引言：在前面一小节中我们指出，在含有多个参数的模型中，如何做出对模型的优化。岭回归更好？还是lasso回归更优？参考：正则化(2)：与岭回归相似的 Lasso 回归。在这种情况下，还要一种折中的办法，就是选择弹性网络回归(Elastic Net Regression)。
1. lasso回归与岭回归的异同
如下，如果已知模型中的很多变量为无关变量，如astrological offset和airspeed scalar等，我们倾向于选择lasso回归，从而使得拟合模型更加简洁和便于解读。
Size = y-intercept + slope x Weight + diet differece x Hight Fat Diet +
                   + astrological offset x Sign + airspeed scalar x Airspeed of Swallow
如下，如果模型中有非常多的变量，我们无法知道其是否是无关变量，如基于10000个基因的表达预测小鼠体积。在这种情况下，我们应该选择lasso回归，还是岭回归呢？
答案是弹性网络回归(Elastic Net Regression)。听名字非常炫酷，有弹性的回归，意味着它非常灵活能适应多用场景。简单来说，弹性网络回归是lasso回归和岭回归的结合版本。
2. 弹性网络回归是lasso回归和岭回归的结合版
公式解读：弹性网络回归包含lasso回归和岭回归非惩罚项，两种惩罚项的λ系数不同(lasso回归λ1，岭回归λ2)。基于使用多个不同λ1和λ2的交叉验证，以寻找最佳λ1和λ2的取值。
当λ1 = 0，λ2 = 0时，弹性网络回归与最初的最小二乘法线性回归拟合的模型一致。
当λ1 = 0，λ2 ＞ 0时，弹性网络回归与lasso回归拟合的模型一致。
当λ1＞0，λ2 = 0时，弹性网络回归与岭回归拟合的模型一致。
当λ1＞0，λ2＞0时，弹性网络回归为岭回归和lasso回归的结合版本。
3. 弹性网络回归具有lasso回归与岭回归的优点
弹性网络回归善于解决含有相关性参数的模型：lasso回归筛选出相关的参数，并缩减其他无关参数；同时岭回归缩减所有相关性的参数。
通过二者的结合，弹性网络回归可以筛选和缩减具有相关性的参数，将他们保留在模型中或者从模型中移除。在处理具有相关性的参数时，弹性网络回归能够表现出良好的性能。
参考视频：
1.岭回归。
https://www.youtube.com/watch?v=Q81RR3yKn30&list=PLblh5JKOoLUICTaGLRoHQDuF_7q2GfuJF&index=19
2.lasso回归。
https://www.youtube.com/watch?v=NGf0voTMlcs&list=PLblh5JKOoLUICTaGLRoHQDuF_7q2GfuJF&index=20
3.弹性网络回归。
https://www.youtube.com/watch?v=1dKRdX9bfIo&list=PLblh5JKOoLUICTaGLRoHQDuF_7q2GfuJF&index=22
编辑：吕琼
校审：罗鹏

弹性网络回归算法（Elastic Net Regression）是综合lasso回归和岭回归的一种回归算法，通过在损失函数中增加L1和L2正则项。

本文使用多线性回归的方法实现弹性网络回归算法，以iris数据集为训练数据，用花瓣长度、花瓣宽度和花萼宽度三个特征预测花萼长度。

# Elastic Net Regression
# 弹性网络回归
#----------------------------------
#
# This function shows how to use TensorFlow to
# solve elastic net regression.
# y = Ax + b
#
# We will use the iris data, specifically:
#  y = Sepal Length
#  x = Pedal Length, Petal Width, Sepal Width

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import tensorflow as tf
from sklearn import datasets
from tensorflow.python.framework import ops

###
# Set up for TensorFlow
###

ops.reset_default_graph()

# Create graph
sess = tf.Session()

###
# Obtain data
###

# Load the data
# iris.data = [(Sepal Length, Sepal Width, Petal Length, Petal Width)]
iris = datasets.load_iris()
x_vals = np.array([[x[1], x[2], x[3]] for x in iris.data])
y_vals = np.array([y[0] for y in iris.data])

###
# Setup model
###

# make results reproducible
seed = 13
np.random.seed(seed)
tf.set_random_seed(seed)

# Declare batch size
batch_size = 50

# Initialize placeholders
x_data = tf.placeholder(shape=[None, 3], dtype=tf.float32)
y_target = tf.placeholder(shape=[None, 1], dtype=tf.float32)

