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  • 2020-01-01 10:47:31

    浮点数的几种特殊情况

    当阶码是0的时候
    (1)0的表示
    对于阶码为0或255的情况,IEEE754标准有特别的规定:
    如果 阶码E 是0 并且尾数M 是0,则这个数的真值为±0(正负号和数符位有关)。

    因此+0的机器码为:0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。
         -0的机器码为  0 0000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。
    当阶码是255的时候
    (2)+∞和−∞的表示
    如果 阶码E = 255 并且尾数M全是0,则这个数的真值为±∞(同样和符号位有关)。
    因此+∞的机器码为0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。
        -∞的机器码为 1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。
    NaN(Not a Number)
    如果 E = 255 并且 M 不是0,则这不是一个数(NaN)。

    浮点数的精度和数值范围

    根据上面的探讨,浮点数可以表示-∞到+∞,这只是一种特殊情况,显然不是我们想要的数值范围。

    以32位单精度浮点数为例,阶码E由8位表示,取值范围为0-255,去除0和255这两种特殊情况,那么指数e的取值范围就是 E范围(1,254) e=E-127
    1-127=-126
    254-127=127。 e范围(-126,127)
    解释一下:阶码E由8位表示,取值范围为0-255。去除了0和255 就只剩1~254
    (1)最大正数
    因此单精度浮点数最大正数值的符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127,尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,其机器码为:
    0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

    (−1)S×1.M×2^e (此时e等于127)
    =[1+(1-2^-23)]* 2^127

    (2)最小正数
    最小正数符号位S=0,阶码E=1,指数e=1-127=-126,尾数M=0,其机器码为
    0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。
    那么最小正数为:
    (−1)S×1.M×2^e (此时e等于-126)
    =+(1.0)×2^−126

    (3)最大负数
    最大负数符号位S=1,阶码E=1,指数e=1-127==-126,尾数M=0,机器码与最小正数的符号位相反,其他均相同,
    1 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

    那么最大负数 为:
    (−1)S×1.M×2^e (此时e等于-126)
    =−(1.0)×2^−126

    (4)最小负数
    符号位S=0,阶码E=254,指数e=254-127=127
    尾数M=111 1111 1111 1111 1111 1111,
    其机器码为:1 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

    那么最小负数 为:
    (−1)S×1.M×2^e (此时e等于127)
    =−[1+(1-2^-23)] ×2^127

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  • 浮点数规格化★★★.doc
  • IEEE 浮点数 规格化

    2021-04-04 12:59:47
     可以观察到最大非规格化数 7 512 \frac{7}{512} 5127​和最小规格化数 8 512 \frac{8}{512} 5128​之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的 E E E 的定义。通过将 E E E 定义为 1 − B i a s 1-Bias ...

    IEEE念作"eye-triple-ee"

    定义

    IEEE浮点标准用 V = ( − 1 ) s × M × 2 E V=(-1)^s{\times}M{\times}2^E V=(1)s×M×2E 的形式来表示一个数

    • 符号(sign): s s s 正负,对于数值0的符号位解释作特殊情况处理
    • 尾数(significand) M M M是一个二进制小数,它的范围是 1 ∼ 2 − ε 1\sim2-\varepsilon 12ε,或者 0 ∼ 1 − ε 0\sim1-\varepsilon 01ε
    • 阶码(exponent) E E E的作用是对浮点数加权,这个权重是2的 E E E次幂(可能是负数)。

    将浮点数的位表示划分为三个字段,分别对这些值进行编码:

    • 一个单独的符号位 s s s 直接编码符号 s s s
    • k k k位的阶码字段 exp= e k − 1 . . . e 1 e 0 \text{exp=}e_{k-1}...e_1e_0 exp=ek1...e1e0 编码阶码 E E E
    • n n n位小数字段 frac= f n − 1 . . . f 1 f 0 \text{frac=}f_{n-1}...f_1f_0 frac=fn1...f1f0 编码尾数 M M M,但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于0

