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  • 浮点数规格化表示
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    2018-10-16 13:30:23

    记录一下浮点数格式化上自己学习理解过程中的问题

    这是小生第一篇博客,准备开始记录自己的学习历程,方便日后查看,也望得到广大博主的批评指正,帮助小生能在学习上精益求精,多谢多谢。

    首先,为什么要规格化

    1. 以十进制情况 举个例子:1000可以表示成 1 x 103 或者 10 x 102,这样一个数就可以有好多种的表示方法,计算机不是人脑哪能知道这么多。为了方便在不同的计算机之间的移植(例如:IEEE754标准),需要来个浮点数规格化。
    2. 当大家遵行同一个规定的时候,就可以采用一定的方式,来充分利用尾数的二进制位数来表示更多的有效数字

    常被老师用来教导浮点数规格化的一种规格化方式

    在不管是书籍还是网课中都可以看到老师用以下的情况来为我们讲解浮点数的规格化问题。
    若阶码为R,则规格化浮点数的尾数M应当满足:1/2<= |M| <= 1。
    ①对于原码表示的尾数:当最高有效位为1时,浮点数为规格化。例: 0.1000 表示 1/2 (第一位表示符号位,中间的点是为了区别符号位和尾数,这个地方当时看书没看到硬是纠结了半天),1.1010表示-0.625
    ②对于补码表示的尾数,当符号位和最高有效位相异。例:0.1000或者1.0111

    IEEE754和所说的规格化是什么关系?

    当时是先看到的规格化,然后再看到的IEEE754,然后发现这个IEEE754怎么着都不符合老师教的规格化啊。愚昧的我问了老师得到的结果是:
    我们讲的这个规格化方式只是浮点数规格化的一种原理
    所以现在我的理解就是IEEE754也是规格化的一种

    结尾

    希望自己可以坚持记录~等到以后回头看的时候应该会很惊喜吧,原来以前是这样的。哈哈哈。

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    说明在IEEE标准中,浮点数在内存中的表示是将特定长度的连续字节的所有二进制位按特定长度划分为符号域,指数域和尾数域三个连续域。 floatfloat类型在内存中占用的位数为: 1+8+23=32bits double1+11+52=64bits 第...

    说明

    在IEEE标准中,浮点数在内存中的表示是将特定长度的连续字节的所有二进制位按特定长度划分为符号域,指数域和尾数域三个连续域。

    float

    float类型在内存中占用的位数为: 1+8+23=32bits
    image

    double

    1+11+52=64bits
    image

    第一位s代表符号为,1代表负数,0代表正数。

    第二个域是指数域,对于单精度float类型,指数域有8位,可以表示 0-255个指数值。指数值规定了小数点的位置,小数点的移动代表了所表示数值的大小。但是,指数可以为正数,也可以为负数。为了处理负指数的情况,实际的指数值按要求需要加上一个偏差(Bias)值作为保存在指数域中的值,单精度数的偏差 值为 -127,而双精度double类型的偏差值为 -1023。比如,单精度指数域中的64 则表示实际的指数值 -63。 偏差的引入使得对于单精度数,实际可以表达的指数值的范围就变成-127 到 128 之间(包含两端)。我们不久还将看到,实际的指数值-127(保存为 全 0)以及 +128(保存为全1)保留用作特殊值的处理。这样,实际可以表达的有效指数范围就在 -126 和 +127 之间。

    第三个域为尾数域,其中单精度数为 23 位长,双精度数为 52 位长。比如一个单精度尾数域中的值为: 00001001000101010101000, 第二个域中的指数值则规定了小数点在尾数串中的位置,默认情况下小数点位于尾数串首位之前。  

    比如指数值为 -1,则该float数即为:.000001001000101010101000,如果为+1,则该float 数值为:0.0001001000101010101000。我们知道引入浮点数的目的在于用尽可能少的位数表示既高精度又大范围的实数,其中的范围大小是由指数域位长确定的,而尾数域的长度则确定了所能表示实数的精度,所以double比float数的精度更高,范围更大,相应的也就占用更多的内存。 刚才我们介绍的对尾数域中的值的解释并不能实现这个精度最大化的目标,因为在尾数串第一个”1”之前还有4个”0”,这4个”0”实际上是多余的,因为我们把小数点向前移动时,前端的"0"是自动添加的,所以可以把这4个“0”删除,然后尾数域末端多出4个位来表示更高精度的数值。也就是说尾数的第一位一定是"1",那么既然第一位一定是"1",那么我们也就没有必要把它存储在尾数域中,而是直接默认尾数为1.xxxx…xxx的形式。尾数的首位从小数点后开始。那么上面的例子所表示的尾数就是:
    1.00001001000101010101000。 用23位表示了24位的信息 (小数点不占位置).

