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  • 拓展欧几里得算法

    2017-10-26 00:33:28
    拓展欧几里得算法
    首先你要知道欧几里得算法(就是辗转相除法)

    Gcd(a,b)=gcd(b,a%b)


    int gcd(int a,int b)

    {

        return b?gcd(b,a%b):a;

    }


    那么来看拓展欧几里得算法

    先上代码

    Gcd(a,b)=ax+by   这是一个不定方程,扩欧用来求x,y的整数解

    void exgcd(int a,int b,LL &x,LL &y){  
        if(b==0){x=1,y=0;return;}  
        exgcd(b,a%b,x,y);  
        LL t=x;  x=y,y=t-a/b*y;  
    }  


    那么为什么会这样呢

    让我们来证明一下:

    我们想求一组(x,y)使得gcd(a,b)=ax+by

    根据b≠0 -->gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

    如果我们现在有x’,y’,那么gcd(b,a%b)=b*x'+(a%b)*y'

    那么我们现在可以令 ax+by=b*x'+(a%b)*y'       ①式

    注意到a%b=a-a/b*b

    带入①式得:ax+by=b*x'+(a-a/b*b)*y'             ②式

    注意它的每一项仅仅是由a,b相关的

    改造

    右边也以a,b为元 ax+by=a*y'+b*(x'-a/b*y')

    得出一组特解:x=y'  y=x'-a/b*y'

    它这个递归的基为b=0

    当b=0时,ax+by=gcd(a,b) 可以得出x=1,y=0;

    证毕。。


    证明结束了

    如果还想看看题目的话可以看看noip 2012 D2T1


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  • 欧几里得算法 拓展欧几里得算法

    关于欧几里得算法和拓展欧几里得算法
    求解两个数的最大公约数,有三种比较常用的算法:蛮力法、更相减损法以及欧几里得算法。在这里我们只讨论欧几里得算法,蛮力法的时间复杂度过大,不适合求解数据量比较大情况。而更相减损法与欧几里得算法其实有共通性。
    首先,欧几里得算法,可以用一个函数gcd()表示,我们假设现在有两个数a和b。
    1、gcd(a,b)= gcd(b,a)
    2、gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
    3、gcd(a,0)=a
    通过以上三个公式,我们就可以求解两个数的最大公约数了。
    这里给一个例子:假设我们要求104,195的最大公约数
    gcd(104,195)=gcd(195,104)=gcd(104,91)=gcd(91,13)=gcd(13,0)=13
    根据上面的例子,可以看出欧几里得算法比蛮力法快
    下面,我将给出该算法的几个代码版本。
    递归:

    int gcd(int a,int b)
    {
        if(b==0)
            return a;
        else
            return gcd(b,a%b);
    }

    以上为尾递归,我们可以将其改为非递归版本:

    int gcd(int a,int b)
    {
        int tmp;
        while(b!=0)
        {
            tmp=a;
            a=b;
            b=tmp%b;
        }
        return a;
    }

    另外,拓展欧几里得算法不仅可以计算出两个数的最大公约数,还能给出
    ax+by=gcd(a,b)的一个x,y的解(x,y不止一组解)
    我们已经知道了欧几里得算法的一些公式,通过这些公式我们便可以很方便的推导出拓展欧几里得算法。
    1、ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
    2、 gcd(b,a%b)=bx+(a%b)y
    3、gcd(a,0)=ax+0y=a 得x=1,y=0
    (注:以上三个式子中,x,y相互无关)
    通过上面的式子,我们可以知道
    前一组x,y的解与后一组x,y的解有关。
    我们设 ax+by=gcd(a,b)、gcd(b,a%b)=bx’+(a%b)y’

    已知a%b=a-[a/b]*b([a/b]表示a/b后截掉小数部分)
    gcd(b,a%b)=bx’+(a-[a/b]*b)y’=ay’+b(x’-[a/b]*y’)
    再根据我们设的式子,不难看出
    ax+by= ay’+b(x’-[a/b]*y’)
    所以,后一个的解可以推出前一个的解,可得
    x=y’
    y=x’-[a/b]*y’
    这样,我们可以很方便得写出递归版本的程序

    int exgcd(int a,int b,int *x,int *y)
    {
        if(b==0)
        {
            *x=1;
            *y=0;
            return a;
        }
        else
        {
            int d,t;
            d=exgcd(b,a%b,x,y);
            t=*x;
            *x=*y;
            *y=t-(a/b)*(*y);
            return d;
        }
    }

    此程序可以用非递归版本实现,可以通过栈来保存每次递归中a和b的值来实现。

    展开全文
  • 欧几里得算法和拓展欧几里得算法 转载:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。 基本算...