    在这里插入图片描述

    情况1:规格化的值

     这是最普遍的情况。当exp的位模式既不全为0(数值0),也不全为1(单精度数值为255,双精度数值为2047)时,都属于这类情况。在这种情况中,阶码字段被解释为以偏置(biased)形式表示的有符号整数。也就是说,阶码的值是 E = e − B i a s E=e-Bias E=eBias,其中 e e e 是无符号数,其位表示为 e k − 1 … e 1 e 0 e_{k-1}…e_1e_0 ek1e1e0,而 B i a s Bias Bias 是一个等于 2 k − 1 − 1 2^{k-1}-1 2k11 (单精度是127,双精度是1023)的偏置值。由此产生指数的取值范围,对于单精度是 − 126 ~ + 127 -126~+127 126127,而对于双精度是 − 1022 ~ + 1023 -1022~+1023 10221023
     小数字段frac被解释为描述小数值 f f f,其中 0 ≤ f < 1 0≤f<1 0f<1,其二进制表示为 0. f n − 1 … f 1 f 0 0.f_{n-1}…f_1f_0 0.fn1f1f0 ,也就是二进制小数点在最高有效位的左边。尾数定义为 M = 1 十 f M=1十f M=1f 。有时,这种方式也叫做隐含的以1开头的(implied leading 1)表示,因为我们可以把 M M M看成一个二进制表达式为 1. f n − 1 f n − 2 … f 0 1.f_{n-1}f_{n-2}…f_0 1.fn1fn2f0 的数字。既然我们总是能够调整阶码 E E E,使得尾数 M M M 在范围 1 ≤ M < 2 1≤M<2 1M<2 之中(假设没有溢出),那么这种表示方法是一种轻松获得一个额外精度位的技巧。既然第一位总是等于1,那么我们就不需要显式地表示它。

    情况2:非规格化的值

     当阶码域为全0时,所表示的数是非规格化形式。在这种情况下,阶码值是 E = 1 − B i a s E=1-Bias E=1Bias,而尾数的值是 M = f M=f M=f,也就是小数字段的值,不包含隐含的开头的1。
     非规格化数有两个用途。首先,它们提供了一种表示数值0的方法,因为使用规格化数,我们必须总是使 M ≥ 1 M≥1 M1,因此我们就不能表示0。实际上,+0.0的浮点表示的位模式为全0:符号位是0,阶码字段全为0(表明是一个非规格化值)而小数域也全为0,这就得到 M = f = 0 M=f=0 M=f=0。令人奇怪的是,当符号位为1,而其他域全为0时,我们得到值-0.0。根据IEEE的浮点格式,值+0.0和-0.0在某些方面被认为是不同的,而在其他方面是相同的。
     非规格化数的另外一个功能是表示那些非常接近于0.0的数。它们提供了一种属性,称为逐渐下溢(gradual underflow),其中,可能的数值分布均匀地接近于0.0。

    情况3:特殊值

     最后一类数值是当指阶码全为1的时候出现的。当小数域全为0时,得到的值表示无穷,当s=0时是 + ∞ +\infty +,或者当s=1时是 − ∞ -\infty 。当我们把两个非常大的数相乘,或者除以零时,无穷能够表示溢出的结果。当小数域为非零时,结果值被称为“NaN”,即“不是一个数(Not a Number)”的缩写。一些运算的结果不能是实数或无穷,就会返回这样的NaN值,比如当计算 − 1 \sqrt{-1} 1 ∞ − ∞ \infty-\infty 时。在某些应用中,表示未初始化的数据时,它们也很有用处。




     可以观察到最大非规格化数 7 512 \frac{7}{512} 5127和最小规格化数 8 512 \frac{8}{512} 5128之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的 E E E 的定义。通过将 E E E 定义为 1 − B i a s 1-Bias 1Bias,而不是 B i a s Bias Bias,我们可以补偿非规格化数的尾数没有隐含的开头的1。

     同时在机器中存储的浮点数据会出现精度缺失和大数吃小数

    展开全文
  • 浮点数规格化 如果按照上述例子12.345(十进制好说明一些)同样的数值可以有多种浮点数表达方式,一个浮点数可以有多种表示: 12.345 * 100^00 1.2345 * 101^{1}1 0.12345 * 102^{2}2 … 为了提高数据的表示精度同时...

    浮点数的表示
    浮点数表示 N = M ∗ R E N = M*R^{E} N=MRE
    其中M(Mantissa)称为尾数。R(Radix)为基数,二进制的基数为2。E(Exponent)为阶码。
    例如: 12.345 = 1.2345 * 10 1 ^{1} 1

    浮点数的规格化
    如果按照上述例子12.345(十进制好说明一些)同样的数值可以有多种浮点数表达方式,一个浮点数可以有多种表示:
    12.345 * 10 0 ^0 0
    1.2345 * 10 1 ^{1} 1
    0.12345 * 10 2 ^{2} 2

    为了提高数据的表示精度同时保证数据表示的唯一性,需要对浮点数做规格化处理。
    规范的浮点数表达方式具有如此形式:d.dd…d * R E R^{E} RE (0 ≤ d i _{i} i < R)

    每个数字 d 介于 0 和基数R之间,包括 0。小数点左侧的数字不为 0。上述例子只有一个格式是符合的:1.2345,而二进制每个数字 d 只能在 0 和 1 之间取值,尾数域的最高有效位为1,符合的格式是:1.xxxxxxx