# Create variables for linear regression
A = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[3,1]))
b = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))

# Declare model operations
model_output = tf.add(tf.matmul(x_data, A), b)

# Declare the elastic net loss function
# 对于弹性网络回归算法，损失函数包含斜率的L1正则和L2正则。
# 创建L1和L2正则项，然后加入到损失函数中
elastic_param1 = tf.constant(1.)
elastic_param2 = tf.constant(1.)
l1_a_loss = tf.reduce_mean(tf.abs(A))
l2_a_loss = tf.reduce_mean(tf.square(A))
e1_term = tf.multiply(elastic_param1, l1_a_loss)
e2_term = tf.multiply(elastic_param2, l2_a_loss)
loss = tf.expand_dims(tf.add(tf.add(tf.reduce_mean(tf.square(y_target - model_output)), e1_term), e2_term), 0)

# Declare optimizer
my_opt = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.0001)
train_step = my_opt.minimize(loss)

###
# Train model
###

# Initialize variables
init = tf.global_variables_initializer()
sess.run(init)

# Training loop
loss_vec = []
for i in range(1000):
    rand_index = np.random.choice(len(x_vals), size=batch_size)
    rand_x = x_vals[rand_index]
    rand_y = np.transpose([y_vals[rand_index]])
    sess.run(train_step, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y})
    temp_loss = sess.run(loss, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y})
    loss_vec.append(temp_loss[0])
    if (i+1)%250==0:
        print('Step #' + str(i+1) + ' A = ' + str(sess.run(A)) + ' b = ' + str(sess.run(b)))
        print('Loss = ' + str(temp_loss))

###
# Extract model results
###

# Get the optimal coefficients
[[sw_coef], [pl_coef], [pw_ceof]] = sess.run(A)
[y_intercept] = sess.run(b)

###
# Plot results
###

# Plot loss over time
plt.plot(loss_vec, 'k-')
plt.title('Loss per Generation')
plt.xlabel('Generation')
plt.ylabel('Loss')
plt.show()



结果：

Step #250 A = [[ 0.93870646]
 [-0.37139279]
 [ 0.27290201]] b = [[-0.36246276]]
Loss = [ 23.83867645]
Step #500 A = [[ 1.26683569]
 [ 0.14753909]
 [ 0.42754883]] b = [[-0.2424359]]
Loss = [ 2.98364353]
Step #750 A = [[ 1.33217096]
 [ 0.28339788]
 [ 0.45837855]] b = [[-0.20850581]]
Loss = [ 1.82120061]
Step #1000 A = [[ 1.33412337]
 [ 0.32563502]
 [ 0.45811999]] b = [[-0.19569117]]
Loss = [ 1.64923525]

弹性网络回归的特点是在线性回归的损失函数上加上L1和L2正则化项。

import matplotlib.pyplot as plt 

import numpy as np 

import tensorflow as tf 

from sklearn import datasets 

sess = tf.Session()

iris = datasets.load_iris() 

x_vals = np.array([[x[1],x[2],x[3]] for x in iris.data]) 

y_vals = np.array([y[0] for y in iris.data])

batch_size = 50 

learning_rate = 0.001 

x_data = tf.placeholder(shape=[None,3],dtype = tf.float32) 

y_target = tf.placeholder(shape = [None,1],dtype = tf.float32)

A = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[3,1])) 

b = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))

model_output = tf.add(tf.matmul(x_data,A),b)

elastic_param1 = tf.constant(1.) 

elastic_param2 = tf.constant(1.) 

l1_a_loss = tf.reduce_mean(tf.abs(A)) 

l2_a_loss = tf.reduce_mean(tf.square(A)) 

e1_term = tf.multiply(elastic_param1,l1_a_loss) 

e2_term = tf.multiply(elastic_param2,l2_a_loss) 

loss = tf.expand_dims(tf.add(tf.add(tf.reduce_mean(tf.square(y_target - model_output)),e1_term),e2_term),0)

init = tf.global_variables_initializer() 

sess.run(init)

my_opt = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate) 

train_step = my_opt.minimize(loss)

loss_vec = []

for i in range(1000): 

    rand_index = np.random.choice(len(x_vals),size = batch_size) 

    rand_x = x_vals[rand_index] 

