsymbol{\mu})\right), \quad \bm{x} \in \mathfrak{R}^{n}$

复高斯随机变量或者循环对称 (circular symmetric) 复高斯变量，$z=x+iy$ ，$x$ 与 $y$ 分别为独立的高斯随机变量，具有相同的方差，则有：$\mu_z=\mu_x+i\mu_y=0$，

$p_{z}=\frac{1}{2 \pi \sigma^{2}} e^{-\frac{\left|z-\mu_{z}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}}，\quad z \in C$
复高斯随机向量 $\bm{z}=\bm{x}+i\bm{y}$，满足 $[\bm{x},\bm{y}]^t$ 是高斯随机向量。

如果一个随机变量的分布与它乘以$e^{i\theta}$分布一致，则是圆对称随机变量。

一个圆对称的高斯随机向量的均值为0
一个圆对称的高斯随机向量由 $E[\bm{x}\bm{x}^*]$ 决定
一个标量复高斯随机变量由两个独立的高斯随机变量组成

瑞利分布
两个独立的高斯随机变量的模服从瑞利分布：

$f(r)=r \exp \left(-\frac{r^{2}}{2}\right), \quad r \geq 0$

以上是两个随机变量服从 $N(0,1/2)$ 时。
瑞利分布的模的平方服从指数分布。

在复高斯分布中，若复随机变量服从如下：


那么该随机变量的实部和虚部分别服从如下分布：


同时，实部和虚部的期望有如下结论:



循环对称复高斯随机变量，参考如下（没懂）：

高斯分布及归一化、标准化、零均值化

 网上对于matlab如何产生均值为0，方差为1的复高斯分布一般都会给出这个答案：

                                              s = sqrt(var/2)*(randn(1,K) +j*randn(1,K))    (答案1)       

其中s表示复高斯矩阵，var表示功率(即方差)，而K表示采样数(这个例子中var为1)

 

  究竟这个答案是否正确呢？网上已经有不少人给出了解释，现在我给出我自己的证明和看法：

 

  第一部分：

  首先是要明确什么是复高斯分布，对于这个内容，网站：http://everything2.com/title/complex+Gaussian+distribution 给出了比较好的解释，我再解释一下：我们称复随机变量z=x+iy是一个复随机变量或者服从复高斯分布如果它满足一下条件：

                          a、它的实部x和虚部y服从联合高斯分布

                          b、它的实部x和虚部y相互独立

                          c、它的实部x和虚部y拥有相同的方差

  以mx and my 表示x和y的均值，则z的均值为E[z]=mz=mx+i*my，它的方差定义为：E[(z-mz)(z-mz)*] (*表示共轭，公式可在维基百科上查到)，因为复数的性质zz*=|z|^2=|z^2|，可将方差表示为E[|z-mz|^2]，方差的大小为x或y的方差的两倍(比较一下上述网站的方差定义就知道了)。

 

 

 第二部分：

  对复高斯分布了解了之后，现在解释一下randn这个函数，这个函数主要的作用是产生均值为0，方差为1的正态随机分布数或矩阵，而randn(n,m)是产生一个m*n的随机项矩阵

 

 

  第三部分：

  现在对答案1进行解释，根据均值的性质：E[cX]=cE[X]，方差的性质：D[cX]=(c^2)D[X]，可得s = sqrt(var/2)*(randn(1,K) +j*randn(1,K)) 的均值为sqrt(var/2)*0=0，

方差为2*[(sqrt(var/2))^2]*1=2*(1/2)=1，同时实部和虚部都满足要求，因此这个答案是能产生均值为0，方差为1的复高斯分布的。

 当要改变方差是，只需要改变var的值即可(这个答案的均值都为0)。

 

 

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z=x+iy

E{z}=E{x+iy}=E{x}+i*E{y}

D{z}=E{(x+iy)*(x+iy)'}=E{|x+iy|^2}=E{x^2+y^2}=D{x}+D{y}

当复信号均值为0时，x和y均值为0

当复信号方差为1时，x和y方差为1/2

 

The typical assumption for a complex-valued Gaussian random vector is to split the variance equally among the real and imaginary parts. Let the variance be sigma2.


z = sqrt(sigma2/2)*(randn(1000,1)+1j*randn(1000,1));


If you have the Communications Toolbox, see awgn().

   网上对于matlab如何产生均值为0，方差为1的复高斯分布一般都会给出这个答案：
                                              s = sqrt(var/2)*(randn(1,K) +j*randn(1,K))    (答案1)       
                                         其中s表示复高斯矩阵，var表示功率(即方差)，而K表示采样数(这个例子中var为1)

  究竟这个答案是否正确呢？网上已经有不少人给出了解释，现在我给出我自己的证明和看法：


  第一部分：
  首先是要明确什么是复高斯分布，对于这个内容，网站：http://everything2.com/title/complex+Gaussian+distribution 给出了比较好的解释，我再解释一下：我们称复随机变量z=x+iy是一个复随机变量或者服从复高斯分布如果它满足一下条件：
                          a、它的实部x和虚部y服从联合高斯分布
                          b、它的实部x和虚部y相互独立
                          c、它的实部x和虚部y拥有相同的方差
  以mx and my 表示x和y的均值，则z的均值为E[z]=mz=mx+i*my，它的方差定义为：E[(z-mz)(z-mz)*] (*表示共轭，公式可在维基百科上查到)，因为复数的性质zz*=|z|^2=|z^2|，可将方差表示为E[|z-mz|^2]，方差的大小为x或y的方差的两倍(比较一下上述网站的方差定义就知道了)。
                      
  第二部分：
  对复高斯分布了解了之后，现在解释一下randn这个函数，这个函数主要的作用是产生均值为0，方差为1的正态随机分布数或矩阵，而randn(n,m)是产生一个m*n的随机项矩阵


  第三部分：
  现在对答案1进行解释，根据均值的性质：E[cX]=cE[X]，方差的性质：D[cX]=(c^2)D[X]，可得s = sqrt(var/2)*(randn(1,K) +j*randn(1,K)) 的均值为sqrt(var/2)*0=0，
方差为2*[(sqrt(var/2))^2]*1=2*(1/2)=1，同时实部和虚部都满足要求，因此这个答案是能产生均值为0，方差为1的复高斯分布的。
 当要改变方差是，只需要改变var的值即可(这个答案的均值都为0)。