    满足上述表示要求的浮点数称为规格化表示,把不满足这一表示要求的尾数,变成满足这一要求的尾数的操作过程,叫作浮点数的规格化,这个过程需要通过尾数移位修改阶码实现。

    实际上,二进制的尾数最高位始终是1,因此可以省略掉最高位。

    IEEE 754标准
    IEEE 754 标准中定义了单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。表示浮点数需要储存三个要素:符号位、阶码、尾数。

    单精度浮点数(共32位)
    1个符号位
    8个指数位
    23个小数位

    双精度浮点数(共64位)
    1个符号位
    11个指数位
    52个小数位

    我们以32位浮点数为例,基为2,其中最高位为符号位,它的储存格式为:
    1)符号位,0为正数,1为负数
    2)阶码8位,可以表示0-255个指数值。但是指数可以是正数或负数。为了处理负数的情况,把这256分为两部份,0-126代表负数,127到256代表正数(包含0)。实际可以表达的指数值的范围就变成-127 到 128 之间,所以单精度数的偏差值为 -127。其中0表示-127,二进制为全0,256表示+128,二进制为全1,这两个指数值有特殊含义,后面会提到。
    3)尾数使用原码储存,二进制的尾数最高位始终是1,因此可以省略掉最高位。

    313029282726252423222120191817161514131211109876543210
    符号阶码尾数
    11000001010110000000000000000000

    解析步骤:
    1)1表示负数
    2)计算阶码:[1000 0010] = 130 - 127(偏移) = 3
    3)调整小数位:[1011 0000 …] = 1.10110000… = 1101.1
    4)转为10进制:1 * 2 3 ^3 3 + 1 * 2 2 ^2 2 + 1 * 2 0 ^0 0 + 1 * 2 − 1 ^{-1} 1 = 13.5
    5)加上符号位,所表示的实数就是:−13.5

    特殊值:
    零(zero)
    数值0被特殊表示:

    符号位(sign) = 0或1
    有偏指数(biased exponent) = 0
    小数(fraction)= 0
    

    0的内存二进制码为:
    0 00000000 0000000000000000000000
    1 00000000 0000000000000000000000

    非数值(NaN)
    有一些算数操作是非法的,比如对负数开根号。这类非法操作被称为浮点数异常(floating-point exception),异常结果由特殊字符NaN(Not a Number)表示。

    符号位(sign) = 0或1
    有偏指数(biased exponent)= 所有位都是1
    小数(fraction) = 除了所有位都是0的数(因为所有为0,表示无穷大)
    

    小数位只要不全为0,就表示非数值。
    0 11111111 11111111111100000010000

    1 11111111 11111111111100000010000

    无穷大(infinity)
    无穷大有两种,正无穷大(Positive Infinity)和负无穷大(Negative Infinity)。

    符号位(sign) = 0表示正无穷大,1表示负无穷大。
    有偏指数(biased exponent) = 所有位都是1
    小数(fraction) = 所有位都是0.
    

    正无穷大
    0 11111111 00000000000000000000000
    负无穷大
    1 11111111 00000000000000000000000

    参考文章

    浮点数表示
    计算机浮点数规格化表示
    IEEE754计算
    解析IEEE 754 标准

    展开全文
  • 32位浮点数规格化 计算

    千次阅读 2021-09-16 12:53:59
    转化成32位浮点数规格化样式 转化成16进制 例题: 将27 / 64表示成32位浮点数规格化样式 27/64 =(16+8+2+1) / 64 = 1/4 + 1/8 + 1/32 +1/64 = 2-2 + 2-3 + 2-5 + 2-6 = ( 0.011011 )2 = 1 × 1.10

    表示格式:

    请添加图片描述
    S:浮点数的符号位
    E:阶码
    M:位数
    e:指数真值

    公式:

    x =( -1 )s × ( 1.M ) × 2e
    E = e +127

    计算方式:

    • 现在变成 2 进制
    • 带入公式算出 S、M、E
    • 转化成32位浮点数规格化样式
    • 转化成16进制

    例题:

    • 27 / 64表示成32位浮点数规格化样式
      27/64
      =(16+8+2+1) / 64
      = 1/4 + 1/8 + 1/32 +1/64
      = 2-2 + 2-3 + 2-5 + 2-6
      = ( 0.011011 )2
      = 1 × 1.1011 × 2-2
      S =0M = 1011E = -2 + 127 = 125 (算出 S、M、E)
      0 0111 1101 1011 0000 0000 0000 0000 000 (32位浮点数规格化)
      (3DE80000)16 (转化成16进制)
    展开全文
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浮点数规格化

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