深度搜索(DFS)

深度搜索思路：回溯 + 剪枝

深度优先搜索属于图算法的一种，英文缩写为DFS即Depth First Search.其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次.

举例说明之：下图是一个无向图，如果我们从A点发起深度优先搜索（以下的访问次序并不是唯一的，第二个点既可以是B也可以是C,D），则我们可能得到如下的一个访问过程：A->B->E（没有路了！回溯到A)->C->F->H->G->D（没有路，最终回溯到A,A也没有未访问的相邻节点，本次搜索结束）.简要说明深度优先搜索的特点：每次深度优先搜索的结果必然是图的一个连通分量.深度优先搜索可以从多点发起.如果将每个节点在深度优先搜索过程中的"结束时间"排序（具体做法是创建一个list，然后在每个节点的相邻节点都已被访问的情况下，将该节点加入list结尾，然后逆转整个链表)，则我们可以得到所谓的"拓扑排序",即topological
sort.

基本思路

深度优先遍历图的方法是，从图中某顶点v出发：
（1）访问顶点v；
（2）依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；
（3）若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。　当然，当人们刚刚掌握深度优先搜索的时候常常用它来走迷宫.事实上我们还有别的方法，那就是广度优先搜索(BFS).

（1）对于下面的树而言，DFS方法首先从根节点1开始，其搜索节点顺序是1,2,3,4,5,6,7,8（假定左分枝和右分枝中优先选择左分枝）。

（2）从stack中访问栈顶的点；

（3）找出与此点邻接的且尚未遍历的点，进行标记，然后放入stack中，依次进行；

（4）如果此点没有尚未遍历的邻接点，则将此点从stack中弹出，再按照（3）依次进行；

（5）直到遍历完整个树，stack里的元素都将弹出，最后栈为空，DFS遍历完成。

深度搜索模板

int check(参数)
{
    if(满足条件)
        return 1;
    return 0;
}
 
void dfs(int step)
{
    判断边界if
    {
        到达边界时的操作（输出等）
    }
    未到边界时尝试每一种可能else
    {
        满足check条件 if
        {
            标记
            继续下一步 : dfs(step+1)
            恢复初始状态
        }
    };
}

深度搜索经典例题：【排列数字】

原题链接

给定一个整数 n，将数字 1∼n 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式
共一行，包含一个整数 n。

输出格式
按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围
$1\le n\le 7$
输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

题目答案：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int path[N];
bool vis[N];
int n;
void dfs(int x){
    if(x > n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) cout<<path[i]<<" ";
        puts("");
        return;
    }
    else
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        {
            if(!vis[i])
            {
                path[x] = i;
                vis[i] = true;
                dfs(x+1);
                vis[i] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

深度搜索经典例题：【n-皇后问题】

原题链接
n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。每个方案输出完成后，输出一个空行。注意：行末不能有多余空格。输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围
$1\le n\le 9$
输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

（DFS按行枚举） 时间复杂度 $O(n!)$
代码分析

对角线 $dg[u+i]$，反对角线$udg[n-u+i]$中的下标 $u+i$和 $n-u+i$ 表示的是截距

下面分析中的 $(x,y)$ 相当于上面的 $(u,i)$
反对角线 $y=x+b$, 截距 $b=y-x$，因为我们要把 b 当做数组下标来用，显然 b 不能是负的，所以我们加上 +n（实际上+n+4,+2n都行），来保证是结果是正的，即 $y-x+n$
而对角线 $y=-x+b$, 截距是 $b=y+x$，这里截距一定是正的，所以不需要加偏移量
核心目的：找一些合法的下标来表示 $dg$ 或 $udg$ 是否被标记过，所以如果你愿意，你取 $udg[n+n-u+i]$ 也可以，只要所有 $(u,i)$ 对可以映射过去就行

题目答案：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100;
char g[N][N];  // g[N][N]用来存路径
// bool数组用来判断搜索的下一个位置是否可行
bool col[N],dg[N],udg[N]; // g[N][N]用来存路径
int n;

void dfs(int x){
    // u == n 表示已经搜了n行，故输出这条路径
    if(x == n){
        for (int i = 0; i < n; ++i) puts(g[i]); // 等价于cout << g[i] << endl;
        puts(""); // 换行
        return;
    }else{
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            // 剪枝(对于不满足要求的点，不再继续往下搜索)
            // udg[n - u + i]，+n是为了保证下标非负
            if(!col[i] && !dg[x+i] && !udg[n-x+i])
            {
                g[x][i] = 'Q';
                col[i] = dg[x+i] = udg[n-x+i] = true;
                dfs(x+1);
                g[x][i] = '.';
                col[i] = dg[x+i] = udg[n-x+i] = false;// 恢复现场 这步很关键
            }