    表示

    一个规格化的32位浮点数x的真值为:

    x=(−1)^s × (1.M) × 2^E−127

    一个规格化的64位浮点数x的真值为:

    x=(−1)^s × (1.M) × 2^E−1023

    下面举一个32位单精度浮点数-3.75表示的例子帮助理解:

    (1) 首先转化为2进制表示

    −3.75=−(2+1+1/2+1/4)=−1.111×2^1

    (2) 整理符号位并进行规格化表示

    −1.111×21=(−1)(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1

    (3) 进行阶码的移码处理

    (−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1

    =(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^128−127

    于是,符号位S=1,尾数M为1110 0000 0000 0000 0000 000阶码E为128_10=1000 0000_2,则最终的32位单精度浮点数为1 1110 0000 0000 0000 0000 000 1000 0000

    浮点数表示范围与精度

    通过上面的规格化表示,我们可以很容易确定浮点数的表示范围:
    image

    一般提到浮点数的精度(有效位数)的时候,总是会出现 float的有效位为6~7位, double的有效位为15~16位 。

    既然有表示范围,那肯定也有不能表示的数值:

    image

    下面以float为例,解释一下有效位数是怎样来的。

    有效位数只和规格化浮点数的尾数部分有关,而尾数部分的位数是23位,因此我们首先列出下表
    image

    由上面的表格可以看出:

    2−23 和 2−22 之间是存在间隔的,即0.0000001和0.0000002之间的小数我们是没有办法描述的,因此23位尾数最多只能描述到小数点后第7位;此外,我们通过四舍五入可以很容易发现0.0000003=0.0000004=2−23+2−22, 这表明第7位有效数字只是部分准确。而第6位及之前的都是可以准确描述的,因此我们说float的有效位为6~7位。

    例子

    参考资料:

    http://blog.csdn.net/shuzfan/article/details/53814424

    http://blog.csdn.net/techx/article/details/43830781

    展开全文
  • 计算机浮点数规格化表示(转)

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    说明 在IEEE标准中,浮点数在内存中的表示是将特定长度的连续字节的所有二进制位按特定长度划分为符号域,指数域和尾数域三个连续域。 float float类型...

    转载自:https://blog.csdn.net/qq_29287973/article/details/78914821

    说明

    在IEEE标准中,浮点数在内存中的表示是将特定长度的连续字节的所有二进制位按特定长度划分为符号域,指数域和尾数域三个连续域。

    float

    float类型在内存中占用的位数为: 1+8+23=32bits
    image

    double

    1+11+52=64bits
    image

    第一位s代表符号为,1代表负数,0代表正数。

    第二个域是指数域,对于单精度float类型,指数域有8位,可以表示 0-255个指数值。指数值规定了小数点的位置,小数点的移动代表了所表示数值的大小。但是,指数可以为正数,也可以为负数。为了处理负指数的情况,实际的指数值按要求需要加上一个偏差(Bias)值作为保存在指数域中的值,单精度数的偏差 值为 -127,而双精度double类型的偏差值为 -1023。比如,单精度指数域中的64 则表示实际的指数值 -63。 偏差的引入使得对于单精度数,实际可以表达的指数值的范围就变成-127 到 128 之间(包含两端)。我们不久还将看到,实际的指数值-127(保存为 全 0)以及 +128(保存为全1)保留用作特殊值的处理。这样,实际可以表达的有效指数范围就在 -126 和 +127 之间。

    第三个域为尾数域,其中单精度数为 23 位长,双精度数为 52 位长。比如一个单精度尾数域中的值为: 00001001000101010101000, 第二个域中的指数值则规定了小数点在尾数串中的位置,默认情况下小数点位于尾数串首位之前。  

