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  • 一道初等平面几何竞赛的暴力解法
    千次阅读
    2017-08-14 11:33:26

    问题

    一道初中数学竞赛,平面几何题计算:
    这里写图片描述

    这里改成了证明题,反正思路是一样的。

    暴力解法

    中学的题就应该有中学的解法。但是,看习惯了高等数学的内容之后,更习惯暴力解法。暴力破解的方法是怎样的?

    首先,代数方法对很大一部分这类问题都是可以算的;在教学中,可以建议学生,如果其它的几何的解法走不通,不妨尝试代数的、解析的方法。

    但是应该注意下面几点,尤其是已经学习了高等数学知识、持有“可以因此俯视甚至藐视任何初等问题”的看法者:
    1. 并不是所有初等几何问题都是容易代数化的;
    2. 直接代数化并不总能保证所用代数方法不超出初等数学范畴;
    3. 代数化之后的代数求解方法也不总能起到简化求解的作用。

    对这个问题,先建立如下图的坐标系:
    这里写图片描述

    可以容易(计算量很小、难度初等)得到如下点的坐标:

    A:(0,493),B:(494,0),C:(494,0)

    然后假设 E:(x,y)

    根据已知,容易知道 cosAED=12 以及 cosBEC=35 ,

    对图中的两个三角形 ΔBEC ΔAED E 为顶点的角及其对边,使用余弦定理,整理可以得到下面两个看上去吓人的式子:

    6x2+6y298y+(9x2+(493y)2)(x2+y2)80x2+80y2+3256x4+512y2x276832x2+256y4+76832y2+5764801=0=12005

    它们对应于两个曲线的隐函数方程,画出来是这样的:
    这里写图片描述

    之所以说方法是“暴力”的,主要体现在,如果考场上用初等方法,到这里就该差不多放弃了,但现实中可以用一系列的符号计算工具轻松求解。可以用的工具包括,Maxima, Axiom, Mupad in matlab, maple, mathematica等等。于是得到跟曲线图上两个交点对应的两个解:

    x=±532,y=112

    从坐标看也能发现, E ΔABC内可以有互为镜像的两个位置,它们都能满足题设条件。

    回到初等几何能够轻易求解的内容: DE=x2+y2=7

    当然,如果严格用Geogebra作图,把 E 画出来之后测量线段 DE,会发现长度刚好是 7 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">7</script> ( 但Geogebra给出的测量都是近似值,只有确认是初等几何竞赛题、了解命题的一贯作风,才能判断出7不是近似值,而通常是精确值,所以这种办法有参考作用但不严格)

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    背景搜集了好几个平面几何问题。特征是,辅助线类似的线索。找不到线索一筹莫展。线索找到之后,所用的数学知识相对简单。问题之一连续使用相似三角形也可以证明。初中练习。——有时候,解初中小学问题,因为知识...

    背景

    搜集了好几个平面几何问题。特征是,辅助线类似的线索。找不到线索一筹莫展。线索找到之后,所用的数学知识相对简单。

    问题之一

    连续使用相似三角形也可以证明。初中练习题。——有时候,解初中小学问题,因为知识面的原因,了解的太多、想得太多,思路反而更发散,无形中提高了解决问题的难度。

    如图, O ΔABC 内一点; CF BE 交于 O EF//BC
    求证: BD=CD
    这里写图片描述

    证明:

    然而如果知道塞瓦定理,证明也很方便。

    塞瓦定理的证明其实简单,但是能够作为一个著名定理而把一个人名流传下来,必然有它的不一般之处,能够在考场上临战状态下得到这样的结果,相当于隔空秒杀了一位古人。

    这个定理的结果,用在这里就是,

    BDDCCEEAAFFB=1(0)

    证明这个式子可以利用三角形面积的比值:
    BDDC=SΔABDSΔADC=SΔOBDSΔODC=SΔABDSΔOBDSΔADCSΔODC=SΔABOSΔAOC
    类似有:

    CEEA=SΔBCOSΔABO,AFFB=SΔAOCSΔBCO(0.1)

    它们相乘就是塞瓦定理的结果了:

    BDDCCEEAAFFB=SΔABOSΔAOCSΔBCOSΔABOSΔAOCSΔBCO=1(0.2)

    这个结果,加上由 EF//BC 得到的:

    AFFB=EACEAFFBCEEA=1BDDC=1

    也就是要证明的结论。

    这个问题其实可以有更简单的证明。
    假设 EFAD=G

    利用平行关系,可以把相思从左传递到右,从上传递到下。

    EGBD=OGOD=FGCD

    EG+FGBD+CD=OGOD=EFBC

    EFBC=AGAD=EGCD=FGBD

    EGCD=AGAD=EFBC=OGOD=EGBD

    EGBD=AGAD=EFBC=OGOD=FGCD

    都能得到

    BD=CD

    用塞瓦定理算误入歧途呢,还是知道得太多反而思维更容易发散、反而无形中倾向于高难度的解法?