        }
    }

}
int main() {
    cin>>n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0);
    return 0;
}

广度搜索(BFS)

深度搜索简介

广度优先搜索（也称宽度优先搜索，缩写BFS，以下采用广度来描述）是连通图的一种遍历算法这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。基本过程，BFS是从根节点开始，沿着树(图)的宽度遍历树(图)的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。一般用队列数据结构来辅助实现BFS算法。

基本思路

（1）给出一连通图，如图，初始化全是白色（未访问）；

（2）搜索起点V1（灰色）；

（3）已搜索V1（黑色），即将搜索V2，V3，V4（标灰）；

（4）对V2，V3，V4重复以上操作；

（5）直到终点V7被染灰，终止；

（6）最短路径为V1，V4，V7.

深度搜索经典例题：【走迷宫——边的权值相同】

给定一个 $n\ast m$ 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0 或 1，其中 0 表示可以走的路，1 表示不可通过的墙壁。
最初，有一个人位于左上角 $(1,1)$处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。
请问，该人从左上角移动至右下角 $(n,m)$ 处，至少需要移动多少次。
据保证 $(1,1)$ 处和 $(n,m)$ 处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。
接下来n行，每行包含m个整数（0或1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式

输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围

$1\le n,m\le 100$

输入样例：

5 5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0

输出样例：

8

答案解析：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int g[N][N],d[N][N];  // g记录迷宫，d记录该位置与起始位置的距离
typedef pair<int,int> PII;
queue<PII> q;

int bfs(){
    int dx[] = {-1,0,1,0},dy[] = {0,1,0,-1};

    q.push({0,0}); //从第一个元素开始访问
    d[0][0] = 0;

    while(!q.empty()){
        auto t = q.front();  q.pop();
        
        for(int i = 0;i < 4;i++){
            int x = t.first+dx[i] , y = t.second+dy[i];
            
            if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && !d[x][y]){
                d[x][y] = d[t.first][t.second]+1;
                q.push({x,y});
            }
        }
    }
    return d[n-1][m-1];
}

int main() {
    cin>>n>>m;
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        for (int j = 0; j < m; ++j) 
            cin>>g[i][j];

    cout<<bfs()<<endl;
    return 0;
}

深度搜索(DFS)

一、搜索方法：
 沿出发顶点的第一条路径尽量深入，遍历路径上所有顶点；然后退回到该顶点，搜索其它路径，直到以该顶点为始点的所有路径的顶点都被访问，深度搜索算法是递归算法，因为对于没一个节点来说，执行的是同样的操作。
 简单来说，深度搜素算法就是一条道走到黑，走不动了再回溯回去，选择其他路径，举个例子，对于下面的图，假设从1开始遍历：

（1）第一步，访问结点1并标记




（9）第九步，访问结点3并标记

二、用途
 深度搜索常用于解决图的遍历问题（尤其是矩阵图如迷宫问题等），比如求解从某一个点到另一个点的最短距离，则只需遍历所有路径，在遍历同时记录路径长度，最后一定能找到最短的距离，但这种方法复杂度较高，因为要遍历完所有结点才能找到。
 深度搜索是回溯法的主要方法，沿着一条路一直走，走不通再回溯到上一节点，选择其他路径。
三、深度搜索模板（对于矩阵图）

int dxy[4][2]={//模拟上下左右四个方向
	-1,0,//向上（x减一，y不变）
	1, 0,//向下
	0,-1,//向左
	0, 1//向右
	}
void dfs(int x0,int y0,int x1,int y1)
{
	//(x0,y0)是出发点，(x1,y1)是目标点
	if(x0==x1&&y0==y1)//找到目标点
	{
		//执行操作如输出路径等
		return；
	}
	for(int i=0;i<4;i++)//遍历四个方向每一个分支，对每一个分支都进行深度搜索
	{
		int dx=dxy[i][0];//移动后的横坐标
		int dy=dxy[i][1];//移动后的纵坐标
		if(坐标越界||遇到障碍物||...)//不满足条件
			continue;
		//执行操作
		dfs(dx,dy,x1,y1)//深度遍历
		//遍历结束恢复操作
	}
}