    转载:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

    欧几里德算法

    欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

    基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

    第一种证明:

          a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

      假设d是a,b的一个公约数,则有

      d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

      因此d是(b,a mod b)的公约数

      假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

      d | b , d |r ,但是a = kb +r

      因此d也是(a,b)的公约数

      因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

     

    第二种证明:

        要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b
        下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
        设  c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
        由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
        则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
        b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,且d>1
                                                                    则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
                                                                     所以n ,m-qn一定互质)
        则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
        得证。

     

    算法的实现:

    最简单的方法就是应用递归算法,代码如下:

    复制代码
    1 int gcd(int a,int b)
    2 {
    3     if(b==0)
    4         return a;
    5     return 
    6         gcd(b,a%b);
    7 }
    复制代码

    代码可优化如下:

    1 int gcd(int a,int b)
    2 {
    3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
    4 }

    当然你也可以用迭代形式:

    复制代码
     1 int Gcd(int a, int b)
     2 {
     3     while(b != 0)
     4     {
     5       int r = b;
     6       b = a % b;
     7       a = r;
     8     }
     9     return a;
    10 }
    复制代码

     

    扩展欧几里德算法

    基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

    证明:设 a>b。

      1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

      2,ab!=0 时

      设 ax1+by1=gcd(a,b);

      bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

      根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

      则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

      即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

      根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

         这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

       上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

     

    扩展欧几里德的递归代码:

    复制代码
     1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
     2 {
     3     if(b==0)
     4     {
     5         x=1;
     6         y=0;
     7         return a;
     8     }
     9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    10     int t=x;
    11     x=y;
    12     y=t-a/b*y;
    13     return r;
    14 }
    复制代码

     扩展欧几里德非递归代码:

    复制代码
     1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
     2 {
     3     int x1,y1,x0,y0;
     4     x0=1; y0=0;
     5     x1=0; y1=1;
     6     x=0; y=1;
     7     int r=m%n;
     8     int q=(m-r)/n;
     9     while(r)
    10     {
    11         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
    12         x0=x1; y0=y1;
    13         x1=x; y1=y;
    14         m=n; n=r; r=m%n;
    15         q=(m-r)/n;
    16     }
    17     return n;
    18 }
    复制代码

     

    扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:

    (1)求解不定方程;

    (2)求解模线性方程(线性同余方程);

    (3)求解模的逆元;

     

    (1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:

      对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
      上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:
      p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
      q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
      至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

      在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),

      p * a+q * b = c的其他整数解满足:

      p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
      q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
      p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
     
    用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
    代码如下:
    复制代码
    1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
    2 {
    3     int d=exgcd(a,b,x,y);
    4     if(c%d)
    5         return false;
    6     int k=c/d;
    7     x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
    8     return true;
    9 }
    复制代码

     

    (2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:

        同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。

        求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

        设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b,则方程

        a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
        所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

        ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

        设ans=x*(b/d),s=n/d;

        方程ax≡b (mod n)的最小整数解为:(ans%s+s)%s;

        相关证明:

        证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
        由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
             a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                     = b (mod n)

        证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
        由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                                 = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                                 = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                                 = b

         

    首先看一个简单的例子:

    5x=4(mod3)

    解得x = 2,5,8,11,14.......

    由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.

    那么这个解的间隔是怎么决定的呢?

    如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.

    我们设解之间的间隔为dx.

    那么有

    a*x = b(mod n);

    a*(x+dx) = b(mod n);

    两式相减,得到:

    a*dx(mod n)= 0;

    也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

    设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

    即a*dx = a*n/d;

    所以dx = n/d.

    因此解之间的间隔就求出来了.

        代码如下:

    复制代码
     1 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
     2 {
     3     int x,y,x0,i;
     4     int d=exgcd(a,n,x,y);
     5     if(b%d)
     6         return false;
     7     x0=x*(b/d)%n;   //特解
     8     for(i=1;i<d;i++)
     9         printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
    10     return true;
    11 }
    复制代码

     

    (3)用欧几里德算法求模的逆元:

           同余方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,则方程只有唯一解。

          在这种情况下,如果 b== 1,同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

          这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

          对于同余方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

          ax+ ny= 1,x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

    posted on 2013-07-13 22:11 ldjhust 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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