    比如指数值为 -1,则该float数即为:.000001001000101010101000,如果为+1,则该float 数值为:0.0001001000101010101000。我们知道引入浮点数的目的在于用尽可能少的位数表示既高精度又大范围的实数,其中的范围大小是由指数域位长确定的,而尾数域的长度则确定了所能表示实数的精度,所以double比float数的精度更高,范围更大,相应的也就占用更多的内存。 刚才我们介绍的对尾数域中的值的解释并不能实现这个精度最大化的目标,因为在尾数串第一个”1”之前还有4个”0”,这4个”0”实际上是多余的,因为我们把小数点向前移动时,前端的"0"是自动添加的,所以可以把这4个“0”删除,然后尾数域末端多出4个位来表示更高精度的数值。也就是说尾数的第一位一定是"1",那么既然第一位一定是"1",那么我们也就没有必要把它存储在尾数域中,而是直接默认尾数为1.xxxx…xxx的形式。尾数的首位从小数点后开始。那么上面的例子所表示的尾数就是:
    1.00001001000101010101000。 用23位表示了24位的信息 (小数点不占位置).

    表示

    一个规格化的32位浮点数x的真值为:

    x=(−1)^s × (1.M) × 2^E−127

    一个规格化的64位浮点数x的真值为:

    x=(−1)^s × (1.M) × 2^E−1023

    下面举一个32位单精度浮点数-3.75表示的例子帮助理解:

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    −3.75=−(2+1+1/2+1/4)=−1.111×2^1

    (2) 整理符号位并进行规格化表示

    −1.111×21=(−1)(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1

    (3) 进行阶码的移码处理

    (−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1

    =(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^128−127

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    浮点数表示范围与精度

    通过上面的规格化表示,我们可以很容易确定浮点数的表示范围:
    image

    一般提到浮点数的精度(有效位数)的时候,总是会出现 float的有效位为6~7位, double的有效位为15~16位 。

    既然有表示范围,那肯定也有不能表示的数值:

    image

    下面以float为例,解释一下有效位数是怎样来的。

    有效位数只和规格化浮点数的尾数部分有关,而尾数部分的位数是23位,因此我们首先列出下表
    image

    由上面的表格可以看出:

    2−23 和 2−22 之间是存在间隔的,即0.0000001和0.0000002之间的小数我们是没有办法描述的,因此23位尾数最多只能描述到小数点后第7位;此外,我们通过四舍五入可以很容易发现0.0000003=0.0000004=2−23+2−22, 这表明第7位有效数字只是部分准确。而第6位及之前的都是可以准确描述的,因此我们说float的有效位为6~7位。

    例子

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    1.浮点数规格化的标准

    浮点数规格化其实是将浮点数的尾数化为符合要求的格式,同时阶数进行调整(左规阶数-1,右规阶数+1)

    1.1 尾数用原码表示

    当尾数用原码表示时:
    (1)单符号位

    正数负数
    0.1XXXX1.1XXXX

    即有效位的最高位必须为1,和科学计数法思路类似。
    (2)双符号位

    正数负数
    00.1XXXX11.1XXXX

    1.2 尾数用补码表示

    当尾数用补码表示时:
    (1)单符号位

    正数负数
    0.1XXXX1.0XXXX

    即符号位和有效位最高位必须不同。
    (2)双符号位

    正数负数
    00.1XXXX11.0XXXX

    P.s

    采用双符号位可以很方便地判断溢出的问题。

    2.进行规范化的步骤

    把尾数变成规范化的格式——移位

    2.1 移位后补0还是1?

    在这里插入图片描述

    2.2 具体操作

    通过对将原码或补码表示的尾数进行左移或右移(按照上图的规则),变成符合规格的形式(上面表格里的形式)即可。

    对于尾数用补码表示的双符号位,还有一点补充

    形式操作说明
    00.1XXXX规范形式
    11.0XXXX规范形式
    00.0XXXX非规范形式,左移补0
    11.1XXXX非规范形式,左移补0
    01.XXXX有假溢出,右移补0,变成00.1XXXX
    10.XXXX有假溢出,右移补1,变成11.0XXXX

    解释:看后两行,为什么都是右移,一个补0一个补1?
    因为双符号位尾数的符号取决于符号位的最高位,即01.XXXX最高位为0,所以是正数,补码正数右移补0;同理,10.XXXX最高位为1,所以是负数,补码负数右移补1。

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