广度搜索（BFS）

一、搜索方法
 广度搜索，顾名思义，就是更大范围内搜索，与深度搜索不同的是，深度搜索是一次搜索一条路径，一直搜索到走不通为止；而广度搜索是同时搜索所有路径，相当于一层一层地搜索，就好比波浪的扩展一样。此搜索方法跟树的层次遍历类似，因此宽度搜索一般都用队列存储结构。搜索原则：
（1）访问遍历出发顶点，该顶点入队
（2）队列不空，则队头顶点出队；
（3）访问出队顶点所有的未访问邻接点并将其入队；
（4）重复（2）（3），直到队空或者找到目标点
举个例子，还是对下面这个图进行广度遍历：





二、用途
 虽然看似广度搜索一次扩张了很多个点，但实际上任然是一个结点一个结点地搜索，只是它是以层层扩张的方式进行搜索。广度搜索也常用于解决图的遍历，在求一个点到另一个点的最短距离时，广度搜索比深度搜索更有优势，因为广度搜索是层层遍历的，所以一定存在某条路径最先到达目标点，只要找到目标点后就退出，就不用搜索所有点。
 广度搜索也是分支限界法的主要算法（当然，分支限界也可能是广度搜索和宽度搜索的结合）。广度搜索最常解决的问题类型是：求从某一个状态到另一个状态的最小步数，每一个状态对应多个（扩展结点个数）不同的操作。
三、算法模板

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
struct state
{
	int a,b;//存储相应信息
	int step;//存储当前结点的步数
};
queue<state>Q;
int bfs(int a,int b,int A,int B)//返回最小步数
{
	//参数a,b是初始状态，
	//参数A,B是目标状态判断条件；
	while(!Q.empty())Q.pop();//清空队列
	state P;
	P.a=a;P.b=b;P.step=0;//初始结点
	Q.push(P);//初始结点入队
	while(!Q.empty())//队列非空
	{
		state head=Q.front();//保存队头
		Q.pop();//队头出队
		//以下扩展每个结点的邻接结点*************************
		state p=head;
		p.a=...//执行操作
		p.b=...//执行操作
		p.step++;//步数加一
		//判断p.a,p.b是否合法（剪枝处理）
		if(ok(p.a,p.b))
		{
			if(p.a==A&&p.b==B)//判断该状态是否满足目标状态
			return p.step;//返回步数
			Q.push(p);//否则入队
		}
		
		//扩展其他结点
		......
		//扩展结点结束*************************************
	}
	return -1;//不能到达目标状态，返回-1;
}

经典例题
迷宫问题

这篇主要是记录一下学习二叉树的深度搜索和广度搜索的学习过程，有问题希望大家多多指正。
首先，下图是一颗二叉树：

深度优先搜索（DFS）：
深度优先搜索是从根节点出发，沿左子树方向进行纵向遍历，直到找到叶子结点为止。然后回溯到前一个节点，进行右子树节点的遍历，直到遍历完所有可达节点为止。
遍历顺序：A B D E C F G
其实就是先遍历根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树，跟先序遍历的过程是一样的。
那我们要如何实现DFS算法呢？
这里我们需要借助一个我们很熟悉的数据结构，那就是栈
为何要用栈呢？我们都知道栈是一种先进后出的数据结构，假如我们可以把二叉树按照根节点，右孩子，左孩子的顺序压入栈中，然后依次出栈，这时候在用到遍历让左右孩子也都按照这个顺序去进出栈，我们不就实现了DFS算法了么，所以，请看代码：

//stack所在的库
#include <stack>
void DFSTree(Node * root)
{
//声明一个栈，C++ STL库
stack <Node*> nodeStack;
nodeStack.push(root);
//临时指针变量
Node* node;
  while(!nodeStack.empty())
	{
	//获取栈顶元素指针
	node = nodeStack.top();
	printf_s("%c",node->data);
	nodeStack.pop();
	if(node->rchild){nodeStack.push(node->rchild);}
	if(node->lchild){nodeStack.push(node->lchild);}
	}
}

广度优先搜索（BFS）：
广度优先搜索是从根节点出发，在横向遍历二叉树层段节点的基础上纵向遍历二叉树的层次。
同样是第一个图，这时候其顺序就是：
A B C D E F G
那又如何实现BFS呢？同样我们要利用到一种数据结构队列，其先进先出，所以我们可以用其很好的实现顺序遍历，根节点进队，然后通过循环让左子树，右子树进队出队即可。
实现如下：

void BFSTree(Node* root)
{
queue <Node*> nodeQueue;
nodeQueue.push(root);
node* node;
  while(!nodeQueue.empty())
	{
	node=nodeQueue.front();
	printf_s("%c",node->data);
	nodeQueue.pop();
	if(node->lchild){nodeQueue.push(node->lchild);}
	if(node->rchild){nodeQueue.push(node->rchild);}
	}

}

That’s All…