    问题之1.1

    这里是临时找一个似乎不太容易避开塞瓦定理的,
    已知,如图, AB=AC , BAC=40° D 在三角形内, CBD=40°BCD=20°

    求证: AD=CD+BD
    这里写图片描述

    作辅助线如图红色部分, G CD 延长线上, DG=BD ;如果能够证明 x=BAD=10° , 后面只须,先证明 ΔBDG 是等边三角形,以及 ΔABDΔABG

    CAG=50°AG=CGAD=CD+BD .

    参加竞赛的同学都叫角元塞瓦定理,在上图中就是:

    sinABDsinDBCsinBCDsinDCAsinCADsinDAB=1

    假设了 DAB=x , 则上式变为:

    sin30°sin40°sin20°sin50°sin(40°x)sinx=1

    以及如何由此证明 x=10° ;暂时看不到其它简单的方法。可能又要用到恐怕只有竞赛前的训练才可能涉及到的一些三角函数变换技巧了。竞赛难度主要体现在,需要使用一些有难度的、延伸性的结果(或竞赛专用知识点)作为起点,有了这些起点作为基础,更进一步似乎难度也是常规性质的。

    问题之二

    这里写图片描述
    ΔABC 中, BD=CE 1+2=3+4 。 求证: AB=AC

    没想到网友用了个极其简单的方法,反证法就证明了。因为本来的原始问题,被称为 Steiner-Lehmus 问题 ,也是有一定难度的。

    没想到作如图辅助线,反证法就能解决。 作 EG//BD DG//BE ,得到平行四边形 BDGE

    则: CE=BD=EG1+6=3+5

    如果
    3>15<6(1)

    1+2=3+4

    同上假设:

    3>14<2CD<BECD<DG6<5(2)

    (1)和 (2) 矛盾。类似地, 如果假设 3<1 , 从两个途径推导的 5 6 的关系也矛盾。

    这样就只能 1=3 , 从而 2=4 5=6

    从而 1+4=3+2 得到等腰三角形。 ——基本上没有用到特别高级的知识, 但是如果强行从证明回答这个问题证明,难度瞬间提升。

    问题之三

    这里写图片描述

    已知如上图 AB=AC , BAC=20° O 是外接圆圆心, BD 平分 ABC ,几何方法求 x 的角度。

    代数方法求得的关系式化简的难度极高,所以并不理想。这道题跟世上最难的初等几何问题简直用的是同一个图。我一直以为难度不低,但是没想到,找对了正确的几何的方法作辅助线,可以简单化到这种程度。下面是辅助线作法。

    这里写图片描述

    过两个底边顶点,作跟底边呈60°的射线如图,相交于E,则该点在底边的中垂线上,也就是直线 AO 上,因为 O 是外接圆圆心。连 BO

    从角度标记容易发现,

    1. BO ABC 的角平分线 ΔABE 中, ABBE=AOOE
    2. BD ABC 的角平分线 ΔABC 中, ABBC=ADDC

    等边三角形 ΔBCE BE=BC ,所以:

    AOOE=ABBE=ABBC=ADDCOD//EC

    ADO=ACE=20°

    因为 ADB=120°x=ADB=ADO=100°

    总结

    这里的问题,尤其后面两道,代数方法可以做,但是非常繁琐。几何方法不容易想到(发散),但是一旦找对方法,问题简单得不可思议。

    第一道题,我初中的时候做应该不至于被带歪到塞瓦定理这样的歧途上去。对了,塞瓦定理居然还有角元版本,这个更是在有些问题的证明中有妙用。

    所以,知道的知识或方法更多,对求解初等数学问题来说,尤其是这类平面几何的,从找最简单优美解法的角度,未必是一种优势。因为思路更加发散了。——求解初等问题,最不习惯的一个约束是,常常要问自己,这个知识点是不是初等数学范畴的?

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  • ...只是纯几何证明太难。 证明 解析的方法是现成的,像是中学可以理解的。 只是过程很繁琐,所以,证明一下。 不失一般性(这个说法很酷),假设问题中的圆是单位圆、以圆心为原点建立

    原题

    已知,如图, AB  是  O  的直径, CE CF  是  O  的两条切线, D  是  AE  和  BF  的交点。

    求证:  ABCD

    这里写图片描述

    画出来动态调整图观察,结论没有问题。只是纯几何的证明太难。

    这里写图片描述

    证明

    解析的方法是现成的,像是中学可以理解的。 只是过程很繁琐,所以,证明一下。

    不失一般性(这个说法很酷),假设问题中的圆是单位圆、以圆心为原点建立平面直角坐标系,让直径  AB 在纵坐标轴上,从而,两个点的坐标:  A(0,1),B(0,1)

    这里写图片描述

    假设单位圆 O  上两个切点的坐标  E(cosθ1,sinθ1),F(cosθ2,sinθ2) , 则容易知道直线:

    CE 的斜率  cotθ1 CF  的斜率  cotθ2 。 两直线方程可以由点斜式改写为更一般的形式,联立如下:

    {ysinθ1=(xcosθ1)cotθ1ysinθ2=(xcosθ2)cotθ2(1)

    联立可以求出  C  的纵坐标: 

    yC=sin(12(θ1+θ2))sec(12(θ1θ2))

    进一步,通过两点式表示方法并转化,可以得到另外两条直线, AE  和  BF  的方程的一般形式,注意到  A B  的坐标都很简单,方程也不复杂:

    {y+1=xsecθ1(sinθ1+1)y1=xsecθ2(sinθ21)(2)

    类似解出  D  点纵坐标,发现刚好等于  C  的纵坐标。

    所以,  CD  跟所建立坐标系中的纵坐标轴垂直, 也就是跟  AB  垂直。解析方法,把几何里面的直线间垂直,转化成两个二元一次线性方程组之间有一个特定解(的解析形式)恒等。

    求解和化简繁琐,关键是证明两者相等即可,线性方程组的解因此无须是最简形式。上面只能用于对答案了。

    纯几何的证明如果能够利用射影几何的一些定理可行性会大大增加。有些超纲,但是在数学竞赛和自主招生考试中未尝不可。


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    以下收集暑假期间遇到的平面几何题,以及解法的一些提示。给未来的自己复习参考用。

    多图片预警(请注意流量)

     


    目录:
     

    Part 0:杂题(7) 

    Part 1:等腰三角形中斯特瓦尔特定理的应用(8)

     

    Part 0:杂题 

    1、如图,锐角三角形ABC中,AD垂直于BC。在线段AD上任取一点E,连接BE并延长交AC于F,连接CE并延长交AB于G。

    求证:DA平分∠GDF

    证法一:建坐标系,代数法(略)。

    证法二:三角函数暴力推(略)。

    证法三:关键词:赛瓦定理。辅助线如下:

     

    2、刚刚在 matrix67 的博客上翻阅到一题:http://www.matrix67.com/blog/archives/442

    任意给定一个三角形ABC。令M为BC上的中点,令H为BC上的垂足。角A的平分线与BC交于点D。过B、C分别向角平分线AD作垂线,垂足分别为P、Q。

    证明H、P、M、Q四点共圆。

    博主的证法朴实又简洁明了。

    评论区中 Pegasus 提到了一个出类拔萃的做法,尽管不那么简洁,但十分有趣自然奇妙,忍不住来分享一下:

    作△ABC外接圆交AD延长线于X,∵AD是角平分线,∴MX⊥BC

    根据相交弦定理,AD·DX=BD·DC

    两边同时乘以cos∠ADB的平方,得到PD·DQ=HD·DM。于是PHQM四点公圆。

     

    3、

     

     from 中等数学 2011-07 一道 IMO 几何题的另解

    阅读了原题解(中等数学 2009-09 第 50 届 IMO 试题解答 )和这篇“另解”,发现它们都采用了高深的三角函数。

    于是这里来展示一下几何方法(由于偷懒就写简要过程了):

     

    显然O,K,C共线。连结OC,连结DK。作D关于OC的对称点。

    ∠OD'K=∠OEK,所以D'和E点重合,或O,K,D',E四点公圆。

    ① D'和E点重合,则BE⊥AC,易得 ∠BAC=60°

    ② O,K,D',E四点公圆。∵∠OD'E=90°,∴∠OKE=90°。

    ∴∠OEK=∠EOK=45°

    因为K在∠DAC的角平分线上,易得AO=AE。∠AOE=∠AEO,∠BAD+∠ABE=∠ACB+∠EBC。

    所以 ∠BAC=90°

    综上,∠BAC=60° 或 90°

     

    4、

    关键词:R乘到左边,面积法

     

    5、

    关键词:构造平均长度。

     

    6、

    关键词:对称

     

    7、

     

    关键词:先猜后证。

    结论:四边形AO1O2P是等腰梯形,AO1=PO2

    方法一:PS=PT于是PM1=PM2(《中等数学 · 2011年第8期 · 构造对称结竞赛题》中的证法)

    方法二:图中两个三角形全等。

     

     

     

    Part 1:等腰三角形中斯特瓦尔特定理的应用。(from 中等数学 2011.7)

    斯特瓦尔特定理原型:https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86 

    特殊情形:等腰三角形 ABC 中 AB=AC,则 AB2-AD2 =BD·DC

     

    1、

    关键词:圆幂定理

     

    2、

     关键词:无

     

    3、

    关键词:两个外心,定差幂线定理(平方的差相等即垂直)

     

    4、

    关键词:牛顿定理(相似证四线共点),定差幂线。

     

    5、

     

    最关键的一步,有两条线是垂直的?!

    关键词:圆的幂(本质还是斯特瓦尔特),定差幂线定理

     

    6、

     关键词:完全四边形密克尔点(四圆共点)

     

    7、

    方法一(朴素、基础方法):调和点列,梅涅劳斯定理。

    方法二(模仿上一题做法):密克尔点。

     

    8、

    关键词:梅涅劳斯定理。

    转载于:https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/11113025.html

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