    rand_y = np.transpose([y_vals[rand_index]]) 

    sess.run(train_step,feed_dict={x_data:rand_x,y_target:rand_y}) 

    temp_loss = sess.run(loss,feed_dict={x_data:rand_x,y_target:rand_y}) 

    loss_vec.append(temp_loss[0]) 

    if (i+1)%250 == 0: 

        print(‘Step# ‘+str(i+1)+’A= ‘+str(sess.run(A))+’ b= ‘+str(sess.run(b))) 

        print(‘Loss= ‘+str(temp_loss)) 

plt.plot(loss_vec,’r–’,label=’LOSS’) 

plt.legend(loc=’upper right’) 

plt.title(‘Loss function’) 

plt.xlabel(‘Generation’) 

plt.ylabel(‘Loss’) 

plt.show() 

弹性网络回归
弹性网络ElasticNet是同时使用了系数向量的 l1 范数和 l2 范数的线性回归模型，使得可以学习得到类似于Lasso的一个稀疏模型，同时还保留了 Ridge 的正则化属性，结合了二者的优点，尤其适用于有多个特征彼此相关的场合。

主要参数说明
alpha: a值。
fit_intercept:一个布尔值，指定是否需要计算b值。如果为False，那么不计算b值（模型会认为你已经将数据中心化了）。
max_iter:整数值，指定最大迭代次数。
normalize：一个布尔值。如果为True，那么训练样本会在回归之前被归一化。
copy_X：一个布尔值，如果为True，则会复制X值
precompute：一个布尔值或者一个序列。他决定是否提前计算Gram矩阵来加速计算。
tol：一个浮点数，指定判断迭代收敛与否的阈值。
warm_start：一个布尔值，如为True，那么使用前一次训练结果继续训练。否则重头开始训练。
positive：一个布尔值，如为Ture，那么强制要求全中响亮的分量都为整数。
selection：一个字符串，可以为‘cyclic’（更新时候，从前向后一次选择权重向量的一个分量来更新）或者‘random’（随机选择权重向量的一个分量来更新），他指定了当每轮迭代的时候，选择权重向量的一个分量来更新
random_state：一个整数或者一个RandomState实例，或者为None。如果为整数，则他指定了随机数生成器种子。如果为RandomState实例，则指定了随机数生成器。如果为None，则使用默认的随机数生成器。
%config InteractiveShell.ast_node_interactivity = 'all'   #同时输出多行结果
from sklearn.linear_model import ElasticNet
reg = ElasticNet(alpha=1.0, l1_ratio=0.7)
X = [[3], [8]]
y = [1, 2]
reg.fit(X, y)
ElasticNet(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.7,
  max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
  random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)   #参数含义和lasso和ridge类似
reg.predict([[6]])
reg.coef_
reg.intercept_


ElasticNet(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.7,
      max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
      random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)


ElasticNet(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.7,
      max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
      random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

array([1.54198473])
array([0.08396947])
1.0381679389312977

#修改参数比较结果
reg = ElasticNet(alpha=1.0, l1_ratio=0.3)   # 修改参数，进行对比
reg.fit(X, y)
ElasticNet(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.3,
  max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
  random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)
reg.predict([[6]])
reg.coef_
reg.intercept_


ElasticNet(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.3,
      max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
      random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

ElasticNet(alpha=1.0, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.3,
      max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
      random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

array([1.56834532])
array([0.13669065])
0.748201438848921

#利用IRIS数据集进行弹性网络回归
import pandas  as pd
import numpy  as np
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn import linear_model
from sklearn import metrics
#导入IRIS数据集 
iris = load_iris() 
 #特征矩阵 
X=iris.data 
 #目标向量 
y=iris.target
from sklearn.cross_validation import train_test_split #导入数据划分包
#以20%的数据构建测试样本，剩余作为训练样本
X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,y,test_size=0.20,random_state =1)
elastic= linear_model.ElasticNet(alpha=0.1,l1_ratio=0.5)  # 设置lambda值,l1_ratio值
elastic.fit(X_train,y_train)  #使用训练数据进行参数求解
y_hat2 = elastic.predict(X_test)  #对测试集的预测
print ("RMSE:", np.sqrt(metrics.mean_squared_error(y_test, y_hat2)))  #计算RMSE

ElasticNet(alpha=0.1, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.5,
      max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
      random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

RMSE: 0.25040264500501913